Bac matematică M3 tehnologic 2017, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+3)2+(1−23)2=20\displaystyle (2+\sqrt{3})^2+(1-2\sqrt{3})^2=20.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=2\displaystyle a=2 și b=3\displaystyle b=\sqrt{3}: (2+3)2=22+2⋅2⋅3+(3)2\displaystyle (2+\sqrt{3})^2=2^2+2\cdot 2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2.
    (2+3)2=4+43+3\displaystyle (2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3
  2. Adunăm termenii fără radical: 4+3=7\displaystyle 4+3=7.
    (2+3)2=7+43\displaystyle (2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}
  3. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=1\displaystyle a=1 și b=23\displaystyle b=2\sqrt{3}: (1−23)2=12−2⋅1⋅23+(23)2\displaystyle (1-2\sqrt{3})^2=1^2-2\cdot 1\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2.
    (1−23)2=1−43+4⋅3\displaystyle (1-2\sqrt{3})^2=1-4\sqrt{3}+4\cdot 3
  4. Calculăm (23)2=4⋅3=12\displaystyle (2\sqrt{3})^2=4\cdot 3=12 și adunăm: 1+12=13\displaystyle 1+12=13.
    (1−23)2=13−43\displaystyle (1-2\sqrt{3})^2=13-4\sqrt{3}
  5. Adunăm cele două rezultate: 7+43+13−43\displaystyle 7+4\sqrt{3}+13-4\sqrt{3}. Termenii cu radical se reduc, iar 7+13=20\displaystyle 7+13=20.
    (2+3)2+(1−23)2=7+43+13−43=20\displaystyle (2+\sqrt{3})^2+(1-2\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}+13-4\sqrt{3}=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x\displaystyle f(x)=x^2-3x. Calculați f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=12−3⋅1=−2\displaystyle f(1)=1^{2}-3\cdot 1=-2.
    f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2
  2. Calculăm f(2)=22−3⋅2=4−6=−2\displaystyle f(2)=2^{2}-3\cdot 2=4-6=-2.
    f(2)=−2\displaystyle f(2)=-2
  3. Calculăm f(3)=32−3⋅3=9−9=0\displaystyle f(3)=3^{2}-3\cdot 3=9-9=0. Observăm că unul dintre factorii produsului este nul.
    f(3)=0\displaystyle f(3)=0
  4. Calculăm f(4)=42−3⋅4=16−12=4\displaystyle f(4)=4^{2}-3\cdot 4=16-12=4. Acest factor nu schimbă rezultatul, deoarece un factor al produsului este 0\displaystyle 0.
    f(4)=4\displaystyle f(4)=4
  5. Produsul are factorul f(3)=0\displaystyle f(3)=0, deci este egal cu 0\displaystyle 0. Verificare: (−2)⋅(−2)⋅0⋅4=0\displaystyle (-2)\cdot(-2)\cdot 0\cdot 4=0.
    f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)=(−2)⋅(−2)⋅0⋅4=0\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)=(-2)\cdot(-2)\cdot 0\cdot 4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8x=42x+1\displaystyle 8^x=4^{2x+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ambele baze ca puteri ale lui 2\displaystyle 2: 8=23\displaystyle 8=2^{3} și 4=22\displaystyle 4=2^{2}.
    8=23\displaystyle 8=2^{3},4=22\displaystyle \quad 4=2^{2}
  2. Înlocuim în ecuație și folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}: (23)x=(22)2x+1\displaystyle (2^{3})^{x}=(2^{2})^{2x+1}, deci 23x=22(2x+1)\displaystyle 2^{3x}=2^{2(2x+1)}.
    23x=24x+2\displaystyle 2^{3x}=2^{4x+2}
  3. Funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, deci egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților.
    3x=4x+2\displaystyle 3x=4x+2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 3x−4x=2\displaystyle 3x-4x=2, deci −x=2\displaystyle -x=2.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 25%\displaystyle 25\%, prețul unui obiect este 250\displaystyle 250 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul obiectului înainte de scumpire, în lei. După o scumpire cu 25%\displaystyle 25\%, prețul crește cu 25%\displaystyle 25\% din p\displaystyle p, deci noul preț este p+25100⋅p\displaystyle p+\dfrac{25}{100}\cdot p.
    p+25100⋅p\displaystyle p+\frac{25}{100}\cdot p
  2. Prețul după scumpire este 250\displaystyle 250 de lei, deci scriem ecuația.
    p+25100⋅p=250\displaystyle p+\frac{25}{100}\cdot p=250
  3. Simplificăm fracția 25100=14\displaystyle \dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} și dăm factor comun pe p\displaystyle p: p(1+14)=250\displaystyle p\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=250, adică 54⋅p=250\displaystyle \dfrac{5}{4}\cdot p=250.
