Bac matematică M3 tehnologic 2024, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(0{,}2+\frac{3}{10}\right)\cdot 10=5

.

Vezi rezolvarea

Scriem fracția $\displaystyle \dfrac{3}{10}$ ca număr zecimal: $\displaystyle \dfrac{3}{10}=0{,}3$ .
$\displaystyle \frac{3}{10}=0{,}3$
Înlocuim fracția din paranteză cu $\displaystyle 0{,}3$ și obținem expresia $\displaystyle (0{,}2+0{,}3)\cdot 10$ .
$\displaystyle (0{,}2+0{,}3)\cdot 10$
Adunăm numerele din paranteză: $\displaystyle 0{,}2+0{,}3=0{,}5$ .
$\displaystyle 0{,}2+0{,}3=0{,}5$
Înmulțim $\displaystyle 0{,}5$ cu $\displaystyle 10$ , deci mutăm virgula o poziție spre dreapta, și obținem $\displaystyle 5$ , adică exact egalitatea cerută.
$\displaystyle 0{,}5\cdot 10=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+3

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle f(a)=7

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim variabila $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în expresia funcției $\displaystyle f(x)=2x+3$ și obținem $\displaystyle f(a)=2a+3$ .
$\displaystyle f(a)=2a+3$
Punem condiția din enunț, $\displaystyle f(a)=7$ , și obținem ecuația $\displaystyle 2a+3=7$ .
$\displaystyle 2a+3=7$
Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri ai ecuației și obținem $\displaystyle 2a=4$ .
$\displaystyle 2a=7-3=4$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle a=2$ . Verificare: $\displaystyle f(2)=2\cdot 2+3=7$ .
$\displaystyle a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2+2x+4}=2

.

Vezi rezolvarea

Membrul drept este $\displaystyle 2>0$ , deci putem ridica ecuația la pătrat. Obținem $\displaystyle x^{2}+2x+4=2^{2}$ , adică $\displaystyle x^{2}+2x+4=4$ .
$\displaystyle x^{2}+2x+4=4$
Scădem 4 din ambii membri: $\displaystyle x^{2}+2x=0$ . Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ : $\displaystyle x(x+2)=0$ .
$\displaystyle x^{2}+2x=0\Rightarrow x(x+2)=0$
Produsul este nul dacă $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x+2=0$ , deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x=-2$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=-2$
Verificăm. Pentru $\displaystyle x=0$ : $\displaystyle \sqrt{0+0+4}=\sqrt{4}=2$ . Pentru $\displaystyle x=-2$ : $\displaystyle \sqrt{4-4+4}=\sqrt{4}=2$ . Ambele valori verifică ecuația.
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=-2\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o scumpire cu

\displaystyle 50\%

, prețul unui obiect este de

\displaystyle 225

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul obiectului înainte de scumpire, în lei. Scumpirea cu $\displaystyle 50\%$ înseamnă că prețul crește cu $\displaystyle \dfrac{50}{100}\cdot x$ .
$\displaystyle \text{creșterea}=\frac{50}{100}\cdot x$
Prețul după scumpire este prețul inițial plus creșterea și este egal cu $\displaystyle 225$ de lei. Scriem ecuația.
$\displaystyle x+\frac{50}{100}\cdot x=225$
Simplificăm fracția $\displaystyle \dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}$ . Ecuația devine $\displaystyle x+\dfrac{x}{2}=225$ .
$\displaystyle x+\frac{x}{2}=225$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle x+\dfrac{x}{2}=\dfrac{3x}{2}$ , deci $\displaystyle \dfrac{3x}{2}=225$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle 3x=450$ , apoi împărțim la $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x=\frac{450}{3}=150$
Prețul obiectului înainte de scumpire este $\displaystyle 150$ de lei. Verificare: $\displaystyle 150+75=225$ .
$\displaystyle x=150\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,3)

,

\displaystyle B(5,0)

și

\displaystyle C(5,5)

. Arătați că triunghiul

\displaystyle ABC

este isoscel.

