Bac matematică M3 tehnologic 2018, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați rația progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=3\displaystyle b_1=3 și b4=24\displaystyle b_4=24.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al progresiei geometrice: bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=4\displaystyle n=4 obținem b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}.
    b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}
  2. Înlocuim b1=3\displaystyle b_1=3 și b4=24\displaystyle b_4=24 în relația obținută.
    3⋅q3=24\displaystyle 3\cdot q^{3}=24
  3. Împărțim ambii membri ai egalității la 3\displaystyle 3 și obținem q3=243=8\displaystyle q^{3}=\dfrac{24}{3}=8.
    q3=8\displaystyle q^{3}=8
  4. Deoarece 8=23\displaystyle 8=2^{3}, iar funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, din q3=23\displaystyle q^{3}=2^{3} rezultă q=2\displaystyle q=2.
    q=2\displaystyle q=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(a,2)\displaystyle A(a,2) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3\displaystyle f(x)=x^2-2x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(a,2)\displaystyle A(a,2) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=2\displaystyle f(a)=2, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa a\displaystyle a.
    f(a)=2\displaystyle f(a)=2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției: f(a)=a2−2a+3\displaystyle f(a)=a^{2}-2a+3, deci condiția devine a2−2a+3=2\displaystyle a^{2}-2a+3=2.
    a2−2a+3=2\displaystyle a^{2}-2a+3=2
  3. Aducem toți termenii în membrul stâng, scăzând 2\displaystyle 2 din ambii membri: a2−2a+1=0\displaystyle a^{2}-2a+1=0.
    f(a)=2⇔a2−2a+1=0\displaystyle f(a)=2\Leftrightarrow a^{2}-2a+1=0
  4. Observăm că membrul stâng este pătratul perfect (a−1)2\displaystyle (a-1)^{2}, deci ecuația devine (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0.
    (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0
  5. Un pătrat este zero numai când baza este zero, deci a−1=0\displaystyle a-1=0, de unde a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+1)+log⁡3(x−1)=log⁡38\displaystyle \log_3(x+1)+\log_3(x-1)=\log_3 8.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x+1>0\displaystyle x+1>0 și x−1>0\displaystyle x-1>0. Din a doua condiție rezultă x>1\displaystyle x>1, care o include pe prima.
    x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty)
  2. Folosim formula pentru suma logaritmilor cu aceeași bază: log⁡3a+log⁡3b=log⁡3(a⋅b)\displaystyle \log_3 a+\log_3 b=\log_3(a\cdot b). Ecuația devine log⁡3((x+1)(x−1))=log⁡38\displaystyle \log_3((x+1)(x-1))=\log_3 8.
    log⁡3((x+1)(x−1))=log⁡38\displaystyle \log_3\big((x+1)(x-1)\big)=\log_3 8
  3. Funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale: (x+1)(x−1)=8\displaystyle (x+1)(x-1)=8. Folosind formula diferenței de pătrate, obținem x2−1=8\displaystyle x^{2}-1=8.
    x2−1=8\displaystyle x^{2}-1=8
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: x2=9\displaystyle x^{2}=9, deci x=−3\displaystyle x=-3 sau x=3\displaystyle x=3.
    x=−3 sau x=3\displaystyle x=-3\text{ sau }x=3
  5. Verificăm cu condiția x>1\displaystyle x>1. Valoarea x=−3\displaystyle x=-3 nu este mai mare decât 1\displaystyle 1 (argumentele logaritmilor ar fi negative), deci nu convine. Valoarea x=3\displaystyle x=3 verifică: log⁡34+log⁡32=log⁡38\displaystyle \log_3 4+\log_3 2=\log_3 8. Soluția ecuației este x=3\displaystyle x=3.
    x=−3, care nu verifica˘ \displaystyle x=-3\text{, care nu verifică }ecuația și x=3, care verifica˘ ecuația\displaystyle \text{ecuația și }x=3\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm numărul cu abc‾\displaystyle \overline{abc}, unde a,b,c\displaystyle a,b,c sunt cifre, iar a≠0\displaystyle a\neq 0. Cerința este a⋅b⋅c=7\displaystyle a\cdot b\cdot c=7. Produsul fiind nenul, nicio cifră nu este 0\displaystyle 0.