    54⋅p=250\displaystyle \frac{5}{4}\cdot p=250
  4. Înmulțim ecuația cu 45\displaystyle \dfrac{4}{5} și obținem p=250⋅45=50⋅4\displaystyle p=250\cdot\dfrac{4}{5}=50\cdot 4. Prețul inițial este 200\displaystyle 200 de lei.
    p=200 de lei\displaystyle p=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,5)\displaystyle A(1,5), B(1,1)\displaystyle B(1,1) și C(5,5)\displaystyle C(5,5). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}. Pentru a arăta că triunghiul este isoscel, calculăm lungimile laturilor și căutăm două egale.
    MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}
  2. Calculăm AB\displaystyle AB pentru A(1,5)\displaystyle A(1,5) și B(1,1)\displaystyle B(1,1): AB=(1−1)2+(1−5)2=0+16\displaystyle AB=\sqrt{(1-1)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{0+16}, deci AB=4\displaystyle AB=4.
    AB=(1−1)2+(1−5)2=16=4\displaystyle AB=\sqrt{(1-1)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{16}=4
  3. Calculăm AC\displaystyle AC pentru A(1,5)\displaystyle A(1,5) și C(5,5)\displaystyle C(5,5): AC=(5−1)2+(5−5)2=16+0\displaystyle AC=\sqrt{(5-1)^{2}+(5-5)^{2}}=\sqrt{16+0}, deci AC=4\displaystyle AC=4.
    AC=(5−1)2+(5−5)2=16=4\displaystyle AC=\sqrt{(5-1)^{2}+(5-5)^{2}}=\sqrt{16}=4
  4. Deoarece AB=AC=4\displaystyle AB=AC=4, triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi congruente, deci este isoscel, cu vârful în A\displaystyle A.
    AB=AC=4⇒ triunghiul ABC este isoscel\displaystyle AB=AC=4\Rightarrow\text{ triunghiul }ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡60∘+tg⁡45∘=cos⁡30∘+ctg⁡45∘\displaystyle \sin 60^\circ+\operatorname{tg}45^\circ=\cos 30^\circ+\operatorname{ctg}45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Valoarea cunoscută a sinusului este sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Valoarea cunoscută a cosinusului este cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Rezultă că sin⁡60∘=cos⁡30∘\displaystyle \sin 60^\circ=\cos 30^\circ.
    sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Avem tg⁡45∘=sin⁡45∘cos⁡45∘=1\displaystyle \operatorname{tg}45^\circ=\dfrac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=1 și ctg⁡45∘=cos⁡45∘sin⁡45∘=1\displaystyle \operatorname{ctg}45^\circ=\dfrac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ}=1.
    tg⁡45∘=ctg⁡45∘=1\displaystyle \operatorname{tg}45^\circ=\operatorname{ctg}45^\circ=1
  4. Din sin⁡60∘=cos⁡30∘\displaystyle \sin 60^\circ=\cos 30^\circ și tg⁡45∘=ctg⁡45∘\displaystyle \operatorname{tg}45^\circ=\operatorname{ctg}45^\circ obținem că ambii membri sunt egali cu 32+1\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    sin⁡60∘+tg⁡45∘=32+1=cos⁡30∘+ctg⁡45∘\displaystyle \sin 60^\circ+\operatorname{tg}45^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\cos 30^\circ+\operatorname{ctg}45^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x2xx)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ x & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(3))=3\displaystyle \det(A(3))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(3)\displaystyle A(3).
    A(3)=(3233)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2\displaystyle 2 și aplicăm formula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(3))=∣3233∣=3⋅3−3⋅2\displaystyle \det(A(3))=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}=3\cdot 3-3\cdot 2
  3. Calculăm produsele și efectuăm scăderea: 9−6=3\displaystyle 9-6=3, deci det⁡(A(3))=3\displaystyle \det(A(3))=3, ceea ce trebuia arătat.
