Bac matematică M3 tehnologic 2017, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați rația progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=a3−6\displaystyle a_1=a_3-6.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică de rație r\displaystyle r avem an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  2. Înlocuim a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r în relația a1=a3−6\displaystyle a_1=a_3-6 și obținem ecuația în a1\displaystyle a_1 și r\displaystyle r.
    a1=(a1+2r)−6\displaystyle a_1=(a_1+2r)-6
  3. Desfacem parantezele: a1=a1+2r−6\displaystyle a_1=a_1+2r-6. Scădem a1\displaystyle a_1 din ambele părți și rămâne 0=2r−6\displaystyle 0=2r-6.
    2r−6=0\displaystyle 2r-6=0
  4. Din 2r=6\displaystyle 2r=6 rezultă, împărțind la 2\displaystyle 2, rația progresiei.
    r=3\displaystyle r=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+m\displaystyle f(x)=2x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) este situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=3\displaystyle f(1)=3.
    f(1)=3\displaystyle f(1)=3
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=2x+m\displaystyle f(x)=2x+m și obținem f(1)=2⋅1+m=2+m\displaystyle f(1)=2\cdot 1+m=2+m. Condiția f(1)=3\displaystyle f(1)=3 devine ecuația 2+m=3\displaystyle 2+m=3.
    f(1)=3⇔2+m=3\displaystyle f(1)=3\Leftrightarrow 2+m=3
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri ai ecuației 2+m=3\displaystyle 2+m=3 și obținem m=3−2=1\displaystyle m=3-2=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+3x+2=10\displaystyle 3^x+3^{x+2}=10.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 3x+2=3x⋅32\displaystyle 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2}.
    3x+2=3x⋅9\displaystyle 3^{x+2}=3^{x}\cdot 9
  2. Înlocuim în ecuație: 3x+3x⋅32=10\displaystyle 3^{x}+3^{x}\cdot 3^{2}=10, apoi dăm factor comun 3x\displaystyle 3^{x}.
    3x(1+32)=10\displaystyle 3^{x}\left(1+3^{2}\right)=10
  3. Calculăm 1+32=10\displaystyle 1+3^{2}=10, deci 10⋅3x=10\displaystyle 10\cdot 3^{x}=10. Împărțim la 10\displaystyle 10.
    3x=1\displaystyle 3^{x}=1
  4. Scriem 1=30\displaystyle 1=3^{0}, deci 3x=30\displaystyle 3^{x}=3^{0}. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci exponenții sunt egali.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 15%\displaystyle 15\%, prețul unui stilou este de 17\displaystyle 17 lei. Calculați prețul stiloului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul stiloului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 15%\displaystyle 15\% înseamnă că se scade din p\displaystyle p valoarea 15100⋅p\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot p, iar prețul rămas este 17\displaystyle 17 lei.
    p−15100⋅p=17\displaystyle p-\frac{15}{100}\cdot p=17
  2. Dăm p\displaystyle p factor comun în membrul stâng: p(1−15100)=17\displaystyle p\left(1-\dfrac{15}{100}\right)=17. Cum 1−15100=85100\displaystyle 1-\dfrac{15}{100}=\dfrac{85}{100}, obținem o ecuație de gradul întâi în p\displaystyle p.
    85100⋅p=17\displaystyle \frac{85}{100}\cdot p=17
  3. Aflăm p\displaystyle p înmulțind ambii membri cu 10085\displaystyle \dfrac{100}{85}: p=17⋅10085\displaystyle p=17\cdot\dfrac{100}{85}. Cum 85=17⋅5\displaystyle 85=17\cdot 5, obținem p=1005=20\displaystyle p=\dfrac{100}{5}=20. Prețul stiloului înainte de ieftinire a fost de 20\displaystyle 20 de lei.
    p=20 de lei\displaystyle p=20\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=−x+3\displaystyle y=-x+3. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreapta d′\displaystyle d' de ecuație y=ax−5\displaystyle y=ax-5 este perpendiculară pe dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația dreptei d\displaystyle d este de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, deci panta este coeficientul lui x\displaystyle x: md=−1\displaystyle m_d=-1.
