Bac matematică M3 tehnologic 2016, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia geometrică (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1} cu b1=2\displaystyle b_1=2 și b2=8\displaystyle b_2=8. Calculați b1+b2+b3\displaystyle b_1+b_2+b_3.
Vezi rezolvarea
  1. Rația progresiei geometrice este raportul dintre un termen și cel dinainte lui: q=b2b1=82\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{8}{2}.
    q=82=4\displaystyle q=\dfrac{8}{2}=4
  2. Al treilea termen este b3=b2⋅q=8⋅4\displaystyle b_3=b_2\cdot q=8\cdot 4.
    b3=8⋅4=32\displaystyle b_3=8\cdot 4=32
  3. Adunăm primii trei termeni: b1+b2+b3=2+8+32\displaystyle b_1+b_2+b_3=2+8+32.
    b1+b2+b3=2+8+32=42\displaystyle b_1+b_2+b_3=2+8+32=42
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care f(a−5)=f(5)\displaystyle f(a-5)=f(5), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+1\displaystyle f(x)=x^2-4x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(5)\displaystyle f(5) înlocuind x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 în f(x)=x2−4x+1\displaystyle f(x)=x^2-4x+1: f(5)=52−4⋅5+1=25−20+1\displaystyle f(5)=5^2-4\cdot 5+1=25-20+1.
    f(5)=6\displaystyle f(5)=6
  2. Calculăm f(a−5)\displaystyle f(a-5) înlocuind x\displaystyle x cu a−5\displaystyle a-5: f(a−5)=(a−5)2−4(a−5)+1\displaystyle f(a-5)=(a-5)^2-4(a-5)+1. Dezvoltăm: (a−5)2=a2−10a+25\displaystyle (a-5)^2=a^2-10a+25 și −4(a−5)=−4a+20\displaystyle -4(a-5)=-4a+20.
    f(a−5)=a2−10a+25−4a+20+1\displaystyle f(a-5)=a^2-10a+25-4a+20+1
  3. Reducem termenii asemenea: −10a−4a=−14a\displaystyle -10a-4a=-14a și 25+20+1=46\displaystyle 25+20+1=46. Deci f(5)=6\displaystyle f(5)=6 și f(a−5)=a2−14a+46\displaystyle f(a-5)=a^2-14a+46.
    f(5)=6\displaystyle f(5)=6, f(a−5)=a2−14a+46\displaystyle \ f(a-5)=a^2-14a+46
  4. Impunem condiția f(a−5)=f(5)\displaystyle f(a-5)=f(5), adică a2−14a+46=6\displaystyle a^2-14a+46=6. Mutăm 6\displaystyle 6 în membrul stâng.
    a2−14a+40=0\displaystyle a^2-14a+40=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=(−14)2−4⋅1⋅40=196−160=36\displaystyle \Delta=(-14)^2-4\cdot 1\cdot 40=196-160=36, deci Δ=6\displaystyle \sqrt{\Delta}=6.
    Δ=36\displaystyle \Delta=36
  6. Aplicăm formula rădăcinilor: a=14±62\displaystyle a=\dfrac{14\pm 6}{2}. Rezultă a=82=4\displaystyle a=\dfrac{8}{2}=4 și a=202=10\displaystyle a=\dfrac{20}{2}=10.
    a=4 sau a=10\displaystyle a=4\text{ sau }a=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅2x=4x−2\displaystyle 2\cdot 2^x=4^{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 4 ca putere a lui 2: 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci 4x−2=(22)x−2=22(x−2)=22x−4\displaystyle 4^{x-2}=\left(2^{2}\right)^{x-2}=2^{2(x-2)}=2^{2x-4}.
    4x−2=22x−4\displaystyle 4^{x-2}=2^{2x-4}
  2. În membrul stâng folosim 2=21\displaystyle 2=2^{1} și regula am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}: 2⋅2x=21+x=2x+1\displaystyle 2\cdot 2^{x}=2^{1+x}=2^{x+1}.
