Bac matematică M3 tehnologic 2021, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+3i)2−6i=−8\displaystyle (1+3i)^2-6i=-8, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei după formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=1\displaystyle a=1 și b=3i\displaystyle b=3i.
    (1+3i)2=12+2⋅1⋅3i+(3i)2=1+6i+9i2\displaystyle (1+3i)^2=1^2+2\cdot 1\cdot 3i+(3i)^2=1+6i+9i^2
  2. Înlocuim pătratul în expresia inițială: (1+3i)2−6i\displaystyle (1+3i)^2-6i devine o sumă de termeni.
    (1+3i)2−6i=1+6i+9i2−6i\displaystyle (1+3i)^2-6i=1+6i+9i^2-6i
  3. Reducem termenii cu i\displaystyle i: 6i\displaystyle 6i și −6i\displaystyle -6i se anulează.
    1+6i+9i2−6i=1+9i2\displaystyle 1+6i+9i^2-6i=1+9i^2
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și calculăm, obținând −8\displaystyle -8.
    1+9i2=1+9⋅(−1)=1−9=−8\displaystyle 1+9i^2=1+9\cdot(-1)=1-9=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3x−7\displaystyle g(x)=3x-7. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci egalăm expresiile funcțiilor: f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    x+1=3x−7\displaystyle x+1=3x-7
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă parte: x−3x=−7−1\displaystyle x-3x=-7-1.
    −2x=−8\displaystyle -2x=-8
  3. Împărțim la −2\displaystyle -2 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=4\displaystyle x=4
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=4\displaystyle x=4 în f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1: f(4)=4+1=5\displaystyle f(4)=4+1=5. Verificare cu g\displaystyle g: g(4)=3⋅4−7=5\displaystyle g(4)=3\cdot 4-7=5.
    y=f(4)=5\displaystyle y=f(4)=5
  5. Punctul de intersecție al graficelor are abscisa 4\displaystyle 4 și ordonata 5\displaystyle 5, adică punctul (4,5)\displaystyle (4,5).
    x=4 și y=5\displaystyle x=4\text{ și }y=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3−x=2x\displaystyle \sqrt{3-x}=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm condițiile de existență: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 3−x≥0\displaystyle 3-x\ge 0, deci x≤3\displaystyle x\le 3. Radicalul este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci și 2x\displaystyle 2x trebuie să fie mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, adică x≥0\displaystyle x\ge 0. Soluțiile posibile sunt în intervalul [0,3]\displaystyle [0,3].
    x∈[0,3]\displaystyle x\in[0,3]
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Pătratul radicalului este 3−x\displaystyle 3-x, iar pătratul lui 2x\displaystyle 2x este 4x2\displaystyle 4x^{2}.
    3−x=4x2\displaystyle 3-x=4x^{2}
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și obținem o ecuație de gradul doi.
    4x2+x−3=0\displaystyle 4x^{2}+x-3=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅4⋅(−3)=1+48=49\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 4\cdot(-3)=1+48=49, deci Δ=7\displaystyle \sqrt{\Delta}=7.
    Δ=49\displaystyle \Delta=49
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x=−1±78\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 7}{8}. Obținem x1=−1−78=−1\displaystyle x_{1}=\dfrac{-1-7}{8}=-1 și x2=−1+78=34\displaystyle x_{2}=\dfrac{-1+7}{8}=\dfrac{3}{4}.
    x1=−1, x2=34\displaystyle x_{1}=-1\text{, }x_{2}=\dfrac{3}{4}
  6. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem 2x=−2<0\displaystyle 2x=-2<0, în timp ce radicalul este pozitiv (4=2\displaystyle \sqrt{4}=2), deci −1\displaystyle -1 nu convine. Pentru x=34\displaystyle x=\dfrac{3}{4}: partea stângă este 3−34=94=32\displaystyle \sqrt{3-\dfrac{3}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}, iar partea dreaptă este 2⋅34=32\displaystyle 2\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}, deci 34\displaystyle \dfrac{3}{4} convine. Soluția ecuației este x=34\displaystyle x=\dfrac{3}{4}.
    x=−1, care nu convine; x=34, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine; }x=\frac{3}{4}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\} este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A\displaystyle A, care are 5 elemente, este C52\displaystyle C_5^2. Folosim formula Cnk=n!(n−k)!⋅k!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k!}.