    md=−1\displaystyle m_d=-1
  2. Din ecuația d′:y=ax−5\displaystyle d': y=ax-5 citim panta md′=a\displaystyle m_{d'}=a.
    md=−1\displaystyle m_d=-1, md′=a\displaystyle \ m_{d'}=a
  3. Dreptele d\displaystyle d și d′\displaystyle d' sunt perpendiculare dacă md⋅md′=−1\displaystyle m_d\cdot m_{d'}=-1, adică (−1)⋅a=−1\displaystyle (-1)\cdot a=-1.
    (−1)⋅a=−1\displaystyle (-1)\cdot a=-1
  4. Din −a=−1\displaystyle -a=-1, înmulțind ambii membri cu −1\displaystyle -1, obținem a=1\displaystyle a=1.
    (−1)⋅a=−1⇔a=1\displaystyle (-1)\cdot a=-1\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∠A)=90∘\displaystyle m(\angle A)=90^\circ, tg⁡B=34\displaystyle \operatorname{tg} B=\frac{3}{4} și AC=15\displaystyle AC=15.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Pentru unghiul B\displaystyle B, cateta opusă este AC\displaystyle AC, iar cateta alăturată este AB\displaystyle AB.
    tg⁡B=ACAB\displaystyle \operatorname{tg} B=\frac{AC}{AB}
  2. Înlocuim valorile cunoscute: tg⁡B=34\displaystyle \operatorname{tg} B=\dfrac{3}{4} și AC=15\displaystyle AC=15.
    15AB=34\displaystyle \frac{15}{AB}=\frac{3}{4}
  3. Din proporție rezultă 3⋅AB=15⋅4=60\displaystyle 3\cdot AB=15\cdot 4=60, deci AB=603\displaystyle AB=\dfrac{60}{3}.
    AB=20\displaystyle AB=20
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=20⋅152\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{20\cdot 15}{2}
  5. Calculăm: 20⋅15=300\displaystyle 20\cdot 15=300, iar 3002=150\displaystyle \dfrac{300}{2}=150. Aria triunghiului este 150.
    AΔABC=150\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=150
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a)=∣312a+1a2132∣\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix}3&1&2\\a+1&a&2\\1&3&2\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că D(0)=−12\displaystyle D(0)=-12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în determinant: a doua linie devine (1, 0, 2)\displaystyle (1,\ 0,\ 2), iar celelalte linii rămân neschimbate.
    D(0)=∣312102132∣\displaystyle D(0)=\begin{vmatrix}3&1&2\\1&0&2\\1&3&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 3⋅0⋅2\displaystyle 3\cdot 0\cdot 2, 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1 și 2⋅1⋅3\displaystyle 2\cdot 1\cdot 3.
    3⋅0⋅2+1⋅2⋅1+2⋅1⋅3=0+2+6=8\displaystyle 3\cdot0\cdot2+1\cdot2\cdot1+2\cdot1\cdot3=0+2+6=8
  3. Termenii cu minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 2⋅0⋅1\displaystyle 2\cdot 0\cdot 1, 3⋅2⋅3\displaystyle 3\cdot 2\cdot 3 și 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2.
    2⋅0⋅1+3⋅2⋅3+1⋅1⋅2=0+18+2=20\displaystyle 2\cdot0\cdot1+3\cdot2\cdot3+1\cdot1\cdot2=0+18+2=20
  4. Determinantul este diferența dintre suma termenilor cu plus și suma termenilor cu minus: 0+6+2−0−18−2=8−20=−12\displaystyle 0+6+2-0-18-2=8-20=-12, deci D(0)=−12\displaystyle D(0)=-12.
    D(0)=0+6+2−0−18−2=−12\displaystyle D(0)=0+6+2-0-18-2=-12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a)=∣312a+1a2132∣\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix}3&1&2\\a+1&a&2\\1&3&2\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care D(a)=a2\displaystyle D(a)=a^2.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 3⋅a⋅2\displaystyle 3\cdot a\cdot 2, 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1 și 2⋅(a+1)⋅3\displaystyle 2\cdot (a+1)\cdot 3.