    9−6=3\displaystyle 9-6=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x2xx)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ x & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(2017+x)+A(2017−x)=2A(2017)\displaystyle A(2017+x)+A(2017-x)=2A(2017), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2017+x\displaystyle 2017+x în A(x)=(x2xx)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ x & x \end{pmatrix} și obținem matricea A(2017+x)\displaystyle A(2017+x).
    A(2017+x)=(2017+x22017+x2017+x)\displaystyle A(2017+x)=\begin{pmatrix} 2017+x & 2 \\ 2017+x & 2017+x \end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2017−x\displaystyle 2017-x și obținem matricea A(2017−x)\displaystyle A(2017-x).
    A(2017−x)=(2017−x22017−x2017−x)\displaystyle A(2017-x)=\begin{pmatrix} 2017-x & 2 \\ 2017-x & 2017-x \end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element. Termenii cu x\displaystyle x se reduc: (2017+x)+(2017−x)=4034\displaystyle (2017+x)+(2017-x)=4034, iar 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    A(2017+x)+A(2017−x)=(4034440344034)\displaystyle A(2017+x)+A(2017-x)=\begin{pmatrix} 4034 & 4 \\ 4034 & 4034 \end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 în fața matricei și recunoaștem pe A(2017)=(2017220172017)\displaystyle A(2017)=\begin{pmatrix} 2017 & 2 \\ 2017 & 2017 \end{pmatrix}. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x, deci egalitatea are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (4034440344034)=2(2017220172017)=2A(2017), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \begin{pmatrix} 4034 & 4 \\ 4034 & 4034 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 2017 & 2 \\ 2017 & 2017 \end{pmatrix}=2A(2017)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x2xx)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ x & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(A(2)+mA(1))=0\displaystyle \det(A(2)+mA(1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și x=1\displaystyle x=1 în A(x)=(x2xx)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ x & x \end{pmatrix} și obținem matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(1)\displaystyle A(1).
    A(2)=(2222)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix},A(1)=(1211)\displaystyle \quad A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al matricei A(1)\displaystyle A(1) cu m\displaystyle m.
    mA(1)=(m2mmm)\displaystyle mA(1)=\begin{pmatrix} m & 2m \\ m & m \end{pmatrix}
  3. Adunăm element cu element matricele A(2)\displaystyle A(2) și mA(1)\displaystyle mA(1).
    A(2)+mA(1)=(2+m2+2m2+m2+m)\displaystyle A(2)+mA(1)=\begin{pmatrix} 2+m & 2+2m \\ 2+m & 2+m \end{pmatrix}
  4. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: (2+m)2−(2+2m)(2+m)\displaystyle (2+m)^2-(2+2m)(2+m). Dăm factor comun 2+m\displaystyle 2+m: (2+m)[(2+m)−(2+2m)]=(2+m)⋅(−m)\displaystyle (2+m)\left[(2+m)-(2+2m)\right]=(2+m)\cdot(-m).
    det⁡(A(2)+mA(1))=(2+m)2−(2+2m)(2+m)=−m(m+2)\displaystyle \det(A(2)+mA(1))=(2+m)^2-(2+2m)(2+m)=-m(m+2)
  5. Din −m(m+2)=0\displaystyle -m(m+2)=0 obținem m(m+2)=0\displaystyle m(m+2)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci m=0\displaystyle m=0 sau m+2=0\displaystyle m+2=0.
    m(m+2)=0⇔m=−2 sau m=0\displaystyle m(m+2)=0\Leftrightarrow m=-2\text{ sau }m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+6x+6y+15\displaystyle x*y=2xy+6x+6y+15.

Arătați că x∗y=2(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=2(x+3)(y+3)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Plecăm de la definiția legii de compoziție: x∗y=2xy+6x+6y+15\displaystyle x*y=2xy+6x+6y+15. Vrem să apară termenul 18\displaystyle 18, care este 2⋅9\displaystyle 2\cdot 9, așa că scriem 15=18−3\displaystyle 15=18-3.
    x∗y=2xy+6x+6y+18−3\displaystyle x*y=2xy+6x+6y+18-3
  2. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun 2x\displaystyle 2x: 2xy+6x=2x(y+3)\displaystyle 2xy+6x=2x(y+3). Grupăm apoi următorii doi termeni și dăm factor comun 6\displaystyle 6: 6y+18=6(y+3)\displaystyle 6y+18=6(y+3).
