Bac matematică M3 tehnologic 2022, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați termenul a1\displaystyle a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a3=6\displaystyle a_3=6 și a4=9\displaystyle a_4=9.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, rația este diferența dintre doi termeni consecutivi. Calculăm rația: r=a4−a3=9−6\displaystyle r=a_4-a_3=9-6.
    r=a4−a3=9−6=3\displaystyle r=a_4-a_3=9-6=3
  2. Formula termenului general este an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  3. Înlocuim a3=6\displaystyle a_3=6 și r=3\displaystyle r=3: 6=a1+2⋅3\displaystyle 6=a_1+2\cdot 3, deci a1=6−6\displaystyle a_1=6-6.
    a1=6−2⋅3=0\displaystyle a_1=6-2\cdot 3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−3\displaystyle f(x)=x^2+2x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−3\displaystyle g(x)=x-3. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a) înlocuind pe x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresiile celor două funcții.
    a2+2a−3=a−3\displaystyle a^{2}+2a-3=a-3
  2. Mutăm toți termenii în partea stângă și reducem termenii asemenea: −3\displaystyle -3 se reduce cu −3\displaystyle -3, iar 2a−a=a\displaystyle 2a-a=a.
    a2+2a−3−a+3=0⇔a2+a=0\displaystyle a^{2}+2a-3-a+3=0\Leftrightarrow a^{2}+a=0
  3. Dăm factor comun pe a\displaystyle a în ecuația obținută.
    a(a+1)=0\displaystyle a(a+1)=0
  4. Un produs este nul când cel puțin unul dintre factori este nul, deci a=0\displaystyle a=0 sau a+1=0\displaystyle a+1=0. Obținem soluțiile ecuației, care sunt numerele căutate.
    a=−1 sau a=0\displaystyle a=-1\text{ sau }a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+3)=2\displaystyle \log_3(x+3)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x+3>0\displaystyle x+3>0, adică x>−3\displaystyle x>-3.
    x∈(−3,∞)\displaystyle x\in(-3,\infty)
  2. Din definiția logaritmului, log⁡3(x+3)=2\displaystyle \log_3(x+3)=2 înseamnă că x+3=32\displaystyle x+3=3^{2}.
    x+3=32\displaystyle x+3=3^{2}
  3. Calculăm puterea: 32=9\displaystyle 3^{2}=9, deci x+3=9\displaystyle x+3=9.
    x+3=9\displaystyle x+3=9
  4. Scădem 3 din ambii membri și obținem x=9−3=6\displaystyle x=9-3=6. Verificăm condiția de existență: 6>−3\displaystyle 6>-3, deci soluția convine.
    x=6, care convine\displaystyle x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
În urma unei scumpiri cu 30%\displaystyle 30\%, prețul unui produs a crescut cu 60\displaystyle 60 de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al produsului, în lei. Scumpirea de 30%\displaystyle 30\% înseamnă că prețul a crescut cu 30%\displaystyle 30\% din x\displaystyle x, iar această creștere este de 60\displaystyle 60 de lei.
    30100⋅x=60\displaystyle \frac{30}{100}\cdot x=60
  2. Rezolvăm ecuația: înmulțim cu 100\displaystyle 100 și împărțim la 30\displaystyle 30, apoi aflăm prețul inițial: x=60⋅10030\displaystyle x=\dfrac{60\cdot 100}{30}.
    x=600030=200 de lei\displaystyle x=\frac{6000}{30}=200\text{ de lei}
  3. Prețul după scumpire este prețul inițial plus creșterea de 60\displaystyle 60 de lei: 200+60\displaystyle 200+60.
    200+60=260 de lei\displaystyle 200+60=260\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−4,1)\displaystyle A(-4,1), B(2,3)\displaystyle B(2,3) și dreapta d\displaystyle d de ecuație y=2x+a\displaystyle y=2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că mijlocul segmentului AB\displaystyle AB aparține dreptei d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=−4+22\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-4+2}{2} și yM=yA+yB2=1+32\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}.
    xM=−4+22=−1\displaystyle x_M=\dfrac{-4+2}{2}=-1,yM=1+32=2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{1+3}{2}=2
  2. Obținem că mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este punctul M(−1,2)\displaystyle M(-1,2).
    M(−1,2)\displaystyle M(-1,2)
  3. Punctul M\displaystyle M aparține dreptei d\displaystyle d dacă coordonatele lui verifică ecuația dreptei. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=2\displaystyle y=2 în ecuația y=2x+a\displaystyle y=2x+a.
