Bac matematică M4 pedagogic 2014, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Verificați dacă

\displaystyle (2^5-1)(2^5+1)=1023

.

Vezi rezolvarea

Observăm că produsul are forma $\displaystyle (a-b)(a+b)$ , cu $\displaystyle a=2^{5}$ și $\displaystyle b=1$ . Aplicăm formula diferenței de pătrate: $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ .
$\displaystyle (2^{5}-1)(2^{5}+1)=\left(2^{5}\right)^{2}-1^{2}$
Calculăm puterea: $\displaystyle \left(2^{5}\right)^{2}=2^{5\cdot 2}=2^{10}$ , iar $\displaystyle 1^{2}=1$ . Deci produsul este $\displaystyle 2^{10}-1$ .
$\displaystyle (2^{5}-1)(2^{5}+1)=2^{10}-1$
Calculăm $\displaystyle 2^{10}=1024$ . Scădem 1 și obținem $\displaystyle 1024-1=1023$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle 2^{10}-1=1024-1=1023$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x+2

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle A

care aparține graficului funcției

\displaystyle f

și care are abscisa egală cu ordonata.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ , deci $\displaystyle A(x, f(x))$ . Abscisa este egală cu ordonata, deci $\displaystyle f(x)=x$ .
$\displaystyle f(x)=x$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=3x+2$ în condiția $\displaystyle f(x)=x$ și obținem ecuația de gradul întâi.
$\displaystyle 3x+2=x$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și termenul liber în dreapta: $\displaystyle 3x-x=-2$ , adică $\displaystyle 2x=-2$ .
$\displaystyle 2x=-2$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x=-1$ . Ordonata este egală cu abscisa, deci $\displaystyle y=-1$ . Verificare: $\displaystyle f(-1)=3\cdot(-1)+2=-1$ . Deci punctul căutat este $\displaystyle A(-1,-1)$ .
$\displaystyle x_A=-1$ , $\displaystyle \ y_A=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2 x^3=12-\log_2 x

.

Vezi rezolvarea

Punem condiția de existență a logaritmilor: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Din $\displaystyle x^{3}>0$ și $\displaystyle x>0$ rezultă $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle x>0$
Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: $\displaystyle \log_2 x^{3}=3\log_2 x$ . Ecuația devine $\displaystyle 3\log_2 x=12-\log_2 x$ .
$\displaystyle 3\log_2 x=12-\log_2 x$
Aducem termenii cu $\displaystyle \log_2 x$ în același membru: $\displaystyle 3\log_2 x+\log_2 x=12$ , adică $\displaystyle 4\log_2 x=12$ .
$\displaystyle 4\log_2 x=12$
Împărțim la $\displaystyle 4$ și obținem $\displaystyle \log_2 x=3$ .
$\displaystyle \log_2 x=3$
Din definiția logaritmului, $\displaystyle x=2^{3}=8$ . Valoarea verifică condiția $\displaystyle x>0$ , deci este soluție a ecuației.
$\displaystyle x=8\text{ care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

O imprimantă are prețul de vânzare

\displaystyle 186

de lei. Calculați prețul imprimantei înainte de aplicarea TVA-ului, știind că TVA-ul este de

\displaystyle 24\%

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul imprimantei înainte de aplicarea TVA-ului. TVA-ul reprezintă $\displaystyle 24\%$ din acest preț, deci prețul de vânzare este $\displaystyle x+24\%\cdot x$ și este egal cu $\displaystyle 186$ de lei.
$\displaystyle x+24\%\cdot x=186$
Scriem procentul ca fracție zecimală: $\displaystyle 24\%=0{,}24$ . Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ în membrul stâng.
$\displaystyle x\cdot(1+0{,}24)=186$
Calculăm suma din paranteză: $\displaystyle 1+0{,}24=1{,}24$ .
$\displaystyle 1{,}24\cdot x=186$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 1{,}24$ și obținem $\displaystyle x=\dfrac{186}{1{,}24}=150$ . Deci prețul înainte de TVA este $\displaystyle 150$ de lei.
$\displaystyle x=150\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle M(3,4)

,

\displaystyle N(2,1)

și

\displaystyle P(a,b)

. Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

știind că punctul

\displaystyle N

este mijlocul segmentului

\displaystyle MP

.

