Bac matematică M3 tehnologic 2016, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, pentru care 103+i=a+ib\displaystyle \frac{10}{3+i}=a+ib, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Conjugatul numitorului 3+i\displaystyle 3+i este 3−i\displaystyle 3-i. Amplificăm fracția cu acest conjugat, pentru a scăpa de i\displaystyle i de la numitor.
    103+i=10(3−i)(3+i)(3−i)\displaystyle \frac{10}{3+i}=\frac{10(3-i)}{(3+i)(3-i)}
  2. La numitor folosim formula (x+y)(x−y)=x2−y2\displaystyle (x+y)(x-y)=x^2-y^2, deci obținem 32−i2\displaystyle 3^2-i^2. Cum i2=−1\displaystyle i^2=-1, numitorul devine 9+1=10\displaystyle 9+1=10.
    (3+i)(3−i)=32−i2=9+1=10\displaystyle (3+i)(3-i)=3^2-i^2=9+1=10
  3. Simplificăm cu 10\displaystyle 10 și obținem forma algebrică a numărului complex.
    103+i=10(3−i)32−i2=10(3−i)10=3−i\displaystyle \frac{10}{3+i}=\frac{10(3-i)}{3^2-i^2}=\frac{10(3-i)}{10}=3-i
  4. Egalăm 3−i\displaystyle 3-i cu a+ib\displaystyle a+ib. Două numere complexe sunt egale când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară, deci a=3\displaystyle a=3 și b=−1\displaystyle b=-1.
    a=3\displaystyle a=3, b=−1\displaystyle \ b=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1. Calculați (f(1))2016+(f(0))2016\displaystyle (f(1))^{2016}+(f(0))^{2016}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^{2}-1.
    f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=0
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în formula funcției.
    f(0)=02−1=−1\displaystyle f(0)=0^{2}-1=-1
  3. Înlocuim valorile f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1 în expresia cerută.
    (f(1))2016+(f(0))2016=02016+(−1)2016\displaystyle (f(1))^{2016}+(f(0))^{2016}=0^{2016}+(-1)^{2016}
  4. 02016=0\displaystyle 0^{2016}=0, iar (−1)2016=1\displaystyle (-1)^{2016}=1 deoarece exponentul 2016\displaystyle 2016 este par. Adunăm rezultatele.
    02016+(−1)2016=0+1=1\displaystyle 0^{2016}+(-1)^{2016}=0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 6x2−3x+5=216\displaystyle 6^{x^2-3x+5}=216.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 216\displaystyle 216 este o putere a lui 6\displaystyle 6: 62=36\displaystyle 6^{2}=36, iar 36⋅6=216\displaystyle 36\cdot 6=216, deci 216=63\displaystyle 216=6^{3}.
    216=63\displaystyle 216=6^{3}
  2. Rescriem ecuația cu aceeași bază în ambii membri: 6x2−3x+5=63\displaystyle 6^{x^{2}-3x+5}=6^{3}.
    6x2−3x+5=63\displaystyle 6^{x^{2}-3x+5}=6^{3}
  3. Funcția exponențială cu baza 6\displaystyle 6 este injectivă, deci egalăm exponenții: x2−3x+5=3\displaystyle x^{2}-3x+5=3. Mutăm totul în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0.
    x2−3x+5=3⇔x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+5=3\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  4. Calculăm discriminantul, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2: Δ=b2−4ac=9−8=1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=9-8=1.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}. Obținem x1=3−12=1\displaystyle x_{1}=\dfrac{3-1}{2}=1 și x2=3+12=2\displaystyle x_{2}=\dfrac{3+1}{2}=2, ambele numere reale.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați în câte moduri poate fi aleasă o echipă formată din 5\displaystyle 5 elevi din totalul de 6\displaystyle 6 elevi pe care îi are la dispoziție un antrenor.
Vezi rezolvarea
  1. Ordinea în care sunt aleși elevii nu contează, deci numărul de echipe este numărul combinărilor de 6\displaystyle 6 luate câte 5\displaystyle 5: C65\displaystyle C_6^5.
    C65\displaystyle C_6^5
  2. Scriem formula combinărilor Cnk=n!k!(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} cu n=6\displaystyle n=6 și k=5\displaystyle k=5.
    C65=6!5!(6−5)!\displaystyle C_6^5=\frac{6!}{5!(6-5)!}
  3. Calculăm 6−5=1\displaystyle 6-5=1, iar 1!=1\displaystyle 1!=1. Scriem 6!=6⋅5!\displaystyle 6!=6\cdot 5! și simplificăm cu 5!\displaystyle 5!.
