Bac matematică M3 tehnologic 2015, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați media aritmetică a numerelor a=3\displaystyle a=3 și b=25\displaystyle b=\sqrt{25}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm radicalul din b\displaystyle b: 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, pentru că 52=25\displaystyle 5^{2}=25 și 5>0\displaystyle 5>0. Deci b=5\displaystyle b=5.
    b=25=5\displaystyle b=\sqrt{25}=5
  2. Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2\displaystyle 2: ma=a+b2\displaystyle m_a=\dfrac{a+b}{2}.
    ma=a+b2\displaystyle m_a=\frac{a+b}{2}
  3. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 și b=5\displaystyle b=5: ma=3+52=82=4\displaystyle m_a=\dfrac{3+5}{2}=\dfrac{8}{2}=4.
    ma=3+52=82=4\displaystyle m_a=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (f∘g)(−2)\displaystyle (f\circ g)(-2), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−4\displaystyle f(x)=3x-4 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+5\displaystyle g(x)=2x+5.
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea f∘g\displaystyle f\circ g aplicată lui −2\displaystyle -2 înseamnă (f∘g)(−2)=f(g(−2))\displaystyle (f\circ g)(-2)=f(g(-2)), deci calculăm mai întâi g(−2)\displaystyle g(-2).
    (f∘g)(−2)=f(g(−2))\displaystyle (f\circ g)(-2)=f(g(-2))
  2. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 în g(x)=2x+5\displaystyle g(x)=2x+5: g(−2)=2⋅(−2)+5=−4+5=1\displaystyle g(-2)=2\cdot(-2)+5=-4+5=1.
    g(−2)=2⋅(−2)+5=1\displaystyle g(-2)=2\cdot(-2)+5=1
  3. Acum aplicăm funcția f\displaystyle f numărului 1\displaystyle 1: f(1)=3⋅1−4=−1\displaystyle f(1)=3\cdot 1-4=-1. Deci (f∘g)(−2)=f(1)=−1\displaystyle (f\circ g)(-2)=f(1)=-1.
    (f∘g)(−2)=f(1)=3⋅1−4=−1\displaystyle (f\circ g)(-2)=f(1)=3\cdot 1-4=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+4=23\displaystyle \sqrt{2x^2+4}=2\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia de sub radical 2x2+4\displaystyle 2x^{2}+4 este pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, iar membrul drept 23\displaystyle 2\sqrt{3} este pozitiv. Putem ridica ecuația la pătrat.
    2x2+4>0\displaystyle 2x^{2}+4>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (2x2+4)2=(23)2\displaystyle \left(\sqrt{2x^{2}+4}\right)^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}. În dreapta avem 22⋅3=4⋅3=12\displaystyle 2^{2}\cdot 3=4\cdot 3=12.
    2x2+4=12\displaystyle 2x^{2}+4=12
  3. Scădem 4 din ambii membri: 2x2=8\displaystyle 2x^{2}=8. Împărțim la 2 și obținem x2=4\displaystyle x^{2}=4.
    x2=4\displaystyle x^{2}=4
  4. Din x2=4\displaystyle x^{2}=4 rezultă x=±2\displaystyle x=\pm 2, adică x1=−2\displaystyle x_1=-2 și x2=2\displaystyle x_2=2.
    x1=−2\displaystyle x_1=-2, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  5. Verificăm: pentru x=±2\displaystyle x=\pm 2 avem x2=4\displaystyle x^{2}=4, deci 2⋅4+4=12=23\displaystyle \sqrt{2\cdot 4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. Ambele valori verifică ecuația.
    x1=−2 și x2=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul elementelor care sunt divizibile cu 5\displaystyle 5 și nu sunt divizibile cu 10\displaystyle 10, din mulțimea M={1,2,3,…,50}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,50\}.
Vezi rezolvarea
  1. Multiplii lui 5\displaystyle 5 din mulțimea M\displaystyle M sunt numerele de forma 5k\displaystyle 5k, cu k∈{1,2,…,10}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,10\}: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\displaystyle 5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30,\ 35,\ 40,\ 45,\ 50. Sunt 10\displaystyle 10 numere.
