Bac matematică M3 tehnologic 2014, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m din egalitatea m+23=16−2\displaystyle m+2^3=\sqrt{16}-2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 23=8\displaystyle 2^{3}=8 și 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, pentru că 42=16\displaystyle 4^{2}=16.
    23=8\displaystyle 2^{3}=8,16=4\displaystyle \quad \sqrt{16}=4
  2. Înlocuim în egalitatea m+23=16−2\displaystyle m+2^{3}=\sqrt{16}-2 și obținem o ecuație de gradul I în m\displaystyle m.
    m+8=4−2\displaystyle m+8=4-2
  3. În membrul drept avem 4−2=2\displaystyle 4-2=2, deci ecuația devine m+8=2\displaystyle m+8=2.
    m+8=2\displaystyle m+8=2
  4. Scădem 8\displaystyle 8 din ambii membri: m=2−8\displaystyle m=2-8, deci m=−6\displaystyle m=-6.
    m=−6\displaystyle m=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2. Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care f(x)=2\displaystyle f(x)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția f(x)=2\displaystyle f(x)=2, adică înlocuim expresia funcției în egalitate: x2−3x+2=2\displaystyle x^{2}-3x+2=2.
    x2−3x+2=2\displaystyle x^{2}-3x+2=2
  2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri; termenii liberi se reduc și ecuația devine x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0.
    x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x în membrul stâng: x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0.
    x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: x=0\displaystyle x=0 sau x−3=0\displaystyle x-3=0, de unde x=3\displaystyle x=3.
    x1=0, x2=3\displaystyle x_1=0\text{, }x_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8x=2x−2\displaystyle 8^x=2^{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 8\displaystyle 8 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci 8x=(23)x=23x\displaystyle 8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=2^{3x}.
    8x=23x\displaystyle 8^{x}=2^{3x}
  2. Înlocuim în ecuația inițială și obținem puteri cu aceeași bază în ambii membri: 23x=2x−2\displaystyle 2^{3x}=2^{x-2}.
    23x=2x−2\displaystyle 2^{3x}=2^{x-2}
  3. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalăm exponenții: 3x=x−2\displaystyle 3x=x-2.
    3x=x−2\displaystyle 3x=x-2
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în membrul stâng: 3x−x=−2\displaystyle 3x-x=-2, adică 2x=−2\displaystyle 2x=-2, deci x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
O firmă folosește pentru publicitate 3000\displaystyle 3000 de lei, ceea ce reprezintă 5%\displaystyle 5\% din profitul anual. Determinați profitul anual al firmei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x profitul anual al firmei, în lei. Suma de 3000\displaystyle 3000 de lei reprezintă 5%\displaystyle 5\% din x\displaystyle x, adică 5100\displaystyle \dfrac{5}{100} din x\displaystyle x.
    x=profitul anual (ıˆn lei)\displaystyle x=\text{profitul anual (în lei)}
  2. Scriem ecuația dată de procent: 5100⋅x=3000\displaystyle \dfrac{5}{100}\cdot x=3000.
    5100⋅x=3000\displaystyle \frac{5}{100}\cdot x=3000
  3. Simplificăm fracția: 5100=120\displaystyle \dfrac{5}{100}=\dfrac{1}{20}, deci ecuația devine x20=3000\displaystyle \dfrac{x}{20}=3000.
    x20=3000\displaystyle \frac{x}{20}=3000
  4. Înmulțim ambii membri cu 20\displaystyle 20 și obținem x=3000⋅20=60000\displaystyle x=3000\cdot 20=60000. Profitul anual este de 60000\displaystyle 60000 de lei.
    x=60000 de lei\displaystyle x=60000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație x−2y+1=0\displaystyle x-2y+1=0. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(a,2)\displaystyle A(a,2) aparține dreptei d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă punctul A(a,2)\displaystyle A(a,2) aparține dreptei d\displaystyle d, coordonatele lui verifică ecuația x−2y+1=0\displaystyle x-2y+1=0. Înlocuim x=a\displaystyle x=a și y=2\displaystyle y=2.