    2=2⋅(−1)+a\displaystyle 2=2\cdot(-1)+a
  4. Calculăm: 2=−2+a\displaystyle 2=-2+a, deci a=2+2=4\displaystyle a=2+2=4.
    2=2⋅(−1)+a⇒a=4\displaystyle 2=2\cdot(-1)+a\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=AC\displaystyle AB=AC, BC=12\displaystyle BC=12 și măsura unghiului B\displaystyle B egală cu 45∘\displaystyle 45^\circ. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 36\displaystyle 36.
Vezi rezolvarea
  1. Din AB=AC\displaystyle AB=AC rezultă că unghiurile de la baza BC\displaystyle BC sunt egale, deci ∠C=∠B=45∘\displaystyle \angle C=\angle B=45^\circ.
    ∠C=45∘\displaystyle \angle C=45^\circ
  2. Suma unghiurilor este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci ∠A=180∘−45∘−45∘=90∘\displaystyle \angle A=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ. Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza BC=12\displaystyle BC=12 și catetele AB=AC\displaystyle AB=AC.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ
  3. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC avem AB=BC⋅cos⁡B=12⋅cos⁡45∘=12⋅22\displaystyle AB=BC\cdot\cos B=12\cdot\cos 45^\circ=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Cum AB=AC\displaystyle AB=AC, ambele catete au aceeași lungime.
    AB=AC=12⋅22=62\displaystyle AB=AC=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}
  4. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=62⋅622=722=36\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}=\dfrac{72}{2}=36.
    AΔABC=62⋅622=722=36\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}=\dfrac{72}{2}=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx12x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementele din prima linie sunt x=0\displaystyle x=0 și x=0\displaystyle x=0, iar elementul 2x+1\displaystyle 2x+1 devine 2⋅0+1=1\displaystyle 2\cdot 0+1=1.
    A(0)=(0011)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), care este un determinant de ordin doi.
    det⁡(A(0))=∣0011∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: 0⋅1−0⋅1=0−0=0\displaystyle 0\cdot 1-0\cdot 1=0-0=0. Deci det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0.
    det⁡(A(0))=0⋅1−0⋅1=0\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 1-0\cdot 1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx12x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care 2A(4)+A(−2)=aA(2)\displaystyle 2A(4)+A(-2)=aA(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe x\displaystyle x în A(x)=(xx12x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix} și obținem A(4)\displaystyle A(4), A(−2)\displaystyle A(-2) și A(2)\displaystyle A(2).
    A(4)=(4419)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}, A(−2)=(−2−21−3)\displaystyle \ A(-2)=\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, A(2)=(2215)\displaystyle \ A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
  2. Calculăm 2A(4)+A(−2)\displaystyle 2A(4)+A(-2): înmulțim A(4)\displaystyle A(4) cu 2\displaystyle 2 și adunăm, element cu element, matricea A(−2)\displaystyle A(-2).
    2A(4)+A(−2)=(88218)+(−2−21−3)=(66315)\displaystyle 2A(4)+A(-2)=\begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 2 & 18 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 15 \end{pmatrix}
  3. Toate elementele matricei obținute se împart la 3\displaystyle 3, deci scoatem factorul 3\displaystyle 3 în fața matricei.
    (66315)=3(2215)\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 15 \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
  4. Matricea rămasă este chiar A(2)\displaystyle A(2), deci egalitatea devine 3A(2)=aA(2)\displaystyle 3A(2)=aA(2). Cum A(2)\displaystyle A(2) nu este matricea nulă, rezultă a=3\displaystyle a=3.