    5\displaystyle 5, 10\displaystyle \ 10, 15\displaystyle \ 15, 20\displaystyle \ 20, 25\displaystyle \ 25, 30\displaystyle \ 30, 35\displaystyle \ 35, 40\displaystyle \ 40, 45\displaystyle \ 45, 50\displaystyle \ 50
  2. Un multiplu al lui 5\displaystyle 5 este divizibil cu 10\displaystyle 10 dacă este par. Deci cei care nu sunt divizibili cu 10\displaystyle 10 sunt multiplii impari ai lui 5\displaystyle 5, adică 5k\displaystyle 5k cu k\displaystyle k impar. Îi eliminăm pe cei pari: 10, 20, 30, 40, 50\displaystyle 10,\ 20,\ 30,\ 40,\ 50.
    5k\displaystyle 5k, k impar\displaystyle \ k\text{ impar}
  3. Rămân numerele 5, 15, 25, 35 și 45\displaystyle 5,\ 15,\ 25,\ 35\text{ și }45.
    5\displaystyle 5, 15\displaystyle \ 15, 25\displaystyle \ 25, 35 și 45\displaystyle \ 35\text{ și }45
  4. Numărăm elementele rămase: sunt 5\displaystyle 5 numere.
    5 numere\displaystyle 5\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(3,m−1)\displaystyle A(3,m-1) este situat pe dreapta de ecuație x+y−3=0\displaystyle x+y-3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct se află pe o dreaptă dacă are coordonatele care verifică ecuația dreptei. Punctul A(3,m−1)\displaystyle A(3,m-1) are abscisa x=3\displaystyle x=3 și ordonata y=m−1\displaystyle y=m-1.
    x=3\displaystyle x=3, y=m−1\displaystyle \ y=m-1
  2. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=m−1\displaystyle y=m-1 în ecuația x+y−3=0\displaystyle x+y-3=0 și obținem o ecuație în m\displaystyle m.
    3+(m−1)−3=0\displaystyle 3+(m-1)-3=0
  3. Reducem termenii: 3−1−3=−1\displaystyle 3-1-3=-1, deci ecuația devine m−1=0\displaystyle m-1=0.
    m−1=0\displaystyle m-1=0
  4. Rezolvăm ecuația: m=1\displaystyle m=1. Verificare: punctul A(3,0)\displaystyle A(3,0) satisface 3+0−3=0\displaystyle 3+0-3=0.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=5\displaystyle AB=5, AC=5\displaystyle AC=5 și BC=6\displaystyle BC=6. Calculați cos⁡B\displaystyle \cos B.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul B\displaystyle B este opus laturii AC\displaystyle AC, deci scriem teorema cosinusului pentru latura AC\displaystyle AC: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B.
    AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B
  2. Exprimăm cos⁡B\displaystyle \cos B din relația de mai sus.
    cos⁡B=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC\displaystyle \cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}
  3. Înlocuim AB=5\displaystyle AB=5, BC=6\displaystyle BC=6 și AC=5\displaystyle AC=5 în formulă.
    cos⁡B=52+62−522⋅5⋅6\displaystyle \cos B=\frac{5^{2}+6^{2}-5^{2}}{2\cdot 5\cdot 6}
  4. Calculăm: 25+36−25=36\displaystyle 25+36-25=36, iar numitorul este 2⋅5⋅6=60\displaystyle 2\cdot 5\cdot 6=60. Simplificăm fracția prin 12\displaystyle 12 și obținem 35\displaystyle \dfrac{3}{5}.
    cos⁡B=3660=35\displaystyle \cos B=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(m)=∣2−11m1−123m∣\displaystyle D(m)=\begin{vmatrix}2&-1&1\\m&1&-1\\2&3&m\end{vmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Calculați D(0)\displaystyle D(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în determinant: prima linie rămâne neschimbată, a doua linie devine 0, 1, −1\displaystyle 0,\ 1,\ -1, iar a treia devine 2, 3, 0\displaystyle 2,\ 3,\ 0.
