Bac matematică M3 tehnologic 2025, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a3\displaystyle a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, în care a1=3\displaystyle a_1=3 și a2=10\displaystyle a_2=10.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. Calculăm rația ca diferență dintre a2\displaystyle a_2 și a1\displaystyle a_1: r=a2−a1=10−3\displaystyle r=a_2-a_1=10-3.
    r=a2−a1=10−3=7\displaystyle r=a_2-a_1=10-3=7
  2. Fiecare termen se obține din precedentul adunând rația, deci a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r. Înlocuim valorile: a3=10+7\displaystyle a_3=10+7.
    a3=a2+r=10+7=17\displaystyle a_3=a_2+r=10+7=17
  3. Răspuns final: a3=17\displaystyle a_3=17.
    a3=17\displaystyle a_3=17
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−4\displaystyle f(x)=3x-4 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=a+g(2)\displaystyle f(a)=a+g(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm g(2)\displaystyle g(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2.
    g(2)=2+2=4\displaystyle g(2)=2+2=4
  2. Scriem f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=3x−4\displaystyle f(x)=3x-4.
    g(2)=4\displaystyle g(2)=4, f(a)=3a−4\displaystyle \ f(a)=3a-4
  3. Înlocuim în condiția f(a)=a+g(2)\displaystyle f(a)=a+g(2) valorile găsite și obținem o ecuație liniară în a\displaystyle a.
    3a−4=a+4\displaystyle 3a-4=a+4
  4. Mutăm termenii cu a\displaystyle a în stânga și numerele în dreapta: 3a−a=4+4\displaystyle 3a-a=4+4, deci 2a=8\displaystyle 2a=8. Împărțim la 2\displaystyle 2.
    3a−4=a+4, de unde a=4\displaystyle 3a-4=a+4\text{, de unde } a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(10x−1)=2\displaystyle \log_3(10x-1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 10x−1>0\displaystyle 10x-1>0, adică x>110\displaystyle x>\dfrac{1}{10}.
    x>110\displaystyle x>\dfrac{1}{10}
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡3a=2\displaystyle \log_3 a=2 exact când a=32\displaystyle a=3^2. Obținem 10x−1=32\displaystyle 10x-1=3^2, deci 10x−1=9\displaystyle 10x-1=9.
    10x−1=32, deci 10x−1=9\displaystyle 10x-1=3^{2}\text{, deci }10x-1=9
  3. Rezolvăm ecuația liniară: adunăm 1 în ambii membri și obținem 10x=10\displaystyle 10x=10, apoi împărțim la 10 și rezultă x=1\displaystyle x=1.
    10x=10⇒x=1\displaystyle 10x=10\Rightarrow x=1
  4. Verificăm condiția de existență: 1>110\displaystyle 1>\dfrac{1}{10}, deci soluția convine. Într-adevăr, log⁡3(10⋅1−1)=log⁡39=2\displaystyle \log_3(10\cdot 1-1)=\log_3 9=2.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 45%\displaystyle 45\%, un produs costă 110\displaystyle 110 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al produsului, în lei. Ieftinirea cu 45%\displaystyle 45\% înseamnă că se scade din x\displaystyle x cât reprezintă 45%\displaystyle 45\% din x\displaystyle x, iar rezultatul este 110\displaystyle 110 lei.
    x−45100⋅x=110\displaystyle x-\frac{45}{100}\cdot x=110
  2. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și calculăm diferența dintre 1\displaystyle 1 și 45100\displaystyle \dfrac{45}{100}: rămân 55100\displaystyle \dfrac{55}{100} din preț.
    x(1−45100)=110  ⇒  55100⋅x=110\displaystyle x\left(1-\frac{45}{100}\right)=110\;\Rightarrow\;\frac{55}{100}\cdot x=110
  3. Împărțim 110\displaystyle 110 la 55100\displaystyle \dfrac{55}{100}, adică înmulțim cu inversul fracției: x=110⋅10055=2⋅100\displaystyle x=110\cdot\dfrac{100}{55}=2\cdot 100. Prețul inițial este de 200\displaystyle 200 de lei.
    x=200 de lei\displaystyle x=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4), B(0,−1)\displaystyle B(0,-1), C(8,3)\displaystyle C(8,3). Arătați că AB=AM\displaystyle AB=AM, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm distanța AB\displaystyle AB cu formula AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}. Avem A(0,4)\displaystyle A(0,4) și B(0,−1)\displaystyle B(0,-1), deci AB=02+(−1−4)2=25\displaystyle AB=\sqrt{0^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{25}.