    2⋅2x=2x+1\displaystyle 2\cdot 2^{x}=2^{x+1}
  3. Ecuația devine 2x+1=22x−4\displaystyle 2^{x+1}=2^{2x-4}. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalăm exponenții.
    2x+1=22x−4⇔x+1=2x−4\displaystyle 2^{x+1}=2^{2x-4}\Leftrightarrow x+1=2x-4
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: x+1=2x−4\displaystyle x+1=2x-4, deci 1+4=2x−x\displaystyle 1+4=2x-x.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre se pot forma cu cifrele din mulțimea A={0,2,4,5}\displaystyle A=\{0,2,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de trei cifre are forma abc‾\displaystyle \overline{abc}, cu cifra sutelor a≠0\displaystyle a\neq 0. Cifrele pot să se repete, deoarece enunțul nu cere cifre distincte. Alegem pe rând cifra sutelor, a zecilor și a unităților.
    abc‾\displaystyle \overline{abc}, a≠0\displaystyle \ a\neq 0, a\displaystyle \ a,b\displaystyle b,c∈{0,2,4,5}\displaystyle c\in\{0,2,4,5\}
  2. Cifra sutelor poate fi oricare element din A\displaystyle A, în afară de 0\displaystyle 0, adică 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4 sau 5\displaystyle 5. Deci avem 3\displaystyle 3 moduri de a alege cifra sutelor.
    a∈{2,4,5}⇒3 moduri\displaystyle a\in\{2,4,5\}\Rightarrow 3\text{ moduri}
  3. Cifra zecilor poate fi oricare din cele 4\displaystyle 4 elemente ale mulțimii A\displaystyle A, inclusiv 0\displaystyle 0, deci avem 4\displaystyle 4 moduri. Același lucru este valabil pentru cifra unităților, adică tot 4\displaystyle 4 moduri.
    3 moduri pentru sute, 4 moduri pentru zeci, 4 moduri pentru unita˘ți\displaystyle 3\text{ moduri pentru sute, }4\text{ moduri pentru zeci, }4\text{ moduri pentru unități}
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numerele de moduri de alegere pentru fiecare cifră. Obținem 3⋅4⋅4=48\displaystyle 3\cdot 4\cdot 4=48 de numere.
    3⋅4⋅4=48\displaystyle 3\cdot 4\cdot 4=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,−2)\displaystyle A(5,-2) și B(−1,4)\displaystyle B(-1,4). Determinați coordonatele punctului M\displaystyle M, știind că AM→=MB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm M(x,y)\displaystyle M(x,y). Egalitatea AM→=MB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB} înseamnă că vectorii au aceeași direcție, același sens și același modul, deci M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
    M este mijlocul segmentului AB\displaystyle M\text{ este mijlocul segmentului }AB
  2. Formulele mijlocului sunt xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  3. Calculăm abscisa: xM=5+(−1)2=42=2\displaystyle x_M=\dfrac{5+(-1)}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
    xM=5+(−1)2=2\displaystyle x_M=\dfrac{5+(-1)}{2}=2
  4. Calculăm ordonata: yM=−2+42=22=1\displaystyle y_M=\dfrac{-2+4}{2}=\dfrac{2}{2}=1. Deci coordonatele punctului sunt M(2,1)\displaystyle M(2,1).
    M(2,1)\displaystyle M(2,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu m(∠ABC)=30∘\displaystyle m(\angle ABC)=30^\circ, AB=8\displaystyle AB=8 și BC=12\displaystyle BC=12. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Ducem înălțimea AD\displaystyle AD cu D∈BC\displaystyle D\in BC. Obținem triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, cu ∠ADB=90∘\displaystyle \angle ADB=90^\circ, ipotenuza AB=8\displaystyle AB=8 și m(∠ABD)=30∘\displaystyle m(\angle ABD)=30^\circ.