    6a+2+6(a+1)\displaystyle 6a+2+6(a+1)
  2. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 2⋅a⋅1\displaystyle 2\cdot a\cdot 1, 3⋅2⋅3\displaystyle 3\cdot 2\cdot 3 și 1⋅(a+1)⋅2\displaystyle 1\cdot (a+1)\cdot 2. Se scad din suma precedentă.
    2a+18+2(a+1)\displaystyle 2a+18+2(a+1)
  3. Facem diferența dintre cele două sume și reducem termenii asemenea: (12a+8)−(4a+20)=8a−12\displaystyle (12a+8)-(4a+20)=8a-12.
    D(a)=6a+6(a+1)+2−2a−18−2(a+1)=8a−12\displaystyle D(a)=6a+6(a+1)+2-2a-18-2(a+1)=8a-12
  4. Punem condiția D(a)=a2\displaystyle D(a)=a^2, adică 8a−12=a2\displaystyle 8a-12=a^2, și aducem toți termenii într-o parte, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    a2−8a+12=0\displaystyle a^2-8a+12=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=64−48=16\displaystyle \Delta=64-48=16, deci Δ=4\displaystyle \sqrt{\Delta}=4. Rădăcinile sunt a=8±42\displaystyle a=\dfrac{8\pm 4}{2}, adică 2\displaystyle 2 și 6\displaystyle 6.
    a=2 sau a=6\displaystyle a=2\text{ sau }a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a)=∣312a+1a2132∣\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix}3&1&2\\a+1&a&2\\1&3&2\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1), B(n+1,n)\displaystyle B(n+1,n), unde n\displaystyle n este număr natural, și C(1,3)\displaystyle C(1,3). Determinați numerele naturale n\displaystyle n, știind că punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt vârfurile unui triunghi care are aria egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ariei unui triunghi cu vârfurile A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A), B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B), C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C): aria este jumătate din modulul determinantului format din coordonate și o coloană de 1\displaystyle 1. Aici AΔABC=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\Delta\right|, unde Δ=∣311n+1n1131∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}3&1&1\\n+1&n&1\\1&3&1\end{vmatrix}.
    AΔABC=12∣∣311n+1n1131∣∣\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}3&1&1\\n+1&n&1\\1&3&1\end{vmatrix}\right|
  2. Ultima coloană din D(n)\displaystyle D(n) este formată din 2\displaystyle 2, deci dând factor comun 2\displaystyle 2 obținem D(n)=2Δ\displaystyle D(n)=2\Delta, adică Δ=12D(n)\displaystyle \Delta=\dfrac{1}{2}D(n). Calculăm D(n)\displaystyle D(n) prin regula triunghiului: D(n)=3⋅n⋅2+(n+1)⋅3⋅2+1⋅1⋅2−1⋅n⋅2−3⋅2⋅3−(n+1)⋅1⋅2\displaystyle D(n)=3\cdot n\cdot 2+(n+1)\cdot 3\cdot 2+1\cdot 1\cdot 2-1\cdot n\cdot 2-3\cdot 2\cdot 3-(n+1)\cdot 1\cdot 2, deci D(n)=6n+6n+6+2−2n−18−2n−2=8n−12\displaystyle D(n)=6n+6n+6+2-2n-18-2n-2=8n-12.
    D(n)=8n−12\displaystyle D(n)=8n-12,Δ=12D(n)=4n−6\displaystyle \quad \Delta=\frac{1}{2}D(n)=4n-6
  3. Înlocuim în formula ariei: AΔABC=12⋅12∣D(n)∣=14∣8n−12∣=∣2n−3∣\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\left|D(n)\right|=\dfrac{1}{4}\left|8n-12\right|=\left|2n-3\right|.