    D(0)=∣2−1101−1230∣\displaystyle D(0)=\begin{vmatrix}2&-1&1\\0&1&-1\\2&3&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 2⋅1⋅0\displaystyle 2\cdot 1\cdot 0, (−1)⋅(−1)⋅2\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 2 și 1⋅0⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3.
    2⋅1⋅0+(−1)⋅(−1)⋅2+1⋅0⋅3=0+2+0=2\displaystyle 2\cdot1\cdot0+(-1)\cdot(-1)\cdot2+1\cdot0\cdot3=0+2+0=2
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2, 2⋅(−1)⋅3\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 3 și (−1)⋅0⋅0\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot 0. Aceste produse se scad din primul total.
    1⋅1⋅2+2⋅(−1)⋅3+(−1)⋅0⋅0=2−6+0=−4\displaystyle 1\cdot1\cdot2+2\cdot(-1)\cdot3+(-1)\cdot0\cdot0=2-6+0=-4
  4. Scădem al doilea total din primul: 2−(−4)=6\displaystyle 2-(-4)=6. Același rezultat se obține scriind toți termenii: 0+0+2−2+6−0\displaystyle 0+0+2-2+6-0.
    D(0)=0+0+2−2+6−0=6\displaystyle D(0)=0+0+2-2+6-0=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(m)=∣2−11m1−123m∣\displaystyle D(m)=\begin{vmatrix}2&-1&1\\m&1&-1\\2&3&m\end{vmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că D(m)=(m+2)(m+3)\displaystyle D(m)=(m+2)(m+3), pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 2⋅1⋅m+(−1)⋅(−1)⋅2+1⋅m⋅3\displaystyle 2\cdot 1\cdot m+(-1)\cdot(-1)\cdot 2+1\cdot m\cdot 3.
    2m+2+3m\displaystyle 2m+2+3m
  2. Calculăm suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅1⋅2+2⋅(−1)⋅3+(−1)⋅m⋅m\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2+2\cdot(-1)\cdot 3+(-1)\cdot m\cdot m.
    2−6−m2=−m2−4\displaystyle 2-6-m^{2}=-m^{2}-4
  3. Determinantul este diferența dintre prima sumă și a doua: D(m)=(2m+2+3m)−(−m2−4)\displaystyle D(m)=(2m+2+3m)-(-m^{2}-4). Desfacem parantezele și obținem forma din barem.
    D(m)=m2+2m+3m+6\displaystyle D(m)=m^{2}+2m+3m+6
  4. Grupăm termenii doi câte doi: m2+2m=m(m+2)\displaystyle m^{2}+2m=m(m+2) și 3m+6=3(m+2)\displaystyle 3m+6=3(m+2). Apare factorul comun m+2\displaystyle m+2, pe care îl scoatem în față. Rezultatul este valabil pentru orice număr real m\displaystyle m.
    D(m)=m(m+2)+3(m+2)=(m+2)(m+3), pentru orice numa˘r real m\displaystyle D(m)=m(m+2)+3(m+2)=(m+2)(m+3)\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(m)=∣2−11m1−123m∣\displaystyle D(m)=\begin{vmatrix}2&-1&1\\m&1&-1\\2&3&m\end{vmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care D(n2−3n)=0\displaystyle D(n^2-3n)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul D(m)\displaystyle D(m) dezvoltându-l după prima linie: D(m)=2⋅∣1−13m∣+1⋅∣m−12m∣+1⋅∣m123∣\displaystyle D(m)=2\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\3&m\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}m&-1\\2&m\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}m&1\\2&3\end{vmatrix}, adică D(m)=2(m+3)+(m2+2)+(3m−2)\displaystyle D(m)=2(m+3)+(m^{2}+2)+(3m-2).
    D(m)=2(m+3)+(m2+2)+(3m−2)\displaystyle D(m)=2(m+3)+(m^{2}+2)+(3m-2)
  2. Reducem termenii asemenea: D(m)=m2+5m+6\displaystyle D(m)=m^{2}+5m+6. Descompunem în factori: D(m)=(m+2)(m+3)\displaystyle D(m)=(m+2)(m+3).