    3A(2)=aA(2)⇒a=3\displaystyle 3A(2)=aA(2)\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx12x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că, dacă X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât X⋅A(1)=A(m)\displaystyle X\cdot A(1)=A(m), unde m\displaystyle m este număr întreg, atunci matricea X\displaystyle X are toate elementele numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 și calculăm determinantul ei: 1⋅3−1⋅1\displaystyle 1\cdot 3-1\cdot 1. Determinantul este nenul, deci A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă.
    A(1)=(1113)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},det⁡(A(1))=2\displaystyle \quad \det(A(1))=2
  2. Calculăm inversa lui A(1)\displaystyle A(1): împărțim la determinant matricea adjunctă, obținută schimbând elementele de pe diagonala principală între ele și schimbând semnul elementelor de pe diagonala secundară.
    (A(1))−1=12(3−1−11)=(32−12−1212)\displaystyle (A(1))^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
  3. Înmulțim egalitatea X⋅A(1)=A(m)\displaystyle X\cdot A(1)=A(m) la dreapta cu (A(1))−1\displaystyle (A(1))^{-1}. Deoarece A(1)⋅(A(1))−1=I2\displaystyle A(1)\cdot (A(1))^{-1}=I_2, rămâne X=A(m)⋅(A(1))−1\displaystyle X=A(m)\cdot (A(1))^{-1}.
    X=A(m)⋅(A(1))−1\displaystyle X=A(m)\cdot (A(1))^{-1}
  4. Scriem A(m)\displaystyle A(m) înlocuind x=m\displaystyle x=m și efectuăm produsul cu inversa, scoțând factorul 12\displaystyle \frac{1}{2} în fața produsului.
    X=12(mm12m+1)(3−1−11)\displaystyle X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} m & m \\ 1 & 2m+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
  5. Calculăm elementele produsului, linie cu coloană. Prima linie: 3m−m\displaystyle 3m-m și −m+m\displaystyle -m+m. A doua linie: 3−(2m+1)\displaystyle 3-(2m+1) și −1+(2m+1)\displaystyle -1+(2m+1).
    X=12(2m02−2m2m)\displaystyle X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2m & 0 \\ 2-2m & 2m \end{pmatrix}
  6. Simplificăm cu 2\displaystyle 2 și obținem matricea X\displaystyle X în funcție de m\displaystyle m. Cum m\displaystyle m este număr întreg, numerele m\displaystyle m, 0\displaystyle 0 și 1−m\displaystyle 1-m sunt întregi, deci toate elementele lui X\displaystyle X sunt numere întregi.
    X=(m0−m+1m), deci elementele lui X sunt ıˆntregi\displaystyle X=\begin{pmatrix} m & 0 \\ -m+1 & m \end{pmatrix}\text{, deci elementele lui }X\text{ sunt întregi}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x+y)(x-1)(y-1)+1.

Arătați că 2∗1=1\displaystyle 2*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii de compoziție x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x+y)(x-1)(y-1)+1 pentru x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1.
    2∗1=(2+1)(2−1)(1−1)+1\displaystyle 2*1=(2+1)(2-1)(1-1)+1
  2. Calculăm fiecare paranteză: 2+1=3\displaystyle 2+1=3, 2−1=1\displaystyle 2-1=1, iar 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    2∗1=3⋅1⋅0+1\displaystyle 2*1=3\cdot 1\cdot 0+1
  3. Produsul care conține factorul 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, deci rămâne 0+1=1\displaystyle 0+1=1. Am obținut exact egalitatea cerută.
    3⋅1⋅0+1=0+1=1, deci 2∗1=1\displaystyle 3\cdot 1\cdot 0+1=0+1=1\text{, deci }2*1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x+y)(x-1)(y-1)+1. Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiția legii: x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x+y)(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x+y)(x-1)(y-1)+1
  2. Folosim comutativitatea adunării: x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Folosim și comutativitatea înmulțirii: (x−1)(y−1)=(y−1)(x−1)\displaystyle (x-1)(y-1)=(y-1)(x-1).
