Bac matematică M3 tehnologic 2023, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−0,2):2+0,3⋅2=1\displaystyle (1-0,2):2+0,3\cdot 2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Începem cu operația din paranteză: 1−0,2=0,8\displaystyle 1-0,2=0,8.
    1−0\displaystyle 1-0,2=0\displaystyle 2=0,8\displaystyle 8
  2. Efectuăm înmulțirea 0,3⋅2=0,6\displaystyle 0,3\cdot 2=0,6. Expresia devine 0,8:2+0,6\displaystyle 0,8:2+0,6.
    (1−0,2):2+0\displaystyle (1-0,2):2+0,3⋅2=0\displaystyle 3\cdot 2=0,8:2+0\displaystyle 8:2+0,6\displaystyle 6
  3. Efectuăm împărțirea: 0,8:2=0,4\displaystyle 0,8:2=0,4.
    0\displaystyle 0,8:2=0\displaystyle 8:2=0,4\displaystyle 4
  4. Adunăm: 0,4+0,6=1\displaystyle 0,4+0,6=1, deci egalitatea este adevărată.
    0\displaystyle 0,4+0\displaystyle 4+0,6=1\displaystyle 6=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+m\displaystyle g(x)=x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(2)=g(2)\displaystyle f(2)=g(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia lui f\displaystyle f: f(2)=22−3⋅2+2\displaystyle f(2)=2^{2}-3\cdot 2+2.
    f(2)=4−6+2\displaystyle f(2)=4-6+2
  2. Efectuăm calculul: 4−6+2=0\displaystyle 4-6+2=0.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  3. Calculăm g(2)\displaystyle g(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în g(x)=x+m\displaystyle g(x)=x+m.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0, g(2)=2+m\displaystyle \ g(2)=2+m
  4. Punem condiția f(2)=g(2)\displaystyle f(2)=g(2), adică 0=2+m\displaystyle 0=2+m.
    0=2+m\displaystyle 0=2+m
  5. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri ai ecuației și obținem m=−2\displaystyle m=-2.
    0=2+m, de unde obținem m=−2\displaystyle 0=2+m\text{, de unde obținem }m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x+3=49x\displaystyle 7^{x+3}=49^x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 49=72\displaystyle 49=7^{2}, deci scriem baza 49\displaystyle 49 ca putere a lui 7\displaystyle 7.
    49=72\displaystyle 49=7^{2}
  2. Aplicăm regula puterii unei puteri: 49x=(72)x=72x\displaystyle 49^{x}=\left(7^{2}\right)^{x}=7^{2x}. Astfel ambele părți ale ecuației au baza 7\displaystyle 7.
    7x+3=72x\displaystyle 7^{x+3}=7^{2x}
  3. Funcția exponențială cu baza 7\displaystyle 7 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    x+3=2x\displaystyle x+3=2x
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: mutăm x\displaystyle x în partea dreaptă, deci 3=2x−x\displaystyle 3=2x-x, de unde x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 30%\displaystyle 30\%, un produs costă 210 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al produsului, în lei. Ieftinirea cu 30%\displaystyle 30\% înseamnă că se scade din preț 30%\displaystyle 30\% din x\displaystyle x, adică 30100⋅x\displaystyle \dfrac{30}{100}\cdot x.
    prețul scade cu 30100⋅x\displaystyle \text{prețul scade cu }\dfrac{30}{100}\cdot x
  2. Prețul după ieftinire este prețul inițial minus reducerea și este egal cu 210\displaystyle 210 lei. Obținem ecuația x−30100⋅x=210\displaystyle x-\dfrac{30}{100}\cdot x=210.
    x−30100⋅x=210\displaystyle x-\dfrac{30}{100}\cdot x=210
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1−30100)=210\displaystyle x\left(1-\dfrac{30}{100}\right)=210. Cum 1−30100=70100\displaystyle 1-\dfrac{30}{100}=\dfrac{70}{100}, obținem 70100⋅x=210\displaystyle \dfrac{70}{100}\cdot x=210.
    70100⋅x=210\displaystyle \dfrac{70}{100}\cdot x=210
  4. Rezolvăm ecuația: x=210⋅10070=3⋅100=300\displaystyle x=210\cdot\dfrac{100}{70}=3\cdot 100=300. Prețul produsului înainte de ieftinire a fost de 300\displaystyle 300 de lei.
    x=300 de lei\displaystyle x=300\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,5)\displaystyle A(0,5) și B(2,−1)\displaystyle B(2,-1). Arătați că triunghiul OMB\displaystyle OMB este dreptunghic în O\displaystyle O, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB cu formula mijlocului: xM=xA+xB2=0+22=1\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{0+2}{2}=1 și yM=yA+yB2=5+(−1)2=2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{5+(-1)}{2}=2.