    D(m)=m2+5m+6=(m+2)(m+3)\displaystyle D(m)=m^{2}+5m+6=(m+2)(m+3)
  3. Înlocuim m=n2−3n\displaystyle m=n^{2}-3n în forma factorizată. Ecuația D(n2−3n)=0\displaystyle D(n^{2}-3n)=0 devine o ecuație produs.
    (n2−3n+2)(n2−3n+3)=0\displaystyle (n^{2}-3n+2)(n^{2}-3n+3)=0
  4. Un produs este nul dacă cel puțin un factor este nul. Pentru n2−3n+3=0\displaystyle n^{2}-3n+3=0 avem Δ=9−12=−3<0\displaystyle \Delta=9-12=-3<0, deci această ecuație nu are soluții reale.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅3=−3<0\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=-3<0
  5. Rămâne n2−3n+2=0\displaystyle n^{2}-3n+2=0. Aici Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci n=3±12\displaystyle n=\dfrac{3\pm 1}{2}. Obținem n=1\displaystyle n=1 sau n=2\displaystyle n=2, ambele numere naturale, deci convin.
    n1=1 și n2=2\displaystyle n_1=1\text{ și }n_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−1a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&-1\\a&3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că A(−1)+A(1)=2A(0)\displaystyle A(-1)+A(1)=2A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(−1)\displaystyle A(-1).
    A(−1)=(1−1−13)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&3\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și obținem A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1−113)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}
  3. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 și obținem A(0)\displaystyle A(0). Cele trei matrice A(−1)\displaystyle A(-1), A(1)\displaystyle A(1) și A(0)\displaystyle A(0) au fost astfel determinate.
    A(0)=(1−103)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}
  4. Calculăm suma A(−1)+A(1)\displaystyle A(-1)+A(1), adunând element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, −1+(−1)=−2\displaystyle -1+(-1)=-2, −1+1=0\displaystyle -1+1=0, 3+3=6\displaystyle 3+3=6.
    A(−1)+A(1)=(2−206)\displaystyle A(-1)+A(1)=\begin{pmatrix}2&-2\\0&6\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 în fața matricei și observăm că matricea rămasă este chiar A(0)\displaystyle A(0). Deci egalitatea este adevărată.
    A(−1)+A(1)=(2−206)=2(1−103)=2A(0)\displaystyle A(-1)+A(1)=\begin{pmatrix}2&-2\\0&6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}=2A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−1a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&-1\\a&3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(a)⋅(31−21)=5I2\displaystyle A(a)\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}=5I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul cerut: A(a)⋅(31−21)=(1−1a3)⋅(31−21)\displaystyle A(a)\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\a&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}.
    (1−1a3)⋅(31−21)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-1\\a&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}
  2. Pe prima linie avem 1⋅3+(−1)⋅(−2)=5\displaystyle 1\cdot 3+(-1)\cdot(-2)=5 și 1⋅1+(−1)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0.
    (50)\displaystyle \begin{pmatrix}5&0\end{pmatrix}
  3. Pe a doua linie avem a⋅3+3⋅(−2)=3a−6\displaystyle a\cdot 3+3\cdot(-2)=3a-6 și a⋅1+3⋅1=a+3\displaystyle a\cdot 1+3\cdot 1=a+3.
    (3a−6a+3)\displaystyle \begin{pmatrix}3a-6&a+3\end{pmatrix}
  4. Deci A(a)⋅(31−21)=(503a−6a+3)\displaystyle A(a)\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\3a-6&a+3\end{pmatrix}.
    A(a)⋅(31−21)=(503a−6a+3)\displaystyle A(a)\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\3a-6&a+3\end{pmatrix}
  5. Avem 5I2=(5005)\displaystyle 5I_2=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}, deci egalitatea cerută înseamnă (503a−6a+3)=(5005)\displaystyle \begin{pmatrix}5&0\\3a-6&a+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}. Primele elemente, 5=5\displaystyle 5=5 și 0=0\displaystyle 0=0, sunt verificate, iar celelalte dau 3a−6=0\displaystyle 3a-6=0 și a+3=5\displaystyle a+3=5.