    C52=5!3!⋅2!\displaystyle C_5^2=\frac{5!}{3!\cdot 2!}
  2. Scriem 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3!, simplificăm cu 3!\displaystyle 3! de la numitor și rămâne 5⋅42\displaystyle \dfrac{5\cdot 4}{2}.
    C52=5⋅4⋅3!3!⋅2!=202=10\displaystyle C_5^2=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}=\frac{20}{2}=10
  3. Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A\displaystyle A este C53\displaystyle C_5^3. Aplicăm formula combinărilor.
    C53=5!2!⋅3!\displaystyle C_5^3=\frac{5!}{2!\cdot 3!}
  4. Scriem 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3! și simplificăm cu 3!\displaystyle 3!. Obținem C53=10=C52\displaystyle C_5^3=10=C_5^2, deci numărul submulțimilor cu două elemente este egal cu numărul submulțimilor cu trei elemente.
    C53=5⋅4⋅3!2!⋅3!=202=10=C52\displaystyle C_5^3=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2!\cdot 3!}=\frac{20}{2}=10=C_5^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(−1,0)\displaystyle B(-1,0) și C(0,a)\displaystyle C(0,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreapta AB\displaystyle AB conține punctul C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta AB\displaystyle AB conține punctul C\displaystyle C, deci punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare. Atunci panta dreptei AB\displaystyle AB este egală cu panta dreptei AC\displaystyle AC.
    mAB=mAC\displaystyle m_{AB}=m_{AC}
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula m=yB−yAxB−xA\displaystyle m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, pentru A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(−1,0)\displaystyle B(-1,0): mAB=0−2−1−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{0-2}{-1-1}.
    mAB=−2−2=1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-2}{-2}=1
  3. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC pentru A(1,2)\displaystyle A(1,2) și C(0,a)\displaystyle C(0,a): mAC=a−20−1\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-2}{0-1}.
    mAC=a−2−1=−a+2\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-2}{-1}=-a+2
  4. Egalăm pantele: 1=−a+2\displaystyle 1=-a+2, de unde a=2−1\displaystyle a=2-1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră numărul real x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) astfel încât cos⁡x+sin⁡π6=1\displaystyle \cos x+\sin\frac{\pi}{6}=1. Calculați sin⁡x\displaystyle \sin x.
Vezi rezolvarea
  1. Știm că sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}. Înlocuim în relația dată: cos⁡x+12=1\displaystyle \cos x+\dfrac{1}{2}=1.
    cos⁡x+12=1\displaystyle \cos x+\frac{1}{2}=1
  2. Scădem 12\displaystyle \dfrac{1}{2} din ambii membri: cos⁡x=1−12\displaystyle \cos x=1-\dfrac{1}{2}.
    cos⁡x=12\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}
  3. Folosim formula fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1. Cum cos⁡x=12\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}, obținem sin⁡2x+14=1\displaystyle \sin^2 x+\dfrac{1}{4}=1.
    sin⁡2x+14=1\displaystyle \sin^2 x+\frac{1}{4}=1
  4. Scădem 14\displaystyle \dfrac{1}{4} din ambii membri: sin⁡2x=1−14\displaystyle \sin^2 x=1-\dfrac{1}{4}.
    sin⁡2x=34\displaystyle \sin^2 x=\frac{3}{4}
  5. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci sin⁡x=34=32\displaystyle \sin x=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡x=32\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(24−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}, B=(−2−613)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-2&-6\\1&3\end{pmatrix} și M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(24−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}. Determinantul de ordin doi se calculează după formula ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=∣24−1−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&4\\-1&-2\end{vmatrix}
  2. Înlocuim a=2\displaystyle a=2, b=4\displaystyle b=4, c=−1\displaystyle c=-1, d=−2\displaystyle d=-2 în formulă.