    6⋅5!5!⋅1!=6\displaystyle \frac{6\cdot 5!}{5!\cdot 1!}=6
  4. Antrenorul poate alege echipa în 6\displaystyle 6 moduri, adică alege elevul care rămâne pe dinafară.
    6\displaystyle 6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,0)\displaystyle A(5,0) și B(2m+1,0)\displaystyle B(2m+1,0), unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul C(10,0)\displaystyle C(10,0) este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula coordonatelor mijlocului unui segment: dacă C\displaystyle C este mijlocul lui AB\displaystyle AB, atunci xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}. Ordonatele sunt toate 0\displaystyle 0, deci ele se verifică de la sine.
    xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\frac{x_A+x_B}{2}
  2. Înlocuim abscisele: xC=10\displaystyle x_C=10, xA=5\displaystyle x_A=5, xB=2m+1\displaystyle x_B=2m+1. Obținem ecuația în m\displaystyle m.
    10=5+2m+12\displaystyle 10=\frac{5+2m+1}{2}
  3. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și reducem termenii asemenea: 20=5+2m+1\displaystyle 20=5+2m+1, adică 2m+6=20\displaystyle 2m+6=20.
    2m+6=20\displaystyle 2m+6=20
  4. Scădem 6\displaystyle 6 din ambii membri: 2m=14\displaystyle 2m=14. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    m=7\displaystyle m=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC în care AB=5\displaystyle AB=5, AC=12\displaystyle AC=12 și BC=13\displaystyle BC=13. Calculați cos⁡C\displaystyle \cos C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratele lungimilor laturilor: AB2=52=25\displaystyle AB^{2}=5^{2}=25, AC2=122=144\displaystyle AC^{2}=12^{2}=144, BC2=132=169\displaystyle BC^{2}=13^{2}=169.
    AB2=25\displaystyle AB^{2}=25, AC2=144\displaystyle \ AC^{2}=144, BC2=169\displaystyle \ BC^{2}=169
  2. Observăm că AB2+AC2=25+144=169=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=25+144=169=BC^{2}, deci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, cu ipotenuza BC\displaystyle BC.
    ΔABC este dreptunghic ıˆn A\displaystyle \Delta ABC\text{ este dreptunghic în }A
  3. În triunghiul dreptunghic, cosinusul unghiului C\displaystyle C este raportul dintre cateta alăturată unghiului C\displaystyle C, adică AC\displaystyle AC, și ipotenuza BC\displaystyle BC: cos⁡C=ACBC\displaystyle \cos C=\dfrac{AC}{BC}.
    cos⁡C=ACBC\displaystyle \cos C=\frac{AC}{BC}
  4. Înlocuim AC=12\displaystyle AC=12 și BC=13\displaystyle BC=13 și obținem cos⁡C=1213\displaystyle \cos C=\dfrac{12}{13}.
    cos⁡C=1213\displaystyle \cos C=\frac{12}{13}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(124013001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&4\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Avem A=(124013001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&4\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
  2. Înlocuim elementele matricei. Primul produs este 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, iar celelalte cinci produse conțin cel puțin un element nul de sub diagonala principală, deci sunt egale cu 0\displaystyle 0.
    det⁡A=1⋅1⋅1+2⋅3⋅0+4⋅0⋅0−4⋅1⋅0−1⋅3⋅0−2⋅0⋅1=1+0+0−0−0−0\displaystyle \det A=1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot0+4\cdot0\cdot0-4\cdot1\cdot0-1\cdot3\cdot0-2\cdot0\cdot1=1+0+0-0-0-0
  3. Efectuăm calculul: rămâne doar primul produs, deci determinantul este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei triunghiulare, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1\cdot1=1.
    det⁡A=1\displaystyle \det A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(124013001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&4\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.

Arătați că (A−I3)(A−I3)(A−I3)=O3\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)(A-I_3)=O_3, unde I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem matricea unitate din A\displaystyle A, element cu element: pe diagonala principală 1−1=0\displaystyle 1-1=0, restul elementelor rămân neschimbate. Notăm B=A−I3\displaystyle B=A-I_3.