    AB=5\displaystyle AB=5
  2. Punctul M\displaystyle M este mijlocul lui BC\displaystyle BC, deci xM=xB+xC2=0+82=4\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{0+8}{2}=4 și yM=yB+yC2=−1+32=1\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=1.
    M(4,1)\displaystyle M(4,1)
  3. Cu A(0,4)\displaystyle A(0,4) și M(4,1)\displaystyle M(4,1) obținem AM=(4−0)2+(1−4)2=16+9=25=5\displaystyle AM=\sqrt{(4-0)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. Cum AB=5\displaystyle AB=5, rezultă AB=AM\displaystyle AB=AM.
    M(4,1), deci AM=42+32=5, de unde AB=AM\displaystyle M(4,1)\text{, deci }AM=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{, de unde }AB=AM
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=6\displaystyle AB=6 și AC=8\displaystyle AC=8. Arătați că sin⁡C=35\displaystyle \sin C=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6 și AC=8\displaystyle AC=8 și calculăm: BC2=62+82=36+64=100\displaystyle BC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100. Cum BC>0\displaystyle BC>0, obținem BC=10\displaystyle BC=10.
    BC=36+64=100=10\displaystyle BC=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10
  3. În triunghiul dreptunghic, sinusul unghiului C\displaystyle C este raportul dintre cateta opusă unghiului C\displaystyle C, adică AB\displaystyle AB, și ipotenuza BC\displaystyle BC: sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}.
    sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}
  4. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6 și BC=10\displaystyle BC=10, apoi simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem rezultatul cerut.
    sin⁡C=610=35\displaystyle \sin C=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(a3aa2a+3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 3a\\ a & 2a+3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=2\displaystyle \det(A(2))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a): primul rând are elementele 2\displaystyle 2 și 3⋅2\displaystyle 3\cdot 2, iar al doilea rând are elementele 2\displaystyle 2 și 2⋅2+3\displaystyle 2\cdot 2+3.
    A(2)=(23⋅222⋅2+3)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 3\cdot 2\\ 2 & 2\cdot 2+3\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele: 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6 și 2⋅2+3=7\displaystyle 2\cdot 2+3=7.
    A(2)=(2627)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 6\\ 2 & 7\end{pmatrix}
  3. Determinantul de ordin doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(2))=2⋅7−2⋅6\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 7-2\cdot 6.
    det⁡(A(2))=2⋅7−2⋅6\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 7-2\cdot 6
  4. Calculăm produsele: 2⋅7=14\displaystyle 2\cdot 7=14 și 2⋅6=12\displaystyle 2\cdot 6=12, deci det⁡(A(2))=14−12=2\displaystyle \det(A(2))=14-12=2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(2))=14−12=2\displaystyle \det(A(2))=14-12=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(a3aa2a+3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 3a\\ a & 2a+3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(1)⋅A(1)+2I2=xA(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1)+2I_2=xA(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a): a=1\displaystyle a=1, 3a=3\displaystyle 3a=3, 2a+3=5\displaystyle 2a+3=5.
    A(1)=(1315)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 5\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(1)⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1) înmulțind linie cu coloană: 1⋅1+3⋅1=4\displaystyle 1\cdot1+3\cdot1=4, 1⋅3+3⋅5=18\displaystyle 1\cdot3+3\cdot5=18, 1⋅1+5⋅1=6\displaystyle 1\cdot1+5\cdot1=6, 1⋅3+5⋅5=28\displaystyle 1\cdot3+5\cdot5=28.
    A(1)⋅A(1)=(418628)\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}4 & 18\\ 6 & 28\end{pmatrix}
  3. Adunăm 2I2\displaystyle 2I_2 și dăm factor comun 6\displaystyle 6: 6=6⋅1\displaystyle 6=6\cdot1, 18=6⋅3\displaystyle 18=6\cdot3, 6=6⋅1\displaystyle 6=6\cdot1, 30=6⋅5\displaystyle 30=6\cdot5.