    AD⊥BC\displaystyle AD\perp BC, AB=8\displaystyle \ AB=8, m(∠B)=30∘\displaystyle \ m(\angle B)=30^\circ
  2. Cateta opusă unghiului de 30∘\displaystyle 30^\circ este jumătate din ipotenuză. Echivalent, AD=AB⋅sin⁡30∘\displaystyle AD=AB\cdot\sin 30^\circ, deci AD=12⋅8\displaystyle AD=\dfrac{1}{2}\cdot 8.
    AD=12⋅8=4\displaystyle AD=\frac{1}{2}\cdot 8=4
  3. Aria este AABC=BC⋅AD2\displaystyle \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}. Înlocuim BC=12\displaystyle BC=12 și AD=4\displaystyle AD=4 și calculăm.
    AABC=4⋅122=24\displaystyle \mathcal{A}_{ABC}=\frac{4\cdot 12}{2}=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul d(x)=∣11120x+133x2+2∣\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&x+1\\3&3&x^2+2\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați d(0)\displaystyle d(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în determinant: pe linia a doua x+1\displaystyle x+1 devine 1\displaystyle 1, iar pe linia a treia x2+2\displaystyle x^2+2 devine 2\displaystyle 2.
    d(0)=∣111201332∣\displaystyle d(0)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&1\\3&3&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele pe paralelele ei: 1⋅0⋅2\displaystyle 1\cdot 0\cdot 2, 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3 și 1⋅2⋅3\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3.
    1⋅0⋅2+1⋅1⋅3+1⋅2⋅3=0+3+6\displaystyle 1\cdot 0\cdot 2+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 3=0+3+6
  3. Termenii cu minus sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele pe paralelele ei: 1⋅0⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3, 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3 și 1⋅2⋅2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2.
    1⋅0⋅3+1⋅1⋅3+1⋅2⋅2=0+3+4\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 2=0+3+4
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus.
    d(0)=0+6+3−0−3−4\displaystyle d(0)=0+6+3-0-3-4
  5. Efectuăm calculele: 9−7=2\displaystyle 9-7=2.
    d(0)=2\displaystyle d(0)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul d(x)=∣11120x+133x2+2∣\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&x+1\\3&3&x^2+2\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că d(x)=−2(x−1)(x+1)\displaystyle d(x)=-2(x-1)(x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Avem determinantul d(x)=∣11120x+133x2+2∣\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&x+1\\3&3&x^2+2\end{vmatrix}, pe care îl dezvoltăm cu regula lui Sarrus.
    d(x)=∣11120x+133x2+2∣\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&x+1\\3&3&x^2+2\end{vmatrix}
  2. Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 1⋅0⋅(x2+2)+1⋅(x+1)⋅3+1⋅2⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot (x^2+2)+1\cdot (x+1)\cdot 3+1\cdot 2\cdot 3.
    0+3(x+1)+6\displaystyle 0+3(x+1)+6
  3. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 1⋅0⋅3+1⋅2⋅(x2+2)+1⋅(x+1)⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3+1\cdot 2\cdot (x^2+2)+1\cdot (x+1)\cdot 3, iar suma lor se scade.
    0+2(x2+2)+3(x+1)\displaystyle 0+2(x^2+2)+3(x+1)
  4. Scădem a doua sumă din prima: d(x)=0+6+3(x+1)−0−2(x2+2)−3(x+1)\displaystyle d(x)=0+6+3(x+1)-0-2(x^2+2)-3(x+1).
    d(x)=0+6+3(x+1)−0−2(x2+2)−3(x+1)\displaystyle d(x)=0+6+3(x+1)-0-2(x^2+2)-3(x+1)
  5. Termenii 3(x+1)\displaystyle 3(x+1) se reduc. Rămâne 6−2(x2+2)=6−2x2−4\displaystyle 6-2(x^2+2)=6-2x^2-4, deci d(x)=−2x2+2\displaystyle d(x)=-2x^2+2.
    d(x)=−2x2+2\displaystyle d(x)=-2x^2+2
  6. Dăm factor comun −2\displaystyle -2: d(x)=−2(x2−1)\displaystyle d(x)=-2(x^2-1). Folosim diferența de pătrate x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1), deci egalitatea cerută are loc pentru orice x\displaystyle x real.