    B=A−I3=(024003000)\displaystyle B=A-I_3=\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm B2\displaystyle B^2, înmulțind linie cu coloană. Prima linie a lui B\displaystyle B este (0, 2, 4)\displaystyle (0,\,2,\,4). Înmulțită cu coloanele lui B\displaystyle B dă: 0\displaystyle 0, apoi 0\displaystyle 0, apoi 2⋅3+4⋅0=6\displaystyle 2\cdot 3+4\cdot 0=6. A doua linie (0, 0, 3)\displaystyle (0,\,0,\,3) dă 0\displaystyle 0 peste tot, fiindcă a treia linie a lui B\displaystyle B este nulă. A treia linie este nulă.
    (A−I3)(A−I3)=B2=(006000000)\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)=B^2=\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm B3=B2⋅B\displaystyle B^3=B^2\cdot B. Singurul element nenul din B2\displaystyle B^2 este 6\displaystyle 6, pe prima linie și a treia coloană. El se înmulțește cu elementele din a treia linie a lui B\displaystyle B, care sunt toate 0\displaystyle 0. Deci toate elementele produsului sunt 0\displaystyle 0 și obținem matricea nulă.
    (A−I3)(A−I3)(A−I3)=(006000000)(024003000)=(000000000)=O3\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)(A-I_3)=\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(124013001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&4\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}.

Rezolvați ecuația matriceală AX=(012)\displaystyle AX=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}, unde X=(xyz)∈M3,1(R)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}).
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm produsul dintre matricea A\displaystyle A și coloana X\displaystyle X, înmulțind fiecare linie a lui A\displaystyle A cu coloana X\displaystyle X, și îl egalăm cu coloana dată: AX=(x+2y+4zy+3zz)=(012)\displaystyle AX=\begin{pmatrix}x+2y+4z\\y+3z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}.
    (x+2y+4zy+3zz)=(012)\displaystyle \begin{pmatrix}x+2y+4z\\y+3z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}
  2. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale, deci obținem un sistem triunghiular de trei ecuații.
    {x+2y+4z=0y+3z=1z=2\displaystyle \begin{cases}x+2y+4z=0\\y+3z=1\\z=2\end{cases}
  3. Ultima ecuație ne dă direct valoarea lui z\displaystyle z.
    z=2\displaystyle z=2
  4. Înlocuim z=2\displaystyle z=2 în a doua ecuație: y+3⋅2=1\displaystyle y+3\cdot 2=1, deci y=1−6\displaystyle y=1-6.
    y=−5\displaystyle y=-5
  5. Înlocuim y=−5\displaystyle y=-5 și z=2\displaystyle z=2 în prima ecuație: x+2⋅(−5)+4⋅2=0\displaystyle x+2\cdot(-5)+4\cdot 2=0, adică x−10+8=0\displaystyle x-10+8=0, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  6. Soluția ecuației matriceale este coloana formată din valorile aflate. Verificare: prima linie dă 2−10+8=0\displaystyle 2-10+8=0, a doua dă −5+6=1\displaystyle -5+6=1, a treia dă 2\displaystyle 2.
    x=2\displaystyle x=2, y=−5\displaystyle \ y=-5, z=2\displaystyle \ z=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−x−y+2\displaystyle x*y=xy-x-y+2.

Arătați că x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=xy−x−y+2\displaystyle x*y=xy-x-y+2. Scriem 2=1+1\displaystyle 2=1+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=xy−x−y+1+1\displaystyle x*y=xy-x-y+1+1
  2. Grupăm xy−x=x(y−1)\displaystyle xy-x=x(y-1). Grupăm apoi −y+1=−(y−1)\displaystyle -y+1=-(y-1). Ne rămâne încă un +1\displaystyle +1 negrupat.
    x∗y=x(y−1)−(y−1)+1\displaystyle x*y=x(y-1)-(y-1)+1
  3. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1 din primii doi termeni: x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1). Deci x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−x−y+2\displaystyle x*y=xy-x-y+2.

Calculați 0∗1∗2∗3\displaystyle 0*1*2*3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima compunere, 0∗1\displaystyle 0*1, înlocuind în definiția legii x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1: 0∗1=0⋅1−0−1+2\displaystyle 0*1=0\cdot 1-0-1+2.
    0∗1=0−0−1+2=1\displaystyle 0*1=0-0-1+2=1
  2. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii cum vrem. Înlocuim 0∗1\displaystyle 0*1 cu 1\displaystyle 1 și grupăm ultimii doi factori: 0∗1∗2∗3=(0∗1)∗2∗3=1∗2∗3=1∗(2∗3)\displaystyle 0*1*2*3=(0*1)*2*3=1*2*3=1*(2*3).