    M(1,2)\displaystyle M(1,2)
  2. Calculăm lungimea laturii OM\displaystyle OM cu formula distanței, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(1,2)\displaystyle M(1,2): OM=(1−0)2+(2−0)2=1+4\displaystyle OM=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}.
    OM=5\displaystyle OM=\sqrt{5}
  3. Calculăm lungimea laturii MB\displaystyle MB cu formula distanței, folosind M(1,2)\displaystyle M(1,2) și B(2,−1)\displaystyle B(2,-1): MB=(2−1)2+(−1−2)2=1+9\displaystyle MB=\sqrt{(2-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{1+9}.
    MB=10\displaystyle MB=\sqrt{10}
  4. Calculăm lungimea laturii OB\displaystyle OB cu formula distanței, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(2,−1)\displaystyle B(2,-1): OB=(2−0)2+(−1−0)2=4+1\displaystyle OB=\sqrt{(2-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{4+1}.
    OB=5\displaystyle OB=\sqrt{5}
  5. Verificăm relația lui Pitagora: pătratul celei mai mari laturi, MB\displaystyle MB, trebuie să fie egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi. Avem MB2=10\displaystyle MB^2=10, iar OB2+OM2=5+5=10\displaystyle OB^2+OM^2=5+5=10. Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul OMB\displaystyle OMB este dreptunghic în O\displaystyle O, deoarece MB\displaystyle MB este ipotenuza.
    MB2=OB2+OM2, deci △OMB este dreptunghic ıˆn O\displaystyle MB^2=OB^2+OM^2\text{, deci }\triangle OMB\text{ este dreptunghic în }O
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3sin⁡45∘+2sin⁡30∘−2cos⁡30∘=1\displaystyle \sqrt{3}\sin 45^\circ+2\sin 30^\circ-\sqrt{2}\cos 30^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia 3sin⁡45∘+2sin⁡30∘−2cos⁡30∘\displaystyle \sqrt{3}\sin 45^\circ+2\sin 30^\circ-\sqrt{2}\cos 30^\circ.
    3⋅22+2⋅12−2⋅32\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot\frac{1}{2}-\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Simplificăm termenul din mijloc: 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1. Termenii 62\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{2} și −62\displaystyle -\dfrac{\sqrt{6}}{2} au semne opuse, deci se reduc. Rămâne 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia arătat.
    62+1−62=1\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}+1-\frac{\sqrt{6}}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+2−22x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2 & -2\\ 2 & x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=8\displaystyle \det(A(2))=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementul x+2\displaystyle x+2 devine 2+2=4\displaystyle 2+2=4, iar x−1\displaystyle x-1 devine 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Celelalte elemente, −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2, nu depind de x\displaystyle x.
    A(2)=(4−221)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}4 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(2))=4⋅1−(−2)⋅2\displaystyle \det(A(2))=4\cdot 1-(-2)\cdot 2.
    det⁡(A(2))=4⋅1−(−2)⋅2\displaystyle \det(A(2))=4\cdot 1-(-2)\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 4⋅1=4\displaystyle 4\cdot 1=4 și (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4. Scăderea lui −4\displaystyle -4 revine la adunarea lui 4\displaystyle 4, deci 4−(−4)=4+4=8\displaystyle 4-(-4)=4+4=8, adică det⁡(A(2))=8\displaystyle \det(A(2))=8.
    4+4=8\displaystyle 4+4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+2−22x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2 & -2\\ 2 & x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(0)⋅A(0)=A(x)\displaystyle A(0)\cdot A(0)=A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(2−22−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2 & -2\\ 2 & -1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(0)⋅A(0)\displaystyle A(0)\cdot A(0), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 2⋅2+(−2)⋅2=0\displaystyle 2\cdot 2+(-2)\cdot 2=0, cel de pe linia 1, coloana 2 este 2⋅(−2)+(−2)⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-2)+(-2)\cdot(-1)=-2, cel de pe linia 2, coloana 1 este 2⋅2+(−1)⋅2=2\displaystyle 2\cdot 2+(-1)\cdot 2=2, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este 2⋅(−2)+(−1)⋅(−1)=−3\displaystyle 2\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)=-3.