    A(1)⋅A(1)+2I2=(418628)+(2002)=(618630)=6(1315)=6A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1)+2I_2=\begin{pmatrix}4 & 18\\ 6 & 28\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 18\\ 6 & 30\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 5\end{pmatrix}=6A(1)
  4. Egalitatea din enunț devine 6A(1)=xA(1)\displaystyle 6A(1)=xA(1). Cum A(1)≠O2\displaystyle A(1)\neq O_2 (de exemplu elementul 1≠0\displaystyle 1\neq0), obținem x=6\displaystyle x=6.
    xA(1)=6A(1), de unde x=6\displaystyle xA(1)=6A(1)\text{, de unde } x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(a)=(a3aa2a+3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 3a\\ a & 2a+3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X⋅A(2)=A(0)\displaystyle A(2)\cdot X\cdot A(2)=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 și a=0\displaystyle a=0 în A(a)\displaystyle A(a): A(2)=(2627)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 6\\ 2 & 7\end{pmatrix} și A(0)=(0003)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
    A(2)=(2627)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 6\\ 2 & 7\end{pmatrix}, A(0)=(0003)\displaystyle \ A(0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Determinantul este det⁡(A(2))=2⋅7−6⋅2=2≠0\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 7-6\cdot 2=2\ne 0, deci A(2)\displaystyle A(2) este inversabilă. Înmulțim egalitatea A(2)⋅X⋅A(2)=A(0)\displaystyle A(2)\cdot X\cdot A(2)=A(0) la stânga și la dreapta cu (A(2))−1\displaystyle (A(2))^{-1} și obținem X=(A(2))−1⋅A(0)⋅(A(2))−1\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(0)\cdot (A(2))^{-1}.
    det⁡(A(2))=2≠0\displaystyle \det(A(2))=2\ne 0, X=(A(2))−1⋅A(0)⋅(A(2))−1\displaystyle \ X=(A(2))^{-1}\cdot A(0)\cdot (A(2))^{-1}
  3. Pentru o matrice (pqrs)\displaystyle \begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix} inversa este 1det⁡(s−q−rp)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}s & -q\\ -r & p\end{pmatrix}. Aici obținem (A(2))−1=12(7−6−22)\displaystyle (A(2))^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}7 & -6\\ -2 & 2\end{pmatrix}, adică (A(2))−1=(72−3−11)\displaystyle (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{2} & -3\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
    (A(2))−1=(72−3−11)\displaystyle (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{7}{2} & -3\\ -1 & 1\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(0)⋅(A(2))−1=(0003)(72−3−11)=(00−33)\displaystyle A(0)\cdot (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{7}{2} & -3\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ -3 & 3\end{pmatrix}.
    A(0)⋅(A(2))−1=(00−33)\displaystyle A(0)\cdot (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ -3 & 3\end{pmatrix}
  5. Atunci X=(A(2))−1⋅(00−33)=(72−3−11)(00−33)=(9−9−33)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\ -3 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{2} & -3\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\ -3 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & -9\\ -3 & 3\end{pmatrix}.
    X=(9−9−33)\displaystyle X=\begin{pmatrix}9 & -9\\ -3 & 3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Arătați că 0∗2=2\displaystyle 0*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în definiție.
    0∗2=0⋅2−2⋅0−2⋅2+6\displaystyle 0*2=0\cdot 2-2\cdot 0-2\cdot 2+6
  3. Calculăm fiecare produs: 0⋅2=0\displaystyle 0\cdot 2=0, 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0, iar 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4. Obținem 0−0−4+6\displaystyle 0-0-4+6.
    0−0−4+6\displaystyle 0-0-4+6
  4. Efectuăm adunările și scăderile: −4+6=2\displaystyle -4+6=2. Deci 0∗2=2\displaystyle 0*2=2, ceea ce trebuia arătat.
    0−0−4+6=2\displaystyle 0-0-4+6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(2x)=6\displaystyle x*(2x)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea de compoziție pentru perechea formată din x\displaystyle x și 2x\displaystyle 2x: în formula x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6 înlocuim pe y\displaystyle y cu 2x\displaystyle 2x.