Vezi rezolvarea

Dacă $\displaystyle N$ este mijlocul segmentului $\displaystyle MP$ , atunci $\displaystyle x_N=\dfrac{x_M+x_P}{2}$ și $\displaystyle y_N=\dfrac{y_M+y_P}{2}$ .
$\displaystyle x_N=\frac{x_M+x_P}{2}$ , $\displaystyle \quad y_N=\frac{y_M+y_P}{2}$
Înlocuim $\displaystyle x_N=2$ , $\displaystyle y_N=1$ , $\displaystyle x_M=3$ , $\displaystyle y_M=4$ , $\displaystyle x_P=a$ , $\displaystyle y_P=b$ și obținem două ecuații.
$\displaystyle 2=\frac{3+a}{2}\text{ și }1=\frac{4+b}{2}$
Din $\displaystyle 2=\dfrac{3+a}{2}$ rezultă $\displaystyle 3+a=4$ , deci $\displaystyle a=1$ .
$\displaystyle 3+a=4\Rightarrow a=1$
Din $\displaystyle 1=\dfrac{4+b}{2}$ rezultă $\displaystyle 4+b=2$ , deci $\displaystyle b=-2$ .
$\displaystyle 4+b=2\Rightarrow b=-2$
Deci $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=-2$ , adică $\displaystyle P(1,-2)$ .
$\displaystyle a=1\text{ și }b=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,3)

,

\displaystyle B(5,3)

și

\displaystyle C(5,7)

. Calculați

\displaystyle \cos A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm lungimea laturii $\displaystyle AB$ . Punctele $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ au aceeași ordonată, deci $\displaystyle AB$ este diferența absciselor: $\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(3-3)^{2}}$ .
$\displaystyle AB=3$
Calculăm lungimea laturii $\displaystyle BC$ . Punctele $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ au aceeași abscisă, deci $\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^{2}+(7-3)^{2}}$ .
$\displaystyle BC=4$
Calculăm lungimea laturii $\displaystyle AC$ cu formula distanței dintre două puncte: $\displaystyle AC=\sqrt{(5-2)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{9+16}=5$ . Verificăm că $\displaystyle AB^{2}+BC^{2}=9+16=25=AC^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic în $\displaystyle B$ .
$\displaystyle AB=3$ , $\displaystyle \ BC=4$ , $\displaystyle \ AC=5$
Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle B$ , deci $\displaystyle \cos A$ este raportul dintre cateta alăturată $\displaystyle AB$ și ipotenuza $\displaystyle AC$ : $\displaystyle \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{5}$ .
$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3

.

Calculați

\displaystyle 2014\circ 3

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția legii de compoziție $\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3$ , cu $\displaystyle x=2014$ și $\displaystyle y=3$ . Obținem expresia de mai jos.
$\displaystyle 2014\circ 3=(2014-3)(3-3)+3$
Calculăm parantezele: $\displaystyle 2014-3=2011$ și $\displaystyle 3-3=0$ .
$\displaystyle 2011\cdot 0+3$
Orice număr înmulțit cu $\displaystyle 0$ dă $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle 2011\cdot 0=0$ și rămâne $\displaystyle 0+3$ . Răspunsul final este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 2014\circ 3=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3

.

Verificați dacă legea de compoziție „

\displaystyle \circ

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă dacă pentru orice numere reale $\displaystyle x,y,z$ avem $\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)$ . Calculăm mai întâi prima grupare. Înlocuim $\displaystyle x\circ y$ cu $\displaystyle (x-3)(y-3)+3$ .
$\displaystyle (x\circ y)\circ z=\big((x-3)(y-3)+3\big)\circ z$
Aplicăm definiția legii pentru primul termen $\displaystyle (x-3)(y-3)+3$ și $\displaystyle z$ . Scădem 3 din primul termen și obținem $\displaystyle (x-3)(y-3)$ . Din $\displaystyle z$ scădem 3, apoi adunăm 3 la produs.
$\displaystyle (x\circ y)\circ z=\big((x-3)(y-3)+3-3\big)(z-3)+3=(x-3)(y-3)(z-3)+3$
Calculăm acum a doua grupare. Înlocuim $\displaystyle y\circ z$ cu $\displaystyle (y-3)(z-3)+3$ .
$\displaystyle x\circ(y\circ z)=x\circ\big((y-3)(z-3)+3\big)$
Aplicăm definiția legii pentru $\displaystyle x$ și $\displaystyle (y-3)(z-3)+3$ . Al doilea factor devine $\displaystyle (y-3)(z-3)$ , după ce scădem 3. Obținem aceeași expresie ca la prima grupare, deci legea este asociativă.
$\displaystyle x\circ(y\circ z)=(x-3)\big((y-3)(z-3)+3-3\big)+3=(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x\circ y)\circ z\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x$ , $\displaystyle y\text{ și }z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3