    AΔABC=12⋅12∣D(n)∣=∣2n−3∣\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|D(n)|=|2n-3|
  4. Aria trebuie să fie 1\displaystyle 1, deci obținem ecuația cu modul ∣2n−3∣=1\displaystyle |2n-3|=1.
    ∣2n−3∣=1\displaystyle |2n-3|=1
  5. Ecuația ∣2n−3∣=1\displaystyle |2n-3|=1 are două cazuri: 2n−3=1\displaystyle 2n-3=1, de unde n=2\displaystyle n=2, sau 2n−3=−1\displaystyle 2n-3=-1, de unde n=1\displaystyle n=1. Ambele valori sunt numere naturale, iar aria 1≠0\displaystyle 1\neq 0 arată că punctele nu sunt coliniare, deci formează un triunghi.
    ∣2n−3∣=1, de unde obținem n=1 sau n=2\displaystyle |2n-3|=1\text{, de unde obținem }n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(−1x2x−3)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}-1&x\\2&x-3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(0)+A(2)=2A(1)\displaystyle A(0)+A(2)=2A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(0)=(−1020−3)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}-1&0\\2&0-3\end{pmatrix}.
    A(0)=(−102−3)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}-1&0\\2&-3\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(2)=(−1222−3)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}-1&2\\2&2-3\end{pmatrix}.
    A(2)=(−122−1)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: −1+(−1)=−2\displaystyle -1+(-1)=-2, 0+2=2\displaystyle 0+2=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, −3+(−1)=−4\displaystyle -3+(-1)=-4.
    A(0)+A(2)=(−102−3)+(−122−1)=(−224−4)\displaystyle A(0)+A(2)=\begin{pmatrix}-1&0\\2&-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\4&-4\end{pmatrix}
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(1)=(−1121−3)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&1-3\end{pmatrix}.
    A(1)=(−112−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea sumă: toate elementele ei sunt multipli de 2\displaystyle 2. Recunoaștem A(1)\displaystyle A(1), deci A(0)+A(2)=2A(1)\displaystyle A(0)+A(2)=2A(1).
    (−224−4)=2(−112−2)=2A(1)\displaystyle \begin{pmatrix}-2&2\\4&-4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}=2A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(−1x2x−3)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}-1&x\\2&x-3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(1)⋅A(x)+3A(1)=O2\displaystyle A(1)\cdot A(x)+3A(1)=O_2, pentru orice număr real x\displaystyle x, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1): elementul x−3\displaystyle x-3 devine 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2.
    A(1)=(−112−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(1)⋅A(x)\displaystyle A(1)\cdot A(x), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: (−1)(−1)+1⋅2=3\displaystyle (-1)(-1)+1\cdot 2=3 și (−1)⋅x+1⋅(x−3)=−3\displaystyle (-1)\cdot x+1\cdot(x-3)=-3. A doua linie: 2⋅(−1)+(−2)⋅2=−6\displaystyle 2\cdot(-1)+(-2)\cdot 2=-6 și 2x+(−2)(x−3)=6\displaystyle 2x+(-2)(x-3)=6. Termenii cu x\displaystyle x se reduc, deci produsul nu depinde de x\displaystyle x.
    A(1)⋅A(x)=(−112−2)⋅(−1x2x−3)=(3−3−66)\displaystyle A(1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&x\\2&x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-3\\-6&6\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3A(1)\displaystyle 3A(1), înmulțind fiecare element al matricei A(1)\displaystyle A(1) cu 3\displaystyle 3.
    3A(1)=(−336−6)\displaystyle 3A(1)=\begin{pmatrix}-3&3\\6&-6\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele două matrice element cu element: 3+(−3)=0\displaystyle 3+(-3)=0, −3+3=0\displaystyle -3+3=0, −6+6=0\displaystyle -6+6=0, 6+(−6)=0\displaystyle 6+(-6)=0. Obținem matricea nulă, pentru orice număr real x\displaystyle x, deci egalitatea este demonstrată.
