Bac matematică M3 tehnologic 2019, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+5)2−20=6\displaystyle (1+\sqrt{5})^2-\sqrt{20}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 pentru a=1\displaystyle a=1 și b=5\displaystyle b=\sqrt{5}.
    (1+5)2=12+2⋅1⋅5+(5)2\displaystyle (1+\sqrt{5})^2=1^2+2\cdot 1\cdot\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2
  2. Calculăm: 12=1\displaystyle 1^2=1, iar (5)2=5\displaystyle (\sqrt{5})^2=5. Adunăm 1+5=6\displaystyle 1+5=6.
    (1+5)2=1+25+5=6+25\displaystyle (1+\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}
  3. Scriem 20=4⋅5\displaystyle 20=4\cdot 5 și scoatem de sub radical pătratul perfect 4\displaystyle 4.
    20=4⋅5=25\displaystyle \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}
  4. Înlocuim cele două rezultate în expresia dată. Termenii cu radical se reduc și rămâne 6\displaystyle 6, deci egalitatea este demonstrată.
    (1+5)2−20=6+25−25=6\displaystyle (1+\sqrt{5})^2-\sqrt{20}=6+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−3\displaystyle f(x)=x^2+2x-3. Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata 0\displaystyle 0, deci rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0.
    x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0
  2. Calculăm discriminantul: Δ=22−4⋅1⋅(−3)=4+12=16\displaystyle \Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16.
    Δ=16\displaystyle \Delta=16
  3. Aplicăm formula rădăcinilor: x=−2±162=−2±42\displaystyle x=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2\pm 4}{2}. Obținem x=−3\displaystyle x=-3 sau x=1\displaystyle x=1. Punctele de intersecție sunt A(−3,0)\displaystyle A(-3,0) și B(1,0)\displaystyle B(1,0).
    x=−3 sau x=1\displaystyle x=-3\text{ sau }x=1
  4. Punctele sunt pe axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța dintre ele este modulul diferenței absciselor: AB=∣1−(−3)∣=∣4∣=4\displaystyle AB=|1-(-3)|=|4|=4.
    AB=4\displaystyle AB=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x⋅8x+1=162x\displaystyle 4^x\cdot 8^{x+1}=16^{2x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare putere ca putere a lui 2\displaystyle 2: 4=22\displaystyle 4=2^{2}, 8=23\displaystyle 8=2^{3}, 16=24\displaystyle 16=2^{4}.
    4=22\displaystyle 4=2^{2}, 8=23\displaystyle \ 8=2^{3}, 16=24\displaystyle \ 16=2^{4}
  2. Înlocuim în ecuație și folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}: (22)x⋅(23)x+1=(24)2x\displaystyle (2^{2})^{x}\cdot (2^{3})^{x+1}=(2^{4})^{2x}, adică 22x⋅23x+3=28x\displaystyle 2^{2x}\cdot 2^{3x+3}=2^{8x}.
    22x⋅23x+3=28x\displaystyle 2^{2x}\cdot 2^{3x+3}=2^{8x}
  3. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: 2x+3x+3=5x+3\displaystyle 2x+3x+3=5x+3.
    25x+3=28x\displaystyle 2^{5x+3}=2^{8x}
  4. Funcția 2t\displaystyle 2^{t} este injectivă, deci egalăm exponenții: 5x+3=8x\displaystyle 5x+3=8x.
    5x+3=8x\displaystyle 5x+3=8x
  5. Trecem termenii cu x\displaystyle x în același membru: 3=8x−5x=3x\displaystyle 3=8x-5x=3x, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 15\displaystyle 15.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm numărul cu abc‾\displaystyle \overline{abc}, unde a,b,c\displaystyle a,b,c sunt cifre și a≠0\displaystyle a\neq 0. Condiția este a⋅b⋅c=15\displaystyle a\cdot b\cdot c=15.
    a⋅b⋅c=15\displaystyle a\cdot b\cdot c=15
  2. Descompunem 15=3⋅5\displaystyle 15=3\cdot 5. Cifrele sunt divizori ai lui 15\displaystyle 15, deci pot fi doar 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3 sau 5\displaystyle 5, deoarece 15\displaystyle 15 nu este cifră.