    det⁡A=2⋅(−2)−4⋅(−1)\displaystyle \det A=2\cdot(-2)-4\cdot(-1)
  3. Efectuăm înmulțirile: 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4 și 4⋅(−1)=−4\displaystyle 4\cdot(-1)=-4, deci −4−(−4)=−4+4=0\displaystyle -4-(-4)=-4+4=0. Astfel se arată că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
    det⁡A=−4+4=0\displaystyle \det A=-4+4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(24−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}, B=(−2−613)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-2&-6\\1&3\end{pmatrix} și M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)⋅M(1)=xM(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=xM(1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xB\displaystyle xB, înmulțind fiecare element al lui B\displaystyle B cu x\displaystyle x.
    xB=(−2x−6xx3x)\displaystyle xB=\begin{pmatrix}-2x&-6x\\x&3x\end{pmatrix}
  2. Adunăm A\displaystyle A cu xB\displaystyle xB element cu element și obținem M(x)\displaystyle M(x). Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem M(1)\displaystyle M(1).
    M(x)=(2−2x4−6x−1+x−2+3x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2-2x&4-6x\\-1+x&-2+3x\end{pmatrix},M(1)=(0−201)\displaystyle \quad M(1)=\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul M(x)⋅M(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1). Prima coloană a lui M(1)\displaystyle M(1) este nulă, deci prima coloană a produsului este nulă.
    (2−2x)⋅0+(4−6x)⋅0=0\displaystyle (2-2x)\cdot 0+(4-6x)\cdot 0=0,(−1+x)⋅0+(−2+3x)⋅0=0\displaystyle \quad (-1+x)\cdot 0+(-2+3x)\cdot 0=0
  4. Calculăm a doua coloană a produsului: înmulțim fiecare linie a lui M(x)\displaystyle M(x) cu a doua coloană a lui M(1)\displaystyle M(1), adică cu −2\displaystyle -2 și 1\displaystyle 1.
    (2−2x)(−2)+(4−6x)⋅1=−4+4x+4−6x=−2x\displaystyle (2-2x)(-2)+(4-6x)\cdot 1=-4+4x+4-6x=-2x,(−1+x)(−2)+(−2+3x)⋅1=2−2x−2+3x=x\displaystyle \quad (-1+x)(-2)+(-2+3x)\cdot 1=2-2x-2+3x=x
  5. Scriem produsul și dăm factor comun pe x\displaystyle x. Obținem exact x⋅M(1)\displaystyle x\cdot M(1), deci egalitatea este demonstrată pentru orice x\displaystyle x real.
    M(x)⋅M(1)=(0−2x0x)=x(0−201)=xM(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=\begin{pmatrix}0&-2x\\0&x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}=xM(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(24−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}, B=(−2−613)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-2&-6\\1&3\end{pmatrix} și M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB, unde x\displaystyle x este număr real. Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că M(4)⋅M(3)⋅M(2)⋅M(1)=nM(1)\displaystyle M(4)\cdot M(3)\cdot M(2)\cdot M(1)=nM(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea M(x)=A+xB\displaystyle M(x)=A+xB element cu element, apoi particularizăm pentru x=1\displaystyle x=1.
    M(1)=(0−201)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M(x)⋅M(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1). Prima coloană a lui M(1)\displaystyle M(1) este nulă, deci prima coloană a produsului este nulă. În a doua coloană avem pe prima linie −2(2−2x)+(4−6x)=−2x\displaystyle -2(2-2x)+(4-6x)=-2x și pe a doua linie −2(x−1)+(3x−2)=x\displaystyle -2(x-1)+(3x-2)=x. Rezultă că M(x)⋅M(1)=xM(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=xM(1).