Vezi rezolvarea

Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru $\displaystyle M(x_1,y_1)$ și $\displaystyle N(x_2,y_2)$ avem $\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ . Un triunghi este isoscel dacă are două laturi egale, deci calculăm lungimile laturilor.
$\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Calculăm $\displaystyle AB$ cu $\displaystyle A(1,3)$ și $\displaystyle B(5,0)$ : diferența absciselor este $\displaystyle 5-1=4$ , iar a ordonatelor este $\displaystyle 0-3=-3$ . Obținem $\displaystyle AB=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{16+9}=5$
Calculăm și $\displaystyle AC$ cu $\displaystyle A(1,3)$ și $\displaystyle C(5,5)$ : diferențele sunt $\displaystyle 5-1=4$ și $\displaystyle 5-3=2$ . Obținem $\displaystyle AC=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ , care este diferit de $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
Calculăm $\displaystyle BC$ cu $\displaystyle B(5,0)$ și $\displaystyle C(5,5)$ : punctele au aceeași abscisă, deci $\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25}=5$ . Cum $\displaystyle AB=BC=5$ , triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel, cu baza $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle BC=5\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=3

și

\displaystyle BC=5

. Arătați că

\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{4}{3}

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC$ . Scriem teorema lui Pitagora: $\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ .
$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$
Înlocuim valorile cunoscute $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle BC=5$ în relația lui Pitagora: $\displaystyle 5^{2}=3^{2}+AC^{2}$ .
$\displaystyle 25=9+AC^{2}$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle AC^{2}=25-9=16$ . Cum $\displaystyle AC$ este o lungime, deci pozitivă, obținem $\displaystyle AC=4$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{16}=4$
În triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ , tangenta unghiului $\displaystyle B$ este raportul dintre cateta opusă lui $\displaystyle B$ , adică $\displaystyle AC$ , și cateta alăturată, adică $\displaystyle AB$ : $\displaystyle \operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{AB}$ .
$\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{AC}{AB}$
Înlocuim $\displaystyle AC=4$ și $\displaystyle AB=3$ și obținem $\displaystyle \operatorname{tg}B=\dfrac{4}{3}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(2))=4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în matricea $\displaystyle A(x)$ . Cum $\displaystyle 2^{2}=4$ , obținem matricea $\displaystyle A(2)$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$
Scriem determinantul de ordin $\displaystyle 2$ al matricei $\displaystyle A(2)$ și aplicăm formula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&0\\0&4\end{vmatrix}=4\cdot 1-0\cdot 0$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 4\cdot 1=4$ , iar $\displaystyle 0\cdot 0=0$ , deci determinantul este $\displaystyle 4$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle 4-0=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(3)+2A(1)=3A(2)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ în $\displaystyle A(x)$ și calculăm puterile lui $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2^3=8$ , $\displaystyle 2^1=2$ , $\displaystyle 2^2=4$ .
$\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}1&0\\0&8\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 2A(1)$ , înmulțind fiecare element al matricei cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle A(3)$ și $\displaystyle 2A(1)$ , element cu element.
$\displaystyle A(3)+2A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&12\end{pmatrix}$
Dăm factor comun $\displaystyle 3$ în matricea obținută și recunoaștem matricea $\displaystyle A(2)$ . Astfel, egalitatea $\displaystyle A(3)+2A(1)=3A(2)$ este demonstrată.
$\displaystyle \begin{pmatrix}3&0\\0&12\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}=3A(2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle A(x)\cdot A(x^2)=I_2

