Bac matematică M3 tehnologic 2026, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3+35):4+110=1\left(3+\frac{3}{5}\right):4+\frac{1}{10}=1
Vezi rezolvarea
  1. Transformăm numărul mixt 3+35\displaystyle 3+\dfrac{3}{5} într-o fracție ordinară, aducând la același numitor.
    3+35=155+35=185\displaystyle 3+\frac{3}{5}=\frac{15}{5}+\frac{3}{5}=\frac{18}{5}
  2. Efectuăm împărțirea la 4\displaystyle 4, transformând-o în înmulțire cu inversul lui 4\displaystyle 4, adică 14\displaystyle \dfrac{1}{4}, și rescriem expresia inițială.
    (3+35):4+110=185⋅14+110\displaystyle \left(3+\frac{3}{5}\right):4+\frac{1}{10}=\frac{18}{5}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{10}
  3. Calculăm produsul fracțiilor și simplificăm rezultatul obținut.
    185⋅14=1820=910\displaystyle \frac{18}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}
  4. Adunăm fracțiile obținute, deoarece au același numitor, și obținem rezultatul final egal cu 1\displaystyle 1.
    910+110=1\displaystyle \frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+6\displaystyle f(x)=3x+6. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(1)+f(a)=2f(0)\displaystyle f(1)+f(a)=2f(0).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul 0\displaystyle 0, folosind formula f(x)=3x+6\displaystyle f(x)=3x+6.
    f(0)=3⋅0+6=6\displaystyle f(0)=3\cdot 0+6=6
  2. Se calculează valoarea funcției în punctul 1\displaystyle 1.
    f(1)=3⋅1+6=9\displaystyle f(1)=3\cdot 1+6=9
  3. Se scrie expresia generală a funcției în punctul a\displaystyle a.
    f(a)=3a+6\displaystyle f(a)=3a+6
  4. Se centralizează valorile calculate ale funcției, necesare pentru scrierea ecuației.
    f(0)=6\displaystyle f(0)=6, f(1)=9\displaystyle \ f(1)=9, f(a)=3a+6, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \ f(a)=3a+6\text{, pentru orice număr real }a
  5. Se calculează membrul drept al ecuației date, folosind valoarea lui f(0)\displaystyle f(0).
    2f(0)=2⋅6=12\displaystyle 2f(0)=2\cdot 6=12
  6. Se înlocuiesc valorile calculate în ecuația f(1)+f(a)=2f(0)\displaystyle f(1)+f(a)=2f(0) și se rezolvă ecuația liniară obținută pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    9+3a+6=12, de unde obținem a=−1\displaystyle 9+3a+6=12\text{, de unde obținem }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−x2=3x\displaystyle \sqrt{4x-x^2}=\sqrt{3x}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență a radicalilor: expresiile de sub radical trebuie să fie nenegative.
    4x−x2≥0 și 3x≥0\displaystyle 4x-x^2\ge 0\text{ și }3x\ge 0
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației (operație permisă deoarece ambii membri sunt nenegativi conform condițiilor de existență), obținându-se o ecuație fără radicali.
    4x−x2=3x\displaystyle 4x-x^2=3x
  3. Se trec toți termenii într-un singur membru și se reduc termenii asemenea pentru a obține o ecuație de gradul al doilea.
    4x−x2=3x⇒x2−x=0\displaystyle 4x-x^2=3x\Rightarrow x^2-x=0
  4. Se factorizează ecuația de gradul al doilea, dând factor comun pe x\displaystyle x.
    x(x−1)=0\displaystyle x(x-1)=0
  5. Se rezolvă ecuația factorizată, obținându-se cele două soluții posibile.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
  6. Se verifică fiecare soluție în ecuația inițială cu radicali și în condițiile de existență. Pentru x=0\displaystyle x=0: 4⋅0−02=0=0\displaystyle \sqrt{4\cdot 0-0^{2}}=\sqrt{0}=0 și 3⋅0=0\displaystyle \sqrt{3\cdot 0}=0, deci egalitatea se verifică. Pentru x=1\displaystyle x=1: 4⋅1−12=3\displaystyle \sqrt{4\cdot 1-1^{2}}=\sqrt{3} și 3⋅1=3\displaystyle \sqrt{3\cdot 1}=\sqrt{3}, deci egalitatea se verifică.
    x=0 verifica˘ ecuația, iar x=1 verifica˘ ecuația\displaystyle x=0\text{ verifică ecuația, iar }x=1\text{ verifică ecuația}
  7. Ambele soluții satisfac condițiile de existență și ecuația inițială, deci sunt soluții valide ale ecuației date.
    x=0 sau x=1, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={0,1,2,…,26}\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,26\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să fie pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie mulțimea A\displaystyle A și se numără elementele acesteia, pentru a determina numărul de cazuri posibile.