    15=3⋅5\displaystyle 15=3\cdot 5
  3. Factorii primi 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5 apar fiecare o singură dată, deci două cifre sunt 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5, iar a treia este 1\displaystyle 1, pentru că 3⋅5⋅1=15\displaystyle 3\cdot 5\cdot 1=15. Aceasta este singura descompunere în trei cifre.
    1\displaystyle 1, 3 și 5\displaystyle \ 3\text{ și }5
  4. Cifrele 1,3,5\displaystyle 1,3,5 sunt distincte și nenule, deci orice ordine a lor dă un număr de trei cifre. Numărul de permutări este 3!=6\displaystyle 3!=6.
    3!=6\displaystyle 3!=6
  5. Scriem toate permutările cifrelor 1,3,5\displaystyle 1,3,5 în ordine crescătoare. Acestea sunt numerele căutate.
    135\displaystyle 135, 153\displaystyle \ 153, 315\displaystyle \ 315, 351\displaystyle \ 351, 513 și 531\displaystyle \ 513\text{ și }531
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(a,a+1)\displaystyle A(a,a+1), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A\displaystyle A se află pe dreapta de ecuație y=2x−1\displaystyle y=2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține unei drepte dacă și numai dacă coordonatele sale verifică ecuația dreptei. Punctul A(a,a+1)\displaystyle A(a,a+1) are abscisa x=a\displaystyle x=a și ordonata y=a+1\displaystyle y=a+1, iar dreapta are ecuația y=2x−1\displaystyle y=2x-1.
    x=a\displaystyle x=a, y=a+1\displaystyle \ y=a+1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a și y\displaystyle y cu a+1\displaystyle a+1 în ecuația y=2x−1\displaystyle y=2x-1 și obținem ecuația în necunoscuta a\displaystyle a.
    a+1=2a−1\displaystyle a+1=2a-1
  3. Aducem termenii cu a\displaystyle a într-o parte și numerele în cealaltă: scădem a\displaystyle a din ambii membri și adunăm 1\displaystyle 1, deci 1+1=2a−a\displaystyle 1+1=2a-a. Rezultă a=2\displaystyle a=2, deci punctul este A(2,3)\displaystyle A(2,3). Verificare: 3=2⋅2−1\displaystyle 3=2\cdot 2-1.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Demonstrați că (2sin⁡x+3cos⁡x)2+(3sin⁡x−2cos⁡x)2=13\displaystyle (2\sin x+3\cos x)^2+(3\sin x-2\cos x)^2=13, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=2sin⁡x\displaystyle a=2\sin x și b=3cos⁡x\displaystyle b=3\cos x.
    (2sin⁡x+3cos⁡x)2=4sin⁡2x+12sin⁡xcos⁡x+9cos⁡2x\displaystyle (2\sin x+3\cos x)^2=4\sin^2 x+12\sin x\cos x+9\cos^2 x
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=3sin⁡x\displaystyle a=3\sin x și b=2cos⁡x\displaystyle b=2\cos x.
    (3sin⁡x−2cos⁡x)2=9sin⁡2x−12sin⁡xcos⁡x+4cos⁡2x\displaystyle (3\sin x-2\cos x)^2=9\sin^2 x-12\sin x\cos x+4\cos^2 x
  3. Scriem suma celor două dezvoltări.
    4sin⁡2x+12sin⁡xcos⁡x+9cos⁡2x+9sin⁡2x−12sin⁡xcos⁡x+4cos⁡2x\displaystyle 4\sin^2 x+12\sin x\cos x+9\cos^2 x+9\sin^2 x-12\sin x\cos x+4\cos^2 x
  4. Termenii mixți 12sin⁡xcos⁡x\displaystyle 12\sin x\cos x și −12sin⁡xcos⁡x\displaystyle -12\sin x\cos x sunt opuși, deci se reduc. Grupăm apoi termenii în sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x și pe cei în cos⁡2x\displaystyle \cos^2 x.
    13sin⁡2x+13cos⁡2x\displaystyle 13\sin^2 x+13\cos^2 x
  5. Dăm 13\displaystyle 13 factor comun și aplicăm identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, valabilă pentru orice x\displaystyle x real. Astfel egalitatea este demonstrată.