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(x)$ și $\displaystyle A(x^2)$ explicit, înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x^2$ în a doua matrice.
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{x}\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(x^{2})=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{x^{2}}\end{pmatrix}$
Înmulțim cele două matrice diagonale: pe diagonală se înmulțesc elementele corespunzătoare, iar în afara diagonalei rămân zerouri. Folosim regula $\displaystyle 2^{a}\cdot 2^{b}=2^{a+b}$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(x^{2})=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{x}\cdot 2^{x^{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{x+x^{2}}\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x$
Egalăm produsul cu matricea unitate $\displaystyle I_2$ . Elementele de pe poziția $\displaystyle (1,1)$ și cele din afara diagonalei sunt deja egale, deci rămâne doar condiția de pe poziția $\displaystyle (2,2)$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&2^{x+x^{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\Leftrightarrow 2^{x+x^{2}}=1$
Scriem $\displaystyle 1=2^{0}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci exponenții sunt egali.
$\displaystyle 2^{x+x^{2}}=2^{0}\Leftrightarrow x^{2}+x=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ și anulăm fiecare factor: $\displaystyle x(x+1)=0$ . Obținem soluțiile.
$\displaystyle x(x+1)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2

.

Arătați că

\displaystyle 2\circ 3=3

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: $\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2$ , pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2$
Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=3$ în definiție.
$\displaystyle 2\circ 3=2\cdot 3-2-3+2$
Calculăm produsul $\displaystyle 2\cdot 3=6$ și apoi efectuăm operațiile: $\displaystyle 6-2-3+2=3$ . Deci $\displaystyle 2\circ 3=3$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 2\circ 3=6-2-3+2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x\circ 4=x+6

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în definiția legii $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 4$ : $\displaystyle x\circ 4=x\cdot 4-x-4+2$ .
$\displaystyle x\circ 4=x\cdot 4-x-4+2$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 4x-x=3x$ și $\displaystyle -4+2=-2$ , deci $\displaystyle x\circ 4=3x-2$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x\circ 4=3x-2$
Scriem ecuația din enunț, $\displaystyle x\circ 4=x+6$ , folosind expresia obținută: $\displaystyle 3x-2=x+6$ .
$\displaystyle 3x-2=x+6$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și numerele în dreapta: $\displaystyle 3x-x=6+2$ , adică $\displaystyle 2x=8$ .
$\displaystyle 2x=8$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x=4$ , valoarea căutată.
$\displaystyle x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2

.

Arătați că

\displaystyle (x-2)\circ(x+2)\ge -3

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția $\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x-2$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x+2$ .
$\displaystyle (x-2)\circ(x+2)=(x-2)(x+2)-(x-2)-(x+2)+2$
Folosim $\displaystyle (x-2)(x+2)=x^{2}-4$ , desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}-4-x+2-x-2+2$ .
$\displaystyle (x-2)\circ(x+2)=x^{2}-4-x+2-x-2+2=x^{2}-2x-2$
Formăm un pătrat perfect: $\displaystyle x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ , deci scriem $\displaystyle -2=1-3$ .
$\displaystyle x^{2}-2x-2=(x^{2}-2x+1)-3=(x-1)^{2}-3$
Cum $\displaystyle (x-1)^{2}\ge 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, obținem $\displaystyle (x-1)^{2}-3\ge -3$ . Inegalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle (x-2)\circ(x+2)=(x-1)^{2}-3\ge -3\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2-3}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{e^x\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2-3\right)^2}

,

\displaystyle x\in(2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile pe $\displaystyle (2,+\infty)$ , iar numitorul nu se anulează, deoarece $\displaystyle x^{2}-3>1$ . Folosim formula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
Alegem $\displaystyle u(x)=e^{x}$ și $\displaystyle v(x)=x^{2}-3$ . Atunci $\displaystyle u'(x)=e^{x}$ și $\displaystyle v'(x)=2x$ .
$\displaystyle u'(x)=e^{x}$ , $\displaystyle \quad v'(x)=2x$
Înlocuim în formula de derivare a câtului: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(x^{2}-3\right)-e^{x}\cdot 2x}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(x^{2}-3\right)-e^{x}\cdot 2x}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ la numărător: $\displaystyle e^{x}\left(x^{2}-3-2x\right)=e^{x}\left(x^{2}-2x-3\right)$ . Astfel egalitatea cerută este demonstrată pentru orice $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(x^{2}-2x-3\right)}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}\text{, }x\in(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2-3}