    (x+y)(x−1)(y−1)=(y+x)(y−1)(x−1)\displaystyle (x+y)(x-1)(y-1)=(y+x)(y-1)(x-1)
  3. Înlocuim în expresia lui x∗y\displaystyle x*y și obținem x∗y=(y+x)(y−1)(x−1)+1\displaystyle x*y=(y+x)(y-1)(x-1)+1, iar aceasta este chiar definiția lui y∗x\displaystyle y*x. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea este comutativă.
    (y+x)(y−1)(x−1)+1=y∗x, pentru orice numere \displaystyle (y+x)(y-1)(x-1)+1=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x+y)(x-1)(y-1)+1.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∗(1−n)≥n2\displaystyle n*(1-n)\ge n^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x=n\displaystyle x=n și y=1−n\displaystyle y=1-n. Suma este x+y=n+(1−n)=1\displaystyle x+y=n+(1-n)=1, iar factorii sunt x−1=n−1\displaystyle x-1=n-1 și y−1=−n\displaystyle y-1=-n.
    n∗(1−n)=1⋅(n−1)⋅(−n)+1\displaystyle n*(1-n)=1\cdot(n-1)\cdot(-n)+1
  2. Efectuăm produsul (n−1)(−n)=−n2+n\displaystyle (n-1)(-n)=-n^{2}+n și adunăm 1\displaystyle 1. Obținem expresia compunerii, valabilă pentru orice număr natural n\displaystyle n.
    n∗(1−n)=−n2+n+1\displaystyle n*(1-n)=-n^{2}+n+1
  3. Scriem inegalitatea cerută cu expresia găsită: −n2+n+1≥n2\displaystyle -n^{2}+n+1\ge n^{2}. Mutăm toți termenii în partea stângă și reducem termenii asemenea.
    −n2+n+1≥n2⇔2n2−n−1≤0\displaystyle -n^{2}+n+1\ge n^{2}\Leftrightarrow 2n^{2}-n-1\le 0
  4. Rezolvăm ecuația asociată 2n2−n−1=0\displaystyle 2n^{2}-n-1=0. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci rădăcinile sunt n1=1−34=−12\displaystyle n_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2} și n2=1+34=1\displaystyle n_2=\dfrac{1+3}{4}=1. Coeficientul lui n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, deci trinomul este mai mic sau egal cu zero între rădăcini.
    n∈[−12, 1]\displaystyle n\in\left[-\dfrac{1}{2},\,1\right]
  5. Reținem numerele naturale din intervalul [−12, 1]\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2},\,1\right]. Acestea sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    n=0 sau n=1\displaystyle n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2}+\ln x.

Arătați că f′(x)=x2−x−6x3\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-x-6}{x^3}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm f\displaystyle f termen cu termen. Pentru primul termen folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x+3\displaystyle u=x+3 și v=x2\displaystyle v=x^{2}.
    f′(x)=(x+3)′⋅x2−(x+3)⋅(x2)′(x2)2+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+3)'\cdot x^{2}-(x+3)\cdot (x^{2})'}{(x^{2})^{2}}+(\ln x)'
  2. Înlocuim derivatele: (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1, (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, iar (x2)2=x4\displaystyle (x^{2})^{2}=x^{4}.
    f′(x)=x2−(x+3)⋅2xx4+1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-(x+3)\cdot 2x}{x^{4}}+\dfrac{1}{x}
  3. Simplificăm prima fracție: dăm factor comun x\displaystyle x la numărător, x2−2x(x+3)=x (x−2x−6)=x(−x−6)\displaystyle x^{2}-2x(x+3)=x\,(x-2x-6)=x(-x-6), apoi simplificăm cu x\displaystyle x.