    A(1)⋅A(x)+3A(1)=(3−3−66)+(−336−6)=(0000)=O2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle A(1)\cdot A(x)+3A(1)=\begin{pmatrix}3&-3\\-6&6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3&3\\6&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(−1x2x−3)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}-1&x\\2&x-3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea B=I2+aA(1)\displaystyle B=I_2+aA(1) este inversabilă, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): primul rând rămâne (−1, 1)\displaystyle (-1,\ 1), iar al doilea devine (2, 1−3)=(2, −2)\displaystyle (2,\ 1-3)=(2,\ -2).
    A(1)=(−112−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}
  2. Scriem B=I2+aA(1)\displaystyle B=I_2+aA(1) și adunăm element cu element: B=(1001)+(−aa2a−2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-a&a\\2a&-2a\end{pmatrix}.
    B=(1−aa2a1−2a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1-a&a\\2a&1-2a\end{pmatrix}
  3. Calculăm det⁡B\displaystyle \det B ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Desfacem parantezele și observăm că termenii în a2\displaystyle a^{2} se reduc.
    det⁡B=(1−a)(1−2a)−a⋅2a=1−3a+2a2−2a2=1−3a\displaystyle \det B=(1-a)(1-2a)-a\cdot 2a=1-3a+2a^{2}-2a^{2}=1-3a
  4. Matricea B\displaystyle B este inversabilă exact când det⁡B≠0\displaystyle \det B\neq 0. Aflăm valoarea lui a\displaystyle a pentru care 1−3a=0\displaystyle 1-3a=0, pe care o excludem.
    1−3a=0⇔a=13\displaystyle 1-3a=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}
  5. Determinantul 1−3a\displaystyle 1-3a este nenul pentru orice a≠13\displaystyle a\neq\dfrac{1}{3}, deci acestea sunt valorile căutate.
    a∈R∖{13}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{3}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+5x2+x+2\displaystyle f(x)=\frac{x+5}{x^2+x+2}.

Arătați că lim⁡x→−1f(x)=2\displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este o fracție de polinoame, iar numitorul x2+x+2\displaystyle x^{2}+x+2 nu se anulează în x=−1\displaystyle x=-1 (are discriminantul negativ, deci nu se anulează pe R\displaystyle \mathbb{R}). Deci f\displaystyle f este continuă în −1\displaystyle -1 și limita se obține prin înlocuire directă.
    lim⁡x→−1f(x)=f(−1)\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)
  2. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în f(x)=x+5x2+x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x+5}{x^{2}+x+2}, la numărător și la numitor.
    lim⁡x→−1x+5x2+x+2=−1+5(−1)2+(−1)+2\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x+5}{x^2+x+2}=\frac{-1+5}{(-1)^2+(-1)+2}
  3. Numărătorul este −1+5=4\displaystyle -1+5=4, iar numitorul este 1−1+2=2\displaystyle 1-1+2=2. Deci limita este 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2, ceea ce trebuia arătat.
    42=2\displaystyle \frac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+5x2+x+2\displaystyle f(x)=\frac{x+5}{x^2+x+2}.

Calculați lim⁡x→+∞((2x−1)f(x))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\big((2x-1)f(x)\big).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei și scriem produsul ca o singură fracție: numărătorul este (2x−1)(x+5)\displaystyle (2x-1)(x+5), iar numitorul este x2+x+2\displaystyle x^2+x+2.
    lim⁡x→+∞(2x−1)f(x)=lim⁡x→+∞(2x−1)(x+5)x2+x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(2x-1)f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(2x-1)(x+5)}{x^{2}+x+2}
  2. Observăm că numărătorul și numitorul au gradul 2\displaystyle 2, deci ambele tind la infinit. Scoatem factor comun x\displaystyle x din fiecare paranteză a numărătorului și x2\displaystyle x^2 din numitor.