.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Legea este comutativă, deoarece produsul din definiție nu depinde de ordinea factorilor: $\displaystyle x\circ e=(x-3)(e-3)+3=(e-3)(x-3)+3=e\circ x$ . Este suficient să impunem condiția $\displaystyle x\circ e=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, iar relația $\displaystyle e\circ x=x$ rezultă automat.
$\displaystyle x\circ e=(x-3)(e-3)+3=(e-3)(x-3)+3=e\circ x\text{, pentru orice număr real }x$
Impunem condiția ca $\displaystyle e$ să fie element neutru: $\displaystyle x\circ e=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, adică $\displaystyle (x-3)(e-3)+3=x$ .
$\displaystyle (x-3)(e-3)+3=x$
Mutăm pe $\displaystyle 3$ în membrul drept: $\displaystyle (x-3)(e-3)=x-3$ . Trecem totul în stânga și dăm factor comun pe $\displaystyle x-3$ : $\displaystyle (x-3)(e-3)-(x-3)=0$ .
$\displaystyle (x-3)(e-3-1)=0\Leftrightarrow (x-3)(e-4)=0$
Egalitatea $\displaystyle (x-3)(e-4)=0$ trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x$ real. Pentru $\displaystyle x\neq 3$ factorul $\displaystyle x-3$ este nenul, deci $\displaystyle e-4=0$ . Rezultă $\displaystyle e=4$ . Legea fiind comutativă, $\displaystyle 4$ este element neutru.
$\displaystyle x\circ e=x\Leftrightarrow (x-3)(e-4)=0\text{ pentru orice număr real }x\text{, deci }e=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3

.

Arătați că

\displaystyle x\circ 3=3\circ x=3

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în definiția legii $\displaystyle y=3$ : $\displaystyle x\circ 3=(x-3)(3-3)+3$ .
$\displaystyle x\circ 3=(x-3)(3-3)+3$
Al doilea factor este $\displaystyle 3-3=0$ , deci produsul este $\displaystyle 0$ , iar $\displaystyle x\circ 3=0+3=3$ , pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle x\circ 3=(x-3)\cdot 0+3=3$
Acum înlocuim în definiția legii $\displaystyle x=3$ și $\displaystyle y=x$ : $\displaystyle 3\circ x=(3-3)(x-3)+3$ .
$\displaystyle 3\circ x=(3-3)(x-3)+3$
Primul factor este $\displaystyle 3-3=0$ , deci produsul este $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 3\circ x=3$ . Obținem $\displaystyle x\circ 3=3\circ x=3$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 3\circ x=0\cdot(x-3)+3=3=x\circ 3\text{ pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x\circ(x+1)=3

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii pentru $\displaystyle y=x+1$ : $\displaystyle x\circ(x+1)=(x-3)\left((x+1)-3\right)+3$ .
$\displaystyle x\circ(x+1)=(x-3)(x+1-3)+3$
Simplificăm a doua paranteză: $\displaystyle x+1-3=x-2$ , deci $\displaystyle x\circ(x+1)=(x-3)(x-2)+3$ .
$\displaystyle x\circ(x+1)=(x-3)(x-2)+3$
Ecuația devine $\displaystyle (x-3)(x-2)+3=3$ . Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri și obținem ecuația produs $\displaystyle (x-3)(x-2)=0$ .
$\displaystyle (x-3)(x-2)=0$
Un produs este nul dacă un factor este nul: $\displaystyle x-3=0$ sau $\displaystyle x-2=0$ , deci $\displaystyle x=3$ sau $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x_1=2$ , $\displaystyle \ x_2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3

.

Determinați numerele întregi

\displaystyle a

și

\displaystyle b

pentru care

\displaystyle a\circ b=4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în definiția legii: $\displaystyle a\circ b=(a-3)(b-3)+3$ , deci condiția $\displaystyle a\circ b=4$ devine $\displaystyle (a-3)(b-3)+3=4$ .
$\displaystyle (a-3)(b-3)+3=4$
Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri ai egalității și obținem un produs de două numere egal cu $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle (a-3)(b-3)=1$
Deoarece $\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}$ , numerele $\displaystyle a-3$ și $\displaystyle b-3$ sunt întregi și produsul lor este $\displaystyle 1$ . Deci $\displaystyle a-3$ este un divizor întreg al lui $\displaystyle 1$ , adică $\displaystyle a-3\in\{-1,1\}$ , iar $\displaystyle b-3$ este inversul lui.
$\displaystyle a-3\in\{-1,1\}$
Dacă $\displaystyle a-3=1$ , atunci $\displaystyle b-3=1$ . Dacă $\displaystyle a-3=-1$ , atunci $\displaystyle b-3=-1$ . Cazurile cu factori de semne diferite nu convin, deoarece produsul ar fi negativ.
$\displaystyle a-3=b-3=1\text{ sau }a-3=b-3=-1$
Din $\displaystyle a-3=b-3=1$ obținem $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=4$ . Din $\displaystyle a-3=b-3=-1$ obținem $\displaystyle a=2$ și $\displaystyle b=2$ . Verificare: $\displaystyle 4\circ 4=1\cdot 1+3=4$ și $\displaystyle 2\circ 2=(-1)(-1)+3=4$ .
$\displaystyle a=4$ , $\displaystyle \ b=4\text{ sau }a=2$ , $\displaystyle \ b=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\left\{A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\ \middle|\ x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=1\right\}

.