    x∗(2x)=x⋅2x−2x−2⋅2x+6\displaystyle x*(2x)=x\cdot 2x-2x-2\cdot 2x+6
  2. Efectuăm produsul și înmulțirile, apoi reducem termenii asemenea: −2x−4x=−6x\displaystyle -2x-4x=-6x.
    x∗(2x)=2x2−6x+6\displaystyle x*(2x)=2x^{2}-6x+6
  3. Punem condiția din enunț, x∗(2x)=6\displaystyle x*(2x)=6, și scădem 6\displaystyle 6 din ambii membri.
    2x2−6x+6=6, deci 2x2−6x=0\displaystyle 2x^{2}-6x+6=6\text{, deci }2x^{2}-6x=0
  4. Dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x: ecuația devine 2x(x−3)=0\displaystyle 2x(x-3)=0.
    2x(x−3)=0\displaystyle 2x(x-3)=0
  5. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−3=0\displaystyle x-3=0. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=0 sau x=3\displaystyle x=0\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Știind că e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”, determinați numărul real x\displaystyle x al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *” este 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul 4\displaystyle 4 este simetricul lui x\displaystyle x dacă x∗4=4∗x=e\displaystyle x*4=4*x=e, adică egal cu elementul neutru 3\displaystyle 3. Legea este comutativă, deoarece expresia xy−2x−2y+6\displaystyle xy-2x-2y+6 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci este suficient să scriem x∗4=3\displaystyle x*4=3.
    x∗4=4∗x=3\displaystyle x*4=4*x=3
  2. Înlocuim y=4\displaystyle y=4 în definiția legii: x∗4=x⋅4−2x−2⋅4+6\displaystyle x*4=x\cdot 4-2x-2\cdot 4+6 și egalăm cu 3\displaystyle 3.
    4x−2x−8+6=3\displaystyle 4x-2x-8+6=3
  3. Reducem termenii asemenea: 4x−2x=2x\displaystyle 4x-2x=2x și −8+6=−2\displaystyle -8+6=-2, deci obținem o ecuație liniară.
    2x−2=3\displaystyle 2x-2=3
  4. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri: 2x=5\displaystyle 2x=5, apoi împărțim la 2\displaystyle 2. Numărul căutat este x=52\displaystyle x=\dfrac{5}{2}.
    x=52\displaystyle x=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−2−ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-2-\ln x.

Arătați că f′(x)=(2x−1)(2x+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (2x2)′=4x\displaystyle (2x^{2})'=4x, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0, iar (−ln⁡x)′=−1x\displaystyle (-\ln x)'=-\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=4x−1x\displaystyle f'(x)=4x-\frac{1}{x}
  2. Aducem la numitor comun x\displaystyle x: scriem 4x=4x2x\displaystyle 4x=\dfrac{4x^{2}}{x} și obținem o singură fracție.
    f′(x)=4x2−1x\displaystyle f'(x)=\frac{4x^{2}-1}{x}
  3. Observăm că 4x2=(2x)2\displaystyle 4x^{2}=(2x)^{2} și 1=12\displaystyle 1=1^{2}, deci aplicăm formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), cu a=2x\displaystyle a=2x și b=1\displaystyle b=1. Rezultă expresia cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=4x2−1x=(2x−1)(2x+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{4x^{2}-1}{x}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−2−ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-2-\ln x.

Arătați că lim⁡x→1f(x)+ln⁡x3x−3=43\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)+\ln x}{3x-3}=\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x2−2−ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-2-\ln x în numărător: f(x)+ln⁡x=2x2−2−ln⁡x+ln⁡x=2x2−2\displaystyle f(x)+\ln x=2x^2-2-\ln x+\ln x=2x^2-2.
    f(x)+ln⁡x=2x2−2\displaystyle f(x)+\ln x=2x^{2}-2
  2. Limita devine lim⁡x→12x2−23x−3\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{2x^{2}-2}{3x-3}. Pentru x=1\displaystyle x=1 numărătorul și numitorul sunt 0\displaystyle 0, deci avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→1f(x)+ln⁡x3x−3=lim⁡x→12x2−23x−3\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)+\ln x}{3x-3}=\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-2}{3x-3}
  3. Factorizăm: 2x2−2=2(x2−1)=2(x−1)(x+1)\displaystyle 2x^{2}-2=2(x^{2}-1)=2(x-1)(x+1) și 3x−3=3(x−1)\displaystyle 3x-3=3(x-1).
    lim⁡x→12x2−23x−3=lim⁡x→12(x−1)(x+1)3(x−1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-2}{3x-3}=\lim_{x\to 1}\frac{2(x-1)(x+1)}{3(x-1)}
  4. Pentru x≠1\displaystyle x\neq 1 simplificăm cu x−1\displaystyle x-1 și obținem lim⁡x→12(x+1)3\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{2(x+1)}{3}. Acum înlocuim x=1\displaystyle x=1: 2⋅23=43\displaystyle \dfrac{2\cdot 2}{3}=\dfrac{4}{3}.
    lim⁡x→12(x+1)3=43\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{2(x+1)}{3}=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−2−ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-2-\ln x.