    A(0)⋅A(0)=(0−22−3)\displaystyle A(0)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & -3\end{pmatrix}
  3. Egalăm matricea obținută cu A(x)\displaystyle A(x) și comparăm elementele de pe aceleași poziții. Elementele −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2 coincid. Din primul element rezultă x+2=0\displaystyle x+2=0, deci x=−2\displaystyle x=-2. Din ultimul element rezultă x−1=−3\displaystyle x-1=-3, deci tot x=−2\displaystyle x=-2.
    x+2=0 și x−1=−3\displaystyle x+2=0\text{ și }x-1=-3
  4. Ambele egalități dau aceeași valoare, deci egalitatea de matrice are loc pentru x=−2\displaystyle x=-2.
    (0−22−3)=(x+2−22x−1), de unde x=−2\displaystyle \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2 & -2\\ 2 & x-1\end{pmatrix}\text{, de unde }x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+2−22x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2 & -2\\ 2 & x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că, dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale distincte astfel încât det⁡(A(x))=det⁡(A(y))\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y)), atunci x+y=−1\displaystyle x+y=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul: det⁡(A(x))=(x+2)(x−1)−(−2)⋅2\displaystyle \det(A(x))=(x+2)(x-1)-(-2)\cdot 2.
    det⁡(A(x))=(x+2)(x−1)+4\displaystyle \det(A(x))=(x+2)(x-1)+4
  2. Dezvoltăm: (x+2)(x−1)=x2+x−2\displaystyle (x+2)(x-1)=x^{2}+x-2, deci det⁡(A(x))=x2+x−2+4\displaystyle \det(A(x))=x^{2}+x-2+4.
    det⁡(A(x))=x2+x+2\displaystyle \det(A(x))=x^{2}+x+2
  3. Analog, det⁡(A(y))=y2+y+2\displaystyle \det(A(y))=y^{2}+y+2. Din ipoteză, det⁡(A(x))=det⁡(A(y))\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y)), deci x2+x+2=y2+y+2\displaystyle x^{2}+x+2=y^{2}+y+2.
    x2+x+2=y2+y+2\displaystyle x^{2}+x+2=y^{2}+y+2
  4. Reducem termenul 2\displaystyle 2 și obținem x2−y2+x−y=0\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=0.
    x2−y2+x−y=0\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=0
  5. Folosim x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y) și dăm factor comun x−y\displaystyle x-y: (x−y)(x+y)+(x−y)=(x−y)(x+y+1)=0\displaystyle (x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)=0.
    (x−y)(x+y+1)=0\displaystyle (x-y)(x+y+1)=0
  6. Cum x≠y\displaystyle x\neq y, avem x−y≠0\displaystyle x-y\neq 0, deci simplificăm cu x−y\displaystyle x-y și obținem x+y+1=0\displaystyle x+y+1=0, adică x+y=−1\displaystyle x+y=-1.
    x+y+1=0, deci x+y=−1\displaystyle x+y+1=0\text{, deci }x+y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=4xy−3x+2y−1\displaystyle x*y=4xy-3x+2y-1.

Arătați că 1∗2=8\displaystyle 1*2=8.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=4xy−3x+2y−1\displaystyle x*y=4xy-3x+2y-1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=4⋅1⋅2−3⋅1+2⋅2−1\displaystyle 1*2=4\cdot1\cdot2-3\cdot1+2\cdot2-1
  2. Calculăm termenii: 4⋅1⋅2=8\displaystyle 4\cdot1\cdot2=8, 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot1=3, 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot2=4.
    8−3+4−1\displaystyle 8-3+4-1
  3. Efectuăm operațiile: 8−3=5\displaystyle 8-3=5, 5+4=9\displaystyle 5+4=9, 9−1=8\displaystyle 9-1=8. Deci 1∗2=8\displaystyle 1*2=8.
    8−3+4−1=8\displaystyle 8-3+4-1=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=4xy−3x+2y−1\displaystyle x*y=4xy-3x+2y-1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗(−1)=4\displaystyle x*(-1)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în legea de compoziție pe y\displaystyle y cu −1\displaystyle -1: x∗(−1)=4x⋅(−1)−3x+2⋅(−1)−1\displaystyle x*(-1)=4x\cdot(-1)-3x+2\cdot(-1)-1.
    x∗(−1)=4x⋅(−1)−3x+2⋅(−1)−1\displaystyle x*(-1)=4x\cdot(-1)-3x+2\cdot(-1)-1
  2. Efectuăm calculele și reducem termenii asemenea: −4x−3x=−7x\displaystyle -4x-3x=-7x, iar −2−1=−3\displaystyle -2-1=-3.
    x∗(−1)=−7x−3\displaystyle x*(-1)=-7x-3
  3. Punem condiția din enunț, x∗(−1)=4\displaystyle x*(-1)=4, și obținem ecuația de gradul I: −7x−3=4\displaystyle -7x-3=4.