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{xf(x)}{e^x}=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}-3}$ în expresia de sub limită: $\displaystyle \dfrac{xf(x)}{e^{x}}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\cdot\frac{e^{x}}{x^{2}-3}}{e^{x}}$
Simplificăm prin $\displaystyle e^{x}$ , care apare la numărător și la numitor, deci rămâne $\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}-3}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}-3}$
Scoatem $\displaystyle x^{2}$ factor comun la numitor: $\displaystyle x^{2}-3=x^{2}\left(1-\dfrac{3}{x^{2}}\right)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right)}$
Simplificăm prin $\displaystyle x$ (la $\displaystyle +\infty$ , $\displaystyle x\neq 0$ ), deci $\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}}=\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right)}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{3}{x^{2}}\to 0$ , deci paranteza tinde la $\displaystyle 1$ , iar numitorul $\displaystyle x\left(1-\dfrac{3}{x^{2}}\right)\to+\infty$ . Fracția cu numărătorul $\displaystyle 1$ tinde deci la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right)}=\frac{1}{+\infty}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2-3}

.

Demonstrați că

\displaystyle \frac{e^{x-3}}{x^2-3}\ge\frac{1}{6}

, pentru orice

\displaystyle x\in(2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle e^{x-3}=\dfrac{e^{x}}{e^{3}}$ , deci $\displaystyle \dfrac{e^{x-3}}{x^{2}-3}=\dfrac{f(x)}{e^{3}}$ . Inegalitatea cerută este echivalentă cu $\displaystyle f(x)\ge\dfrac{e^{3}}{6}$ , deci este suficient să aflăm minimul lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (2,+\infty)$ .
$\displaystyle \frac{e^{x-3}}{x^{2}-3}\ge\frac{1}{6}\iff f(x)\ge\frac{e^{3}}{6}$
Derivăm $\displaystyle f$ cu formula câtului: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}-3)-e^{x}\cdot 2x}{(x^{2}-3)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}(x^{2}-3)-e^{x}\cdot 2x}{(x^{2}-3)^{2}}$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ la numărător: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}-2x-3)}{(x^{2}-3)^{2}}$ . Descompunem $\displaystyle x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}(x-3)(x+1)}{(x^{2}-3)^{2}}$
Studiem semnul derivei pe $\displaystyle (2,+\infty)$ . Factorii $\displaystyle e^{x}$ , $\displaystyle x+1$ și numitorul $\displaystyle (x^{2}-3)^{2}$ sunt pozitivi, deci semnul lui $\displaystyle f'$ este dat de $\displaystyle x-3$ . Rezultă $\displaystyle f'(x)=0\iff x=3$ , $\displaystyle f'(x)\le 0$ pe $\displaystyle (2,3]$ și $\displaystyle f'(x)\ge 0$ pe $\displaystyle [3,+\infty)$ . Deci $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (2,3]$ și crescătoare pe $\displaystyle [3,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=0\iff x=3;\ f'(x)\le 0\text{ pe }(2,3]\Rightarrow f\text{ descrescătoare};\ f'(x)\ge 0\text{ pe }[3,+\infty)\Rightarrow f\text{ crescătoare}$
Calculăm $\displaystyle f(3)=\dfrac{e^{3}}{3^{2}-3}=\dfrac{e^{3}}{6}$ . Cum $\displaystyle f$ scade până în $\displaystyle 3$ și crește după $\displaystyle 3$ , punctul $\displaystyle x=3$ este punct de minim, deci $\displaystyle f(x)\ge f(3)$ pentru orice $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f(x)\ge f(3)=\frac{e^{3}}{6}$
Împărțim inegalitatea $\displaystyle \dfrac{e^{x}}{x^{2}-3}\ge\dfrac{e^{3}}{6}$ la $\displaystyle e^{3}>0$ și obținem inegalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle \frac{e^{x-3}}{x^{2}-3}\ge\frac{1}{6}$ , $\displaystyle \ \text{pentru orice }x\in(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_2^4\left(f(x)-\ln x\right)dx=6