    13(sin⁡2x+cos⁡2x)=13, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 13(\sin^2 x+\cos^2 x)=13\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−1x−1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=3\displaystyle \det(A(2))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementele x\displaystyle x și x−1\displaystyle x-1 devin 2\displaystyle 2 și 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(2112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2), adică determinantul de ordin 2\displaystyle 2 cu aceste elemente.
    det⁡(A(2))=∣2112∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2 ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 2⋅2−1⋅1=4−1=3\displaystyle 2\cdot 2-1\cdot 1=4-1=3, deci det⁡(A(2))=3\displaystyle \det(A(2))=3.
    det⁡(A(2))=2⋅2−1⋅1=4−1=3\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 2-1\cdot 1=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−1x−1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(2xy−x−y+1)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(2xy-x-y+1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y) cu definiția lui A\displaystyle A: matricea A(x)\displaystyle A(x) are pe diagonală x\displaystyle x și în afara diagonalei x−1\displaystyle x-1, iar A(y)\displaystyle A(y) are y\displaystyle y și y−1\displaystyle y-1.
    A(x)⋅A(y)=(xx−1x−1x)⋅(yy−1y−1y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} y & y-1 \\ y-1 & y \end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este x⋅y+(x−1)(y−1)\displaystyle x\cdot y+(x-1)(y-1). Desfacem parantezele: (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1.
    xy+(x−1)(y−1)=xy+xy−x−y+1\displaystyle xy+(x-1)(y-1)=xy+xy-x-y+1
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este x(y−1)+(x−1)y=xy−x+xy−y\displaystyle x(y-1)+(x-1)y=xy-x+xy-y. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este (x−1)y+x(y−1)=xy−y+xy−x\displaystyle (x-1)y+x(y-1)=xy-y+xy-x.
    (∗xy−x+xy−yxy−y+xy−x∗)\displaystyle \begin{pmatrix} \ast & xy-x+xy-y \\ xy-y+xy-x & \ast \end{pmatrix}
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este (x−1)(y−1)+xy=xy−x−y+1+xy\displaystyle (x-1)(y-1)+xy=xy-x-y+1+xy. Rezultă produsul complet.
    A(x)⋅A(y)=(xy+xy−x−y+1xy−x+xy−yxy−y+xy−xxy−x−y+1+xy)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix} xy+xy-x-y+1 & xy-x+xy-y \\ xy-y+xy-x & xy-x-y+1+xy \end{pmatrix}
  5. Reducem termenii asemenea: pe diagonală obținem 2xy−x−y+1\displaystyle 2xy-x-y+1, iar în afara diagonalei 2xy−x−y\displaystyle 2xy-x-y, care se scrie 2xy−x−y+1−1\displaystyle 2xy-x-y+1-1.
    (2xy−x−y+12xy−x−y+1−12xy−x−y+1−12xy−x−y+1)\displaystyle \begin{pmatrix} 2xy-x-y+1 & 2xy-x-y+1-1 \\ 2xy-x-y+1-1 & 2xy-x-y+1 \end{pmatrix}
  6. Notăm t=2xy−x−y+1\displaystyle t=2xy-x-y+1. Matricea obținută are t\displaystyle t pe diagonală și t−1\displaystyle t-1 în afara diagonalei, adică este A(t)\displaystyle A(t). Deci egalitatea este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    A(x)⋅A(y)=A(2xy−x−y+1)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(2xy-x-y+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−1x−1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A(a)=A(x)⋅A(12)⋅A(y)\displaystyle A(a)=A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y). Pe diagonala principală obținem xy+(x−1)(y−1)=2xy−x−y+1\displaystyle xy+(x-1)(y-1)=2xy-x-y+1. Pe cealaltă diagonală obținem x(y−1)+(x−1)y=2xy−x−y\displaystyle x(y-1)+(x-1)y=2xy-x-y, adică cu 1\displaystyle 1 mai puțin. Rezultă regula A(x)⋅A(y)=A(2xy−x−y+1)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(2xy-x-y+1).
    A(x)⋅A(y)=A(2xy−x−y+1)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(2xy-x-y+1)
  2. Aplicăm regula pentru A(x)⋅A(12)\displaystyle A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right), adică punem y=12\displaystyle y=\frac{1}{2}. Expresia 2⋅x⋅12−x−12+1\displaystyle 2\cdot x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1 se reduce la 12\displaystyle \frac{1}{2}, deoarece termenii cu x\displaystyle x se anulează. Deci A(x)⋅A(12)=A(12)\displaystyle A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right).