    3a−6=0 și a+3=5\displaystyle 3a-6=0\text{ și }a+3=5
  6. Din 3a−6=0\displaystyle 3a-6=0 rezultă a=2\displaystyle a=2, iar din a+3=5\displaystyle a+3=5 rezultă tot a=2\displaystyle a=2. Deci valoarea căutată este a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−1a3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&-1\\a&3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că A(1)⋅X=4A(2)\displaystyle A(1)\cdot X=4A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(1)\displaystyle A(1) și A(2)\displaystyle A(2), înlocuind a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1, respectiv cu 2\displaystyle 2, în matricea dată.
    A(1)=(1−113)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix},A(2)=(1−123)\displaystyle \quad A(2)=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui A(1)\displaystyle A(1) ca să vedem dacă matricea este inversabilă: produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=1⋅3−(−1)⋅1=4≠0\displaystyle \det(A(1))=1\cdot 3-(-1)\cdot 1=4\neq 0
  3. Deoarece determinantul este nenul, A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă. Inversa se obține din transpusa matricei adjuncte: schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară și împărțim la determinant.
    (A(1))−1=14(31−11)\displaystyle (A(1))^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim egalitatea A(1)⋅X=4A(2)\displaystyle A(1)\cdot X=4A(2) la stânga cu (A(1))−1\displaystyle (A(1))^{-1}. Cum (A(1))−1⋅A(1)=I2\displaystyle (A(1))^{-1}\cdot A(1)=I_2, rămâne X\displaystyle X egal cu 4\displaystyle 4 ori inversa înmulțită cu A(2)\displaystyle A(2).
    X=4⋅14(31−11)(1−123)=(31−11)(1−123)\displaystyle X=4\cdot\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}
  5. Efectuăm produsul matricelor, linie cu coloană: 3⋅1+1⋅2\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot 2, 3⋅(−1)+1⋅3\displaystyle 3\cdot(-1)+1\cdot 3, (−1)⋅1+1⋅2\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot 2, (−1)⋅(−1)+1⋅3\displaystyle (-1)\cdot(-1)+1\cdot 3.
    X=(3+2−3+3−1+21+3)=(5014)\displaystyle X=\begin{pmatrix}3+2&-3+3\\-1+2&1+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\1&4\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+4x−2\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x-2}.

Calculați lim⁡x→3f(x)\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția este definită pe intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), iar 3\displaystyle 3 aparține acestui interval. Funcția este suma dintre x\displaystyle x și o fracție al cărei numitor x−2\displaystyle x-2 este nenul în 3\displaystyle 3, deci f\displaystyle f este continuă în 3\displaystyle 3 și limita se obține prin înlocuire directă.
    lim⁡x→3f(x)=f(3)\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=f(3)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în expresia funcției și calculăm numitorul: 3−2=1\displaystyle 3-2=1.
    lim⁡x→3(x+4x−2)=3+43−2=3+41=3+4\displaystyle \lim_{x\to 3}\left(x+\frac{4}{x-2}\right)=3+\frac{4}{3-2}=3+\frac{4}{1}=3+4
  3. Adunăm cei doi termeni și obținem valoarea limitei: 3+4=7\displaystyle 3+4=7.
    lim⁡x→3f(x)=7\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+4x−2\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x-2}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right). Scriem mai întâi raportul f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}.
    f(x)x=x+4x−2x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x+\frac{4}{x-2}}{x}
  2. Împărțim fiecare termen din numărător la x\displaystyle x. Al doilea termen devine 4x(x−2)\displaystyle \dfrac{4}{x(x-2)}.