    d(x)=−2(x2−1)=−2(x−1)(x+1)\displaystyle d(x)=-2(x^2-1)=-2(x-1)(x+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul d(x)=∣11120x+133x2+2∣\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&x+1\\3&3&x^2+2\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că, dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt două numere reale diferite astfel încât d(x)=d(y)\displaystyle d(x)=d(y), atunci x+y=0\displaystyle x+y=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: d(x)=1⋅(0⋅(x2+2)−3(x+1))−1⋅(2(x2+2)−3(x+1))+1⋅(2⋅3−0⋅3)\displaystyle d(x)=1\cdot\left(0\cdot(x^{2}+2)-3(x+1)\right)-1\cdot\left(2(x^{2}+2)-3(x+1)\right)+1\cdot(2\cdot 3-0\cdot 3). Apoi reducem termenii asemenea.
    d(x)=−3x−3−2x2−1+3x+6=−2x2+2\displaystyle d(x)=-3x-3-2x^{2}-1+3x+6=-2x^{2}+2
  2. Scriem d(x)\displaystyle d(x) sub formă factorizată, scoțând factorul −2\displaystyle -2 și folosind diferența de pătrate x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1).
    d(x)=−2(x2−1)=−2(x−1)(x+1)\displaystyle d(x)=-2(x^{2}-1)=-2(x-1)(x+1)
  3. Condiția d(x)=d(y)\displaystyle d(x)=d(y) devine −2(x−1)(x+1)=−2(y−1)(y+1)\displaystyle -2(x-1)(x+1)=-2(y-1)(y+1), adică −2(x2−1)=−2(y2−1)\displaystyle -2(x^{2}-1)=-2(y^{2}-1). Împărțim cu −2\displaystyle -2 și mutăm termenii în același membru: x2−1=y2−1\displaystyle x^{2}-1=y^{2}-1, deci x2−y2=0\displaystyle x^{2}-y^{2}=0.
    −2(x−1)(x+1)=−2(y−1)(y+1)⇔x2−y2=0\displaystyle -2(x-1)(x+1)=-2(y-1)(y+1)\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y), deci (x−y)(x+y)=0\displaystyle (x-y)(x+y)=0. Un produs este nul doar dacă un factor este nul. Cum x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt diferite, x−y≠0\displaystyle x-y\neq 0, deci putem simplifica prin x−y\displaystyle x-y și rămâne x+y=0\displaystyle x+y=0.
    (x−y)(x+y)=0\displaystyle (x-y)(x+y)=0, x≠y⇒x+y=0\displaystyle \ x\neq y\Rightarrow x+y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Calculați A+I2\displaystyle A+I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat suma A+I2\displaystyle A+I_2, unde A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. Matricele au aceeași dimensiune, deci se pot aduna element cu element.
    A+I2=(01−10)+(1001)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm elementele de pe aceleași poziții: linia 1, coloana 1 devine 0+1\displaystyle 0+1, linia 1, coloana 2 devine 1+0\displaystyle 1+0, linia 2, coloana 1 devine −1+0\displaystyle -1+0, iar linia 2, coloana 2 devine 0+1\displaystyle 0+1.
    A+I2=(0+11+0−1+00+1)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}0+1&1+0\\-1+0&0+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm fiecare sumă: 0+1=1\displaystyle 0+1=1, 1+0=1\displaystyle 1+0=1, −1+0=−1\displaystyle -1+0=-1, 0+1=1\displaystyle 0+1=1. Deci rezultatul este matricea de mai jos.
    A+I2=(11−11)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că inversa matricei M=A+I2+A⋅A\displaystyle M=A+I_2+A\cdot A este matricea −A\displaystyle -A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: A⋅A=(01−10)(01−10)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.
    A⋅A=(0⋅0+1⋅(−1)0⋅1+1⋅0−1⋅0+0⋅(−1)−1⋅1+0⋅0)=(−100−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot 0+1\cdot(-1)&0\cdot 1+1\cdot 0\\-1\cdot 0+0\cdot(-1)&-1\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}
  2. Observăm că A⋅A=−I2\displaystyle A\cdot A=-I_2. Înlocuim în M\displaystyle M și reducem termenii opuși I2\displaystyle I_2 și −I2\displaystyle -I_2.