    A={0,1,2,…,26}⇒27 de cazuri posibile\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,26\}\Rightarrow 27\text{ de cazuri posibile}
  2. Se identifică elementele mulțimii A\displaystyle A care sunt pătrate perfecte ale unor numere naturale, verificând pătratele numerelor naturale de la 0\displaystyle 0 în sus, atâta timp cât rezultatul rămâne cel mult 26\displaystyle 26.
    02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle \ 1^2=1, 22=4\displaystyle \ 2^2=4, 32=9\displaystyle \ 3^2=9, 42=16\displaystyle \ 4^2=16, 52=25\displaystyle \ 5^2=25, 62=36>26\displaystyle \ 6^2=36>26
  3. Se listează mulțimea cazurilor favorabile (pătratele perfecte din A\displaystyle A) și se numără elementele acesteia.
    {0,1,4,9,16,25}⇒6 cazuri favorabile\displaystyle \{0,1,4,9,16,25\}\Rightarrow 6\text{ cazuri favorabile}
  4. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi se simplifică fracția obținută.
    p=627=29\displaystyle p=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4), B(3,0)\displaystyle B(3,0) și C(4,7)\displaystyle C(4,7). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, care va fi folosită pentru calculul lungimilor laturilor triunghiului.
    d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}
  2. Se calculează lungimea laturii AB\displaystyle AB folosind coordonatele A(0,4)\displaystyle A(0,4) și B(3,0)\displaystyle B(3,0).
    AB=(3−0)2+(0−4)2=9+16=25=5\displaystyle AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  3. Se calculează lungimea laturii AC\displaystyle AC folosind coordonatele A(0,4)\displaystyle A(0,4) și C(4,7)\displaystyle C(4,7).
    AC=(4−0)2+(7−4)2=16+9=25=5\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^2+(7-4)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
  4. Se calculează lungimea laturii BC\displaystyle BC folosind coordonatele B(3,0)\displaystyle B(3,0) și C(4,7)\displaystyle C(4,7).
    BC=(4−3)2+(7−0)2=1+49=50\displaystyle BC=\sqrt{(4-3)^2+(7-0)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}
  5. Se verifică teorema lui Pitagora, calculând pătratele laturilor: BC2\displaystyle BC^{2} trebuie comparat cu suma AB2+AC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}, deoarece BC\displaystyle BC este cea mai lungă latură.
    BC2=50\displaystyle BC^2=50, AB2+AC2=25+25=50\displaystyle \ AB^2+AC^2=25+25=50
  6. Se observă că BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}, deci triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, iar din AB=AC=5\displaystyle AB=AC=5 rezultă că este și isoscel. Se concluzionează că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
    BC=50\displaystyle BC=\sqrt{50}, BC2=50=25+25=AB2+AC2, deci triunghiul ABC este dreptunghic isoscel\displaystyle \ BC^2=50=25+25=AB^2+AC^2\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡60∘+3sin⁡30∘−3cos⁡30∘=0\displaystyle 2\sin 60^\circ+\sqrt{3}\sin 30^\circ-3\cos 30^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia care trebuie demonstrată, pentru a avea clar termenii cu care se va lucra.
    2sin⁡60∘+3sin⁡30∘−3cos⁡30∘\displaystyle 2\sin 60^\circ+\sqrt{3}\sin 30^\circ-3\cos 30^\circ
  2. Se reamintesc valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°\displaystyle 30° și 60°\displaystyle 60°.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Se înlocuiesc valorile în fiecare termen și se efectuează înmulțirile.
    2sin⁡60∘=2⋅32=3\displaystyle 2\sin 60^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, 3sin⁡30∘=3⋅12=32\displaystyle \ \sqrt{3}\sin 30^\circ=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, 3cos⁡30∘=3⋅32=332\displaystyle \ 3\cos 30^\circ=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}
  4. Se adună primii doi termeni obținuți, aducându-i la același numitor.
    2sin⁡60∘+3sin⁡30∘=3+32=232+32=332\displaystyle 2\sin 60^\circ+\sqrt{3}\sin 30^\circ=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}
  5. Se scade termenul rămas și se efectuează calculul final, obținând rezultatul cerut.
    2sin⁡60∘+3sin⁡30∘−3cos⁡30∘=2⋅32+3⋅12−3⋅32=332−332=0\displaystyle 2\sin 60^\circ+\sqrt{3}\sin 30^\circ-3\cos 30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}-3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(2aaaa−2)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a&a\\a&a-2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(4))=0\displaystyle \det(M(4))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea M(a)\displaystyle M(a) și se înlocuiește a=4\displaystyle a=4 în fiecare element al matricei.