    a⋅b⋅c=7\displaystyle a\cdot b\cdot c=7, a\displaystyle \ a,b\displaystyle b,c∈{1,2,…,9}\displaystyle c\in\{1,2,\ldots,9\}
  2. Numărul 7\displaystyle 7 este prim, deci fiecare cifră este un divizor al lui 7\displaystyle 7, adică 1\displaystyle 1 sau 7\displaystyle 7.
    a\displaystyle a,b\displaystyle b,c∈{1,7}\displaystyle c\in\{1,7\}
  3. Dacă două cifre ar fi 7\displaystyle 7, produsul ar fi cel puțin 49>7\displaystyle 49>7. Dacă toate cifrele ar fi 1\displaystyle 1, produsul ar fi 1≠7\displaystyle 1\neq 7. Deci exact o cifră este 7\displaystyle 7, iar celelalte două sunt 1\displaystyle 1.
    o cifra˘ 7 și doua˘ cifre 1\displaystyle \text{o cifră }7\text{ și două cifre }1
  4. Plasăm cifra 7\displaystyle 7 pe rând pe fiecare dintre cele trei poziții: 711\displaystyle 711, 171\displaystyle 171, 117\displaystyle 117. Toate au produsul cifrelor 7⋅1⋅1=7\displaystyle 7\cdot1\cdot1=7.
    117\displaystyle 117, 171 și 711\displaystyle \ 171\text{ și }711
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(5,5)\displaystyle B(5,5) și C(7,10)\displaystyle C(7,10). Arătați că AC=2AB\displaystyle AC=2AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(5,5)\displaystyle B(5,5): AB=(5−1)2+(5−2)2=42+32\displaystyle AB=\sqrt{(5-1)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}.
    AB=42+32=16+9\displaystyle AB=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}
  3. Calculăm suma de sub radical: 16+9=25\displaystyle 16+9=25, deci AB=25=5\displaystyle AB=\sqrt{25}=5.
    AB=25=5\displaystyle AB=\sqrt{25}=5
  4. Înlocuim coordonatele punctelor A(1,2)\displaystyle A(1,2) și C(7,10)\displaystyle C(7,10): AC=(7−1)2+(10−2)2=62+82\displaystyle AC=\sqrt{(7-1)^{2}+(10-2)^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}.
    AC=62+82=36+64\displaystyle AC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}
  5. Calculăm suma de sub radical: 36+64=100\displaystyle 36+64=100, deci AC=100=10\displaystyle AC=\sqrt{100}=10.
    AC=100=10\displaystyle AC=\sqrt{100}=10
  6. Comparăm distanțele: AC=10=2⋅5=2⋅AB\displaystyle AC=10=2\cdot 5=2\cdot AB, deci AC=2AB\displaystyle AC=2AB.
    AC=10=2⋅5=2AB\displaystyle AC=10=2\cdot 5=2AB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului MNP\displaystyle MNP, știind că MN=4\displaystyle MN=4 și m(∡N)=m(∡P)=75∘\displaystyle m(\measuredangle N)=m(\measuredangle P)=75^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul MNP\displaystyle MNP are unghiurile ∡N\displaystyle \measuredangle N și ∡P\displaystyle \measuredangle P egale, deci este isoscel cu baza NP\displaystyle NP. Laturile opuse unghiurilor egale sunt egale: MP=MN\displaystyle MP=MN, adică MP=4\displaystyle MP=4.
    MP=MN=4\displaystyle MP=MN=4
  2. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci m(∡M)=180∘−75∘−75∘\displaystyle m(\measuredangle M)=180^\circ-75^\circ-75^\circ. Rezultă m(∡M)=30∘\displaystyle m(\measuredangle M)=30^\circ.
    m(∡M)=180∘−2⋅75∘=30∘\displaystyle m(\measuredangle M)=180^\circ-2\cdot 75^\circ=30^\circ
  3. Folosim formula ariei cu două laturi și sinusul unghiului dintre ele: A=MN⋅MP⋅sin⁡M2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{MN\cdot MP\cdot\sin M}{2}. Știm că sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}. Înlocuim și obținem aria egală cu 4\displaystyle 4.