    x2−(x+3)⋅2xx4=x(−x−6)x4=−x−6x3\displaystyle \dfrac{x^{2}-(x+3)\cdot 2x}{x^{4}}=\dfrac{x(-x-6)}{x^{4}}=\dfrac{-x-6}{x^{3}}
  4. Aducem la numitorul comun x3\displaystyle x^{3}: amplificăm fracția 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} cu x2\displaystyle x^{2} și adunăm numărătorii.
    f′(x)=−x−6x3+x2x3=x2−x−6x3, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x-6}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{x^{2}-x-6}{x^{3}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2}+\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Avem nevoie de f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x=1\displaystyle x=1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Obținem f(1)=1+312+ln⁡1=4+0\displaystyle f(1)=\dfrac{1+3}{1^{2}}+\ln 1=4+0.
    f(1)=4\displaystyle f(1)=4
  3. Scriem f(x)=1x+3x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}+\ln x și derivăm termen cu termen: (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}, (3x2)′=−6x3\displaystyle \left(\dfrac{3}{x^{2}}\right)'=-\dfrac{6}{x^{3}}, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−1x2−6x3+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{1}{x}
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=−1−6+1\displaystyle f'(1)=-1-6+1.
    f′(1)=−6\displaystyle f'(1)=-6
  5. Înlocuim f(1)=4\displaystyle f(1)=4 și f′(1)=−6\displaystyle f'(1)=-6 în formula tangentei: y−4=−6(x−1)\displaystyle y-4=-6(x-1). Desfacem parantezele și mutăm 4\displaystyle 4 în membrul drept: y=−6x+6+4\displaystyle y=-6x+6+4.
    y−4=−6(x−1), adica˘ y=−6x+10\displaystyle y-4=-6(x-1)\text{, adică }y=-6x+10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2}+\ln x.

Demonstrați că ln⁡x3≥23−1x−3x2\displaystyle \ln\frac{x}{3}\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Scriem f(x)=1x+3x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}+\ln x și derivăm termen cu termen.
    f′(x)=−1x2−6x3+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{1}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor, x3\displaystyle x^{3}, și o descompunem în factori.
    f′(x)=x2−x−6x3=(x−3)(x+2)x3\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-x-6}{x^{3}}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x^{3}}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x+2>0\displaystyle x+2>0 și x3>0\displaystyle x^{3}>0, deci semnul derivatei este dat de x−3\displaystyle x-3. Singura soluție din (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este x=3\displaystyle x=3.
    f′(x)=0⇒x=3\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=3
  4. Studiem semnul derivatei. Pe (0,3)\displaystyle (0,3) avem x−3<0\displaystyle x-3<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Pe (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty) avem x−3>0\displaystyle x-3>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este crescătoare. Rezultă că f\displaystyle f are minim în x=3\displaystyle x=3, adică f(x)≥f(3)\displaystyle f(x)\ge f(3) pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f descresca˘toare pe (0,3], cresca˘toare pe [3,+∞)⇒f(x)≥f(3)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,3]\text{, crescătoare pe }[3,+\infty)\Rightarrow f(x)\ge f(3)
  5. Calculăm valoarea minimă f(3)\displaystyle f(3).
    f(3)=3+39+ln⁡3=23+ln⁡3\displaystyle f(3)=\dfrac{3+3}{9}+\ln 3=\dfrac{2}{3}+\ln 3
  6. Scriem inegalitatea f(x)≥f(3)\displaystyle f(x)\ge f(3) explicit.
    x+3x2+ln⁡x≥23+ln⁡3\displaystyle \dfrac{x+3}{x^{2}}+\ln x\ge\dfrac{2}{3}+\ln 3
  7. Mutăm ln⁡3\displaystyle \ln 3 în stânga și fracția în dreapta, apoi folosim ln⁡x−ln⁡3=ln⁡x3\displaystyle \ln x-\ln 3=\ln\dfrac{x}{3}.
    ln⁡x3≥23−x+3x2\displaystyle \ln\dfrac{x}{3}\ge\dfrac{2}{3}-\dfrac{x+3}{x^{2}}
  8. Separăm fracția x+3x2=1x+3x2\displaystyle \dfrac{x+3}{x^{2}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}} și obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    ln⁡x3≥23−1x−3x2\displaystyle \ln\dfrac{x}{3}\ge\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex2+1\displaystyle f(x)=x+\frac{e^x}{2}+1.