    M(a)=(2aaaa−2)⇒M(4)=(2⋅4444−2)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a&a\\a&a-2\end{pmatrix}\Rightarrow M(4)=\begin{pmatrix}2\cdot4&4\\4&4-2\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele din fiecare element pentru a obține matricea numerică M(4)\displaystyle M(4).
    M(4)=(8442)\displaystyle M(4)=\begin{pmatrix}8&4\\4&2\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei M(4)\displaystyle M(4) folosind formula determinantului pentru o matrice de ordin 2, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(4))=∣8442∣=8⋅2−4⋅4\displaystyle \det(M(4))=\begin{vmatrix}8&4\\4&2\end{vmatrix}=8\cdot2-4\cdot4
  4. Se calculează produsele 8⋅2\displaystyle 8\cdot 2 și 4⋅4\displaystyle 4\cdot 4, apoi se efectuează scăderea pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =16−16=0\displaystyle =16-16=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(2aaaa−2)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a&a\\a&a-2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că M(1)⋅M(1)−M(1)=3I2\displaystyle M(1)\cdot M(1)-M(1)=3I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în matricea M(a)\displaystyle M(a) pentru a obține matricea M(1)\displaystyle M(1).
    M(1)=(2⋅1111−2)=(211−1)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2\cdot1&1\\1&1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul M(1)⋅M(1)\displaystyle M(1)\cdot M(1) folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
    M(1)⋅M(1)=(211−1)(211−1)=(2⋅2+1⋅12⋅1+1⋅(−1)1⋅2+(−1)⋅11⋅1+(−1)⋅(−1))=(5112)\displaystyle M(1)\cdot M(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot1&2\cdot1+1\cdot(-1)\\1\cdot2+(-1)\cdot1&1\cdot1+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\1&2\end{pmatrix}
  3. Se scrie diferența M(1)⋅M(1)−M(1)\displaystyle M(1)\cdot M(1)-M(1) folosind matricele obținute anterior.
    M(1)=(211−1)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}, M(1)⋅M(1)−M(1)=(5112)−(211−1)\displaystyle \ M(1)\cdot M(1)-M(1)=\begin{pmatrix}5&1\\1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}
  4. Se efectuează scăderea element cu element și se recunoaște rezultatul ca fiind 3I2\displaystyle 3I_2, confirmând egalitatea cerută.
    =(5−21−11−12−(−1))=(3003)=3I2\displaystyle =\begin{pmatrix}5-2&1-1\\1-1&2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=3I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(2aaaa−2)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a&a\\a&a-2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că numărul N=det⁡(M(n)−3(M(1))−1)\displaystyle N=\det\left(M(n)-3(M(1))^{-1}\right) este natural impar, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, unde (M(1))−1\displaystyle (M(1))^{-1} este inversa matricei M(1)\displaystyle M(1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 obținem M(1)=(211−1)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}. Determinantul este det⁡M(1)=2⋅(−1)−1⋅1=−3≠0\displaystyle \det M(1)=2\cdot(-1)-1\cdot 1=-3\neq 0, deci matricea este inversabilă.
    M(1)=(211−1)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}, det⁡M(1)=−3\displaystyle \ \det M(1)=-3
  2. Inversa se obține din adjunctă împărțită la determinant: (M(1))−1=1−3(−1−1−12)=(131313−23)\displaystyle (M(1))^{-1}=\dfrac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}. Înmulțind cu 3 rezultă 3(M(1))−1\displaystyle 3(M(1))^{-1}.
    3(M(1))−1=(111−2)\displaystyle 3(M(1))^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}
  3. Avem M(n)=(2nnnn−2)\displaystyle M(n)=\begin{pmatrix}2n&n\\n&n-2\end{pmatrix}. Scădem element cu element: M(n)−3(M(1))−1=(2n−1n−1n−1n−2+2)\displaystyle M(n)-3(M(1))^{-1}=\begin{pmatrix}2n-1&n-1\\n-1&n-2+2\end{pmatrix}.
    M(n)−3(M(1))−1=(2n−1n−1n−1n)\displaystyle M(n)-3(M(1))^{-1}=\begin{pmatrix}2n-1&n-1\\n-1&n\end{pmatrix}
  4. Determinantul este N=(2n−1)⋅n−(n−1)(n−1)=2n2−n−(n2−2n+1)\displaystyle N=(2n-1)\cdot n-(n-1)(n-1)=2n^{2}-n-(n^{2}-2n+1). După reducerea termenilor asemenea obținem N=n2+n−1\displaystyle N=n^{2}+n-1.