    AΔMNP=4⋅4⋅122=82=4\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\frac{4\cdot 4\cdot\frac{1}{2}}{2}=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3725)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}, B=(5−7−23)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că 5A−3B=8(0722)\displaystyle 5A-3B=8\begin{pmatrix}0&7\\2&2\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim matricele din enunțul comun în expresia 5A−3B\displaystyle 5A-3B.
    5A−3B=5(3725)−3(5−7−23)\displaystyle 5A-3B=5\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu 5\displaystyle 5 și fiecare element al lui B\displaystyle B cu 3\displaystyle 3.
    (15351025)−(15−21−69)\displaystyle \begin{pmatrix}15&35\\10&25\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15&-21\\-6&9\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele element cu element: 15−15=0\displaystyle 15-15=0, 35−(−21)=56\displaystyle 35-(-21)=56, 10−(−6)=16\displaystyle 10-(-6)=16, 25−9=16\displaystyle 25-9=16.
    (15−1535+2110+625−9)=(0561616)\displaystyle \begin{pmatrix}15-15&35+21\\10+6&25-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&56\\16&16\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun 8\displaystyle 8, deoarece 56=8⋅7\displaystyle 56=8\cdot 7, 16=8⋅2\displaystyle 16=8\cdot 2 și 0=8⋅0\displaystyle 0=8\cdot 0. Obținem egalitatea cerută.
    5A−3B=(0561616)=8(0722)\displaystyle 5A-3B=\begin{pmatrix}0&56\\16&16\end{pmatrix}=8\begin{pmatrix}0&7\\2&2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3725)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}, B=(5−7−23)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că matricea B\displaystyle B este inversa matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea B\displaystyle B este inversa matricei A\displaystyle A dacă A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2 și B⋅A=I2\displaystyle B\cdot A=I_2. Verificăm cele două produse pe rând.
    A⋅B=I2 și B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=I_2\text{ și }B\cdot A=I_2
  2. Scriem produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B: fiecare element se obține înmulțind linia din A\displaystyle A cu coloana din B\displaystyle B și adunând produsele.
    A⋅B=(3⋅5+7⋅(−2)3⋅(−7)+7⋅32⋅5+5⋅(−2)2⋅(−7)+5⋅3)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}3\cdot5+7\cdot(-2)&3\cdot(-7)+7\cdot3\\2\cdot5+5\cdot(-2)&2\cdot(-7)+5\cdot3\end{pmatrix}
  3. Calculăm fiecare element: 15−14=1\displaystyle 15-14=1, −21+21=0\displaystyle -21+21=0, 10−10=0\displaystyle 10-10=0, −14+15=1\displaystyle -14+15=1. Obținem matricea unitate.
    A⋅B=(1001)=I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  4. Scriem produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, deoarece înmulțirea matricelor nu este în general comutativă și trebuie verificat și acest produs.
    B⋅A=(5⋅3+(−7)⋅25⋅7+(−7)⋅5(−2)⋅3+3⋅2(−2)⋅7+3⋅5)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}5\cdot3+(-7)\cdot2&5\cdot7+(-7)\cdot5\\(-2)\cdot3+3\cdot2&(-2)\cdot7+3\cdot5\end{pmatrix}
  5. Calculăm elementele: 15−14=1\displaystyle 15-14=1, 35−35=0\displaystyle 35-35=0, −6+6=0\displaystyle -6+6=0, −14+15=1\displaystyle -14+15=1. Și acest produs este matricea unitate, deci B\displaystyle B este inversa matricei A\displaystyle A.