    −7x−3=4\displaystyle -7x-3=4
  4. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri: −7x=7\displaystyle -7x=7.
    −7x=7\displaystyle -7x=7
  5. Împărțim ambii membri la −7\displaystyle -7 și obținem x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=4xy−3x+2y−1\displaystyle x*y=4xy-3x+2y-1.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care x∗a=−x\displaystyle x*a=-x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=a\displaystyle y=a în definiția legii: x∗a=4ax−3x+2a−1\displaystyle x*a=4ax-3x+2a-1. Condiția din enunț este x∗a=−x\displaystyle x*a=-x pentru orice x\displaystyle x real.
    4ax−3x+2a−1=−x\displaystyle 4ax-3x+2a-1=-x
  2. Adunăm x\displaystyle x în ambii membri: −3x+x=−2x\displaystyle -3x+x=-2x, deci egalitatea devine 4ax−2x+2a−1=0\displaystyle 4ax-2x+2a-1=0.
    4ax−2x+2a−1=0\displaystyle 4ax-2x+2a-1=0
  3. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2x în primii doi termeni: 4ax−2x=2x(2a−1)\displaystyle 4ax-2x=2x(2a-1). Astfel egalitatea devine 2x(2a−1)+2a−1=0\displaystyle 2x(2a-1)+2a-1=0.
    2x(2a−1)+2a−1=0\displaystyle 2x(2a-1)+2a-1=0
  4. Dăm factor comun 2a−1\displaystyle 2a-1: (2x+1)(2a−1)=0\displaystyle (2x+1)(2a-1)=0. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x real, dar 2x+1\displaystyle 2x+1 nu este nul pentru orice x\displaystyle x (de exemplu, pentru x=0\displaystyle x=0 este 1\displaystyle 1). Rămâne necesar ca 2a−1=0\displaystyle 2a-1=0.
    (2x+1)(2a−1)=0⇒2a−1=0\displaystyle (2x+1)(2a-1)=0\Rightarrow 2a-1=0
  5. Din 2a−1=0\displaystyle 2a-1=0 rezultă 2a=1\displaystyle 2a=1, deci a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}.
    a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1+8x\displaystyle f(x)=2x-1+\frac{8}{x}.

Arătați că f′(x)=2(x2−4)x2\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2-4)}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca sumă de termeni ușor de derivat: 8x=8x−1\displaystyle \dfrac{8}{x}=8x^{-1}, deci f(x)=2x−1+8x−1\displaystyle f(x)=2x-1+8x^{-1}.
    f(x)=2x−1+8x−1\displaystyle f(x)=2x-1+8x^{-1}
  2. Derivăm termen cu termen: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (−1)′=0\displaystyle (-1)'=0, iar (8x−1)′=−8x−2=−8x2\displaystyle \left(8x^{-1}\right)'=-8x^{-2}=-\dfrac{8}{x^{2}}.
    f′(x)=2−8x2\displaystyle f'(x)=2-\frac{8}{x^{2}}
  3. Aducem la același numitor, x2\displaystyle x^{2}: scriem 2=2x2x2\displaystyle 2=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}, deci f′(x)=2x2−8x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}}.
    f′(x)=2x2−8x2\displaystyle f'(x)=\frac{2x^{2}-8}{x^{2}}
  4. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 la numărător: 2x2−8=2(x2−4)\displaystyle 2x^{2}-8=2(x^{2}-4). Obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=2x2−8x2=2(x2−4)x2\displaystyle f'(x)=\frac{2x^{2}-8}{x^{2}}=\frac{2(x^{2}-4)}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1+8x\displaystyle f(x)=2x-1+\frac{8}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=2\displaystyle x_0=2: y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2). Avem nevoie de f(2)\displaystyle f(2) și f′(2)\displaystyle f'(2).