    f(x)x=1+4x(x−2)\displaystyle \frac{f(x)}{x}=1+\frac{4}{x(x-2)}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numitorul x(x−2)→+∞\displaystyle x(x-2)\to+\infty, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0. Rezultă că m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞(1+4x(x−2))=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x(x-2)}\right)=1
  4. Calculăm acum n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x), cu m=1\displaystyle m=1. Termenul x\displaystyle x se reduce.
    f(x)−x=x+4x−2−x=4x−2\displaystyle f(x)-x=x+\frac{4}{x-2}-x=\frac{4}{x-2}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numitorul x−2→+∞\displaystyle x-2\to+\infty, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0. Așadar n=0\displaystyle n=0 și asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=x\displaystyle y=x.
    lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞4x−2=0, deci dreapta y=x este asimptota˘ oblica˘ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x-2}=0\text{, deci dreapta }y=x\text{ este asimptotă oblică }spre +∞\displaystyle \text{spre }+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+4x−2\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x-2}.

Calculați lim⁡x→2((x−2)f(x))\displaystyle \lim_{x\to 2}\big((x-2)f(x)\big).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+4x−2\displaystyle f(x)=x+\dfrac{4}{x-2} în expresia dată și obținem limita lim⁡x→2((x−2)(x+4x−2))\displaystyle \lim_{x\to 2}\left((x-2)\left(x+\dfrac{4}{x-2}\right)\right).
    lim⁡x→2((x−2)(x+4x−2))\displaystyle \lim_{x\to 2}\left((x-2)\left(x+\frac{4}{x-2}\right)\right)
  2. Aducem paranteza la același numitor: x+4x−2=x(x−2)+4x−2\displaystyle x+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x(x-2)+4}{x-2}. Înmulțim cu x−2\displaystyle x-2 și obținem forma din barem, în care factorul x−2\displaystyle x-2 apare și la numărător, și la numitor.
    lim⁡x→2(x−2)(x(x−2)+4)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)\left(x(x-2)+4\right)}{x-2}
  3. Deoarece x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty), avem x−2≠0\displaystyle x-2\neq 0, deci putem simplifica factorul x−2\displaystyle x-2. Rămâne limita lim⁡x→2(x(x−2)+4)\displaystyle \lim_{x\to 2}\left(x(x-2)+4\right).
    lim⁡x→2(x(x−2)+4)\displaystyle \lim_{x\to 2}\left(x(x-2)+4\right)
  4. Expresia x(x−2)+4\displaystyle x(x-2)+4 este polinomială, deci putem înlocui direct x=2\displaystyle x=2: 2⋅(2−2)+4=2⋅0+4=4\displaystyle 2\cdot(2-2)+4=2\cdot 0+4=4.
    lim⁡x→2((x−2)f(x))=4\displaystyle \lim_{x\to 2}\left((x-2)f(x)\right)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x2+x−1,x≤1x+1,x>1\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x^2+x-1,& x\le 1\\ x+1,& x>1\end{cases}.

Calculați f(0)+f(2)\displaystyle f(0)+f(2).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem 0≤1\displaystyle 0\le 1, deci folosim prima ramură a funcției: f(x)=2x2+x−1\displaystyle f(x)=2x^{2}+x-1.
    0≤1⇒f(x)=2x2+x−1\displaystyle 0\le 1\Rightarrow f(x)=2x^{2}+x-1
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în prima ramură: f(0)=2⋅02+0−1=−1\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{2}+0-1=-1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1
  3. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 2>1\displaystyle 2>1, deci folosim a doua ramură: f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1. Obținem f(2)=2+1=3\displaystyle f(2)=2+1=3.
    f(2)=3\displaystyle f(2)=3
  4. Adunăm cele două valori: f(0)+f(2)=−1+3\displaystyle f(0)+f(2)=-1+3.
    f(0)+f(2)=−1+3\displaystyle f(0)+f(2)=-1+3
  5. Efectuăm adunarea și obținem răspunsul final: f(0)+f(2)=2\displaystyle f(0)+f(2)=2.
    f(0)+f(2)=2\displaystyle f(0)+f(2)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x2+x−1,x≤1x+1,x>1\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x^2+x-1,& x\le 1\\ x+1,& x>1\end{cases}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1, trebuie să verificăm că limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 1\displaystyle 1 sunt egale. Calculăm mai întâi valoarea funcției în 1\displaystyle 1: pentru x≤1\displaystyle x\le 1 se folosește prima formulă, deci f(1)=2⋅12+1−1\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{2}+1-1.