    B⋅A=(1001)=I2, deci matricea B este inversa matricei A\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\text{, deci matricea }B\text{ este inversa matricei }A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3725)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}, B=(5−7−23)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că xA⋅A−8A=yI2\displaystyle xA\cdot A-8A=yI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că B=A−1\displaystyle B=A^{-1}, adică A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2. Calculăm: A⋅B=(3⋅5+7⋅(−2)3⋅(−7)+7⋅32⋅5+5⋅(−2)2⋅(−7)+5⋅3)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}3\cdot5+7\cdot(-2)&3\cdot(-7)+7\cdot3\\2\cdot5+5\cdot(-2)&2\cdot(-7)+5\cdot3\end{pmatrix}.
    A⋅B=(1001)=I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  2. Înmulțim relația xA⋅A−8A=yI2\displaystyle xA\cdot A-8A=yI_2 la dreapta cu B\displaystyle B: xA⋅A⋅B−8A⋅B=yI2⋅B\displaystyle xA\cdot A\cdot B-8A\cdot B=yI_2\cdot B. Cum A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2, obținem xA−8I2=yB\displaystyle xA-8I_2=yB.
    xA−8I2=yB\displaystyle xA-8I_2=yB
  3. Înlocuim matricele: x(3725)−8(1001)=y(5−7−23)\displaystyle x\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}-8\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}.
    (3x7x2x5x)−(8008)=(5y−7y−2y3y)\displaystyle \begin{pmatrix}3x&7x\\2x&5x\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5y&-7y\\-2y&3y\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare: 3x−8=5y\displaystyle 3x-8=5y, 7x=−7y\displaystyle 7x=-7y, 2x=−2y\displaystyle 2x=-2y, 5x−8=3y\displaystyle 5x-8=3y. Din 7x=−7y\displaystyle 7x=-7y rezultă y=−x\displaystyle y=-x.
    {3x−8=5y7x=−7y2x=−2y5x−8=3y⇒y=−x\displaystyle \begin{cases}3x-8=5y\\7x=-7y\\2x=-2y\\5x-8=3y\end{cases}\Rightarrow y=-x
  5. Înlocuim y=−x\displaystyle y=-x în 3x−8=5y\displaystyle 3x-8=5y: 3x−8=−5x\displaystyle 3x-8=-5x, deci 8x=8\displaystyle 8x=8 și x=1\displaystyle x=1. Atunci y=−1\displaystyle y=-1. Verificăm ultima ecuație: 5⋅1−8=−3=3⋅(−1)\displaystyle 5\cdot1-8=-3=3\cdot(-1), deci este satisfăcută.
    x=1\displaystyle x=1, y=−1\displaystyle \ y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x\ast y=xy-2(x+y)+6.

Demonstrați că x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\ast y=(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, cu paranteza desfăcută: x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\ast y=xy-2x-2y+6.
    x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\ast y=xy-2x-2y+6
  2. Scriem 6\displaystyle 6 ca 4+2\displaystyle 4+2, pentru a pregăti gruparea termenilor și apariția produsului (x−2)(y−2)\displaystyle (x-2)(y-2), care conține termenul constant 4\displaystyle 4.
    x∗y=xy−2x−2y+4+2\displaystyle x\ast y=xy-2x-2y+4+2
  3. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun x\displaystyle x: xy−2x=x(y−2)\displaystyle xy-2x=x(y-2). Grupăm următorii doi termeni și dăm factor comun −2\displaystyle -2: −2y+4=−2(y−2)\displaystyle -2y+4=-2(y-2).
    x∗y=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle x\ast y=x(y-2)-2(y-2)+2
  4. Dăm factor comun (y−2)\displaystyle (y-2) și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\ast y=(x-2)(y-2)+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x\ast y=xy-2(x+y)+6.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care x∗3=2018\displaystyle x\ast 3=2018.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă convenabilă. Observăm că (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci x∗y=xy−2(x+y)+6=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\ast y=xy-2(x+y)+6=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\ast y=(x-2)(y-2)+2
  2. Înlocuim y=3\displaystyle y=3 în această formă și punem condiția ca rezultatul să fie 2018\displaystyle 2018. Cum 3−2=1\displaystyle 3-2=1, ecuația devine (x−2)⋅1+2=2018\displaystyle (x-2)\cdot 1+2=2018.