    M(x)⋅M(1)=(0−2x0x)=xM(1)\displaystyle M(x)\cdot M(1)=\begin{pmatrix}0&-2x\\0&x\end{pmatrix}=xM(1)
  3. Folosim relația pentru x=2\displaystyle x=2 în produsul M(2)⋅M(1)\displaystyle M(2)\cdot M(1) din finalul produsului dat.
    M(2)⋅M(1)=2M(1)\displaystyle M(2)\cdot M(1)=2M(1)
  4. Înlocuim și avem M(4)⋅M(3)⋅(2M(1))\displaystyle M(4)\cdot M(3)\cdot(2M(1)). Scoatem scalarul 2\displaystyle 2 în față și aplicăm relația pentru x=3\displaystyle x=3: M(3)⋅M(1)=3M(1)\displaystyle M(3)\cdot M(1)=3M(1).
    M(4)⋅M(3)⋅(2M(1))=2M(4)⋅(M(3)⋅M(1))=2⋅3 M(4)⋅M(1)\displaystyle M(4)\cdot M(3)\cdot\left(2M(1)\right)=2M(4)\cdot\left(M(3)\cdot M(1)\right)=2\cdot 3\,M(4)\cdot M(1)
  5. Aplicăm relația pentru x=4\displaystyle x=4: M(4)⋅M(1)=4M(1)\displaystyle M(4)\cdot M(1)=4M(1). Obținem valoarea produsului dat.
    M(4)⋅M(3)⋅M(2)⋅M(1)=2⋅3⋅4 M(1)=24M(1)\displaystyle M(4)\cdot M(3)\cdot M(2)\cdot M(1)=2\cdot 3\cdot 4\,M(1)=24M(1)
  6. Egalăm cu nM(1)\displaystyle nM(1). Cum M(1)\displaystyle M(1) este matrice nenulă, rezultă n=24\displaystyle n=24, care este număr natural.
    24M(1)=nM(1), deci n=24\displaystyle 24M(1)=nM(1)\text{, deci }n=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^2y^2.

Arătați că 1∗2=7\displaystyle 1*2=7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^{2}y^{2}, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^{2}y^{2}
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în definiție.
    1∗2=1+2+12⋅22\displaystyle 1*2=1+2+1^{2}\cdot 2^{2}
  3. Calculăm puterile: 12=1\displaystyle 1^{2}=1, iar 22=4\displaystyle 2^{2}=4, deci 12⋅22=4\displaystyle 1^{2}\cdot 2^{2}=4.
    12⋅22=1⋅4=4\displaystyle 1^{2}\cdot 2^{2}=1\cdot 4=4
  4. Adunăm termenii: 1+2+4=7\displaystyle 1+2+4=7, deci 1∗2=7\displaystyle 1*2=7, ceea ce trebuia arătat.
    1∗2=1+2+4=7\displaystyle 1*2=1+2+4=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^2y^2.

Demonstrați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm cele două egalități pentru e=0\displaystyle e=0, începând cu x∗0\displaystyle x*0.
    x∗e=x și e∗x=x\displaystyle x*e=x\text{ și }e*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^2y^2. Ultimul termen este x2⋅02=0\displaystyle x^2\cdot 0^2=0, deci rămâne x\displaystyle x.
    x∗0=x+0+x2⋅02=x+0+0=x\displaystyle x*0=x+0+x^{2}\cdot 0^{2}=x+0+0=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea nu este dată ca fiind comutativă, deci verificăm și ordinea inversă. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=x\displaystyle y=x în definiție: 02⋅x2=0\displaystyle 0^2\cdot x^2=0, deci rămâne x\displaystyle x. Cum ambele egalități au loc pentru orice x\displaystyle x real, e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru.
    0∗x=0+x+02⋅x2=x\displaystyle 0*x=0+x+0^{2}\cdot x^{2}=x, ∀x∈R, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^2y^2.