    0∗1∗2∗3=(0∗1)∗2∗3=1∗(2∗3)\displaystyle 0*1*2*3=(0*1)*2*3=1*(2*3)
  3. Calculăm compunerea din paranteză, 2∗3\displaystyle 2*3, cu x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3: 2∗3=2⋅3−2−3+2\displaystyle 2*3=2\cdot 3-2-3+2.
    2∗3=6−2−3+2=3\displaystyle 2*3=6-2-3+2=3
  4. Rămâne de calculat 1∗3\displaystyle 1*3, cu x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3: 1∗3=1⋅3−1−3+2\displaystyle 1*3=1\cdot 3-1-3+2. Rezultatul este răspunsul final.
    1∗3=3−1−3+2=1\displaystyle 1*3=3-1-3+2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−x−y+2\displaystyle x*y=xy-x-y+2.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că a∗a∗2016=2016\displaystyle a*a*2016=2016.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub forma x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, deoarece (x−1)(y−1)+1=xy−x−y+1+1=xy−x−y+2\displaystyle (x-1)(y-1)+1=xy-x-y+1+1=xy-x-y+2.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1
  2. Calculăm a∗a\displaystyle a*a, înlocuind x=a\displaystyle x=a și y=a\displaystyle y=a în forma de mai sus.
    a∗a=(a−1)2+1\displaystyle a*a=(a-1)^{2}+1
  3. Folosim asociativitatea și calculăm (a∗a)∗2016\displaystyle (a*a)*2016 cu aceeași formulă. Pentru y=2016\displaystyle y=2016 avem y−1=2015\displaystyle y-1=2015, deci (a∗a)∗2016=(a∗a−1)⋅2015+1\displaystyle (a*a)*2016=(a*a-1)\cdot 2015+1. Cum a∗a−1=(a−1)2\displaystyle a*a-1=(a-1)^{2}, obținem expresia de mai jos.
    a∗a∗2016=2015(a−1)2+1\displaystyle a*a*2016=2015(a-1)^{2}+1
  4. Punem condiția din enunț: 2015(a−1)2+1=2016\displaystyle 2015(a-1)^{2}+1=2016.
    2015(a−1)2+1=2016\displaystyle 2015(a-1)^{2}+1=2016
  5. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem 2015(a−1)2=2015\displaystyle 2015(a-1)^{2}=2015. Împărțim la 2015\displaystyle 2015, de unde (a−1)2=1\displaystyle (a-1)^{2}=1.
    (a−1)2=1\displaystyle (a-1)^{2}=1
  6. Din (a−1)2=1\displaystyle (a-1)^{2}=1 rezultă a−1=1\displaystyle a-1=1 sau a−1=−1\displaystyle a-1=-1, deci a=2\displaystyle a=2 sau a=0\displaystyle a=0. Acestea sunt soluțiile căutate.
    a=0 sau a=2\displaystyle a=0\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}.

Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Recunoaștem în limita dată definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul x0=2\displaystyle x_0=2: f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. Funcția este definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci în jurul lui 2\displaystyle 2.
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  2. Scriem funcția sub forma f(x)=x+1x=xx+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}, adică, pentru x>0\displaystyle x>0, f(x)=1+1x\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x}.
    f(x)=1+1x\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}
  3. Derivăm: derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}. Deci f′(x)=0−1x2\displaystyle f'(x)=0-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2: f′(2)=−122=−14\displaystyle f'(2)=-\dfrac{1}{2^{2}}=-\dfrac{1}{4}. Cum limita este egală cu f′(2)\displaystyle f'(2), obținem răspunsul.
    f′(x)=−1x2 și f′(2)=−14⇒lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=−14\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2}\text{ și }f'(2)=-\frac{1}{4}\Rightarrow\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=1+11\displaystyle f(1)=\dfrac{1+1}{1}.
    f(1)=1+11=2\displaystyle f(1)=\dfrac{1+1}{1}=2
  3. Scriem funcția sub forma f(x)=1+1x\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x} și o derivăm: derivata lui 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=−112=−1\displaystyle f'(1)=-\dfrac{1}{1^{2}}=-1. Astfel avem f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și f′(1)=−1\displaystyle f'(1)=-1.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2, f′(1)=−1\displaystyle \ f'(1)=-1
  5. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−2=−1⋅(x−1)\displaystyle y-2=-1\cdot(x-1). Desfacem parantezele: y−2=−x+1\displaystyle y-2=-x+1, deci y=−x+3\displaystyle y=-x+3. Aceasta este ecuația tangentei.
    y−2=−(x−1)⇒y=−x+3\displaystyle y-2=-(x-1)\Rightarrow y=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}.