    a−2⋅2+1=0\displaystyle a-2\cdot 2+1=0
  2. Calculăm 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, deci ecuația devine a−4+1=0\displaystyle a-4+1=0, adică a−3=0\displaystyle a-3=0.
    a−3=0\displaystyle a-3=0
  3. Din a−3=0\displaystyle a-3=0 obținem a=3\displaystyle a=3.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
În triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, AB=3\displaystyle AB=3 și AC=4\displaystyle AC=4. Determinați sin⁡B\displaystyle \sin B.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim AB=3\displaystyle AB=3 și AC=4\displaystyle AC=4 și calculăm: BC2=32+42=9+16=25\displaystyle BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25. Cum BC>0\displaystyle BC>0, obținem BC=25=5\displaystyle BC=\sqrt{25}=5.
    BC=5\displaystyle BC=5
  3. În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Pentru unghiul B\displaystyle B, cateta opusă este AC\displaystyle AC, deci sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}
  4. Înlocuim AC=4\displaystyle AC=4 și BC=5\displaystyle BC=5 și obținem sin⁡B=45\displaystyle \sin B=\dfrac{4}{5}.
    sin⁡B=ACBC=45\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinanții d=∣111241381∣\displaystyle d=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&8&1\end{vmatrix} și D(a)=∣4−aa−1a+14−a∣\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix}4-a&a-1\\a+1&4-a\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că d=1\displaystyle d=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul d=∣111241381∣\displaystyle d=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&8&1\end{vmatrix} și folosim regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    d=∣111241381∣\displaystyle d=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&8&1\end{vmatrix}
  2. Produsele cu plus sunt 1⋅4⋅1\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1 (diagonala principală), 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3 și 1⋅2⋅8\displaystyle 1\cdot 2\cdot 8. Produsele cu minus sunt 1⋅4⋅3\displaystyle 1\cdot 4\cdot 3 (diagonala secundară), 1⋅1⋅8\displaystyle 1\cdot 1\cdot 8 și 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1. Obținem d=1⋅4⋅1+1⋅1⋅3+1⋅2⋅8−1⋅4⋅3−1⋅1⋅8−1⋅2⋅1\displaystyle d=1\cdot 4\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 8-1\cdot 4\cdot 3-1\cdot 1\cdot 8-1\cdot 2\cdot 1.
    d=1⋅4⋅1+1⋅1⋅3+1⋅2⋅8−1⋅4⋅3−1⋅1⋅8−1⋅2⋅1\displaystyle d=1\cdot 4\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 8-1\cdot 4\cdot 3-1\cdot 1\cdot 8-1\cdot 2\cdot 1
  3. Calculăm fiecare produs: 1⋅4⋅1=4\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1=4, 1⋅1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3=3, 1⋅2⋅8=16\displaystyle 1\cdot 2\cdot 8=16, iar 1⋅4⋅3=12\displaystyle 1\cdot 4\cdot 3=12, 1⋅1⋅8=8\displaystyle 1\cdot 1\cdot 8=8, 1⋅2⋅1=2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1=2. Rezultă d=4+3+16−12−8−2\displaystyle d=4+3+16-12-8-2, adică, ordonând termenii pozitivi, d=4+16+3−12−8−2\displaystyle d=4+16+3-12-8-2.
    d=4+16+3−12−8−2\displaystyle d=4+16+3-12-8-2
  4. Termenii pozitivi dau 4+16+3=23\displaystyle 4+16+3=23, iar cei negativi dau 12+8+2=22\displaystyle 12+8+2=22. Atunci d=23−22=1\displaystyle d=23-22=1, ceea ce trebuia arătat.
    d=23−22=1\displaystyle d=23-22=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinanții d=∣111241381∣\displaystyle d=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&8&1\end{vmatrix} și D(a)=∣4−aa−1a+14−a∣\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix}4-a&a-1\\a+1&4-a\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care D(a)=1\displaystyle D(a)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul de ordin 2 ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: D(a)=(4−a)(4−a)−(a−1)(a+1)\displaystyle D(a)=(4-a)(4-a)-(a-1)(a+1).