    N=n2+n−1\displaystyle N=n^{2}+n-1
  5. Scriem N=n(n+1)−1\displaystyle N=n(n+1)-1. Numerele n\displaystyle n și n+1\displaystyle n+1 sunt naturale nenule consecutive, deci au parități diferite și unul dintre ele este par. Atunci n(n+1)\displaystyle n(n+1) este număr par, iar n(n+1)≥2\displaystyle n(n+1)\geq 2, deci N\displaystyle N este natural. Scăzând 1 dintr-un număr par obținem un număr impar, deci N\displaystyle N este natural impar pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*}.
    N=n(n+1)−1 este numa˘r natural impar, \displaystyle N=n(n+1)-1\text{ este număr natural impar, }pentru orice n∈N∗\displaystyle \text{pentru orice }n\in\mathbb{N}^{*}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Arătați că 2∗5=1\displaystyle 2*5=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile pentru care trebuie calculată: x=2\displaystyle x=2, y=5\displaystyle y=5.
    x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12,x=2\displaystyle \quad x=2, y=5\displaystyle \ y=5
  2. Se înlocuiesc x=2\displaystyle x=2 și y=5\displaystyle y=5 în formula legii de compoziție.
    2∗5=2⋅5−3⋅2−3⋅5+12\displaystyle 2*5=2\cdot5-3\cdot2-3\cdot5+12
  3. Se calculează fiecare produs în parte: produsul dintre 2\displaystyle 2 și 5\displaystyle 5, produsul dintre 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2, produsul dintre 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5.
    2⋅5=10\displaystyle 2\cdot5=10,3⋅2=6\displaystyle \quad 3\cdot2=6,3⋅5=15\displaystyle \quad 3\cdot5=15
  4. Se înlocuiesc valorile calculate în expresie și se efectuează adunările și scăderile pentru a obține rezultatul final.
    =10−6−15+12=1\displaystyle =10-6-15+12=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Arătați că e=4\displaystyle e=4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție date, care va fi folosită pentru calculul cerut.
    x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12
  2. Se reamintește condiția ca un element e\displaystyle e să fie element neutru pentru legea „*": trebuie ca x∗e=x\displaystyle x*e=x și e∗x=x\displaystyle e*x=x pentru orice număr real x\displaystyle x. Se verifică dacă e=4\displaystyle e=4 satisface această condiție, calculând mai întâi x∗4\displaystyle x*4 folosind definiția legii, înlocuind y=4\displaystyle y=4.
    x∗4=x⋅4−3x−3⋅4+12\displaystyle x*4=x\cdot 4-3x-3\cdot 4+12
  3. Se efectuează calculele: se înmulțește și se reduc termenii asemenea.
    x∗4=4x−3x−12+12=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*4=4x-3x-12+12=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se calculează acum 4∗x\displaystyle 4*x, înlocuind x=4\displaystyle x=4 și y=x\displaystyle y=x în definiția legii de compoziție.
    4∗x=4⋅x−3⋅4−3x+12\displaystyle 4*x=4\cdot x-3\cdot 4-3x+12
  5. Se efectuează calculele: se reduc termenii asemenea și se obține rezultatul, confirmând astfel că 4\displaystyle 4 este element neutru pentru legea „*".
    4∗x=4x−12−3x+12=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=4 este elementul neutru al \displaystyle 4*x=4x-12-3x+12=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=4\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „*”\displaystyle \text{legii de compoziție „*”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (a−x)∗(a−x)=(a+x)∗(a+x)\displaystyle (a-x)*(a-x)=(a+x)*(a+x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie ipoteza problemei: se cere numărul real a\displaystyle a pentru care (a−x)∗(a−x)=(a+x)∗(a+x)\displaystyle (a-x)*(a-x)=(a+x)*(a+x), oricare ar fi x\displaystyle x real. Se aplică legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12 pentru fiecare dintre cele două expresii, înlocuind x\displaystyle x și y\displaystyle y cu a−x\displaystyle a-x, respectiv cu a+x\displaystyle a+x.
    (a−x)∗(a−x)=(a−x)(a−x)−3(a−x)−3(a−x)+12=(a−x)2−6(a−x)+12\displaystyle (a-x)*(a-x)=(a-x)(a-x)-3(a-x)-3(a-x)+12=(a-x)^2-6(a-x)+12, (a+x)∗(a+x)=(a+x)(a+x)−3(a+x)−3(a+x)+12=(a+x)2−6(a+x)+12, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \ (a+x)*(a+x)=(a+x)(a+x)-3(a+x)-3(a+x)+12=(a+x)^2-6(a+x)+12\text{, pentru orice număr real }x
  2. Se scrie egalitatea cerută de enunț folosind expresiile obținute mai sus, și se dezvoltă pătratele (a−x)2\displaystyle (a-x)^2 și (a+x)2\displaystyle (a+x)^2 pentru a putea simplifica ulterior.