    A(x)⋅A(12)=A(2⋅x⋅12−x−12+1)=A(12)\displaystyle A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)=A\left(2\cdot x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)
  3. Aplicăm regula și pentru A(12)⋅A(y)\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y). Expresia 2⋅12⋅y−12−y+1\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}\cdot y-\frac{1}{2}-y+1 se reduce la 12\displaystyle \frac{1}{2}, deoarece termenii cu y\displaystyle y se anulează. Deci A(12)⋅A(y)=A(12)\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right).
    A(12)⋅A(y)=A(2⋅12⋅y−12−y+1)=A(12)\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=A\left(2\cdot\frac{1}{2}\cdot y-\frac{1}{2}-y+1\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)
  4. Asociem produsul inițial și folosim cele două rezultate: (A(x)⋅A(12))⋅A(y)=A(12)⋅A(y)=A(12)\displaystyle \left(A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right). Cum A(a)=A(12)\displaystyle A(a)=A\left(\frac{1}{2}\right), rezultă a=12\displaystyle a=\frac{1}{2}.
    (A(x)⋅A(12))⋅A(y)=A(12)⋅A(y)=A(12), deci a=12\displaystyle \left(A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right)\text{, deci }a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−xy4\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{4}. Arătați că 6∗2=5\displaystyle 6*2=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−xy4\displaystyle x*y=x+y-\dfrac{xy}{4} pentru x=6\displaystyle x=6 și y=2\displaystyle y=2.
    6∗2=6+2−6⋅24\displaystyle 6*2=6+2-\dfrac{6\cdot 2}{4}
  2. Calculăm 6+2=8\displaystyle 6+2=8 și 6⋅24=124=3\displaystyle \dfrac{6\cdot 2}{4}=\dfrac{12}{4}=3.
    8−3\displaystyle 8-3
  3. Obținem 6∗2=8−3=5\displaystyle 6*2=8-3=5, deci egalitatea cerută este adevărată.
    6∗2=8−3=5\displaystyle 6*2=8-3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−xy4\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{4}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(4x)=6\displaystyle x*(4x)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația dată este x∗(4x)=6\displaystyle x*(4x)=6. Folosim definiția x∗y=x+y−xy4\displaystyle x*y=x+y-\dfrac{xy}{4} cu y=4x\displaystyle y=4x.
    x+4x−x⋅4x4=6\displaystyle x+4x-\dfrac{x\cdot 4x}{4}=6
  2. Avem x+4x=5x\displaystyle x+4x=5x și x⋅4x4=x2\displaystyle \dfrac{x\cdot 4x}{4}=x^{2}, deci ecuația devine 5x−x2=6\displaystyle 5x-x^{2}=6.
    5x−x2=6\displaystyle 5x-x^{2}=6
  3. Mutăm totul în partea stângă: x2−5x+6=0\displaystyle x^{2}-5x+6=0.
    x2−5x+6=0\displaystyle x^{2}-5x+6=0
  4. Discriminantul este Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1\displaystyle \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  5. Rădăcinile sunt x=5±12\displaystyle x=\dfrac{5\pm 1}{2}, adică x=2\displaystyle x=2 și x=3\displaystyle x=3. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x=2 sau x=3\displaystyle x=2\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−xy4\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{4}.

Calculați 1∗2∗3∗…∗2019\displaystyle 1*2*3*\ldots*2019.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗4\displaystyle x*4 folosind definiția legii: x∗4=x+4−x⋅44\displaystyle x*4=x+4-\dfrac{x\cdot 4}{4}. Simplificăm fracția: x∗4=x+4−x\displaystyle x*4=x+4-x.
    x∗4=x+4−x=4\displaystyle x*4=x+4-x=4
  2. Legea este comutativă, deoarece expresia x+y−xy4\displaystyle x+y-\dfrac{xy}{4} este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Deci 4∗y=y∗4=4\displaystyle 4*y=y*4=4 pentru orice y\displaystyle y real. Așadar 4\displaystyle 4 este element absorbant.
    x∗4=4 și 4∗y=4, pentru orice x\displaystyle x*4=4\text{ și }4*y=4\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  3. Produsul 1∗2∗3∗…∗2019\displaystyle 1*2*3*\ldots*2019 conține factorul 4\displaystyle 4. Legea fiind asociativă, putem grupa primii patru factori ca (1∗2∗3)∗4\displaystyle (1*2*3)*4 și restul ca 5∗6∗…∗2019\displaystyle 5*6*\ldots*2019.