    D(a)=(4−a)2−(a−1)(a+1)\displaystyle D(a)=(4-a)^{2}-(a-1)(a+1)
  2. Dezvoltăm pătratul: (4−a)2=16−8a+a2\displaystyle (4-a)^{2}=16-8a+a^{2}. Produsul (a−1)(a+1)\displaystyle (a-1)(a+1) este diferență de pătrate, deci (a−1)(a+1)=a2−1\displaystyle (a-1)(a+1)=a^{2}-1.
    D(a)=16−8a+a2−a2+1\displaystyle D(a)=16-8a+a^{2}-a^{2}+1
  3. Reducem termenii asemenea: a2\displaystyle a^{2} se reduce cu −a2\displaystyle -a^{2}, iar 16+1=17\displaystyle 16+1=17.
    D(a)=17−8a\displaystyle D(a)=17-8a
  4. Punem condiția D(a)=1\displaystyle D(a)=1 și obținem ecuația de gradul I 17−8a=1\displaystyle 17-8a=1.
    17−8a=1\displaystyle 17-8a=1
  5. Mutăm 17 în membrul drept: −8a=1−17=−16\displaystyle -8a=1-17=-16. Împărțim la −8\displaystyle -8 și obținem a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinanții d=∣111241381∣\displaystyle d=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&8&1\end{vmatrix} și D(a)=∣4−aa−1a+14−a∣\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix}4-a&a-1\\a+1&4-a\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(2,4)\displaystyle B(2,4) și C(3,m)\displaystyle C(3,m). Determinați numerele reale m\displaystyle m, știind că AΔABC=12\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este jumătate din modulul determinantului coordonatelor vârfurilor: A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\Delta\right|, unde Δ\displaystyle \Delta are pe linii coordonatele punctelor și coloana de 1\displaystyle 1.
    AΔABC=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\Delta\right|
  2. Pentru A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(2,4)\displaystyle B(2,4) și C(3,m)\displaystyle C(3,m) obținem determinantul Δ=∣1112413m1∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&m&1\end{vmatrix}.
    Δ=∣1112413m1∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&m&1\end{vmatrix}
  3. Dezvoltăm după prima linie: Δ=(4⋅1−m⋅1)−(2⋅1−3⋅1)+(2m−4⋅3)=(4−m)+1+(2m−12)\displaystyle \Delta=(4\cdot 1-m\cdot 1)-(2\cdot 1-3\cdot 1)+(2m-4\cdot 3)=(4-m)+1+(2m-12). Reducem termenii asemenea și obținem Δ=m−7\displaystyle \Delta=m-7.
    Δ=(4−m)+1+(2m−12)=m−7\displaystyle \Delta=(4-m)+1+(2m-12)=m-7
  4. Din A=12\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2} rezultă 12∣m−7∣=12\displaystyle \dfrac{1}{2}\left|m-7\right|=\dfrac{1}{2}, deci ∣m−7∣=1\displaystyle \left|m-7\right|=1.
    ∣m−7∣=1\displaystyle \left|m-7\right|=1
  5. Ecuația ∣m−7∣=1\displaystyle \left|m-7\right|=1 dă m−7=1\displaystyle m-7=1 sau m−7=−1\displaystyle m-7=-1. Prin urmare m=8\displaystyle m=8 sau m=6\displaystyle m=6.
    m=6 sau m=8\displaystyle m=6\text{ sau }m=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1x21)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați A(2)+A(−2)\displaystyle A(2)+A(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(1221)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 și obținem matricea A(−2)\displaystyle A(-2). Cele două matrice sunt cele cerute în primul pas de control.