    (a−x)2−6(a−x)+12=(a+x)2−6(a+x)+12\displaystyle (a-x)^2-6(a-x)+12=(a+x)^2-6(a+x)+12, unde (a−x)2=a2−2ax+x2 și (a+x)2=a2+2ax+x2\displaystyle \text{ unde }(a-x)^2=a^2-2ax+x^2\text{ și }(a+x)^2=a^2+2ax+x^2
  3. Se trec toți termenii într-un singur membru și se reduc termenii asemenea: pătratele x2\displaystyle x^2 și a2\displaystyle a^2 se reduc, rămânând termenii care conțin produsul ax\displaystyle ax și termenii liniari în x\displaystyle x proveniți din −6(a−x)\displaystyle -6(a-x) și −6(a+x)\displaystyle -6(a+x).
    (a2−2ax+x2)−6(a−x)+12−(a2+2ax+x2)+6(a+x)−12=0, adica˘ −4ax+12x=0\displaystyle \left(a^2-2ax+x^2\right)-6(a-x)+12-\left(a^2+2ax+x^2\right)+6(a+x)-12=0\text{, adică }-4ax+12x=0
  4. Se scoate factor comun 4x\displaystyle 4x din expresia obținută, ajungând la ecuația echivalentă din barem.
    (a−x)2−6(a−x)+12=(a+x)2−6(a+x)+12\displaystyle (a-x)^2-6(a-x)+12=(a+x)^2-6(a+x)+12, deci 4x(a−3)=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ deci }4x(a-3)=0\text{, pentru orice număr real }x
  5. Pentru ca egalitatea 4x(a−3)=0\displaystyle 4x(a-3)=0 să fie adevărată oricare ar fi numărul real x\displaystyle x (deci și pentru x≠0\displaystyle x\neq 0), este necesar ca factorul a−3\displaystyle a-3 să fie nul, de unde se obține valoarea lui a\displaystyle a.
    (a−x)2−6(a−x)+12=(a+x)2−6(a+x)+12, deci 4x(a−3)=0, pentru orice numa˘r real x, de unde obținem a=3\displaystyle (a-x)^2-6(a-x)+12=(a+x)^2-6(a+x)+12\text{, deci }4x(a-3)=0\text{, pentru orice număr real }x\text{, de unde obținem }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^3}.

Arătați că f′(x)=9−x2x4\displaystyle f'(x)=\dfrac{9-x^2}{x^4}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v din scrierea f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, unde u(x)=x2−3\displaystyle u(x)=x^2-3 și v(x)=x3\displaystyle v(x)=x^3, precum și derivatele lor.
    u(x)=x2−3\displaystyle u(x)=x^2-3, u′(x)=2x;v(x)=x3\displaystyle \ u'(x)=2x;\quad v(x)=x^3, v′(x)=3x2\displaystyle \ v'(x)=3x^2
  2. Se aplică regula de derivare a câtului, f′=u′v−uv′v2\displaystyle f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, înlocuind u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u', v′\displaystyle v' cu expresiile găsite mai sus.
    f′(x)=2x⋅x3−(x2−3)⋅3x2(x3)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot x^3-(x^2-3)\cdot3x^2}{(x^3)^2}
  3. Se calculează separat cei doi termeni ai numărătorului: produsul 2x⋅x3\displaystyle 2x\cdot x^{3} și produsul (x2−3)⋅3x2\displaystyle (x^{2}-3)\cdot 3x^{2}.
    2x⋅x3=2x4;(x2−3)⋅3x2=3x4−9x2\displaystyle 2x\cdot x^3=2x^4;\quad (x^2-3)\cdot3x^2=3x^4-9x^2
  4. Se scade al doilea termen din primul pentru a obține numărătorul complet al derivatei, iar numitorul (x3)2\displaystyle (x^{3})^{2} se scrie ca x6\displaystyle x^{6}.
    f′(x)=2x4−3x4+9x2x6=x2(2x2−3x2+9)x6\displaystyle f'(x)=\frac{2x^4-3x^4+9x^2}{x^6}=\frac{x^2(2x^2-3x^2+9)}{x^6}
  5. Se simplifică fracția prin x2\displaystyle x^{2} (deoarece x>0\displaystyle x>0, deci x2≠0\displaystyle x^{2}\neq 0), obținându-se forma finală a derivatei pe domeniul de definiție.