    A⋅A=−I2⇒M=A+I2+(−I2)=A\displaystyle A\cdot A=-I_2\Rightarrow M=A+I_2+(-I_2)=A
  3. Rămâne de arătat că −A\displaystyle -A este inversa lui M=A\displaystyle M=A, adică produsul lor, în ambele ordini, este I2\displaystyle I_2. Calculăm A⋅(−A)=−(A⋅A)\displaystyle A\cdot(-A)=-(A\cdot A) și folosim A⋅A=−I2\displaystyle A\cdot A=-I_2.
    A⋅(−A)=−(A⋅A)=−(−I2)=I2\displaystyle A\cdot(-A)=-(A\cdot A)=-(-I_2)=I_2
  4. Analog, (−A)⋅A=−(A⋅A)=I2\displaystyle (-A)\cdot A=-(A\cdot A)=I_2. Deci −A\displaystyle -A este inversa matricei M=A\displaystyle M=A.
    A⋅(−A)=(−A)⋅A=I2⇒M−1=−A\displaystyle A\cdot(-A)=(-A)\cdot A=I_2\Rightarrow M^{-1}=-A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care avem (A+I2)(B+I2)=2I2\displaystyle (A+I_2)(B+I_2)=2I_2, unde B=(0xx20)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&x\\x^2&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A+I2\displaystyle A+I_2, adunând element cu element: pe diagonala principală apare 0+1=1\displaystyle 0+1=1, iar celelalte elemente rămân neschimbate.
    A+I2=(11−11)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm B+I2\displaystyle B+I_2 în același mod: pe diagonală apare 1\displaystyle 1, iar elementele x\displaystyle x și x2\displaystyle x^{2} rămân pe loc.
    B+I2=(1xx21)\displaystyle B+I_2=\begin{pmatrix}1&x\\x^{2}&1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim cele două matrice, linie cu coloană. Primul element: 1⋅1+1⋅x2=1+x2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot x^{2}=1+x^{2}. Al doilea element de pe prima linie: 1⋅x+1⋅1=x+1\displaystyle 1\cdot x+1\cdot 1=x+1. Pe a doua linie: (−1)⋅1+1⋅x2=−1+x2\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot x^{2}=-1+x^{2} și (−1)⋅x+1⋅1=−x+1\displaystyle (-1)\cdot x+1\cdot 1=-x+1.
    (A+I2)(B+I2)=(1+x2x+1−1+x2−x+1)\displaystyle (A+I_2)(B+I_2)=\begin{pmatrix}1+x^{2}&x+1\\-1+x^{2}&-x+1\end{pmatrix}
  4. Scriem 2I2=(2002)\displaystyle 2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} și egalăm element cu element matricea obținută cu ea. Obținem un sistem de patru ecuații.
    {1+x2=2x+1=0−1+x2=0−x+1=2\displaystyle \begin{cases}1+x^{2}=2\\x+1=0\\-1+x^{2}=0\\-x+1=2\end{cases}
  5. Rezolvăm ecuațiile. Din x+1=0\displaystyle x+1=0 rezultă x=−1\displaystyle x=-1. Din −x+1=2\displaystyle -x+1=2 rezultă tot x=−1\displaystyle x=-1. Ecuațiile x2=1\displaystyle x^{2}=1 au soluțiile 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, deci x=−1\displaystyle x=-1 le verifică pe toate. Valoarea x=1\displaystyle x=1 nu convine, pentru că nu verifică x+1=0\displaystyle x+1=0. Singura valoare care satisface toate cele patru ecuații este x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+5x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}.

Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este definită pe intervalul (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty), iar 1\displaystyle 1 face parte din acest interval. Numărătorul x2+3x+5\displaystyle \sqrt{x^2+3x+5} este continuu, iar numitorul x+2\displaystyle x+2 este nenul pentru x=1\displaystyle x=1. Deci f\displaystyle f este continuă în 1\displaystyle 1 și limita se obține prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia lui f(x)\displaystyle f(x), la numărător și la numitor.
    lim⁡x→1x2+3x+5x+2=12+3⋅1+51+2\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}=\frac{\sqrt{1^2+3\cdot1+5}}{1+2}
  3. Calculăm numărătorul: 1+3+5=9\displaystyle 1+3+5=9, deci 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3. Numitorul este 1+2=3\displaystyle 1+2=3. Raportul este 33=1\displaystyle \dfrac{3}{3}=1.
    93=33=1\displaystyle \frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+5x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty), deci singurul capăt finit unde ar putea apărea o asimptotă verticală este x=−2\displaystyle x=-2, unde numitorul x+2\displaystyle x+2 se anulează. Calculăm limita la dreapta în −2\displaystyle -2.
    lim⁡x→−2x>−2f(x)=lim⁡x→−2x>−2x2+3x+5x+2\displaystyle \lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}}\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}
  2. Calculăm valoarea numărătorului în x=−2\displaystyle x=-2: (−2)2+3⋅(−2)+5=4−6+5=3\displaystyle \sqrt{(-2)^2+3\cdot(-2)+5}=\sqrt{4-6+5}=\sqrt{3}, un număr strict pozitiv.
    x2+3x+5→3>0\displaystyle \sqrt{x^2+3x+5}\to\sqrt{3}>0
  3. Pentru x>−2\displaystyle x>-2, cu x\displaystyle x aproape de −2\displaystyle -2, numitorul x+2\displaystyle x+2 tinde la 0\displaystyle 0 și este strict pozitiv. Deci raportul dintre un număr pozitiv, apropiat de 3\displaystyle \sqrt{3}, și un număr pozitiv foarte mic tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    30+=+∞\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{0^{+}}=+\infty
  4. Limita la dreapta în −2\displaystyle -2 este +∞\displaystyle +\infty, deci dreapta x=−2\displaystyle x=-2 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f.
    +∞, deci dreapta x=−2 este asimptota˘ verticala˘\displaystyle +\infty\text{, deci dreapta }x=-2\text{ este asimptotă verticală}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x+5x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty), deci singura asimptotă orizontală posibilă este la +∞\displaystyle +\infty. Calculăm lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x).
    lim⁡x→+∞x2+3x+5x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x=x2\displaystyle x=\sqrt{x^2}. Scoatem x\displaystyle x factor forțat la numărător, sub radical, și la numitor, apoi simplificăm cu x\displaystyle x.
    x2(1+3x+5x2)x(1+2x)=1+3x+5x21+2x\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 3x\displaystyle \dfrac{3}{x}, 5x2\displaystyle \dfrac{5}{x^2} și 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} tind la 0\displaystyle 0, deci limita este 11\displaystyle \dfrac{\sqrt{1}}{1}.
    lim⁡x→+∞f(x)=1+0+01+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{\sqrt{1+0+0}}{1+0}=1
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+1,x∈(−∞,0]1−x3,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\in(-\infty,0]\\1-x^3,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Calculați f(−1)+f(1)\displaystyle f(-1)+f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece −1∈(−∞,0]\displaystyle -1\in(-\infty,0], folosim prima ramură a funcției, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1.
    f(−1)=2⋅(−1)+1\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)+1
  2. Calculăm: 2⋅(−1)+1=−2+1=−1\displaystyle 2\cdot(-1)+1=-2+1=-1.
    f(−1)=−1\displaystyle f(-1)=-1
  3. Deoarece 1∈(0,+∞)\displaystyle 1\in(0,+\infty), folosim a doua ramură a funcției, f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^{3}.