    1∗2∗3∗…∗2019=((1∗2∗3)∗4)∗(5∗6∗…∗2019)\displaystyle 1*2*3*\ldots*2019=((1*2*3)*4)*(5*6*\ldots*2019)
  4. Notăm a=1∗2∗3\displaystyle a=1*2*3, care este un număr real. Folosind x∗4=4\displaystyle x*4=4 cu x=a\displaystyle x=a, obținem (1∗2∗3)∗4=a∗4=4\displaystyle (1*2*3)*4=a*4=4.
    (1∗2∗3)∗4=4\displaystyle (1*2*3)*4=4
  5. Notăm b=5∗6∗…∗2019\displaystyle b=5*6*\ldots*2019, număr real. Folosind 4∗y=4\displaystyle 4*y=4 cu y=b\displaystyle y=b, obținem 4∗b=4\displaystyle 4*b=4. Așadar 1∗2∗3∗…∗2019=4∗b=4\displaystyle 1*2*3*\ldots*2019=4*b=4.
    1∗2∗3∗…∗2019=4∗(5∗6∗…∗2019)=4\displaystyle 1*2*3*\ldots*2019=4*(5*6*\ldots*2019)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3+x−3ex\displaystyle f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}.

Arătați că f′(x)=4−xex\displaystyle f'(x)=\frac{4-x}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția. Constanta 3\displaystyle 3 are derivata 0\displaystyle 0, deci f′(x)\displaystyle f'(x) este derivata fracției x−3ex\displaystyle \dfrac{x-3}{e^x}. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x−3\displaystyle u=x-3 și v=ex\displaystyle v=e^x.
    f′(x)=0+(x−3ex)′\displaystyle f'(x)=0+\left(\frac{x-3}{e^x}\right)'
  2. Calculăm derivatele: (x−3)′=1\displaystyle (x-3)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Le înlocuim în formula câtului.
    f′(x)=1⋅ex−(x−3)⋅ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot e^x-(x-3)\cdot e^x}{(e^x)^2}
  3. La numărător dăm factor comun ex\displaystyle e^x, iar la numitor folosim (ex)2=e2x\displaystyle (e^x)^2=e^{2x}.
    f′(x)=ex(1−(x−3))e2x\displaystyle f'(x)=\frac{e^x\left(1-(x-3)\right)}{e^{2x}}
  4. Simplificăm prin ex\displaystyle e^x și desfacem parantezele: 1−(x−3)=1−x+3=4−x\displaystyle 1-(x-3)=1-x+3=4-x. Obținem formula cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=4−xex, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{4-x}{e^x}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3+x−3ex\displaystyle f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe [5,+∞)\displaystyle [5,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub forma f(x)=3+(x−3)e−x\displaystyle f(x)=3+(x-3)e^{-x}, ca să derivăm mai ușor produsul.
    f(x)=3+(x−3)e−x\displaystyle f(x)=3+(x-3)e^{-x}
  2. Calculăm derivata întâi cu formula derivatei produsului: (x−3)′=1\displaystyle (x-3)'=1, iar (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}. Obținem f′(x)=e−x−(x−3)e−x\displaystyle f'(x)=e^{-x}-(x-3)e^{-x}.
    f′(x)=e−x−(x−3)e−x=(4−x)e−x\displaystyle f'(x)=e^{-x}-(x-3)e^{-x}=(4-x)e^{-x}
  3. Derivăm încă o dată, tot cu formula produsului, pentru factorii 4−x\displaystyle 4-x și e−x\displaystyle e^{-x}: f′′(x)=−e−x−(4−x)e−x\displaystyle f''(x)=-e^{-x}-(4-x)e^{-x}.
    f′′(x)=−e−x−(4−x)e−x=(x−5)e−x=x−5ex\displaystyle f''(x)=-e^{-x}-(4-x)e^{-x}=(x-5)e^{-x}=\frac{x-5}{e^x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe [5,+∞)\displaystyle [5,+\infty). Pentru x≥5\displaystyle x\geq 5 avem x−5≥0\displaystyle x-5\geq 0, iar ex>0\displaystyle e^x>0, deci câtul este mai mare sau egal cu 0. Cum f′′≥0\displaystyle f''\geq 0 pe interval, funcția f\displaystyle f este convexă pe [5,+∞)\displaystyle [5,+\infty).