    =x2(2x2−3x2+9)x6=9−x2x4, x∈(0,+∞)\displaystyle =\frac{x^2(2x^2-3x^2+9)}{x^6}=\frac{9-x^2}{x^4}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^3}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția sub formă de sumă de puteri, pentru a putea deriva mai ușor: f(x)=x2−3x3=x2x3−3x3=1x−3x3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^3} = \dfrac{x^2}{x^3} - \dfrac{3}{x^3} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^3}.
    f(x)=1x−3x3=x−1−3x−3\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}=x^{-1}-3x^{-3}
  2. Se calculează valoarea funcției în punctul x=1\displaystyle x=1, înlocuind direct în expresia inițială a lui f\displaystyle f.
    f(1)=12−313=−21=−2\displaystyle f(1)=\dfrac{1^{2}-3}{1^{3}}=\dfrac{-2}{1}=-2
  3. Se derivează funcția f\displaystyle f folosind regula de derivare a puterilor: (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.
    f′(x)=−x−2+9x−4=−1x2+9x4\displaystyle f'(x)=-x^{-2}+9x^{-4}=-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{9}{x^{4}}
  4. Se calculează valoarea derivatei în punctul x=1\displaystyle x=1, înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(1)=−112+914=−1+9=8\displaystyle f'(1)=-\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{9}{1^{4}}=-1+9=8
  5. Se centralizează rezultatele obținute pentru f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1), necesare pentru scrierea ecuației tangentei.
    f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2, f′(1)=8\displaystyle \ f'(1)=8
  6. Se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, folosind formula y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}), și apoi se aduce la forma explicită.
    y−(−2)=8(x−1)⇒y+2=8x−8⇒y=8x−10\displaystyle y-(-2)=8(x-1)\Rightarrow y+2=8x-8\Rightarrow y=8x-10
  7. Se scrie forma finală a ecuației tangentei, conform formulei aplicate în pasul anterior.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=8x−10\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=8x-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^3}.

Demonstrați că 9f(2x)−f(x)≤4\displaystyle 9f(2x)-f(x)\leq4, pentru orice x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2].
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția sub formă convenabilă pentru derivare și se calculează derivata folosind regula de derivare a câtului.
    f(x)=x2−3x3⇒f′(x)=2x⋅x3−(x2−3)⋅3x2x6=2x2−3(x2−3)x4=9−x2x4\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^3}\Rightarrow f'(x)=\frac{2x\cdot x^3-(x^2-3)\cdot3x^2}{x^6}=\frac{2x^2-3(x^2-3)}{x^4}=\frac{9-x^2}{x^4}
  2. Se determină punctul critic rezolvând ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pe domeniul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=0⇒9−x2=0⇒x2=9⇒x=3 (deoarece x>0)\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow9-x^2=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3\text{ (deoarece }x>0\text{)}
  3. Se studiază semnul derivatei pe cele două subintervale determinate de punctul critic, folosind semnul expresiei 9−x2\displaystyle 9-x^{2} și faptul că x4>0\displaystyle x^{4}>0.
    pentru x∈(0,3], 9−x2≥0⇒f′(x)≥0; pentru x∈[3,+∞), 9−x2≤0⇒f′(x)≤0\displaystyle \text{pentru }x\in(0,3]\text{, }9-x^2\geq0\Rightarrow f'(x)\geq0\text{; pentru }x\in[3,+\infty)\text{, }9-x^2\leq0\Rightarrow f'(x)\leq0
  4. Se conclude monotonia funcției f\displaystyle f pe cele două intervale, conform semnului derivatei stabilit anterior.
    f′(x)=0⇒x=3; pentru orice x∈(0,3]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=3\text{; pentru orice }x\in(0,3], f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe (0,3] și, pentru orice x∈[3,+∞)\displaystyle \ f'(x)\geq0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }(0,3]\text{ și, pentru orice }x\in[3,+\infty), f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle \ f'(x)\leq0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[3,+\infty)
  5. Se stabilește intervalul în care se află 2x\displaystyle 2x atunci când x\displaystyle x aparține intervalului [1,2]\displaystyle [1,2], pentru a putea aplica monotonia lui f\displaystyle f la argumentul 2x\displaystyle 2x.
    x∈[1,2]⇒2x∈[2,4]\displaystyle x\in[1,2]\Rightarrow2x\in[2,4]
  6. Se aplică monotonia lui f\displaystyle f: pe [1,2]\displaystyle [1,2], care este inclus în (0,3]\displaystyle (0,3], f\displaystyle f este crescătoare, deci valoarea minimă se atinge la x=1\displaystyle x=1; astfel f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1) pentru orice x\displaystyle x din [1,2]\displaystyle [1,2].
    x∈[1,2]⊂(0,3], f cresca˘toare⇒f(x)≥f(1), pentru orice x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2]\subset(0,3]\text{, }f\text{ crescătoare}\Rightarrow f(x)\geq f(1)\text{, pentru orice }x\in[1,2]
  7. Se aplică monotonia lui f\displaystyle f pentru argumentul 2x∈[2,4]\displaystyle 2x\in[2,4]: cum f\displaystyle f este crescătoare pe (0,3]\displaystyle (0,3] și descrescătoare pe [3,∞)\displaystyle [3,\infty), valoarea maximă a lui f\displaystyle f pe intervalul [2,4]\displaystyle [2,4] se atinge în x=3\displaystyle x=3, deci f(2x)≤f(3)\displaystyle f(2x)\leq f(3).