Arătați că 4x2−12≥ln⁡(2x)\displaystyle \frac{4x^2-1}{2}\ge \ln(2x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui 2x2\displaystyle 2x^2 este 4x\displaystyle 4x, iar derivata lui −ln⁡x\displaystyle -\ln x este −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=4x−1x=4x2−1x\displaystyle f'(x)=4x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{4x^{2}-1}{x}
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x>0\displaystyle x>0, numitorul nu se anulează, iar 4x2−1=0\displaystyle 4x^2-1=0 dă x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} (soluția x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2} nu aparține domeniului).
    f′(x)=0⇒x=12\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}
  3. Studiem semnul derivatei. Cum x>0\displaystyle x>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui 4x2−1=(2x−1)(2x+1)\displaystyle 4x^2-1=(2x-1)(2x+1), unde 2x+1>0\displaystyle 2x+1>0. Deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x<12\displaystyle x<\dfrac{1}{2} și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,12]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{2}\right] și crescătoare pe [12,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},+\infty\right).
    f′(x)≤0 pe (0,12], f′(x)≥0 pe [12,+∞)\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pe }\left(0,\dfrac{1}{2}\right]\text{, }f'(x)\ge 0\text{ pe }\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)
  4. Deducem că x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} este punct de minim global, deci f(x)≥f(12)\displaystyle f(x)\ge f\left(\dfrac{1}{2}\right) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Calculăm f(12)=2⋅14−2−ln⁡12=12−2−ln⁡12\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{4}-2-\ln\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-2-\ln\dfrac{1}{2}.
    f(12)=−32−ln⁡12\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}-\ln\dfrac{1}{2}
  5. Folosim ln⁡12=−ln⁡2\displaystyle \ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2, deci −ln⁡12=ln⁡2\displaystyle -\ln\dfrac{1}{2}=\ln 2. Atunci inegalitatea f(x)≥f(12)\displaystyle f(x)\ge f\left(\dfrac{1}{2}\right) devine 2x2−2−ln⁡x≥−32+ln⁡2\displaystyle 2x^2-2-\ln x\ge -\dfrac{3}{2}+\ln 2.
    2x2−2−ln⁡x≥−32+ln⁡2\displaystyle 2x^{2}-2-\ln x\ge -\dfrac{3}{2}+\ln 2
  6. Mutăm termenii: 2x2−2+32=2x2−12=4x2−12\displaystyle 2x^2-2+\dfrac{3}{2}=2x^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4x^2-1}{2}, iar ln⁡x+ln⁡2=ln⁡(2x)\displaystyle \ln x+\ln 2=\ln(2x). Obținem inegalitatea cerută, pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    4x2−12≥ln⁡(2x)\displaystyle \dfrac{4x^{2}-1}{2}\ge\ln(2x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x+2\displaystyle f(x)=e^x+2x+2.

Arătați că ∫01(f(x)−2x) dx=e+1\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x)\,dx=e+1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+2x+2\displaystyle f(x)=e^x+2x+2 în integrand: f(x)−2x=ex+2x+2−2x\displaystyle f(x)-2x=e^x+2x+2-2x. Termenul 2x\displaystyle 2x se reduce, deci f(x)−2x=ex+2\displaystyle f(x)-2x=e^x+2.
    f(x)−2x=ex+2\displaystyle f(x)-2x=e^{x}+2
  2. Integrala devine ∫01(ex+2) dx\displaystyle \int_0^1 (e^x+2)\,dx. O primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar o primitivă a constantei 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x.
    ∫01(ex+2) dx=(ex+2x)∣01\displaystyle \int_0^1 (e^x+2)\,dx=(e^x+2x)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (e1+2⋅1)−(e0+2⋅0)=(e+2)−1\displaystyle (e^1+2\cdot 1)-(e^0+2\cdot 0)=(e+2)-1, deoarece e0=1\displaystyle e^0=1.
    (e+2)−(1+0)=e+2−1\displaystyle (e+2)-(1+0)=e+2-1
  4. Calculăm e+2−1=e+1\displaystyle e+2-1=e+1, adică exact valoarea cerută în enunț.
    e+2−1=e+1\displaystyle e+2-1=e+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x+2\displaystyle f(x)=e^x+2x+2.