    (x−2)(3−2)+2=2018\displaystyle (x-2)(3-2)+2=2018
  3. Simplificăm: x−2+2=x\displaystyle x-2+2=x, deci ecuația de gradul întâi are soluția x=2018\displaystyle x=2018.
    x=2018\displaystyle x=2018
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x\ast y=xy-2(x+y)+6.

Calculați log⁡22∗log⁡23∗log⁡24∗…∗log⁡22018\displaystyle \log_2 2\ast\log_2 3\ast\log_2 4\ast\ldots\ast\log_2 2018.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub formă factorizată: x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\ast y=(x-2)(y-2)+2. Într-adevăr, (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci adăugând 2\displaystyle 2 obținem xy−2(x+y)+6\displaystyle xy-2(x+y)+6.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\ast y=(x-2)(y-2)+2
  2. Calculăm x∗2=(x−2)(2−2)+2=(x−2)⋅0+2=2\displaystyle x\ast 2=(x-2)(2-2)+2=(x-2)\cdot 0+2=2. La fel 2∗y=(2−2)(y−2)+2=2\displaystyle 2\ast y=(2-2)(y-2)+2=2, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale. Deci 2\displaystyle 2 absoarbe orice element.
    x∗2=2 și 2∗y=2, pentru orice x\displaystyle x\ast 2=2\text{ și }2\ast y=2\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  3. În șirul de numere apare log⁡24\displaystyle \log_2 4, iar log⁡24=2\displaystyle \log_2 4=2, deoarece 22=4\displaystyle 2^{2}=4.
    log⁡24=2\displaystyle \log_2 4=2
  4. Legea fiind asociativă, putem grupa factorii după dorință. Grupăm primii trei factori, iar restul îi lăsăm separat: ((log⁡22∗log⁡23)∗2)∗(log⁡25∗…∗log⁡22018)\displaystyle ((\log_2 2\ast\log_2 3)\ast 2)\ast(\log_2 5\ast\ldots\ast\log_2 2018).
    ((log⁡22∗log⁡23)∗2)∗(log⁡25∗…∗log⁡22018)\displaystyle ((\log_2 2\ast\log_2 3)\ast 2)\ast(\log_2 5\ast\ldots\ast\log_2 2018)
  5. Expresia (log⁡22∗log⁡23)∗2\displaystyle (\log_2 2\ast\log_2 3)\ast 2 are forma a∗2\displaystyle a\ast 2 cu a\displaystyle a real, deci este egală cu 2\displaystyle 2. Rămâne 2∗(log⁡25∗…∗log⁡22018)\displaystyle 2\ast(\log_2 5\ast\ldots\ast\log_2 2018).
    2∗(log⁡25∗…∗log⁡22018)\displaystyle 2\ast(\log_2 5\ast\ldots\ast\log_2 2018)
  6. Expresia are forma 2∗y\displaystyle 2\ast y cu y=log⁡25∗…∗log⁡22018\displaystyle y=\log_2 5\ast\ldots\ast\log_2 2018 număr real, deci este egală cu 2\displaystyle 2. Așadar rezultatul este 2\displaystyle 2.
    log⁡22∗log⁡23∗log⁡24∗…∗log⁡22018=2\displaystyle \log_2 2\ast\log_2 3\ast\log_2 4\ast\ldots\ast\log_2 2018=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x6−6x+10\displaystyle f(x)=x^6-6x+10.

Arătați că lim⁡x→1f(x)−5x−1=0\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-5}{x-1}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=x6−6x+10\displaystyle f(x)=x^6-6x+10. Obținem 1−6+10=5\displaystyle 1-6+10=5, deci f(x)−5=f(x)−f(1)\displaystyle f(x)-5=f(x)-f(1).