    2x∈[2,4], f cresca˘toare pe (0,3] și descresca˘toare pe [3,+∞)⇒f(2x)≤f(3), pentru orice x∈[1,2]\displaystyle 2x\in[2,4]\text{, }f\text{ crescătoare pe }(0,3]\text{ și descrescătoare pe }[3,+\infty)\Rightarrow f(2x)\leq f(3)\text{, pentru orice }x\in[1,2]
  8. Se calculează valorile numerice f(1)\displaystyle f(1) și f(3)\displaystyle f(3) necesare pentru a evalua inegalitatea.
    f(1)=12−313=−2 și f(3)=32−333=627=29\displaystyle f(1)=\frac{1^2-3}{1^3}=-2\text{ și }f(3)=\frac{3^2-3}{3^3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}
  9. Se combină inegalitățile f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1) și f(2x)≤f(3)\displaystyle f(2x)\leq f(3) (după înmulțirea celei de-a doua cu 9\displaystyle 9, deoarece 9>0\displaystyle 9>0, și scăderea primei) pentru a obține inegalitatea cerută, folosind valorile calculate f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2 și f(3)=29\displaystyle f(3)=\dfrac{2}{9}.
    x∈[1,2]⇒2x∈[2,4], deci f(x)≥f(1) și f(2x)≤f(3), pentru orice x∈[1,2] și, cum f(1)=−2 și f(3)=29, obținem 9f(2x)−f(x)≤4, pentru orice x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2]\Rightarrow2x\in[2,4]\text{, deci }f(x)\geq f(1)\text{ și }f(2x)\leq f(3)\text{, pentru orice }x\in[1,2]\text{ și, cum }f(1)=-2\text{ și }f(3)=\frac{2}{9}\text{, obținem }9f(2x)-f(x)\leq4\text{, pentru orice }x\in[1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2+2x+3\displaystyle f(x)=x+2+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}.

Arătați că ∫04(f(x)−2x+3)dx=16\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{4}\left(f(x)-\frac{2}{\sqrt{x+3}}\right)dx=16.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la expresia funcției date în enunț.
    f(x)=x+2+2x+3\displaystyle f(x)=x+2+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}
  2. Se scade termenul cu radical din f(x)\displaystyle f(x), astfel încât acesta să se elimine, obținând o funcție polinomială simplă sub semnul integralei.
    f(x)−2x+3=x+2\displaystyle f(x)-\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}=x+2
  3. Se scrie integrala definită pe intervalul [0,4]\displaystyle [0,4] a diferenței de mai sus, care se reduce la integrala funcției polinomiale x+2\displaystyle x+2.
    ∫04(f(x)−2x+3)dx=∫04(x+2)dx\displaystyle \int_{0}^{4}\left(f(x)-\frac{2}{\sqrt{x+3}}\right)dx=\int_{0}^{4}(x+2)dx
  4. Se determină o primitivă a funcției x+2\displaystyle x+2, folosind formulele uzuale de integrare pentru funcții polinomiale.
    ∫(x+2)dx=x22+2x+C\displaystyle \int (x+2)dx=\frac{x^2}{2}+2x+C
  5. Se aplică Formula Leibniz-Newton, scriind explicit primitiva evaluată la capetele intervalului [0,4]\displaystyle [0,4].
    ∫04(x+2)dx=x22∣04+2x∣04\displaystyle \int_{0}^{4}(x+2)dx=\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{4}+2x\Big|_{0}^{4}
  6. Se calculează valorile fiecărui termen la capetele intervalului: pentru x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} se obține 162−0=8\displaystyle \dfrac{16}{2}-0=8, iar pentru 2x\displaystyle 2x se obține 2⋅4−2⋅0=8\displaystyle 2\cdot4-2\cdot0=8.
    422−022=8 și 2⋅4−2⋅0=8\displaystyle \frac{4^2}{2}-\frac{0^2}{2}=8\text{ și }2\cdot4-2\cdot0=8
  7. Se însumează cele două rezultate obținute, ajungând la valoarea finală a integralei.
    =8+8=16\displaystyle =8+8=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2+2x+3\displaystyle f(x)=x+2+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}.