    x∗y=2x(y+3)+6(y+3)−3\displaystyle x*y=2x(y+3)+6(y+3)-3
  3. Acum parantezele (y+3)\displaystyle (y+3) sunt identice, deci dăm factor comun (y+3)\displaystyle (y+3): 2x(y+3)+6(y+3)=(2x+6)(y+3)=2(x+3)(y+3)\displaystyle 2x(y+3)+6(y+3)=(2x+6)(y+3)=2(x+3)(y+3). Astfel egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2(x+3)(y+3)−3, pentru orice numere \displaystyle x*y=2(x+3)(y+3)-3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+6x+6y+15\displaystyle x*y=2xy+6x+6y+15.

Arătați că 7∗98=2017\displaystyle 7*98=2017.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub formă factorizată. Observăm că 2(x+3)(y+3)=2xy+6x+6y+18\displaystyle 2(x+3)(y+3)=2xy+6x+6y+18, deci x∗y=2(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=2(x+3)(y+3)-3.
    x∗y=2(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=2(x+3)(y+3)-3
  2. Înlocuim x=7\displaystyle x=7 și y=98\displaystyle y=98 în forma factorizată.
    7∗98=2(7+3)(98+3)−3\displaystyle 7*98=2(7+3)(98+3)-3
  3. Calculăm parantezele: 7+3=10\displaystyle 7+3=10 și 98+3=101\displaystyle 98+3=101.
    7∗98=2⋅10⋅101−3\displaystyle 7*98=2\cdot 10\cdot 101-3
  4. Efectuăm înmulțirea: 2⋅10⋅101=2020\displaystyle 2\cdot 10\cdot 101=2020, apoi scădem 3\displaystyle 3. Obținem 2017\displaystyle 2017, deci egalitatea este demonstrată.
    2020−3=2017\displaystyle 2020-3=2017
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+6x+6y+15\displaystyle x*y=2xy+6x+6y+15.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care x∗(x+2)=3\displaystyle x*(x+2)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Desfacem paranteza din 2(x+3)(y+3)−3\displaystyle 2(x+3)(y+3)-3 și obținem 2xy+6x+6y+18−3\displaystyle 2xy+6x+6y+18-3, adică exact 2xy+6x+6y+15\displaystyle 2xy+6x+6y+15.
    x∗y=2(x+3)(y+3)−3\displaystyle x*y=2(x+3)(y+3)-3
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu x+2\displaystyle x+2 în forma factorizată. Atunci y+3\displaystyle y+3 devine x+5\displaystyle x+5, iar ecuația x∗(x+2)=3\displaystyle x*(x+2)=3 devine 2(x+3)(x+5)−3=3\displaystyle 2(x+3)(x+5)-3=3.
    2(x+3)(x+2+3)−3=3\displaystyle 2(x+3)(x+2+3)-3=3
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri și obținem 2(x+3)(x+5)=6\displaystyle 2(x+3)(x+5)=6, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: (x+3)(x+5)=3\displaystyle (x+3)(x+5)=3. Desfacem parantezele: x2+8x+15=3\displaystyle x^2+8x+15=3, deci x2+8x+12=0\displaystyle x^2+8x+12=0.
    x2+8x+12=0\displaystyle x^2+8x+12=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=64−48=16\displaystyle \Delta=64-48=16, deci Δ=4\displaystyle \sqrt{\Delta}=4, iar x=−8±42\displaystyle x=\dfrac{-8\pm 4}{2}.
    Δ=16\displaystyle \Delta=16,x=−8±42\displaystyle \quad x=\dfrac{-8\pm 4}{2}
  5. Calculăm cele două valori: −8−42=−6\displaystyle \dfrac{-8-4}{2}=-6 și −8+42=−2\displaystyle \dfrac{-8+4}{2}=-2. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x=−6 sau x=−2\displaystyle x=-6\text{ sau }x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1+1x−2\displaystyle f(x)=x+1+\frac{1}{x-2}.