Determinați numerele întregi x\displaystyle x pentru care (−2)∗x≤3\displaystyle (-2)*x\le 3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=x+y+x2y2\displaystyle x*y=x+y+x^2y^2 pentru (−2)∗x\displaystyle (-2)*x. Avem (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4, deci (−2)∗x=−2+x+4x2\displaystyle (-2)*x=-2+x+4x^2.
    (−2)∗x=−2+x+4x2\displaystyle (-2)*x=-2+x+4x^{2}
  2. Condiția (−2)∗x≤3\displaystyle (-2)*x\le 3 devine −2+x+4x2≤3\displaystyle -2+x+4x^2\le 3. Scădem 3 din ambii membri și obținem inegalitatea de gradul doi.
    −2+x+4x2≤3, deci 4x2+x−5≤0\displaystyle -2+x+4x^{2}\le 3\text{, deci }4x^{2}+x-5\le 0
  3. Rezolvăm 4x2+x−5=0\displaystyle 4x^2+x-5=0. Discriminantul este Δ=12−4⋅4⋅(−5)=1+80=81\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 4\cdot(-5)=1+80=81, deci Δ=9\displaystyle \sqrt{\Delta}=9. Rădăcinile sunt x1,2=−1±98\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-1\pm 9}{8}.
    x1=−1−98=−54\displaystyle x_{1}=\frac{-1-9}{8}=-\frac{5}{4},x2=−1+98=1\displaystyle \quad x_{2}=\frac{-1+9}{8}=1
  4. Coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este 4>0\displaystyle 4>0, deci 4x2+x−5≤0\displaystyle 4x^2+x-5\le 0 exact între rădăcini, inclusiv rădăcinile. Obținem intervalul soluțiilor reale.
    x∈[−54,1]\displaystyle x\in\left[-\frac{5}{4},1\right]
  5. Deoarece −54=−1,25\displaystyle -\dfrac{5}{4}=-1{,}25, întregii din intervalul [−54,1]\displaystyle \left[-\dfrac{5}{4},1\right] sunt −1\displaystyle -1, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 4+1−5=0≤0\displaystyle 4+1-5=0\le 0, iar pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem 16−2−5=9>0\displaystyle 16-2-5=9>0, deci −2\displaystyle -2 nu convine.
    x∈[−54,1] și x=−1 sau x=0 sau x=1\displaystyle x\in\left[-\frac{5}{4},1\right]\text{ și }x=-1\text{ sau }x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+x4−2x+2\displaystyle f(x)=e^x+x^4-2x+2.

Arătați că f′(x)=ex+4x3−2\displaystyle f'(x)=e^x+4x^3-2, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=ex+x4−2x+2\displaystyle f(x)=e^x+x^4-2x+2 este definită pe R\displaystyle \mathbb{R} și este suma a patru termeni, deci o derivăm termen cu termen, folosind regula de derivare a unei sume și a unei diferențe.
    f′(x)=(ex)′+(x4)′−(2x)′+(2)′\displaystyle f'(x)=(e^x)'+(x^4)'-(2x)'+(2)'
  2. Calculăm fiecare derivată în parte: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x4)′=4x3\displaystyle (x^4)'=4x^3, (2x)′=2⋅(x)′=2\displaystyle (2x)'=2\cdot (x)'=2, iar derivata unei constante este (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x4)′=4x3\displaystyle \ (x^4)'=4x^3, (2x)′=2\displaystyle \ (2x)'=2, (2)′=0\displaystyle \ (2)'=0
  3. Înlocuim derivatele calculate în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex+4x3−2+0=ex+4x3−2\displaystyle f'(x)=e^x+4x^3-2+0=e^x+4x^3-2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+x4−2x+2\displaystyle f(x)=e^x+x^4-2x+2.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă 0\displaystyle 0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: e0=1\displaystyle e^{0}=1, iar termenii cu x\displaystyle x dispar, deci f(0)=1+0−0+2\displaystyle f(0)=1+0-0+2.