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈[5,+∞), deci f este convexa˘ pe [5,+∞)\displaystyle f''(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in[5,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }[5,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3+x−3ex\displaystyle f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}.

Demonstrați că x−3≤ex−4\displaystyle x-3\leq e^{x-4}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui 3\displaystyle 3 este 0\displaystyle 0, iar pentru fracție folosim formula de derivare a câtului: f′(x)=(x−3)′ex−(x−3)(ex)′e2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-3)'e^{x}-(x-3)(e^{x})'}{e^{2x}}.
    f′(x)=ex−(x−3)exe2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}-(x-3)e^{x}}{e^{2x}}
  2. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și simplificăm cu ex\displaystyle e^{x} de la numitor: f′(x)=ex(1−x+3)e2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(1-x+3)}{e^{2x}}.
    f′(x)=4−xex\displaystyle f'(x)=\dfrac{4-x}{e^{x}}
  3. Deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0, semnul derivatei este dat de semnul lui 4−x\displaystyle 4-x. Pentru x≤4\displaystyle x\leq 4 avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,4]\displaystyle (-\infty,4]. Pentru x≥4\displaystyle x\geq 4 avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe [4,+∞)\displaystyle [4,+\infty). Rezultă că x=4\displaystyle x=4 este punct de maxim.
    x∈(−∞,4]⇒f′(x)≥0, x∈[4,+∞)⇒f′(x)≤0\displaystyle x\in(-\infty,4]\Rightarrow f'(x)\geq 0\text{, }x\in[4,+\infty)\Rightarrow f'(x)\leq 0
  4. Calculăm valoarea în punctul de maxim: f(4)=3+4−3e4\displaystyle f(4)=3+\dfrac{4-3}{e^{4}}.
    f(4)=3+1e4\displaystyle f(4)=3+\dfrac{1}{e^{4}}
  5. Deoarece f\displaystyle f are maxim în x=4\displaystyle x=4, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem f(x)≤f(4)\displaystyle f(x)\leq f(4), adică 3+x−3ex≤3+1e4\displaystyle 3+\dfrac{x-3}{e^{x}}\leq 3+\dfrac{1}{e^{4}}.
    3+x−3ex≤3+1e4\displaystyle 3+\dfrac{x-3}{e^{x}}\leq 3+\dfrac{1}{e^{4}}
  6. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: x−3ex≤1e4\displaystyle \dfrac{x-3}{e^{x}}\leq \dfrac{1}{e^{4}}. Înmulțim cu ex>0\displaystyle e^{x}>0, deci sensul inegalității se păstrează: x−3≤exe4=ex−4\displaystyle x-3\leq \dfrac{e^{x}}{e^{4}}=e^{x-4}, pentru orice x\displaystyle x real.
    x−3≤ex−4\displaystyle x-3\leq e^{x-4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6x2+4x+1\displaystyle f(x)=6x^2+4x+1.

Arătați că ∫01f(x) dx=5\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa și integrăm termen cu termen: ∫01f(x) dx=∫01(6x2+4x+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (6x^2+4x+1)\,dx.
    ∫01(6x2+4x+1) dx=6∫01x2 dx+4∫01x dx+∫011 dx\displaystyle \int_0^1 (6x^2+4x+1)\,dx=6\int_0^1 x^2\,dx+4\int_0^1 x\,dx+\int_0^1 1\,dx
  2. Folosim ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Obținem primitivele: 6x2→2x3\displaystyle 6x^2\to 2x^3, 4x→2x2\displaystyle 4x\to 2x^2, 1→x\displaystyle 1\to x. Deci o primitivă a lui f\displaystyle f este F(x)=2x3+2x2+x\displaystyle F(x)=2x^3+2x^2+x, iar integrala devine (2x3+2x2+x)∣01\displaystyle (2x^3+2x^2+x)\Big|_0^1.