Demonstrați că 20172016≤f(x)≤2\displaystyle \frac{2017}{2016}\le f(x)\le2, pentru orice x∈[1,2016]\displaystyle x\in[1,2016].
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub o formă mai ușor de derivat: f(x)=x+1x=1+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(x)=1+1x\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x}
  2. Calculăm derivata: f′(x)=(1+1x)′=−1x2\displaystyle f'(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}
  3. Deoarece x2>0\displaystyle x^{2}>0 pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, ∀x∈(0,+∞)⇒f este descresca˘toare pe (0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(0,+\infty)
  4. Calculăm valorile la capetele intervalului [1,2016]\displaystyle [1,2016]: f(1)=1+11=2\displaystyle f(1)=\dfrac{1+1}{1}=2 și f(2016)=2016+12016=20172016\displaystyle f(2016)=\dfrac{2016+1}{2016}=\dfrac{2017}{2016}.
    f(1)=2 și f(2016)=20172016\displaystyle f(1)=2\text{ și }f(2016)=\dfrac{2017}{2016}
  5. Pentru x∈[1,2016]\displaystyle x\in[1,2016] avem 1≤x≤2016\displaystyle 1\le x\le 2016, iar f\displaystyle f este descrescătoare, deci f(2016)≤f(x)≤f(1)\displaystyle f(2016)\le f(x)\le f(1). Înlocuind valorile obținute, rezultă inegalitatea cerută.
    20172016≤f(x)≤2\displaystyle \dfrac{2017}{2016}\le f(x)\le 2, ∀x∈[1,2016]\displaystyle \ \forall x\in[1,2016]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2.

Calculați ∫02(f(x)+3x2−2)dx\displaystyle \int_0^2\left(f(x)+3x^2-2\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3−3x2+2\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2 în integrand: f(x)+3x2−2=x3−3x2+2+3x2−2\displaystyle f(x)+3x^2-2=x^3-3x^2+2+3x^2-2.
    f(x)+3x2−2=x3−3x2+2+3x2−2\displaystyle f(x)+3x^2-2=x^3-3x^2+2+3x^2-2
  2. Reducem termenii asemenea: −3x2+3x2=0\displaystyle -3x^2+3x^2=0 și 2−2=0\displaystyle 2-2=0. Rămâne doar x3\displaystyle x^3.
    f(x)+3x2−2=x3\displaystyle f(x)+3x^2-2=x^3
  3. Integrala devine ∫02x3 dx\displaystyle \int_0^2 x^3\,dx. O primitivă a lui x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫02(f(x)+3x2−2)dx=∫02x3 dx=x44∣02\displaystyle \int_0^2\left(f(x)+3x^2-2\right)dx=\int_0^2x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Big|_0^2
  4. Calculăm diferența valorilor primitivei în limite: 244−044=164−0\displaystyle \dfrac{2^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}=\dfrac{16}{4}-0.
    244−044=164−0=4\displaystyle \frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4}=\frac{16}{4}-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2.

Arătați că ∫01(f(x)−x3+3x2+x)exdx=2e−1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^3+3x^2+x\right)e^xdx=2e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3−3x2+2\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2 în expresia din paranteză: f(x)−x3+3x2+x=x3−3x2+2−x3+3x2+x\displaystyle f(x)-x^3+3x^2+x=x^3-3x^2+2-x^3+3x^2+x.
    f(x)−x3+3x2+x=x3−3x2+2−x3+3x2+x\displaystyle f(x)-x^3+3x^2+x=x^3-3x^2+2-x^3+3x^2+x
  2. Reducem termenii asemenea: x3\displaystyle x^3 cu −x3\displaystyle -x^3 și −3x2\displaystyle -3x^2 cu 3x2\displaystyle 3x^2. Rămâne 2+x\displaystyle 2+x, deci integrala devine ∫01(2+x)exdx\displaystyle \int_0^1(2+x)e^xdx.