    f(1)=2⋅12+1−1=2\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{2}+1-1=2
  2. Limita la stânga: pentru x<1\displaystyle x<1 funcția este dată de 2x2+x−1\displaystyle 2x^{2}+x-1, o expresie polinomială, deci putem înlocui direct x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1(2x2+x−1)=2⋅12+1−1=2\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x<1}}(2x^2+x-1)=2\cdot 1^{2}+1-1=2
  3. Limita la dreapta: pentru x>1\displaystyle x>1 funcția este dată de x+1\displaystyle x+1, tot o expresie polinomială, deci înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1(x+1)=1+1=2\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}(x+1)=1+1=2
  4. Limitele laterale sunt egale între ele și egale cu f(1)\displaystyle f(1), deci limita în 1\displaystyle 1 există și este egală cu f(1)\displaystyle f(1). Prin urmare, funcția f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1.
    f(1)=2, deci lim⁡x→1f(x)=f(1), deci funcția f este continua˘ ıˆn x=1\displaystyle f(1)=2\text{, deci }\lim_{x\to1}f(x)=f(1)\text{, deci funcția }f\text{ este continuă în }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x2+x−1,x≤1x+1,x>1\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x^2+x-1,& x\le 1\\ x+1,& x>1\end{cases}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)≤0\displaystyle f(x)\le 0.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția are două ramuri, așa că rezolvăm inecuația separat pe fiecare ramură. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1, deci trebuie să rezolvăm x+1≤0\displaystyle x+1\le 0.
    x+1≤0\displaystyle x+1\le 0
  2. Din x+1≤0\displaystyle x+1\le 0 obținem x≤−1\displaystyle x\le -1. Dar pe această ramură x>1\displaystyle x>1, iar numerele x≤−1\displaystyle x\le -1 nu sunt mai mari decât 1\displaystyle 1. Intersecția (−∞,−1]∩(1,+∞)\displaystyle (-\infty,-1]\cap(1,+\infty) este vidă, deci nu există soluții pe această ramură.
    x+1≤0 nu are soluții ıˆn (1,+∞)\displaystyle x+1\le 0\text{ nu are soluții în }(1,+\infty)
  3. Pentru x≤1\displaystyle x\le 1 avem f(x)=2x2+x−1\displaystyle f(x)=2x^2+x-1, deci rezolvăm 2x2+x−1≤0\displaystyle 2x^2+x-1\le 0. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅2⋅(−1)=9\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  4. Rădăcinile ecuației 2x2+x−1=0\displaystyle 2x^2+x-1=0 sunt x1=−1−34=−1\displaystyle x_1=\dfrac{-1-3}{4}=-1 și x2=−1+34=12\displaystyle x_2=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{1}{2}.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1,x2=12\displaystyle \quad x_2=\frac{1}{2}
  5. Coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este 2>0\displaystyle 2>0, deci trinomul este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0 între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Intervalul [−1,12]\displaystyle \left[-1,\frac{1}{2}\right] este conținut în (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1], deci toate aceste valori convin pe această ramură.
    2x2+x−1≤0⇔x∈[−1,12]\displaystyle 2x^2+x-1\le 0\Leftrightarrow x\in\left[-1,\frac{1}{2}\right]
  6. Reunim soluțiile de pe cele două ramuri: prima nu are soluții, a doua dă intervalul [−1,12]\displaystyle \left[-1,\frac{1}{2}\right]. Mulțimea soluțiilor inecuației f(x)≤0\displaystyle f(x)\le 0 este [−1,12]\displaystyle \left[-1,\frac{1}{2}\right].
    x∈[−1,12]\displaystyle x\in\left[-1,\frac{1}{2}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.