    A(2)=(1221) și A(−2)=(1−221)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\text{ și }A(-2)=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: adunăm elementele aflate pe aceeași poziție. Pe prima linie obținem 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, iar pe a doua linie 2+2=4\displaystyle 2+2=4 și 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    A(2)+A(−2)=(1+12+(−2)2+21+1)\displaystyle A(2)+A(-2)=\begin{pmatrix}1+1&2+(-2)\\2+2&1+1\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele din fiecare poziție și obținem matricea sumă, care este răspunsul final.
    A(2)+A(−2)=(2042)\displaystyle A(2)+A(-2)=\begin{pmatrix}2&0\\4&2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1x21)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale p\displaystyle p și q\displaystyle q pentru care A(2)⋅(pq)=(45)\displaystyle A(2)\cdot\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(1221)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm produsul: fiecare linie a matricei se înmulțește cu coloana. Prima linie dă 1⋅p+2⋅q\displaystyle 1\cdot p+2\cdot q, a doua linie dă 2⋅p+1⋅q\displaystyle 2\cdot p+1\cdot q.
    (1221)⋅(pq)=(p+2q2p+q)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+2q\\2p+q\end{pmatrix}
  3. Egalăm cu (45)\displaystyle \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale, deci obținem un sistem de două ecuații.
    (p+2q2p+q)=(45)⇔{p+2q=42p+q=5\displaystyle \begin{pmatrix}p+2q\\2p+q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{cases}p+2q=4\\2p+q=5\end{cases}
  4. Din prima ecuație avem p=4−2q\displaystyle p=4-2q. Înlocuim în a doua ecuație: 2(4−2q)+q=5\displaystyle 2(4-2q)+q=5.
    8−4q+q=5⇒−3q=−3⇒q=1\displaystyle 8-4q+q=5\Rightarrow -3q=-3\Rightarrow q=1
  5. Înlocuim q=1\displaystyle q=1 în p=4−2q\displaystyle p=4-2q și obținem p=2\displaystyle p=2. Verificare: 2+2⋅1=4\displaystyle 2+2\cdot 1=4 și 2⋅2+1=5\displaystyle 2\cdot 2+1=5.
    p=2 și q=1\displaystyle p=2\text{ și }q=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1x21)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\2&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă pentru orice număr întreg x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(x))\displaystyle \det(A(x)).
    det⁡(A(x))=∣1x21∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}1&x\\2&1\end{vmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x))=1⋅1−x⋅2\displaystyle \det(A(x))=1\cdot 1-x\cdot 2.
    det⁡(A(x))=1−2x\displaystyle \det(A(x))=1-2x
  3. Dacă x∈Z\displaystyle x\in\mathbb{Z}, atunci 2x\displaystyle 2x este număr par, deci 1−2x\displaystyle 1-2x este număr impar.
    x∈Z⇒2x par⇒1−2x impar\displaystyle x\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2x\text{ par}\Rightarrow 1-2x\text{ impar}
  4. Zero este număr par, iar 1−2x\displaystyle 1-2x este impar, deci 1−2x≠0\displaystyle 1-2x\neq 0. Determinantul este nenul, deci matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă pentru orice număr întreg x\displaystyle x.
    1−2x≠0⇒det⁡(A(x))≠0⇒matricea A(x) este inversabila˘ pentru \displaystyle 1-2x\neq 0\Rightarrow\det(A(x))\neq 0\Rightarrow\text{matricea }A(x)\text{ este inversabilă pentru }orice numa˘r ıˆntreg x\displaystyle \text{orice număr întreg }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută, înlocuind pe f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1xx2+1\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\dfrac{x}{x^{2}+1}.
    lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1xx2+1\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{x}{x^{2}+1}
  2. Funcția f\displaystyle f este rațională, iar numitorul x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, în particular în x=1\displaystyle x=1. Limita se obține prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1xx2+1=112+1\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}
  3. Calculăm numitorul: 12+1=2\displaystyle 1^{2}+1=2. Rezultă că limita este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    lim⁡x→1f(x)=12\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} în expresia xf(x)\displaystyle xf(x) și înmulțim numărătorul cu x\displaystyle x.