    ∫01(f(x)−x3+3x2+x)exdx=∫01(2+x)exdx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^3+3x^2+x\right)e^xdx=\int_0^1(2+x)e^xdx
  3. Căutăm o primitivă a funcției (2+x)ex\displaystyle (2+x)e^x. Verificăm că (1+x)ex\displaystyle (1+x)e^x este primitivă, derivând cu regula produsului: ((1+x)ex)′=ex+(1+x)ex=(2+x)ex\displaystyle \left((1+x)e^x\right)'=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x.
    ((1+x)ex)′=ex+(1+x)ex=(2+x)ex\displaystyle \left((1+x)e^x\right)'=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva (1+x)ex\displaystyle (1+x)e^x. În 1\displaystyle 1 obținem 2e\displaystyle 2e, în 0\displaystyle 0 obținem 1\displaystyle 1, deci integrala este 2e−1\displaystyle 2e-1.
    ∫01(2+x)exdx=(1+x)ex∣01=2e−1\displaystyle \int_0^1(2+x)e^xdx=(1+x)e^x\Big|_0^1=2e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2.

Demonstrați că ∫1−a1+af(x)dx=0\displaystyle \int_{1-a}^{1+a}f(x)dx=0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Găsim o primitivă a funcției f\displaystyle f, integrând fiecare termen: pentru x3\displaystyle x^{3} obținem x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}, pentru −3x2\displaystyle -3x^{2} obținem −x3\displaystyle -x^{3}, iar pentru 2\displaystyle 2 obținem 2x\displaystyle 2x. Deci F(x)=x44−x3+2x\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x^{3}+2x.
    F(x)=x44−x3+2x\displaystyle F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+2x
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1−a1+af(x)dx=F(1+a)−F(1−a)\displaystyle \int_{1-a}^{1+a}f(x)dx=F(1+a)-F(1-a).
    ∫1−a1+af(x)dx=(x44−x3+2x)∣1−a1+a\displaystyle \int_{1-a}^{1+a}f(x)dx=\left(\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+2x\right)\Big|_{1-a}^{1+a}
  3. Calculăm diferența termenilor de gradul 4. Avem (1+a)4=1+4a+6a2+4a3+a4\displaystyle (1+a)^{4}=1+4a+6a^{2}+4a^{3}+a^{4} și (1−a)4=1−4a+6a2−4a3+a4\displaystyle (1-a)^{4}=1-4a+6a^{2}-4a^{3}+a^{4}. Prin scădere, (1+a)4−(1−a)4=8a+8a3\displaystyle (1+a)^{4}-(1-a)^{4}=8a+8a^{3}, deci după împărțirea la 4 rămâne 2a+2a3\displaystyle 2a+2a^{3}.
    (1+a)4−(1−a)44=8a+8a34=2a+2a3\displaystyle \frac{(1+a)^{4}-(1-a)^{4}}{4}=\frac{8a+8a^{3}}{4}=2a+2a^{3}
  4. Calculăm diferența termenilor de gradul 3. Avem (1+a)3=1+3a+3a2+a3\displaystyle (1+a)^{3}=1+3a+3a^{2}+a^{3} și (1−a)3=1−3a+3a2−a3\displaystyle (1-a)^{3}=1-3a+3a^{2}-a^{3}, deci (1+a)3−(1−a)3=6a+2a3\displaystyle (1+a)^{3}-(1-a)^{3}=6a+2a^{3}. Cu semnul minus din față obținem −6a−2a3\displaystyle -6a-2a^{3}.
    −[(1+a)3−(1−a)3]=−6a−2a3\displaystyle -\left[(1+a)^{3}-(1-a)^{3}\right]=-6a-2a^{3}
  5. Calculăm diferența termenilor de gradul întâi: 2(1+a)−2(1−a)=2+2a−2+2a=4a\displaystyle 2(1+a)-2(1-a)=2+2a-2+2a=4a.
    2(1+a)−2(1−a)=4a\displaystyle 2(1+a)-2(1-a)=4a
  6. Adunăm cele trei rezultate: 2a+2a3−2a3−6a+4a\displaystyle 2a+2a^{3}-2a^{3}-6a+4a. Termenii 2a3\displaystyle 2a^{3} și −2a3\displaystyle -2a^{3} se anulează, iar 2a−6a+4a=0\displaystyle 2a-6a+4a=0. Deci integrala este 0\displaystyle 0 pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.
    2a+2a3−2a3−6a+4a=0\displaystyle 2a+2a^{3}-2a^{3}-6a+4a=0, ∀a∈R\displaystyle \ \forall a\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.