Arătați că lim⁡x→3f(x)−f(3)x−3=0\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că limita cerută este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 3\displaystyle 3, care aparține domeniului (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty). Deci limita este egală cu f′(3)\displaystyle f'(3), dacă f\displaystyle f este derivabilă în 3\displaystyle 3.
    lim⁡x→3f(x)−f(3)x−3=f′(3)\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f'(3)
  2. Derivăm fiecare termen al funcției: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (1)′=0\displaystyle (1)'=0, iar (1x−2)′=−1(x−2)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x-2}\right)'=-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}.
    f′(x)=1+0−1(x−2)2=1−1(x−2)2, x∈(2,+∞)\displaystyle f'(x)=1+0-\frac{1}{(x-2)^{2}}=1-\frac{1}{(x-2)^{2}}\text{, }x\in(2,+\infty)
  3. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 în expresia derivatei: 3−2=1\displaystyle 3-2=1, deci f′(3)=1−112=0\displaystyle f'(3)=1-\dfrac{1}{1^{2}}=0. Prin urmare limita cerută este 0\displaystyle 0.
    f′(3)=1−1(3−2)2=0, deci lim⁡x→3f(x)−f(3)x−3=0\displaystyle f'(3)=1-\frac{1}{(3-2)^{2}}=0\text{, deci }\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1+1x−2\displaystyle f(x)=x+1+\frac{1}{x-2}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx). Începem cu panta m\displaystyle m.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
  2. Împărțim fiecare termen din f(x)=x+1+1x−2\displaystyle f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-2} la x\displaystyle x și obținem expresia de mai jos.
    f(x)x=1+1x+1x(x−2)\displaystyle \frac{f(x)}{x}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-2)}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și 1x(x−2)\displaystyle \dfrac{1}{x(x-2)} tind la 0\displaystyle 0, deci panta este m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞(1+1x+1x(x−2))=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-2)}\right)=1
  4. Calculăm f(x)−x=x+1+1x−2−x\displaystyle f(x)-x=x+1+\dfrac{1}{x-2}-x. Termenii x\displaystyle x se reduc.
    f(x)−x=1+1x−2\displaystyle f(x)-x=1+\frac{1}{x-2}
  5. Fracția 1x−2\displaystyle \dfrac{1}{x-2} tinde la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci n=1\displaystyle n=1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=x+1\displaystyle y=x+1.
    n=lim⁡x→+∞(1+1x−2)=1, deci dreapta de ecuație y=x+1 este asimptota˘ oblica˘ \displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=1\text{, deci dreapta de ecuație }y=x+1\text{ este asimptotă oblică }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1+1x−2\displaystyle f(x)=x+1+\frac{1}{x-2}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este convexă, studiem semnul derivatei a doua. Scriem f(x)=x+1+(x−2)−1\displaystyle f(x)=x+1+(x-2)^{-1} și calculăm prima derivată: derivata lui x+1\displaystyle x+1 este 1\displaystyle 1, iar derivata lui 1x−2\displaystyle \dfrac{1}{x-2} este −1(x−2)2\displaystyle -\dfrac{1}{(x-2)^{2}}.
    f′(x)=1−1(x−2)2\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}, x∈(2,+∞)\displaystyle \ x\in(2,+\infty)
  2. Derivăm încă o dată. Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar derivata lui −(x−2)−2\displaystyle -(x-2)^{-2} este 2(x−2)−3\displaystyle 2(x-2)^{-3}, adică 2(x−2)3\displaystyle \dfrac{2}{(x-2)^{3}}.
    f′′(x)=2(x−2)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{(x-2)^{3}}, x∈(2,+∞)\displaystyle \ x\in(2,+\infty)
  3. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru x>2\displaystyle x>2 avem x−2>0\displaystyle x-2>0, deci (x−2)3>0\displaystyle (x-2)^{3}>0. Numărătorul 2\displaystyle 2 este pozitiv, deci fracția este pozitivă.
    x−2>0⇒(x−2)3>0⇒2(x−2)3>0\displaystyle x-2>0\Rightarrow (x-2)^{3}>0\Rightarrow \dfrac{2}{(x-2)^{3}}>0
  4. Deoarece derivata a doua este strict pozitivă pe tot intervalul, funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(2,+∞), deci f este convexa˘ pe (2,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(2,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+ln⁡x\displaystyle f(x)=1+\ln x și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=xln⁡x\displaystyle F(x)=x\ln x.