    xf(x)=x⋅xx2+1=x2x2+1\displaystyle xf(x)=x\cdot\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
  2. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci dăm factor comun la numitor termenul dominant x2\displaystyle x^{2}: x2+1=x2(1+1x2)\displaystyle x^{2}+1=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right).
    lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞x2x2(1+1x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}
  3. Simplificăm fracția prin x2\displaystyle x^{2}, care este nenul pentru x\displaystyle x foarte mare.
    lim⁡x→+∞11+1x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}
  4. Trecem la limită: 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci numitorul tinde la 1+0=1\displaystyle 1+0=1.
    lim⁡x→+∞11+1x2=11+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{1+0}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota spre +∞\displaystyle +\infty poate fi orizontală, oblică sau inexistentă. Începem cu asimptota orizontală: calculăm limita funcției când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Funcția este f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞xx2+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}
  2. Numărătorul are gradul 1, iar numitorul gradul 2. Împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^{2}, cea mai mare putere de la numitor. Obținem 1x1+1x2\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^{2}}}.
    lim⁡x→+∞1x1+1x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^{2}}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Deci limita este 01+0=0\displaystyle \dfrac{0}{1+0}=0. Limita este finită, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞xx2+1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0
  4. Dacă limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este un număr real l\displaystyle l, dreapta y=l\displaystyle y=l este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty. Aici l=0\displaystyle l=0, deci ecuația asimptotei este y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x−2,x<2x2−4x+4,x≥2\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-2,&x<2\\x^2-4x+4,&x\geq 2\end{cases}.

Calculați f(1)⋅f(3)\displaystyle f(1)\cdot f(3).
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece 1<2\displaystyle 1<2, folosim prima ramură a funcției, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2.
    1<2⇒f(x)=x−2\displaystyle 1<2\Rightarrow f(x)=x-2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în prima ramură: f(1)=1−2=−1\displaystyle f(1)=1-2=-1.
    f(1)=1−2=−1\displaystyle f(1)=1-2=-1
  3. Deoarece 3≥2\displaystyle 3\geq 2, folosim a doua ramură a funcției, f(x)=x2−4x+4\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+4.
    3≥2⇒f(x)=x2−4x+4\displaystyle 3\geq 2\Rightarrow f(x)=x^{2}-4x+4
  4. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în a doua ramură: f(3)=32−4⋅3+4=9−12+4=1\displaystyle f(3)=3^{2}-4\cdot 3+4=9-12+4=1.
    f(3)=9−12+4=1\displaystyle f(3)=9-12+4=1
  5. Înmulțim cele două valori: f(1)⋅f(3)=(−1)⋅1=−1\displaystyle f(1)\cdot f(3)=(-1)\cdot 1=-1.
    f(1)⋅f(3)=(−1)⋅1=−1\displaystyle f(1)\cdot f(3)=(-1)\cdot 1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x−2,x<2x2−4x+4,x≥2\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-2,&x<2\\x^2-4x+4,&x\geq 2\end{cases}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este continuă în punctul x=2\displaystyle x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este continuă în x=2\displaystyle x=2 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(2)\displaystyle f(2) sunt egale. Le calculăm pe rând.
    ls=ld=f(2) (condiția de \displaystyle l_s=l_d=f(2)\text{ (condiția de }continuitate)\displaystyle \text{continuitate)}
  2. Pentru x<2\displaystyle x<2 avem f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2, deci limita la stânga se obține înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2.
    lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x<2(x−2)=2−2=0\displaystyle \lim_{\substack{x\to 2\\x<2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 2\\x<2}}(x-2)=2-2=0
  3. Pentru x>2\displaystyle x>2 avem f(x)=x2−4x+4\displaystyle f(x)=x^2-4x+4, o funcție polinomială, deci limita la dreapta se obține înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2: 22−4⋅2+4=4−8+4=0\displaystyle 2^2-4\cdot 2+4=4-8+4=0.