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x+\ln x$ în integrala dată.
$\displaystyle \int_2^4\left(f(x)-\ln x\right)dx=\int_2^4\left(x+\ln x-\ln x\right)dx$
Reducem termenii $\displaystyle \ln x$ și $\displaystyle -\ln x$ , deci rămâne doar $\displaystyle x$ sub integrală.
$\displaystyle \int_2^4\left(x+\ln x-\ln x\right)dx=\int_2^4 x\,dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ , deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_2^4 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_2^4$
Calculăm diferența dintre valoarea în $\displaystyle 4$ și valoarea în $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \frac{4^2}{2}-\frac{2^2}{2}=\frac{16}{2}-\frac{4}{2}$
Obținem $\displaystyle 8-2=6$ , deci egalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle \frac{16}{2}-\frac{4}{2}=8-2=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)-x}{x}dx=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x+\ln x$ în integrală: $\displaystyle \dfrac{f(x)-x}{x}=\dfrac{x+\ln x-x}{x}$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)-x}{x}\,dx=\int_1^e\frac{x+\ln x-x}{x}\,dx$
La numărător $\displaystyle x$ și $\displaystyle -x$ se reduc, deci rămâne $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx$
Observăm că $\displaystyle \dfrac{1}{x}=(\ln x)'$ , deci integrandul este $\displaystyle \ln x\cdot(\ln x)'$ . Cu substituția $\displaystyle t=\ln x$ obținem primitiva $\displaystyle \dfrac{t^{2}}{2}$ , adică $\displaystyle \dfrac{(\ln x)^{2}}{2}$ .
$\displaystyle \int_1^e\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big|_1^e$
Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim $\displaystyle \ln e=1$ , $\displaystyle \ln 1=0$ : $\displaystyle \dfrac{(\ln e)^{2}}{2}-\dfrac{(\ln 1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}-0$ .
$\displaystyle \frac{(\ln e)^{2}}{2}-\frac{(\ln 1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\ln x

.

Determinați numărul natural nenul

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle \int_1^n f(x)dx=2+3\ln n

.

Vezi rezolvarea

Cum $\displaystyle f(x)=x+\ln x$ , separăm integrala în două: integrala lui $\displaystyle x$ și integrala lui $\displaystyle \ln x$ .
$\displaystyle \int_1^n f(x)\,dx=\int_1^n x\,dx+\int_1^n \ln x\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ , deci aplicăm formula Leibniz-Newton pe $\displaystyle [1,n]$ .
$\displaystyle \int_1^n x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^n=\frac{n^{2}-1}{2}$
Scriem $\displaystyle \ln x=x'\ln x$ și integrăm prin părți: $\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-x$ . Apoi evaluăm între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle n$ .
$\displaystyle \int_1^n \ln x\,dx=(x\ln x-x)\Big|_1^n=n\ln n-n+1$
Adunăm: $\displaystyle \dfrac{n^{2}-1}{2}+n\ln n-n+1$ . Aducem la același numitor: $\displaystyle \dfrac{n^{2}-1-2n+2}{2}=\dfrac{n^{2}-2n+1}{2}=\dfrac{(n-1)^{2}}{2}$ .
$\displaystyle \int_1^n f(x)\,dx=\frac{n^{2}-2n+1}{2}+n\ln n=\frac{(n-1)^{2}}{2}+n\ln n$
Ecuația este $\displaystyle \dfrac{(n-1)^{2}}{2}+n\ln n=2+3\ln n$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle (n-1)^{2}+2n\ln n=4+6\ln n$ . Mutăm totul în stânga și grupăm termenii cu $\displaystyle \ln n$ .
$\displaystyle n^{2}-2n-3+2(n-3)\ln n=0$
Avem $\displaystyle n^{2}-2n-3=(n-3)(n+1)$ . Atunci ambii termeni conțin factorul $\displaystyle n-3$ , pe care îl scoatem în față.
$\displaystyle (n-3)(n+1+2\ln n)=0$
Pentru $\displaystyle n\ge 1$ avem $\displaystyle n+1>0$ și $\displaystyle \ln n\ge 0$ , deci $\displaystyle n+1+2\ln n>0$ . Rămâne $\displaystyle n-3=0$ .
$\displaystyle n=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2024, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani