Bac matematică M3 tehnologic 2015, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=1\displaystyle a_1=1 și a3=5\displaystyle a_3=5.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi. Deci a2=a1+a32\displaystyle a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}.
    a2=a1+a32\displaystyle a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}
  2. Înlocuim a1=1\displaystyle a_1=1 și a3=5\displaystyle a_3=5: a2=1+52=3\displaystyle a_2=\dfrac{1+5}{2}=3. Verificare: rația este r=2\displaystyle r=2, iar 1,3,5\displaystyle 1,3,5 au aceeași diferență între termenii consecutivi.
    a2=1+52=3\displaystyle a_2=\dfrac{1+5}{2}=3
  3. Adunăm primii trei termeni: a1+a2+a3=1+3+5=9\displaystyle a_1+a_2+a_3=1+3+5=9.
    a1+a2+a3=1+3+5=9\displaystyle a_1+a_2+a_3=1+3+5=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x−2\displaystyle g(x)=2x-2.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem ecuația cu expresiile celor două funcții: x2−x=2x−2\displaystyle x^{2}-x=2x-2.
    x2−x=2x−2\displaystyle x^{2}-x=2x-2
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: −x−2x=−3x\displaystyle -x-2x=-3x. Obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−x−2x+2=0⇔x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-x-2x+2=0\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2: Δ=b2−4ac=9−8=1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=9-8=1.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1
  4. Aplicăm formula soluțiilor: x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}. Rezultă x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=2\displaystyle x_2=2. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție.
    x1=1 și x2=2\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32−x=19\displaystyle 3^{2-x}=\frac{1}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 3\displaystyle 3: cum 9=32\displaystyle 9=3^{2}, avem 19=3−2\displaystyle \dfrac{1}{9}=3^{-2}.
    19=3−2\displaystyle \dfrac{1}{9}=3^{-2}
  2. Ecuația devine 32−x=3−2\displaystyle 3^{2-x}=3^{-2}. Bazele sunt egale, iar funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalăm exponenții: 2−x=−2\displaystyle 2-x=-2.
    32−x=3−2⇔2−x=−2\displaystyle 3^{2-x}=3^{-2}\Leftrightarrow 2-x=-2
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: x=2+2=4\displaystyle x=2+2=4. Soluția este număr real, deci convine.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 15%\displaystyle 15\%, prețul unui obiect este 34\displaystyle 34 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul inițial al obiectului, în lei. O ieftinire cu 15%\displaystyle 15\% înseamnă că se scade din p\displaystyle p valoarea 15%⋅p\displaystyle 15\%\cdot p, iar rezultatul este 34\displaystyle 34 de lei.
    p−15%⋅p=34\displaystyle p-15\%\cdot p=34
  2. Scriem 15%\displaystyle 15\% ca fracție zecimală, adică 0,15\displaystyle 0{,}15, și dăm factor comun pe p\displaystyle p.
    p⋅(1−0,15)=34  ⇒  0,85⋅p=34\displaystyle p\cdot(1-0{,}15)=34\;\Rightarrow\;0{,}85\cdot p=34
  3. Împărțim ambii membri la 0,85\displaystyle 0{,}85 și obținem prețul inițial.
    p=340,85=40 de lei\displaystyle p=\dfrac{34}{0{,}85}=40\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(−3,2)\displaystyle B(-3,2) și C(5,2)\displaystyle C(5,2). Calculați lungimea medianei din vârful A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful A\displaystyle A unește punctul A\displaystyle A cu mijlocul M\displaystyle M al laturii BC\displaystyle BC. Calculăm coordonatele lui M\displaystyle M ca media aritmetică a coordonatelor punctelor B\displaystyle B și C\displaystyle C: xM=xB+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yM=yB+yC2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}.
    M(xB+xC2,yB+yC2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)
  2. Înlocuim coordonatele punctelor B(−3,2)\displaystyle B(-3,2) și C(5,2)\displaystyle C(5,2): xM=−3+52=1\displaystyle x_M=\dfrac{-3+5}{2}=1 și yM=2+22=2\displaystyle y_M=\dfrac{2+2}{2}=2.
    xM=1\displaystyle x_M=1, yM=2\displaystyle \ y_M=2
  3. Lungimea medianei este distanța dintre A(1,4)\displaystyle A(1,4) și M(1,2)\displaystyle M(1,2). Folosim formula AM=(xM−xA)2+(yM−yA)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_M-x_A)^{2}+(y_M-y_A)^{2}}.
    AM=(1−1)2+(2−4)2\displaystyle AM=\sqrt{(1-1)^{2}+(2-4)^{2}}
  4. Calculăm sub radical: (1−1)2=0\displaystyle (1-1)^{2}=0 și (2−4)2=4\displaystyle (2-4)^{2}=4, deci AM=0+4=2\displaystyle AM=\sqrt{0+4}=2.
    AM=2\displaystyle AM=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că tg⁡30∘ctg⁡60∘+tg⁡60∘ctg⁡30∘=103\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}60^\circ+\operatorname{tg}60^\circ\operatorname{ctg}30^\circ=\frac{10}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: tg⁡30∘=13\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, tg⁡60∘=3\displaystyle \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}, ctg⁡30∘=3\displaystyle \operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt{3}, ctg⁡60∘=13\displaystyle \operatorname{ctg}60^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
    tg⁡30∘=13\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, tg⁡60∘=3\displaystyle \ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}, ctg⁡30∘=3\displaystyle \ \operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt{3}, ctg⁡60∘=13\displaystyle \ \operatorname{ctg}60^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia dată: tg⁡30∘ctg⁡60∘+tg⁡60∘ctg⁡30∘\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}60^\circ+\operatorname{tg}60^\circ\operatorname{ctg}30^\circ.
    13⋅13+3⋅3\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
  3. Calculăm produsele: 13⋅13=13\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3} și 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Adunăm și aducem la numitor comun: 13+3=1+93=103\displaystyle \dfrac{1}{3}+3=\dfrac{1+9}{3}=\dfrac{10}{3}, adică egalitatea cerută.
    13+3=103\displaystyle \dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3612)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și amintim formula determinantului de ordin doi: pentru ∣abcd∣\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} avem ad−bc\displaystyle ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣3612∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&6\\1&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula: diagonala principală are elementele 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2, iar cea secundară are elementele 6\displaystyle 6 și 1\displaystyle 1.
    det⁡A=3⋅2−6⋅1\displaystyle \det A=3\cdot 2-6\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, iar 6⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1=6. Scădem și obținem 6−6=0\displaystyle 6-6=0.
    det⁡A=6−6=0\displaystyle \det A=6-6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3612)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că A⋅A=xA\displaystyle A\cdot A=xA.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A ca produs de două matrice de ordin 2, cu A=(3612)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}.
    A⋅A=(3612)⋅(3612)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind linia cu coloana: 3⋅3+6⋅1=15\displaystyle 3\cdot3+6\cdot1=15, 3⋅6+6⋅2=30\displaystyle 3\cdot6+6\cdot2=30, 1⋅3+2⋅1=5\displaystyle 1\cdot3+2\cdot1=5 și 1⋅6+2⋅2=10\displaystyle 1\cdot6+2\cdot2=10.
    A⋅A=(1530510)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}15&30\\5&10\end{pmatrix}
  3. Dăm factor comun 5\displaystyle 5 din toate elementele matricei obținute și recunoaștem matricea A\displaystyle A.
    (1530510)=5(3612)=5A\displaystyle \begin{pmatrix}15&30\\5&10\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}=5A
  4. Din A⋅A=5A\displaystyle A\cdot A=5A și A⋅A=xA\displaystyle A\cdot A=xA, iar A\displaystyle A nu este matricea nulă, rezultă x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3612)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A+aI2)=0\displaystyle \det(A+aI_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea aI2\displaystyle aI_2: se înmulțește fiecare element al lui I2\displaystyle I_2 cu a\displaystyle a, deci obținem matricea cu a\displaystyle a pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și aI2\displaystyle aI_2 element cu element.
    A+aI2=(3+a612+a)\displaystyle A+aI_2=\begin{pmatrix}3+a&6\\1&2+a\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Apoi desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    det⁡(A+aI2)=(3+a)(2+a)−6⋅1=a2+5a+6−6=a2+5a\displaystyle \det(A+aI_2)=(3+a)(2+a)-6\cdot 1=a^2+5a+6-6=a^2+5a
  4. Punem condiția ca determinantul să fie zero și obținem o ecuație de gradul al doilea, pe care o rezolvăm prin scoaterea factorului comun a\displaystyle a.
    a2+5a=0⇔a(a+5)=0\displaystyle a^2+5a=0\Leftrightarrow a(a+5)=0
  5. Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci a=0\displaystyle a=0 sau a+5=0\displaystyle a+5=0. Cele două valori sunt numere reale, deci convin.
    a1=−5 și a2=0\displaystyle a_1=-5\text{ și }a_2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2.

Arătați că x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2. Scriem 2=4−2\displaystyle 2=4-2, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+4-2
  2. Grupăm termenii: primii doi, xy\displaystyle xy și 2x\displaystyle 2x, au factor comun x\displaystyle x, iar următorii doi, 2y\displaystyle 2y și 4\displaystyle 4, au factor comun 2\displaystyle 2. Dăm factor comun.
    x∗y=x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x*y=x(y+2)+2(y+2)-2
  3. Acum expresia y+2\displaystyle y+2 este factor comun pentru primii doi termeni. Îl dăm factor comun și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2.

Calculați (−2015)∗(−2)∗0∗2∗2015\displaystyle (-2015)*(-2)*0*2*2015.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat. Avem (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4, deci x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2
  2. Calculăm x∗(−2)=(x+2)⋅(−2+2)−2=(x+2)⋅0−2\displaystyle x*(-2)=(x+2)\cdot(-2+2)-2=(x+2)\cdot 0-2, deci rezultatul este −2\displaystyle -2.
    x∗(−2)=−2\displaystyle x*(-2)=-2
  3. Expresia xy+2x+2y+2\displaystyle xy+2x+2y+2 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și (−2)∗y=−2\displaystyle (-2)*y=-2. Astfel −2\displaystyle -2 este element absorbant, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗(−2)=−2 și (−2)∗y=−2, pentru x\displaystyle x*(-2)=-2\text{ și }(-2)*y=-2\text{, pentru }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii. Avem (−2015)∗(−2)=−2\displaystyle (-2015)*(-2)=-2, deoarece −2\displaystyle -2 este element absorbant.
    (−2015)∗(−2)=−2\displaystyle (-2015)*(-2)=-2
  5. Expresia devine (−2)∗(0∗2∗2015)\displaystyle (-2)*(0*2*2015). Cum −2\displaystyle -2 este element absorbant, rezultatul este −2\displaystyle -2.
    −2\displaystyle -2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n, știind că numărul n∗(−n)\displaystyle n*(-n) este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2 pe x=n\displaystyle x=n și y=−n\displaystyle y=-n: n∗(−n)=n⋅(−n)+2n+2⋅(−n)+2\displaystyle n*(-n)=n\cdot(-n)+2n+2\cdot(-n)+2.
    n∗(−n)=−n2+2n−2n+2\displaystyle n*(-n)=-n^{2}+2n-2n+2
  2. Reducem termenii asemenea: 2n−2n=0\displaystyle 2n-2n=0. Rezultatul coincide cu forma din barem: (n+2)(−n+2)−2=−n2+4−2=2−n2\displaystyle (n+2)(-n+2)-2=-n^{2}+4-2=2-n^{2}.
    n∗(−n)=(n+2)(−n+2)−2=2−n2\displaystyle n*(-n)=(n+2)(-n+2)-2=2-n^{2}
  3. Impunem 2−n2∈N\displaystyle 2-n^{2}\in\mathbb{N}. Atunci 2−n2≥0\displaystyle 2-n^{2}\ge 0, adică n2≤2\displaystyle n^{2}\le 2.
    n2≤2\displaystyle n^{2}\le 2
  4. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, verificăm: pentru n=0\displaystyle n=0 obținem 2−0=2∈N\displaystyle 2-0=2\in\mathbb{N}; pentru n=1\displaystyle n=1 obținem 2−1=1∈N\displaystyle 2-1=1\in\mathbb{N}; pentru n=2\displaystyle n=2 obținem 2−4=−2∉N\displaystyle 2-4=-2\notin\mathbb{N}, iar pentru n≥2\displaystyle n\ge 2 valoarea 2−n2\displaystyle 2-n^{2} este negativă.
    n∈{0,1}\displaystyle n\in\{0,1\}
  5. Concluzie: numerele naturale cerute sunt n1=0\displaystyle n_1=0 și n2=1\displaystyle n_2=1.
    n1=0 și n2=1\displaystyle n_1=0\text{ și }n_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x+2}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile: u(x)=x−2\displaystyle u(x)=x-2 și v(x)=x+2\displaystyle v(x)=x+2, cu v(x)≠0\displaystyle v(x)\neq 0 pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty). Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x−2)′(x+2)−(x−2)(x+2)′(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-2)'(x+2)-(x-2)(x+2)'}{(x+2)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1 și (x+2)′=1\displaystyle (x+2)'=1. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=1⋅(x+2)−(x−2)⋅1(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+2)-(x-2)\cdot 1}{(x+2)^{2}}
  3. Simplificăm numărătorul: (x+2)−(x−2)=x+2−x+2=4\displaystyle (x+2)-(x-2)=x+2-x+2=4. Numitorul rămâne (x+2)2\displaystyle (x+2)^{2}. Rezultatul este valabil pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty).
    f′(x)=4(x+2)2, x∈(−2,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{4}{(x+2)^{2}}\text{, }x\in(-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x+2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0). Avem nevoie de f(0)\displaystyle f(0) și de f′(0)\displaystyle f'(0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}: f(0)=0−20+2\displaystyle f(0)=\dfrac{0-2}{0+2}.
    f(0)=−22=−1\displaystyle f(0)=\dfrac{-2}{2}=-1
  3. Derivăm funcția cu formula pentru cât, (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x−2\displaystyle u=x-2 și v=x+2\displaystyle v=x+2, deci u′=1\displaystyle u'=1 și v′=1\displaystyle v'=1.
    f′(x)=1⋅(x+2)−(x−2)⋅1(x+2)2=4(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+2)-(x-2)\cdot 1}{(x+2)^{2}}=\dfrac{4}{(x+2)^{2}}
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=4(0+2)2=44\displaystyle f'(0)=\dfrac{4}{(0+2)^{2}}=\dfrac{4}{4}. Am obținut astfel f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1 și f′(0)=1\displaystyle f'(0)=1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1,f′(0)=1\displaystyle \quad f'(0)=1
  5. Înlocuim f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1 și f′(0)=1\displaystyle f'(0)=1 în formula tangentei: y−(−1)=1⋅(x−0)\displaystyle y-(-1)=1\cdot(x-0), adică y+1=x\displaystyle y+1=x. Ecuația tangentei este y=x−1\displaystyle y=x-1.
    y=x−1\displaystyle y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x+2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă limita funcției f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty este un număr real L\displaystyle L; atunci ecuația ei este y=L\displaystyle y=L. Calculăm lim⁡x→+∞x−2x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-2}{x+2}.
    lim⁡x→+∞x−2x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x+2}
  2. Avem o nedeterminare de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și la numitor, apoi simplificăm cu x\displaystyle x.
    x−2x+2=x(1−2x)x(1+2x)=1−2x1+2x\displaystyle \frac{x-2}{x+2}=\frac{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}=\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracția 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0. Deci limita este 1−01+0=1\displaystyle \dfrac{1-0}{1+0}=1.
    lim⁡x→+∞x−2x+2=lim⁡x→+∞1−2x1+2x=1−01+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    Dreapta y=1 este asimptota˘ orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta }y=1\text{ este asimptotă orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x2−x+1\displaystyle F(x)=x^2-x+1.

Calculați ∫01(f(x)+1) dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 în integrand și simplificăm: f(x)+1=2x−1+1=2x\displaystyle f(x)+1=2x-1+1=2x.
    ∫01(f(x)+1) dx=∫012x dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)\,dx=\int_0^1 2x\,dx
  2. Cunoaștem că o primitivă a funcției 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala este x2\displaystyle x^{2} evaluat între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫012x dx=x2∣01\displaystyle \int_0^1 2x\,dx=x^{2}\Big|_0^1
  3. Calculăm valoarea: înlocuim limita superioară 1\displaystyle 1 și scădem valoarea în limita inferioară 0\displaystyle 0.
    x2∣01=12−02=1−0=1\displaystyle x^{2}\Big|_0^1=1^{2}-0^{2}=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x2−x+1\displaystyle F(x)=x^2-x+1.

Arătați că funcția F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Recapitulăm definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Funcția F\displaystyle F este polinomială, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (−x)′=−1\displaystyle (-x)'=-1, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    F′(x)=(x2−x+1)′=2x−1+0=2x−1\displaystyle F'(x)=(x^{2}-x+1)'=2x-1+0=2x-1
  3. Rezultatul obținut coincide cu f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1, pentru orice x\displaystyle x real. Deci F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice numa˘r real x, deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x2−x+1\displaystyle F(x)=x^2-x+1. Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că ∫0nF(x) dx=n33\displaystyle \int_0^n F(x)\,dx=\frac{n^3}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe F(x)\displaystyle F(x) cu x2−x+1\displaystyle x^{2}-x+1 în integrala dată.
    ∫0nF(x) dx=∫0n(x2−x+1) dx\displaystyle \int_0^n F(x)\,dx=\int_0^n (x^2-x+1)\,dx
  2. Găsim o primitivă termen cu termen: pentru x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, pentru x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar pentru 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫0n(x2−x+1) dx=(x33−x22+x)∣0n\displaystyle \int_0^n (x^2-x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^n
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în n\displaystyle n și în 0\displaystyle 0 și scădem. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0.
    ∫0nF(x) dx=n33−n22+n\displaystyle \int_0^n F(x)\,dx=\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+n
  4. Egalăm valoarea integralei cu n33\displaystyle \dfrac{n^{3}}{3}, conform enunțului.
    n33−n22+n=n33\displaystyle \frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+n=\frac{n^3}{3}
  5. Reducem termenii n33\displaystyle \dfrac{n^{3}}{3}, apoi înmulțim cu −2\displaystyle -2 și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    −n22+n=0⇔n2−2n=0\displaystyle -\frac{n^2}{2}+n=0\Leftrightarrow n^2-2n=0
  6. Dăm factor comun: n(n−2)=0\displaystyle n(n-2)=0, deci n=0\displaystyle n=0 sau n=2\displaystyle n=2. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, soluția n=0\displaystyle n=0 nu convine.
    n(n−2)=0⇒n=0 sau n=2, iar n≠0⇒n=2\displaystyle n(n-2)=0\Rightarrow n=0\text{ sau }n=2\text{, iar }n\neq 0\Rightarrow n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.