Calculați ∫1e(f(x)−ln⁡x) dx\displaystyle \int_1^e (f(x)-\ln x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1+ln⁡x\displaystyle f(x)=1+\ln x în expresia de sub integrală: f(x)−ln⁡x=(1+ln⁡x)−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=(1+\ln x)-\ln x.
    f(x)−ln⁡x=(1+ln⁡x)−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=(1+\ln x)-\ln x
  2. Termenii ln⁡x\displaystyle \ln x se reduc, deci f(x)−ln⁡x=1\displaystyle f(x)-\ln x=1, iar integrala devine ∫1e1 dx\displaystyle \int_1^e 1\,dx.
    ∫1e(f(x)−ln⁡x) dx=∫1e1 dx\displaystyle \int_1^e (f(x)-\ln x)\,dx=\int_1^e 1\,dx
  3. O primitivă a funcției 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1e1 dx=x∣1e\displaystyle \int_1^e 1\,dx=x\Big|_1^e.
    ∫1e1 dx=x∣1e\displaystyle \int_1^e 1\,dx=x\Big|_1^e
  4. Calculăm diferența dintre valoarea în e\displaystyle e și valoarea în 1\displaystyle 1: x∣1e=e−1\displaystyle x\Big|_1^e=e-1.
    e−1\displaystyle e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+ln⁡x\displaystyle f(x)=1+\ln x și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=xln⁡x\displaystyle F(x)=x\ln x.

Arătați că F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f dacă F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Funcția F(x)=xln⁡x\displaystyle F(x)=x\ln x este produsul funcțiilor derivabile x\displaystyle x și ln⁡x\displaystyle \ln x, deci aplicăm regula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    (u⋅v)′=u′v+uv′, cu u=x, v=ln⁡x\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'\text{, cu }u=x\text{, }v=\ln x
  2. Derivatele factorilor sunt (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (x)′=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (x)'=1\text{, }(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
  3. Înlocuim în formula produsului: F′(x)=(xln⁡x)′=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle F'(x)=(x\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}.
    F′(x)=(xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x\displaystyle F'(x)=(x\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}
  4. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci F′(x)=ln⁡x+1=f(x)\displaystyle F'(x)=\ln x+1=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Prin urmare, F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=ln⁡x+1=f(x), pentru orice x∈(0,+∞), deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=\ln x+1=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+ln⁡x\displaystyle f(x)=1+\ln x și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=xln⁡x\displaystyle F(x)=x\ln x.

Arătați că ∫1ef(x)F(x) dx=e22\displaystyle \int_1^e f(x)F(x)\,dx=\frac{e^2}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata lui F\displaystyle F cu regula de derivare a produsului: F′(x)=(xln⁡x)′=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle F'(x)=(x\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}.
    F′(x)=ln⁡x+1=f(x)\displaystyle F'(x)=\ln x+1=f(x)
  2. Deoarece F′=f\displaystyle F'=f, avem f(x)F(x)=F′(x)F(x)=(F2(x)2)′\displaystyle f(x)F(x)=F'(x)F(x)=\left(\dfrac{F^{2}(x)}{2}\right)'. Deci F22\displaystyle \dfrac{F^{2}}{2} este o primitivă a lui fF\displaystyle fF.
    (F2(x)2)′=F(x)F′(x)=f(x)F(x)\displaystyle \left(\frac{F^{2}(x)}{2}\right)'=F(x)F'(x)=f(x)F(x)
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva găsită, pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1ef(x)F(x) dx=12F2(x)∣1e\displaystyle \int_1^e f(x)F(x)\,dx=\frac{1}{2}F^{2}(x)\Big|_1^e
  4. Calculăm valorile lui F\displaystyle F în e\displaystyle e și în 1\displaystyle 1: F(e)=eln⁡e=e\displaystyle F(e)=e\ln e=e, iar F(1)=1⋅ln⁡1=0\displaystyle F(1)=1\cdot\ln 1=0.
    F(e)=e\displaystyle F(e)=e,F(1)=0\displaystyle \quad F(1)=0
  5. Înlocuim limitele de integrare: 12F2(e)−12F2(1)=e22−0\displaystyle \dfrac{1}{2}F^{2}(e)-\dfrac{1}{2}F^{2}(1)=\dfrac{e^{2}}{2}-0. Am obținut rezultatul cerut.
    12F2(e)−12F2(1)=e22\displaystyle \frac{1}{2}F^{2}(e)-\frac{1}{2}F^{2}(1)=\frac{e^{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.