Arătați că ∫16(f(x)−x−2)dx=4\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{6}(f(x)-x-2)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența f(x)−x−2\displaystyle f(x)-x-2, simplificând expresia de sub integrală.
    f(x)−x−2=(x+2+2x+3)−x−2=2x+3\displaystyle f(x)-x-2=\left(x+2+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}\right)-x-2=\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}
  2. Se scrie integrala definită care trebuie calculată, folosind rezultatul simplificării anterioare.
    ∫16(f(x)−x−2) dx=∫162x+3 dx\displaystyle \int_{1}^{6}(f(x)-x-2)\,dx=\int_{1}^{6}\frac{2}{\sqrt{x+3}}\,dx
  3. Se observă că derivata expresiei de sub radical este (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1, deci se poate scrie funcția de integrat ca o constantă înmulțită cu forma unei derivate compuse a radicalului.
    2x+3=4⋅(x+3)′2x+3\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x+3}}=4\cdot\frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}
  4. Se rescrie integrala folosind forma recunoscută, obținând integrala tip derivată de radical.
    ∫16(f(x)−x−2)dx=∫162x+3dx=4∫16(x+3)′2x+3dx\displaystyle \int_{1}^{6}(f(x)-x-2)dx=\int_{1}^{6}\frac{2}{\sqrt{x+3}}dx=4\int_{1}^{6}\frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}dx
  5. Se folosește faptul că (x+3)′=(x+3)′2x+3\displaystyle \left(\sqrt{x+3}\right)'=\dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}, deci o primitivă a integrandului este x+3\displaystyle \sqrt{x+3}, iar integrala definită se calculează cu Formula Leibniz-Newton.
    4∫16(x+3)′2x+3dx=4x+3∣16\displaystyle 4\int_{1}^{6}\frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}dx=4\sqrt{x+3}\Big|_{1}^{6}
  6. Se calculează valorile primitivei la capetele intervalului: pentru x=6\displaystyle x=6, 6+3=9=3\displaystyle \sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3, iar pentru x=1\displaystyle x=1, 1+3=4=2\displaystyle \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
    4x+3∣16=4⋅3−4⋅2\displaystyle 4\sqrt{x+3}\Big|_{1}^{6}=4\cdot3-4\cdot2
  7. Se efectuează calculele finale și se obține valoarea integralei.
    =12−8=4\displaystyle =12-8=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2+2x+3\displaystyle f(x)=x+2+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫−21f′(x)(1+1f(x))dx=ln⁡(2ea)\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1}f'(x)\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)dx=\ln\left(2e^a\right).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, necesară pentru scrierea integralei date.
    f′(x)=1−1(x+3)3\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{(x+3)^3}}
  2. Se calculează valorile funcției f\displaystyle f la capetele intervalului de integrare, pentru a putea evalua primitivele găsite.
    f(−2)=−2+2+21=2\displaystyle f(-2)=-2+2+\frac{2}{\sqrt{1}}=2,f(1)=1+2+24=4\displaystyle \quad f(1)=1+2+\frac{2}{\sqrt{4}}=4
  3. Se observă că f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pe intervalul [−2,1]\displaystyle [-2,1] (fiind cuprins între valorile pozitive 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4, iar f\displaystyle f este continuă), deci se poate scrie ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x) în calculul logaritmului.
    f(x)>0\displaystyle f(x)>0, ∀x∈[−2,1]⇒∣f(x)∣=f(x)\displaystyle \ \forall x\in[-2,1]\Rightarrow |f(x)|=f(x)
  4. Se descompune integrala dată în suma dintre integrala derivatei lui f și integrala raportului f′(x)f(x)\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}, apoi se aplică formula Leibniz-Newton folosind primitivele f(x)\displaystyle f(x) și ln⁡∣f(x)∣\displaystyle \ln|f(x)|, evaluate la capetele intervalului cu valorile calculate anterior.
    ∫−21f′(x)(1+1f(x))dx=(f(1)−f(−2))+(ln⁡f(1)−ln⁡f(−2))=(4−2)+(ln⁡4−ln⁡2)=2+ln⁡2\displaystyle \int_{-2}^{1}f'(x)\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)dx=\left(f(1)-f(-2)\right)+\left(\ln f(1)-\ln f(-2)\right)=(4-2)+(\ln4-\ln2)=2+\ln2
  5. Se egalează rezultatul obținut cu membrul drept al ecuației date, ln⁡(2ea)\displaystyle \ln(2e^a), descompunând logaritmul unui produs în sumă de logaritmi, apoi se rezolvă ecuația obținută pentru a\displaystyle a.
    ln⁡(2ea)=ln⁡2+ln⁡(ea)=ln⁡2+a⇒2+ln⁡2=a+ln⁡2⇒a=2\displaystyle \ln(2e^{a})=\ln2+\ln(e^{a})=\ln2+a\Rightarrow 2+\ln2=a+\ln2\Rightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.