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x=2\displaystyle x=2 în expresia funcției: f(2)=2⋅2−1+82=4−1+4\displaystyle f(2)=2\cdot 2-1+\dfrac{8}{2}=4-1+4.
    f(2)=4−1+4=7\displaystyle f(2)=4-1+4=7
  3. Derivăm funcția: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (−1)′=0\displaystyle (-1)'=0, iar (8x)′=−8x2\displaystyle \left(\dfrac{8}{x}\right)'=-\dfrac{8}{x^{2}}.
    f′(x)=2−8x2\displaystyle f'(x)=2-\dfrac{8}{x^{2}}
  4. Calculăm f′(2)=2−822=2−2\displaystyle f'(2)=2-\dfrac{8}{2^{2}}=2-2. Astfel obținem f(2)=7\displaystyle f(2)=7 și f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0.
    f(2)=7\displaystyle f(2)=7, f′(2)=0\displaystyle \ f'(2)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−7=0⋅(x−2)\displaystyle y-7=0\cdot(x-2), deci y−7=0\displaystyle y-7=0. Tangenta este dreapta orizontală y=7\displaystyle y=7.
    y−7=0⋅(x−2), adica˘ y=7\displaystyle y-7=0\cdot(x-2)\text{, adică }y=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1+8x\displaystyle f(x)=2x-1+\frac{8}{x}.

Demonstrați că f(1−x)≥f(1+x)\displaystyle f(1-x)\ge f(1+x), pentru orice x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2, a lui −1\displaystyle -1 este 0\displaystyle 0, iar a lui 8x\displaystyle \dfrac{8}{x} este −8x2\displaystyle -\dfrac{8}{x^{2}}.
    f′(x)=2−8x2\displaystyle f'(x)=2-\dfrac{8}{x^{2}}
  2. Aducem derivata la același numitor și o descompunem: 2x2−8=2(x−2)(x+2)\displaystyle 2x^{2}-8=2(x-2)(x+2).
    f′(x)=2x2−8x2=2(x−2)(x+2)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x^{2}}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Pentru x>0\displaystyle x>0 factorul x+2\displaystyle x+2 este pozitiv, deci rămâne x−2=0\displaystyle x-2=0. Pentru x∈(0,2]\displaystyle x\in(0,2] avem x−2≤0\displaystyle x-2\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2].
    f′(x)=0⇒x=2; f′(x)≤0, pentru orice x∈(0,2]⇒f este descresca˘toare pe (0,2]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=2;\ f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(0,2]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(0,2]
  4. Comparăm argumentele 1−x\displaystyle 1-x și 1+x\displaystyle 1+x pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1). Din x>0\displaystyle x>0 avem 1−x<1+x\displaystyle 1-x<1+x. Din x<1\displaystyle x<1 avem 1−x>0\displaystyle 1-x>0 și 1+x<2\displaystyle 1+x<2. Deci ambele argumente se află în intervalul (0,2)\displaystyle (0,2), pe care f\displaystyle f este descrescătoare.
    0<1−x<1+x<2, pentru orice x∈(0,1)\displaystyle 0<1-x<1+x<2\text{, pentru orice }x\in(0,1)
  5. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2] și 1−x<1+x\displaystyle 1-x<1+x, ambele fiind în acest interval, valoarea funcției în punctul mai mic este mai mare sau egală cu valoarea în punctul mai mare. Aceasta este inegalitatea cerută.
    0<1−x<1+x<2, pentru orice x∈(0,1), de unde obținem f(1−x)≥f(1+x)\displaystyle 0<1-x<1+x<2\text{, pentru orice }x\in(0,1)\text{, de unde obținem }f(1-x)\ge f(1+x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4x+2\displaystyle f(x)=3x^2+4x+2.

Arătați că ∫02(f(x)−4x) dx=12\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x)\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) în integrală: f(x)−4x=3x2+4x+2−4x\displaystyle f(x)-4x=3x^2+4x+2-4x. Termenii 4x\displaystyle 4x se reduc, deci f(x)−4x=3x2+2\displaystyle f(x)-4x=3x^2+2.
    f(x)−4x=3x2+2\displaystyle f(x)-4x=3x^{2}+2
  2. Integrala devine ∫02(3x2+2) dx\displaystyle \int_0^2 (3x^2+2)\,dx.
    ∫02(f(x)−4x) dx=∫02(3x2+2) dx\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x)\,dx=\int_0^2 (3x^{2}+2)\,dx
  3. Aflăm o primitivă: o primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^2 este x3\displaystyle x^3, iar o primitivă a lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Deci o primitivă a funcției este x3+2x\displaystyle x^3+2x, iar integrala se scrie cu bara de evaluare între 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    ∫02(3x2+2) dx=(x3+2x)∣02\displaystyle \int_0^2 (3x^{2}+2)\,dx=\left(x^{3}+2x\right)\Big|_0^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2 și scădem valoarea ei în 0\displaystyle 0. Valoarea în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, iar în 2\displaystyle 2 este 23+2⋅2=8+4=12\displaystyle 2^3+2\cdot 2=8+4=12.