    f(0)=e0+04−2⋅0+2=3\displaystyle f(0)=e^{0}+0^{4}-2\cdot 0+2=3
  3. Derivăm funcția f\displaystyle f: (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}, (x4)′=4x3\displaystyle (x^{4})'=4x^{3}, (−2x)′=−2\displaystyle (-2x)'=-2, iar derivata constantei 2\displaystyle 2 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=ex+4x3−2\displaystyle f'(x)=e^{x}+4x^{3}-2
  4. Calculăm f′(0)=e0+4⋅03−2=1−2\displaystyle f'(0)=e^{0}+4\cdot 0^{3}-2=1-2. Obținem f(0)=3\displaystyle f(0)=3 și f′(0)=−1\displaystyle f'(0)=-1.
    f(0)=3\displaystyle f(0)=3, f′(0)=−1\displaystyle \ f'(0)=-1
  5. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−3=−1⋅(x−0)\displaystyle y-3=-1\cdot(x-0). Mutăm 3\displaystyle 3 în membrul drept și obținem ecuația tangentei: y=−x+3\displaystyle y=-x+3.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=−x+3\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+x4−2x+2\displaystyle f(x)=e^x+x^4-2x+2.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x4)′=4x3\displaystyle (x^4)'=4x^3, (−2x)′=−2\displaystyle (-2x)'=-2, (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    f′(x)=ex+4x3−2\displaystyle f'(x)=e^x+4x^3-2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (4x3)′=12x2\displaystyle (4x^3)'=12x^2, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0.
    f′′(x)=ex+12x2\displaystyle f''(x)=e^x+12x^2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Exponențiala ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, iar 12x2≥0\displaystyle 12x^2\ge 0, deoarece pătratul unui număr real este nenegativ. Suma lor este deci pozitivă.
    ex>0\displaystyle e^x>0, 12x2≥0⇒ex+12x2>0\displaystyle \ 12x^2\ge 0\Rightarrow e^x+12x^2>0
  4. Deoarece f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\ge 0 pe toată mulțimea numerelor reale, funcția f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′′(x)≥0, pentru orice numa˘r real x, deci f este convexa˘\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.

Arătați că ∫13(f(x)+1x)dx=4\displaystyle \int_1^3\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\dfrac{1}{x} în integrandul f(x)+1x\displaystyle f(x)+\dfrac{1}{x}.
    ∫13(f(x)+1x)dx=∫13(x−1x+1x)dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^3\left(x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)dx
  2. Termenii −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} se reduc, deci integrandul devine x\displaystyle x. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar integrala se calculează cu formula Leibniz-Newton.
    ∫13x dx=x22∣13\displaystyle \int_1^3 x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^3
  3. Înlocuim limitele: pentru x=3\displaystyle x=3 obținem 322=92\displaystyle \dfrac{3^{2}}{2}=\dfrac{9}{2}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 122=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}. Scădem cele două valori și obținem valoarea cerută.
    92−12=82=4\displaystyle \frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.

Arătați că ∫12(f(x)+1x)ln⁡x dx=2ln⁡2−34\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)\ln x\,dx=2\ln 2-\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm integrandul: f(x)+1x=x−1x+1x=x\displaystyle f(x)+\dfrac{1}{x}=x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=x, deci integrala devine ∫12xln⁡x dx\displaystyle \int_1^2 x\ln x\,dx.
    ∫12(f(x)+1x)ln⁡x dx=∫12xln⁡x dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)\ln x\,dx=\int_1^2 x\ln x\,dx
  2. Observăm că x=(x22)′\displaystyle x=\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)' și integrăm prin părți, cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    ∫12xln⁡x dx=∫12(x22)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^2 x\ln x\,dx=\int_1^2\left(\frac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    ∫12xln⁡x dx=x22ln⁡x∣12−∫12x22⋅1x dx\displaystyle \int_1^2 x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^2-\int_1^2\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  4. Simplificăm integrandul rămas: x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}. O primitivă a lui x2\displaystyle \dfrac{x}{2} este x24\displaystyle \dfrac{x^2}{4}.
    ∫12x2 dx=x24∣12\displaystyle \int_1^2\frac{x}{2}\,dx=\frac{x^2}{4}\Big|_1^2
  5. Calculăm termenul x22ln⁡x∣12\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^2, folosind ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    x22ln⁡x∣12=42ln⁡2−12ln⁡1=2ln⁡2\displaystyle \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^2=\frac{4}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=2\ln 2
  6. Calculăm al doilea termen: x24∣12=1−14=34\displaystyle \dfrac{x^2}{4}\Big|_1^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}. Scăzând, obținem rezultatul cerut.
    ∫12(f(x)+1x)ln⁡x dx=2ln⁡2−34\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)\ln x\,dx=2\ln 2-\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.

Determinați cel mai mare număr natural nenul n\displaystyle n pentru care ∫12xn+1fn(x) dx≥12021\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}x^{n+1}f^n(x)\,dx\ge\frac{1}{2021}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub formă de fracție: f(x)=x−1x=x2−1x\displaystyle f(x)=x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}-1}{x}.
    f(x)=x2−1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x}
  2. Înlocuim în integrandă: xn+1fn(x)=xn+1⋅(x2−1)nxn=x (x2−1)n\displaystyle x^{n+1}f^{n}(x)=x^{n+1}\cdot\dfrac{(x^{2}-1)^{n}}{x^{n}}=x\,(x^{2}-1)^{n}.
    xn+1fn(x)=x (x2−1)n\displaystyle x^{n+1}f^{n}(x)=x\,(x^{2}-1)^{n}
  3. Observăm că (x2−1)′=2x\displaystyle (x^{2}-1)'=2x, deci x=12(x2−1)′\displaystyle x=\dfrac{1}{2}(x^{2}-1)'. Obținem integrala ∫12x(x2−1)ndx=12∫12(x2−1)′(x2−1)ndx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\sqrt{2}}x(x^{2}-1)^{n}dx=\dfrac{1}{2}\int_1^{\sqrt{2}}(x^{2}-1)'(x^{2}-1)^{n}dx.
    12∫12(x2−1)′(x2−1)ndx\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_1^{\sqrt{2}}(x^{2}-1)'(x^{2}-1)^{n}dx
  4. Primitiva lui u′un\displaystyle u'u^{n}, cu u=x2−1\displaystyle u=x^{2}-1, este un+1n+1\displaystyle \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Obținem (x2−1)n+12(n+1)∣12\displaystyle \dfrac{(x^{2}-1)^{n+1}}{2(n+1)}\Big|_1^{\sqrt{2}}. Pentru x=2\displaystyle x=\sqrt{2} avem x2−1=1\displaystyle x^{2}-1=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0, deci integrala este 1n+1−0n+12(n+1)\displaystyle \dfrac{1^{n+1}-0^{n+1}}{2(n+1)}.
    ∫12xn+1fn(x) dx=12(n+1)\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}x^{n+1}f^{n}(x)\,dx=\dfrac{1}{2(n+1)}
  5. Punem condiția din enunț: 12(n+1)≥12021\displaystyle \dfrac{1}{2(n+1)}\ge\dfrac{1}{2021}. Cum ambii numitori sunt pozitivi, inversăm fracțiile și schimbăm sensul inegalității: 2(n+1)≤2021\displaystyle 2(n+1)\le 2021.
    2(n+1)≤2021\displaystyle 2(n+1)\le 2021
  6. Rezolvăm inegalitatea: n+1≤20212\displaystyle n+1\le\dfrac{2021}{2}, deci n≤20192=1009,5\displaystyle n\le\dfrac{2019}{2}=1009{,}5. Cel mai mare număr natural nenul care convine este n=1009\displaystyle n=1009.
    n≤20192, deci n=1009\displaystyle n\le\dfrac{2019}{2}\text{, deci }n=1009
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.