    f(1)=1−13=1−1=0\displaystyle f(1)=1-1^{3}=1-1=0
  4. Adunăm cele două valori: f(−1)+f(1)=−1+0\displaystyle f(-1)+f(1)=-1+0.
    f(−1)+f(1)=−1+0=−1\displaystyle f(-1)+f(1)=-1+0=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+1,x∈(−∞,0]1−x3,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\in(-\infty,0]\\1-x^3,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este continuă în punctul x=0\displaystyle x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este continuă în x=0\displaystyle x=0, trebuie să verificăm că limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 0\displaystyle 0 sunt egale: f(0)=lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x).
    f(0)=lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)
  2. Calculăm limita la stânga. Pentru x<0\displaystyle x<0 avem f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1, iar când x→0\displaystyle x\to0 expresia tinde la 2⋅0+1=1\displaystyle 2\cdot0+1=1.
    lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0(2x+1)=1\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x<0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to0\\x<0}}(2x+1)=1
  3. Calculăm limita la dreapta. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem f(x)=1−x3\displaystyle f(x)=1-x^{3}, iar când x→0\displaystyle x\to0 expresia tinde la 1−03=1\displaystyle 1-0^{3}=1.
    lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(1−x3)=1\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to0\\x>0}}(1-x^{3})=1
  4. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0. Cum 0∈(−∞,0]\displaystyle 0\in(-\infty,0], folosim prima formulă: f(0)=2⋅0+1=1\displaystyle f(0)=2\cdot0+1=1.
    f(0)=2⋅0+1=1\displaystyle f(0)=2\cdot0+1=1
  5. Limitele laterale sunt egale între ele și egale cu f(0)\displaystyle f(0), deci limita în 0\displaystyle 0 există și este egală cu f(0)\displaystyle f(0). Prin urmare, f\displaystyle f este continuă în x=0\displaystyle x=0.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, lim⁡x→0f(x)=1=f(0)\displaystyle \ \lim_{x\to0}f(x)=1=f(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+1,x∈(−∞,0]1−x3,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\in(-\infty,0]\\1-x^3,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe ramuri, deci rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 separat pe fiecare ramură. Pe ramura x≤0\displaystyle x\leq 0 avem 2x+1=0\displaystyle 2x+1=0, deci x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}, valoare care se află în intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
    x=−12\displaystyle x=-\frac{1}{2}
  2. Pe ramura x>0\displaystyle x>0 avem 1−x3=0\displaystyle 1-x^{3}=0, deci x3=1\displaystyle x^{3}=1, adică x=1\displaystyle x=1, valoare care se află în intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Zerourile funcției sunt −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} și 1\displaystyle 1.
    f(x)=0⇔x=−12 sau x=1\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
  3. Zerourile împart axa reală în trei intervale, pe care studiem semnul funcției. Funcția este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R} (în 0\displaystyle 0, limita la stânga este 1\displaystyle 1, limita la dreapta este 1\displaystyle 1 și f(0)=1\displaystyle f(0)=1), deci își poate schimba semnul doar în zerouri.
    (−∞,−12)\displaystyle \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right), (−12,1)\displaystyle \ \left(-\frac{1}{2},1\right), (1,+∞)\displaystyle \ (1,+\infty)
  4. Alegem câte un punct de test în fiecare interval. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 din primul interval, f(−1)=2⋅(−1)+1=−1<0\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)+1=-1<0. Pentru x=0\displaystyle x=0 din al doilea interval, f(0)=1>0\displaystyle f(0)=1>0. Pentru x=2\displaystyle x=2 din al treilea interval, f(2)=1−8=−7<0\displaystyle f(2)=1-8=-7<0.
    f<0 pe (−∞,−12)\displaystyle f<0\text{ pe }\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right), f>0 pe (−12,1)\displaystyle \ f>0\text{ pe }\left(-\frac{1}{2},1\right), f<0 pe (1,+∞)\displaystyle \ f<0\text{ pe }(1,+\infty)
  5. Inecuația f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0 este satisfăcută pe intervalul unde f\displaystyle f este pozitivă, la care adăugăm zerourile −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} și 1\displaystyle 1, deci capetele intervalului sunt incluse.
    f(x)≥0⇔x∈[−12,1]\displaystyle f(x)\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-\frac{1}{2},1\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.