    2x−1=x(2−1x)\displaystyle 2x-1=x\left(2-\frac{1}{x}\right),x+5=x(1+5x)\displaystyle \quad x+5=x\left(1+\frac{5}{x}\right),x2+x+2=x2(1+1x+2x2)\displaystyle \quad x^{2}+x+2=x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)
  3. Înlocuim în limită. La numărător, produsul x⋅x\displaystyle x\cdot x dă x2\displaystyle x^2, deci apare același factor x2\displaystyle x^2 ca la numitor.
    lim⁡x→+∞x2(2−1x)(1+5x)x2(1+1x+2x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}\left(2-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{5}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)}
  4. Simplificăm cu x2\displaystyle x^2, care este nenul. Apoi folosim faptul că 1x\displaystyle \frac{1}{x}, 5x\displaystyle \frac{5}{x} și 2x2\displaystyle \frac{2}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    lim⁡x→+∞(2−1x)(1+5x)1+1x+2x2=(2−0)(1+0)1+0+0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\left(2-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{5}{x}\right)}{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}=\frac{(2-0)(1+0)}{1+0+0}
  5. Efectuăm calculul și obținem valoarea limitei.
    2⋅11=2\displaystyle \frac{2\cdot 1}{1}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+5x2+x+2\displaystyle f(x)=\frac{x+5}{x^2+x+2}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită. Calculăm lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x).
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+5x2+x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+5}{x^{2}+x+2}
  2. La numărător dăm factor comun pe x\displaystyle x, iar la numitor pe x2\displaystyle x^{2}. Apoi simplificăm fracția prin x\displaystyle x.
    lim⁡x→+∞x(1+5x)x2(1+1x+2x2)=lim⁡x→+∞1+5xx(1+1x+2x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{5}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{5}{x}}{x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 5x\displaystyle \frac{5}{x}, 1x\displaystyle \frac{1}{x} și 2x2\displaystyle \frac{2}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0. Numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=1+∞=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{+\infty}=0
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x3+1,x∈(−∞,0]3x+1,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3+1,&x\in(-\infty,0]\\\sqrt{3x+1},&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că f(−2)⋅f(5)=−28\displaystyle f(-2)\cdot f(5)=-28.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece −2∈(−∞,0]\displaystyle -2\in(-\infty,0], folosim prima ramură a funcției, f(x)=x3+1\displaystyle f(x)=x^{3}+1.
    f(−2)=(−2)3+1\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+1
  2. Calculăm (−2)3=−8\displaystyle (-2)^{3}=-8, apoi adunăm 1\displaystyle 1 și obținem f(−2)=−7\displaystyle f(-2)=-7.
    f(−2)=−8+1=−7\displaystyle f(-2)=-8+1=-7
  3. Deoarece 5∈(0,+∞)\displaystyle 5\in(0,+\infty), folosim a doua ramură a funcției, f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{3x+1}, și înlocuim x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5.
    f(5)=3⋅5+1=16\displaystyle f(5)=\sqrt{3\cdot 5+1}=\sqrt{16}
  4. Cum 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, obținem f(5)=4\displaystyle f(5)=4.
    f(5)=4\displaystyle f(5)=4
  5. Înmulțim cele două valori: f(−2)⋅f(5)=(−7)⋅4=−28\displaystyle f(-2)\cdot f(5)=(-7)\cdot 4=-28, ceea ce trebuia arătat.
    f(−2)⋅f(5)=(−7)⋅4=−28\displaystyle f(-2)\cdot f(5)=(-7)\cdot 4=-28
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x3+1,x∈(−∞,0]3x+1,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3+1,&x\in(-\infty,0]\\\sqrt{3x+1},&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este continuă în punctul x=0\displaystyle x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este continuă în x=0\displaystyle x=0 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(0)\displaystyle f(0) sunt egale. Calculăm mai întâi limita la stânga, unde f(x)=x3+1\displaystyle f(x)=x^3+1.
    lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0(x3+1)=03+1=1\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x<0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to0\\x<0}}(x^3+1)=0^3+1=1
  2. Calculăm limita la dreapta, unde f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{3x+1}. Funcția radical este continuă, deci putem înlocui direct x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>03x+1=3⋅0+1=1\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to0\\x>0}}\sqrt{3x+1}=\sqrt{3\cdot0+1}=1
  3. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0, folosind prima ramură, pentru că 0∈(−∞,0]\displaystyle 0\in(-\infty,0].