Arătați că ∫031f(x)−ex dx=ln⁡2\displaystyle \int_0^3 \frac{1}{f(x)-e^x}\,dx=\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x)−ex\displaystyle f(x)-e^x folosind f(x)=ex+2x+2\displaystyle f(x)=e^x+2x+2. Termenul ex\displaystyle e^x se reduce, deci rămâne 2x+2\displaystyle 2x+2.
    f(x)−ex=2x+2\displaystyle f(x)-e^x=2x+2
  2. Înlocuim în integrală. Pe intervalul [0,3]\displaystyle [0,3], numitorul 2x+2\displaystyle 2x+2 este pozitiv, deci funcția de integrat este bine definită.
    ∫031f(x)−ex dx=∫0312x+2 dx\displaystyle \int_0^3\frac{1}{f(x)-e^x}\,dx=\int_0^3\frac{1}{2x+2}\,dx
  3. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 de la numitor: 2x+2=2(x+1)\displaystyle 2x+2=2(x+1), deci constanta 12\displaystyle \dfrac{1}{2} iese în fața integralei. Primitiva lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe interval.
    ∫0312x+2 dx=12∫031x+1 dx=12ln⁡(x+1)∣03\displaystyle \int_0^3\frac{1}{2x+2}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^3\frac{1}{x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x+1)\Big|_0^3
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 3\displaystyle 3 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0.
    ln⁡42−ln⁡12\displaystyle \frac{\ln 4}{2}-\frac{\ln 1}{2}
  5. Folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2. Obținem ln⁡2\displaystyle \ln 2, adică exact valoarea cerută.
    2ln⁡22−0=ln⁡2\displaystyle \frac{2\ln 2}{2}-0=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x+2\displaystyle f(x)=e^x+2x+2.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫01f(x)ex dx=5+ae\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=5+\frac{a}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim funcția la ex\displaystyle e^x, termen cu termen: f(x)ex=ex+2x+2ex=1+(2x+2)e−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^x}=\dfrac{e^x+2x+2}{e^x}=1+(2x+2)e^{-x}.
    ∫01f(x)ex dx=∫01(1+(2x+2)e−x)dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1\left(1+(2x+2)e^{-x}\right)dx
  2. Separăm integrala în două. Observăm că (−e−x)′=e−x\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}, deci e−xdx=(−e−x)′dx\displaystyle e^{-x}dx=\left(-e^{-x}\right)'dx și putem integra prin părți.
    x∣01+∫01(2x+2)(−e−x)′dx\displaystyle x\Big|_0^1+\int_0^1(2x+2)\left(-e^{-x}\right)'dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți cu u=2x+2\displaystyle u=2x+2 și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}, deci u′=2\displaystyle u'=2: ∫01uv′ dx=uv∣01−∫01u′v dx\displaystyle \int_0^1 uv'\,dx=uv\Big|_0^1-\int_0^1 u'v\,dx.
    ∫01(2x+2)(−e−x)′dx=−(2x+2)e−x∣01+∫012e−x dx\displaystyle \int_0^1(2x+2)\left(-e^{-x}\right)'dx=-(2x+2)e^{-x}\Big|_0^1+\int_0^1 2e^{-x}\,dx
  4. Primitiva lui 2e−x\displaystyle 2e^{-x} este −2e−x\displaystyle -2e^{-x}. Adunând cu x\displaystyle x și cu −(2x+2)e−x\displaystyle -(2x+2)e^{-x}, obținem primitiva totală.
    x−(2x+2)e−x−2e−x∣01=x−(2x+4)e−x∣01\displaystyle x-(2x+2)e^{-x}-2e^{-x}\Big|_0^1=x-(2x+4)e^{-x}\Big|_0^1
  5. Înlocuim limitele. Pentru x=1\displaystyle x=1: 1−6e\displaystyle 1-\dfrac{6}{e}. Pentru x=0\displaystyle x=0: 0−4=−4\displaystyle 0-4=-4. Diferența este 1−6e+4\displaystyle 1-\dfrac{6}{e}+4.
    (1−6e)−(−4)=5−6e\displaystyle \left(1-\frac{6}{e}\right)-(-4)=5-\frac{6}{e}
  6. Comparăm cu forma dată: 5+ae=5−6e\displaystyle 5+\dfrac{a}{e}=5-\dfrac{6}{e}, de unde a=−6\displaystyle a=-6.
    5+ae=5−6e, deci a=−6\displaystyle 5+\frac{a}{e}=5-\frac{6}{e}\text{, deci }a=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.