    f(1)=16−6⋅1+10=5\displaystyle f(1)=1^{6}-6\cdot 1+10=5
  2. Limita are forma din definiția derivatei în punctul 1\displaystyle 1. Derivăm funcția: (x6)′=6x5\displaystyle (x^6)'=6x^5, (−6x)′=−6\displaystyle (-6x)'=-6, iar derivata constantei 10\displaystyle 10 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=6x5−6\displaystyle f'(x)=6x^{5}-6, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Deoarece f(1)=5\displaystyle f(1)=5, avem lim⁡x→1f(x)−5x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-5}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}, iar aceasta este, prin definiție, f′(1)\displaystyle f'(1).
    lim⁡x→1f(x)−5x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-5}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)
  4. Calculăm f′(1)=6⋅15−6=6−6=0\displaystyle f'(1)=6\cdot 1^{5}-6=6-6=0. Deci limita este 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    lim⁡x→1f(x)−5x−1=f′(1)=6⋅15−6=0\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-5}{x-1}=f'(1)=6\cdot 1^{5}-6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x6−6x+10\displaystyle f(x)=x^6-6x+10.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (x6)′=6x5\displaystyle (x^{6})'=6x^{5}, (−6x)′=−6\displaystyle (-6x)'=-6, (10)′=0\displaystyle (10)'=0.
    f′(x)=6x5−6\displaystyle f'(x)=6x^{5}-6
  2. Aflăm punctele critice rezolvând ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Din 6x5−6=0\displaystyle 6x^{5}-6=0 obținem x5=1\displaystyle x^{5}=1, iar singura soluție reală este x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  3. Studiem semnul derivatei. Din x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1)\displaystyle x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1) avem f′(x)=6(x−1)(x4+x3+x2+x+1)\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1). Pentru x≠1\displaystyle x\neq 1 factorul al doilea este x5−1x−1\displaystyle \dfrac{x^{5}-1}{x-1}, iar x5−1\displaystyle x^{5}-1 și x−1\displaystyle x-1 au același semn, deci factorul este pozitiv; pentru x=1\displaystyle x=1 el este egal cu 5\displaystyle 5. Prin urmare f′(x)\displaystyle f'(x) are același semn ca x−1\displaystyle x-1.
    x4+x3+x2+x+1>0 pentru orice x∈R, deci sgn⁡f′(x)=sgn⁡(x−1)\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1>0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }\operatorname{sgn}f'(x)=\operatorname{sgn}(x-1)
  4. Concluzie: pentru x≤1\displaystyle x\leq 1 avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1]. Pentru x≥1\displaystyle x\geq 1 avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Punctul x=1\displaystyle x=1 este punct de minim.
    f′(x)≤0, pentru orice x∈(−∞,1], deci f este descresca˘toare pe (−∞,1] și f′(x)≥0, pentru orice x∈[1,+∞), deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\leq0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,1]\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,1]\text{ și }f'(x)\geq0\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x6−6x+10\displaystyle f(x)=x^6-6x+10.

Demonstrați că f(0,9)+f(1,1)≥10\displaystyle f(0{,}9)+f(1{,}1)\geq10.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: f′(x)=6x5−6\displaystyle f'(x)=6x^{5}-6.
    f′(x)=6x5−6\displaystyle f'(x)=6x^{5}-6
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: 6x5−6=0\displaystyle 6x^{5}-6=0, deci x5=1\displaystyle x^{5}=1, adică x=1\displaystyle x=1 (singura soluție reală).
    f′(x)=0  ⟺  x=1\displaystyle f'(x)=0\iff x=1
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru x<1\displaystyle x<1 avem x5<1\displaystyle x^{5}<1, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1]. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x5>1\displaystyle x^{5}>1, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este strict crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f descresca˘toare pe (−∞,1], cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,1]\text{, crescătoare pe }[1,+\infty)
  4. Calculăm f(1)=16−6⋅1+10=5\displaystyle f(1)=1^{6}-6\cdot1+10=5. Deoarece f\displaystyle f scade până la 1\displaystyle 1 și crește după 1\displaystyle 1, avem f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f(x)≥5\displaystyle f(x)\geq5.
    f(x)≥f(1)=5, pentru orice x∈R\displaystyle f(x)\geq f(1)=5\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  5. Aplicăm inegalitatea f(x)≥5\displaystyle f(x)\geq5 pentru x=0,9\displaystyle x=0{,}9 și pentru x=1,1\displaystyle x=1{,}1: f(0,9)≥5\displaystyle f(0{,}9)\geq5 și f(1,1)≥5\displaystyle f(1{,}1)\geq5.