    ∫01(6x2+4x+1) dx=(2x3+2x2+x)∣01\displaystyle \int_0^1 (6x^2+4x+1)\,dx=\left(2x^3+2x^2+x\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: F(1)−F(0)=(2⋅13+2⋅12+1)−0=2+2+1−0=5\displaystyle F(1)-F(0)=(2\cdot 1^3+2\cdot 1^2+1)-0=2+2+1-0=5. Deci ∫01f(x) dx=5\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=5.
    2+2+1−0=5\displaystyle 2+2+1-0=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6x2+4x+1\displaystyle f(x)=6x^2+4x+1.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=6x2+4x+1, x∈R\displaystyle F'(x)=f(x)=6x^2+4x+1\text{, }x\in\mathbb{R}
  2. Pentru a stabili semnul lui f\displaystyle f, calculăm discriminantul trinomului de gradul doi 6x2+4x+1\displaystyle 6x^2+4x+1, cu a=6\displaystyle a=6, b=4\displaystyle b=4, c=1\displaystyle c=1.
    Δ=42−4⋅6⋅1=16−24=−8\displaystyle \Delta=4^2-4\cdot 6\cdot 1=16-24=-8
  3. Discriminantul este negativ, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este 6>0\displaystyle 6>0. Deci trinomul are semnul coeficientului dominant pe toată axa reală, adică este strict pozitiv.
    f(x)>0, pentru orice x∈R\displaystyle f(x)>0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  4. Deoarece F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) și f(x)>0\displaystyle f(x)>0, rezultă F′(x)>0\displaystyle F'(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}. Deci F\displaystyle F este strict crescătoare, deci crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este crescătoare.
    f(x)>0⇒F′(x)>0, pentru orice numa˘r real x, deci F este cresca˘toare pe R\displaystyle f(x)>0\Rightarrow F'(x)>0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6x2+4x+1\displaystyle f(x)=6x^2+4x+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, pentru care ∫1af(x)x dx=13+ln⁡a\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x}\,dx=13+\ln a.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim funcția f(x)\displaystyle f(x) la x\displaystyle x, termen cu termen: pe intervalul [1,a]\displaystyle [1,a] avem x≠0\displaystyle x\neq 0.
    f(x)x=6x2+4x+1x=6x+4+1x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{6x^{2}+4x+1}{x}=6x+4+\frac{1}{x}
  2. Scriem integrala cu expresia obținută și căutăm o primitivă: pentru 6x\displaystyle 6x este 3x2\displaystyle 3x^{2}, pentru 4\displaystyle 4 este 4x\displaystyle 4x, iar pentru 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x, deoarece x>0\displaystyle x>0.
    ∫1af(x)x dx=∫1a(6x+4+1x)dx=(3x2+4x+ln⁡x)∣1a\displaystyle \int_1^a\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^a\left(6x+4+\frac{1}{x}\right)dx=\left(3x^{2}+4x+\ln x\right)\Big|_1^a
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în a\displaystyle a și în 1\displaystyle 1 și scădem. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 3+4+ln⁡1=7\displaystyle 3+4+\ln 1=7.
    3a2+4a+ln⁡a−(3+4+ln⁡1)=3a2+4a+ln⁡a−7\displaystyle 3a^{2}+4a+\ln a-(3+4+\ln 1)=3a^{2}+4a+\ln a-7
  4. Egalăm rezultatul cu 13+ln⁡a\displaystyle 13+\ln a, conform enunțului.
    3a2+4a+ln⁡a−7=13+ln⁡a\displaystyle 3a^{2}+4a+\ln a-7=13+\ln a
  5. Reducem ln⁡a\displaystyle \ln a din ambii membri și trecem totul în membrul stâng: obținem o ecuație de gradul al doilea.
    3a2+4a−20=0\displaystyle 3a^{2}+4a-20=0
  6. Calculăm discriminantul: Δ=42−4⋅3⋅(−20)=16+240=256\displaystyle \Delta=4^{2}-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256, deci Δ=16\displaystyle \sqrt{\Delta}=16. Aplicăm formula rădăcinilor.
    a=−4±166⇒a=2 sau a=−103\displaystyle a=\frac{-4\pm 16}{6}\Rightarrow a=2\text{ sau }a=-\frac{10}{3}
  7. Cum a>1\displaystyle a>1, valoarea a=−103\displaystyle a=-\dfrac{10}{3} nu convine, iar a=2\displaystyle a=2 convine.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.