Arătați că ∫02(f(x)−ex2)dx=4\displaystyle \int_0^2\left(f(x)-\frac{e^x}{2}\right)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+ex2+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{e^x}{2}+1 în integrand: f(x)−ex2=x+ex2+1−ex2\displaystyle f(x)-\dfrac{e^x}{2}=x+\dfrac{e^x}{2}+1-\dfrac{e^x}{2}. Termenii cu ex\displaystyle e^x se reduc, deci rămâne x+1\displaystyle x+1.
    f(x)−ex2=x+1\displaystyle f(x)-\frac{e^x}{2}=x+1
  2. Integrala devine ∫02(f(x)−ex2)dx=∫02(x+1) dx\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\dfrac{e^x}{2}\right)dx=\int_0^2(x+1)\,dx.
    ∫02(f(x)−ex2)dx=∫02(x+1) dx\displaystyle \int_0^2\left(f(x)-\frac{e^x}{2}\right)dx=\int_0^2(x+1)\,dx
  3. O primitivă a funcției x+1\displaystyle x+1 este x22+x\displaystyle \dfrac{x^2}{2}+x, pentru că primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫02(x+1) dx=(x22+x)∣02\displaystyle \int_0^2(x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^2
  4. Calculăm diferența dintre valoarea în 2\displaystyle 2 și valoarea în 0\displaystyle 0. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, deci obținem 222+2−0=2+2\displaystyle \dfrac{2^2}{2}+2-0=2+2. Rezultatul este 4\displaystyle 4.
    222+2=4\displaystyle \frac{2^2}{2}+2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex2+1\displaystyle f(x)=x+\frac{e^x}{2}+1.

Arătați că ∫012x(f(x)−1) dx=53\displaystyle \int_0^1 2x(f(x)-1)\,dx=\frac{5}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x)−1\displaystyle f(x)-1: din f(x)=x+ex2+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{e^{x}}{2}+1 rezultă f(x)−1=x+ex2\displaystyle f(x)-1=x+\dfrac{e^{x}}{2}.
    f(x)−1=x+ex2\displaystyle f(x)-1=x+\dfrac{e^{x}}{2}
  2. Înmulțim cu 2x\displaystyle 2x și dezvoltăm integrandul: 2x⋅x=2x2\displaystyle 2x\cdot x=2x^{2}, iar 2x⋅ex2=xex\displaystyle 2x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}=xe^{x}.
    ∫012x(f(x)−1) dx=∫01(2x2+xex)dx\displaystyle \int_0^1 2x(f(x)-1)\,dx=\int_0^1\left(2x^{2}+xe^{x}\right)dx
  3. Integrala unei sume este suma integralelor: ∫012x2dx+∫01xexdx\displaystyle \int_0^1 2x^{2}dx+\int_0^1 xe^{x}dx. Prima se calculează direct, cu primitiva 2x33\displaystyle \dfrac{2x^{3}}{3}.
    ∫012x2 dx=2x33∣01=23\displaystyle \int_0^1 2x^{2}\,dx=\dfrac{2x^{3}}{3}\Big|_0^1=\dfrac{2}{3}
  4. Pentru a doua integrală folosim integrarea prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^{x}\,dx=xe^{x}-\int e^{x}\,dx=xe^{x}-e^{x}=(x-1)e^{x}+C
  5. Folosim primitivele găsite și scriem integrala sub forma din barem, cu primitiva (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^{x} pentru xex\displaystyle xe^{x}.