    f(0)=03+1=1\displaystyle f(0)=0^3+1=1
  4. Limitele laterale sunt egale cu 1\displaystyle 1, deci limita în 0\displaystyle 0 există și este 1\displaystyle 1, adică este egală cu f(0)\displaystyle f(0). Prin urmare, funcția f\displaystyle f este continuă în x=0\displaystyle x=0.
    f(0)=1, obținem lim⁡x→0f(x)=f(0), deci funcția f este continua˘ ıˆn punctul x=0\displaystyle f(0)=1\text{, obținem }\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\text{, deci funcția }f\text{ este continuă în punctul }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x3+1,x∈(−∞,0]3x+1,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3+1,&x\in(-\infty,0]\\\sqrt{3x+1},&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că, dacă p\displaystyle p și q\displaystyle q sunt numere reale astfel încât (p+1)⋅(q+1)<0\displaystyle (p+1)\cdot(q+1)<0, atunci f(p)⋅f(q)<0\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm zerourile funcției pe fiecare ramură. Pe ramura x≤0\displaystyle x\le 0 rezolvăm x3+1=0\displaystyle x^{3}+1=0, deci x3=−1\displaystyle x^{3}=-1, adică x=−1\displaystyle x=-1, care aparține intervalului (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
    x3+1=0⇔x=−1\displaystyle x^{3}+1=0\Leftrightarrow x=-1
  2. Pe ramura x>0\displaystyle x>0 avem 3x+1\displaystyle \sqrt{3x+1}, iar pentru x>0\displaystyle x>0 expresia 3x+1>1\displaystyle 3x+1>1, deci radicalul este strict pozitiv. Prin urmare f\displaystyle f nu are zerouri pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și f(x)>0\displaystyle f(x)>0 acolo.
    3x+1>1>0 pentru x>0\displaystyle \sqrt{3x+1}>1>0\text{ pentru }x>0
  3. Singurul zero al lui f\displaystyle f este deci x=−1\displaystyle x=-1. Pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] funcția x3+1\displaystyle x^{3}+1 este strict crescătoare. Pentru x<−1\displaystyle x<-1 avem x3<−1\displaystyle x^{3}<-1, deci f(x)<0\displaystyle f(x)<0. Pentru x∈(−1,0]\displaystyle x\in(-1,0] avem x3>−1\displaystyle x^{3}>-1, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) funcția f\displaystyle f este pozitivă, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pe tot intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    f(x)=0⇔x=−1, f(x)<0 pentru x∈(−∞,−1) și f(x)>0 pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{, }f(x)<0\text{ pentru }x\in(-\infty,-1)\text{ și }f(x)>0\text{ pentru }x\in(-1,+\infty)
  4. Produsul (p+1)(q+1)\displaystyle (p+1)(q+1) este negativ numai dacă cei doi factori au semne opuse. Avem deci două cazuri: p+1<0\displaystyle p+1<0 și q+1>0\displaystyle q+1>0, adică p<−1\displaystyle p<-1 și q>−1\displaystyle q>-1, sau p+1>0\displaystyle p+1>0 și q+1<0\displaystyle q+1<0, adică p>−1\displaystyle p>-1 și q<−1\displaystyle q<-1.
    p∈(−∞,−1) și q∈(−1,+∞) sau p∈(−1,+∞) și q∈(−∞,−1)\displaystyle p\in(-\infty,-1)\text{ și }q\in(-1,+\infty)\text{ sau }p\in(-1,+\infty)\text{ și }q\in(-\infty,-1)
  5. În primul caz, din semnul lui f\displaystyle f, f(p)<0\displaystyle f(p)<0 și f(q)>0\displaystyle f(q)>0, deci produsul este negativ. În al doilea caz, f(p)>0\displaystyle f(p)>0 și f(q)<0\displaystyle f(q)<0, deci produsul este tot negativ. În ambele cazuri f(p)⋅f(q)<0\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(p)⋅f(q)<0\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.