    f(0,9)≥5 și f(1,1)≥5\displaystyle f(0{,}9)\geq5\text{ și }f(1{,}1)\geq5
  6. Adunăm cele două inegalități de același sens: f(0,9)+f(1,1)≥5+5=10\displaystyle f(0{,}9)+f(1{,}1)\geq5+5=10, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(0,9)+f(1,1)≥10\displaystyle f(0{,}9)+f(1{,}1)\geq10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că ∫12f(x)x dx=e(e−1)\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=e(e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^{x} în integrala dată: ∫12f(x)x dx=∫12xexx dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2\frac{xe^{x}}{x}\,dx.
    ∫12f(x)x dx=∫12xexx dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2\frac{xe^{x}}{x}\,dx
  2. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci simplificăm fracția prin x\displaystyle x și obținem ∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx.
    ∫12xexx dx=∫12ex dx\displaystyle \int_1^2\frac{xe^{x}}{x}\,dx=\int_1^2 e^{x}\,dx
  3. O primitivă a lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2.
    ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2
  4. Calculăm ex∣12=e2−e1=e2−e\displaystyle e^{x}\Big|_1^2=e^{2}-e^{1}=e^{2}-e, apoi dăm factor comun pe e\displaystyle e: e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1).
    e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Determinați primitiva F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=0\displaystyle F(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele funcției f\displaystyle f sunt F(x)=∫xex dx\displaystyle F(x)=\int xe^x\,dx, unde c∈R\displaystyle c\in\mathbb{R} apare ca o constantă de integrare. Calculăm integrala prin părți.
    F(x)=∫xex dx+c\displaystyle F(x)=\int xe^x\,dx+c
  2. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx⇒du=dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\Rightarrow du=dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du. Obținem ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x. Deci, dând factor comun ex\displaystyle e^x, avem forma primitivelor.
    F(x)=xex−ex+c=(x−1)ex+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=xe^x-e^x+c=(x-1)e^x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  4. Impunem condiția F(1)=0\displaystyle F(1)=0. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem (1−1)e+c=0\displaystyle (1-1)e+c=0, deci rămâne doar constanta c\displaystyle c.
    (1−1)e+c=0⇒c=0\displaystyle (1-1)e+c=0\Rightarrow c=0
  5. Înlocuim c=0\displaystyle c=0 în F(x)=(x−1)ex+c\displaystyle F(x)=(x-1)e^x+c și obținem primitiva cerută.
    c=0, deci F(x)=(x−1)ex\displaystyle c=0\text{, deci }F(x)=(x-1)e^x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫01f(x)f′(x) dx=12ea\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{2}e^a.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)f′(x)\displaystyle f(x)f'(x) este derivata funcției 12f2(x)\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2}(x), deoarece (f2(x))′=2f(x)f′(x)\displaystyle \left(f^{2}(x)\right)'=2f(x)f'(x).
    (12f2(x))′=f(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=f(x)f'(x)
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva 12f2(x)\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2}(x): ∫01f(x)f′(x) dx=12f2(x)∣01=12f2(1)−12f2(0)\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}f^{2}(1)-\dfrac{1}{2}f^{2}(0).
    ∫01f(x)f′(x) dx=12f2(1)−12f2(0)\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}f^{2}(1)-\dfrac{1}{2}f^{2}(0)
  3. Calculăm f(1)=1⋅e1=e\displaystyle f(1)=1\cdot e^{1}=e și f(0)=0⋅e0=0\displaystyle f(0)=0\cdot e^{0}=0. Atunci integrala este 12e2−0\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{2}-0.
    ∫01f(x)f′(x) dx=12e2\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}e^{2}
  4. Din 12e2=12ea\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{2}=\dfrac{1}{2}e^{a} obținem e2=ea\displaystyle e^{2}=e^{a}, iar cum funcția exponențială este injectivă, rezultă a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.