    ∫01(2x2+xex)dx=2x33∣01+(x−1)ex∣01\displaystyle \int_0^1(2x^{2}+xe^{x})dx=\dfrac{2x^{3}}{3}\Big|_0^1+(x-1)e^{x}\Big|_0^1
  6. Calculăm a doua parte: la x=1\displaystyle x=1 avem (1−1)e=0\displaystyle (1-1)e=0, iar la x=0\displaystyle x=0 avem (0−1)e0=−1\displaystyle (0-1)e^{0}=-1, deci diferența este 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1.
    (x−1)ex∣01=0−(−1)=1\displaystyle (x-1)e^{x}\Big|_0^1=0-(-1)=1
  7. Adunăm cele două rezultate: 23+1=53\displaystyle \dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    23+1=53\displaystyle \dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex2+1\displaystyle f(x)=x+\frac{e^x}{2}+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫−10(f(x)−x)⋅f(x) dx=(3e+1)(3e+a)8e2\displaystyle \int_{-1}^0 (f(x)-x)\cdot f(x)\,dx=\frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția: f′(x)=1+ex2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{e^{x}}{2}. Pe de altă parte, f(x)−x=ex2+1\displaystyle f(x)-x=\dfrac{e^{x}}{2}+1, deci f(x)−x=f′(x)\displaystyle f(x)-x=f'(x).
    f′(x)=1+ex2=f(x)−x\displaystyle f'(x)=1+\frac{e^{x}}{2}=f(x)-x
  2. Integrala devine ∫−10f′(x)f(x) dx\displaystyle \int_{-1}^{0} f'(x)f(x)\,dx. Cum (f2(x)2)′=f(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{f^{2}(x)}{2}\right)'=f(x)f'(x), obținem integrala egală cu f2(x)2∣−10\displaystyle \dfrac{f^{2}(x)}{2}\Big|_{-1}^{0}.
    ∫−10(f(x)−x)f(x) dx=f2(x)2∣−10=f2(0)−f2(−1)2\displaystyle \int_{-1}^{0}(f(x)-x)f(x)\,dx=\frac{f^{2}(x)}{2}\Big|_{-1}^{0}=\frac{f^{2}(0)-f^{2}(-1)}{2}
  3. Avem f(0)=0+e02+1=32\displaystyle f(0)=0+\dfrac{e^{0}}{2}+1=\dfrac{3}{2} și f(−1)=−1+e−12+1=12e\displaystyle f(-1)=-1+\dfrac{e^{-1}}{2}+1=\dfrac{1}{2e}. Atunci f2(0)=94\displaystyle f^{2}(0)=\dfrac{9}{4} și f2(−1)=14e2\displaystyle f^{2}(-1)=\dfrac{1}{4e^{2}}.
    f(0)=32\displaystyle f(0)=\frac{3}{2},f(−1)=12e\displaystyle \quad f(-1)=\frac{1}{2e}
  4. Obținem 12(94−14e2)=12⋅9e2−14e2\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4e^{2}}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{9e^{2}-1}{4e^{2}}, adică valoarea integralei.
    ∫−10(f(x)−x)f(x) dx=9e2−18e2\displaystyle \int_{-1}^{0}(f(x)-x)f(x)\,dx=\frac{9e^{2}-1}{8e^{2}}
  5. Scriem 9e2−1=(3e)2−12=(3e−1)(3e+1)\displaystyle 9e^{2}-1=(3e)^{2}-1^{2}=(3e-1)(3e+1). Egalitatea din enunț devine (3e+1)(3e−1)8e2=(3e+1)(3e+a)8e2\displaystyle \dfrac{(3e+1)(3e-1)}{8e^{2}}=\dfrac{(3e+1)(3e+a)}{8e^{2}}.
    (3e+1)(3e−1)8e2=(3e+1)(3e+a)8e2\displaystyle \frac{(3e+1)(3e-1)}{8e^{2}}=\frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^{2}}
  6. Simplificăm cu 3e+18e2≠0\displaystyle \dfrac{3e+1}{8e^{2}}\neq 0 și obținem 3e−1=3e+a\displaystyle 3e-1=3e+a, de unde a=−1\displaystyle a=-1.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.