    lim⁡x→2x>2f(x)=lim⁡x→2x>2(x2−4x+4)=4−8+4=0\displaystyle \lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}\left(x^2-4x+4\right)=4-8+4=0
  4. Valoarea f(2)\displaystyle f(2) se calculează cu a doua formulă, deoarece x=2\displaystyle x=2 verifică x≥2\displaystyle x\geq 2: f(2)=22−4⋅2+4=0\displaystyle f(2)=2^2-4\cdot 2+4=0. Limita la stânga, limita la dreapta și f(2)\displaystyle f(2) sunt egale cu 0\displaystyle 0, deci f\displaystyle f este continuă în x=2\displaystyle x=2.
    f(2)=0⇒f este continua˘ ıˆn punctul x=2\displaystyle f(2)=0\Rightarrow f\text{ este continuă în punctul }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x−2,x<2x2−4x+4,x≥2\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-2,&x<2\\x^2-4x+4,&x\geq 2\end{cases}.

Demonstrați că f(a)⋅f(b)<0\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0, pentru orice a<2\displaystyle a<2 și b>2\displaystyle b>2.
Vezi rezolvarea
  1. Rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 pe fiecare ramură. Pentru x<2\displaystyle x<2, ecuația x−2=0\displaystyle x-2=0 dă x=2\displaystyle x=2, care nu convine, deoarece nu este mai mic decât 2. Pentru x≥2\displaystyle x\geq 2, ecuația x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0 se scrie (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0, deci x=2\displaystyle x=2, care convine.
    f(x)=0⇒x=2\displaystyle f(x)=0\Rightarrow x=2
  2. Verificăm continuitatea în x=2\displaystyle x=2, singurul punct în care s-ar putea schimba expresia funcției. Limita la stânga este 2−2=0\displaystyle 2-2=0, limita la dreapta este 4−8+4=0\displaystyle 4-8+4=0, iar f(2)=0\displaystyle f(2)=0. Pe restul dreptei, f\displaystyle f este polinomială, deci continuă.
    lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)=0⇒f continua˘ pe R\displaystyle \lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2)=0\Rightarrow f\text{ continuă pe }\mathbb{R}
  3. Funcția f\displaystyle f este continuă și se anulează doar în x=2\displaystyle x=2. Prin proprietatea lui Darboux, ea nu poate schimba semnul pe un interval pe care nu se anulează. Deci f\displaystyle f are semn constant pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2) și pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    f continua˘ pe R⇒f are semn constant pe (−∞,2) și pe (2,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ are semn constant pe }(-\infty,2)\text{ și pe }(2,+\infty)
  4. Alegem câte un punct de test în fiecare interval. Pentru 1<2\displaystyle 1<2 avem f(1)=1−2=−1\displaystyle f(1)=1-2=-1. Pentru 3>2\displaystyle 3>2 avem f(3)=9−12+4=1\displaystyle f(3)=9-12+4=1.
    f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1,f(3)=1\displaystyle \quad f(3)=1
  5. Deci f\displaystyle f este negativă pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2) și pozitivă pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty). Pentru orice a<2\displaystyle a<2 avem f(a)<0\displaystyle f(a)<0, iar pentru orice b>2\displaystyle b>2 avem f(b)>0\displaystyle f(b)>0. Produsul unui număr negativ cu unul pozitiv este negativ, deci f(a)⋅f(b)<0\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0. Cum f(1)⋅f(3)=−1<0\displaystyle f(1)\cdot f(3)=-1<0, rezultatul este confirmat.
    f(1)⋅f(3)=−1<0⇒f(a)⋅f(b)<0 pentru orice a<2 și b>2\displaystyle f(1)\cdot f(3)=-1<0\Rightarrow f(a)\cdot f(b)<0\text{ pentru orice }a<2\text{ și }b>2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.