    (23+2⋅2)−(03+2⋅0)=8+4−0=12\displaystyle \left(2^{3}+2\cdot 2\right)-\left(0^{3}+2\cdot 0\right)=8+4-0=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4x+2\displaystyle f(x)=3x^2+4x+2.

Arătați că ∫01(f(x)−3x2−2)ex dx=4\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2-2)e^x\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu 3x2+4x+2\displaystyle 3x^2+4x+2 și reducem termenii asemenea: f(x)−3x2−2=3x2+4x+2−3x2−2=4x\displaystyle f(x)-3x^2-2=3x^2+4x+2-3x^2-2=4x.
    f(x)−3x2−2=4x\displaystyle f(x)-3x^{2}-2=4x
  2. Integrala devine ∫014xex dx\displaystyle \int_0^1 4xe^x\,dx. Scoatem constanta 4 în fața integralei: 4∫01xex dx\displaystyle 4\int_0^1 xe^x\,dx.
    ∫01(f(x)−3x2−2)ex dx=4∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^{2}-2)e^x\,dx=4\int_0^1 xe^x\,dx
  3. Integrăm prin părți, alegând u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Atunci ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x. Deci integrala este 4(x−1)ex∣01\displaystyle 4(x-1)e^x\Big|_0^1.
    ∫014xex dx=4(x−1)ex∣01\displaystyle \int_0^1 4xe^x\,dx=4(x-1)e^x\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: la x=1\displaystyle x=1 avem 4(1−1)e=0\displaystyle 4(1-1)e=0, iar la x=0\displaystyle x=0 avem 4(0−1)e0=−4\displaystyle 4(0-1)e^0=-4. Diferența este 0−(−4)=4\displaystyle 0-(-4)=4.
    4(1−1)e−4(0−1)e0=0+4=4\displaystyle 4(1-1)e-4(0-1)e^{0}=0+4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4x+2\displaystyle f(x)=3x^2+4x+2.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty) pentru care ∫−10a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1 dx=63\displaystyle \int_{-1}^{0} a\cdot f'(x)\cdot(f(x))^{a-1}\,dx=63.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că integrandul este derivata funcției (f(x))a\displaystyle (f(x))^{a}, deoarece ((f(x))a)′=a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1\displaystyle \left((f(x))^{a}\right)'=a\cdot f'(x)\cdot(f(x))^{a-1}.
    ((f(x))a)′=a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1\displaystyle \left((f(x))^{a}\right)'=a\cdot f'(x)\cdot(f(x))^{a-1}
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫−10a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1 dx=(f(x))a∣−10=(f(0))a−(f(−1))a\displaystyle \int_{-1}^{0}a\cdot f'(x)\cdot(f(x))^{a-1}\,dx=(f(x))^{a}\Big|_{-1}^{0}=(f(0))^{a}-(f(-1))^{a}.
    ∫−10a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1 dx=(f(0))a−(f(−1))a\displaystyle \int_{-1}^{0}a\cdot f'(x)\cdot(f(x))^{a-1}\,dx=(f(0))^{a}-(f(-1))^{a}
  3. Calculăm f(0)=2\displaystyle f(0)=2 și f(−1)=3⋅(−1)2+4⋅(−1)+2=3−4+2=1\displaystyle f(-1)=3\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+2=3-4+2=1. Deci integrala este 2a−1a=2a−1\displaystyle 2^{a}-1^{a}=2^{a}-1, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty).
    ∫−10a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1 dx=2a−1\displaystyle \int_{-1}^{0}a\cdot f'(x)\cdot(f(x))^{a-1}\,dx=2^{a}-1
  4. Din condiția din enunț avem 2a−1=63\displaystyle 2^{a}-1=63, deci 2a=64=26\displaystyle 2^{a}=64=2^{6}.
    2a=64=26\displaystyle 2^{a}=64=2^{6}
  5. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci a=6\displaystyle a=6. Cum 6∈(0,+∞)\displaystyle 6\in(0,+\infty), valoarea convine.
    a=6, care convine\displaystyle a=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.