Arătați că

\displaystyle \det(A(x,y))=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(x,y)$ pornind de la forma ei: $\displaystyle \det(A(x,y))=\begin{vmatrix} x & y \\ -y & x \end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(A(x,y))=\begin{vmatrix} x & y \\ -y & x \end{vmatrix}$
Aplicăm regula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle x\cdot x-y\cdot(-y)$ .
$\displaystyle x\cdot x-y\cdot(-y)$
Efectuăm calculele: $\displaystyle x\cdot x=x^{2}$ , iar $\displaystyle -y\cdot(-y)=y^{2}$ , deci $\displaystyle \det(A(x,y))=x^{2}+y^{2}$ .
$\displaystyle \det(A(x,y))=x^{2}+y^{2}$
Folosim condiția $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ din definiția mulțimii $\displaystyle M$ și obținem $\displaystyle \det(A(x,y))=1$ .
$\displaystyle \det(A(x,y))=x^{2}+y^{2}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\left\{A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\ \middle|\ x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=1\right\}

.

Dați un exemplu de matrice care aparține mulțimii

\displaystyle M

.

Vezi rezolvarea

O matrice din $\displaystyle M$ are forma $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}$ , cu condiția $\displaystyle x^2+y^2=1$ . Deci trebuie să alegem o pereche de numere reale $\displaystyle (x,y)$ care verifică această condiție.
$\displaystyle x^2+y^2=1$
Cea mai simplă alegere este $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=0$ . Înlocuim în forma matricei: pe a doua linie avem $\displaystyle -y=-0=0$ și $\displaystyle x=1$ , deci obținem matricea unitate.
$\displaystyle A(1,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Verificăm că perechea aleasă îndeplinește condiția: $\displaystyle 1^2+0^2=1$ . Deci matricea $\displaystyle A(1,0)$ aparține mulțimii $\displaystyle M$ .
$\displaystyle 1^2+0^2=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\left\{A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\ \middle|\ x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=1\right\}

.

Calculați

\displaystyle A\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+A\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Verificăm că cele două perechi respectă condiția $\displaystyle x^2+y^2=1$ . Pentru prima pereche, $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$ , iar pentru a doua se obține același rezultat, deoarece semnul dispare la ridicarea la pătrat.
$\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$
Scriem prima matrice, cu $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , apoi a doua matrice, cu $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . În a doua matrice, $\displaystyle y$ apare cu semn schimbat: $\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pe prima linie și $\displaystyle -y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pe a doua linie.
$\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: pe diagonală $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ , iar în afara diagonalei $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ și $\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \end{pmatrix}$
Rezultatul este matricea unitate de ordin 2: $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+A\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=I_2$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\left\{A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\ \middle|\ x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=1\right\}

.

Arătați că

\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,-y)=A(1,0)

, pentru orice matrice

\displaystyle A(x,y),A(x,-y)\in M

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(x,-y)$ : în $\displaystyle A(x,y)$ înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -y$ . Matricea $\displaystyle A(x,-y)$ aparține lui $\displaystyle M$ , pentru că $\displaystyle x^2+(-y)^2=x^2+y^2=1$ .
$\displaystyle A(x,-y)=\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$
Scriem produsul celor două matrice.
$\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,-y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$
Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle x\cdot x+y\cdot y=x^2+y^2$ , $\displaystyle x\cdot(-y)+y\cdot x=0$ , $\displaystyle (-y)\cdot x+x\cdot y=0$ , $\displaystyle (-y)\cdot(-y)+x\cdot x=x^2+y^2$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} x^2+y^2 & -xy+xy \\ -xy+xy & y^2+x^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^2+y^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2 \end{pmatrix}$
Folosim relația $\displaystyle x^2+y^2=1$ și obținem matricea unitate de ordin 2, care este chiar $\displaystyle A(1,0)$ , deoarece pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=0$ matricea are $\displaystyle 1$ pe diagonală și $\displaystyle 0$ în rest. Deci $\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,-y)=A(1,0)$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} x^2+y^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=A(1,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\left\{A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\ \middle|\ x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=1\right\}

.

Determinați numărul matricelor din mulțimea

\displaystyle M

care au toate elementele numere întregi.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle A(x,y)$ are elementele $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle -y$ , $\displaystyle x$ . Ea are toate elementele întregi exact când $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}$ . Deci căutăm perechile de numere întregi $\displaystyle (x,y)$ cu $\displaystyle x^2+y^2=1$ .
$\displaystyle x$ , $\displaystyle y\in\mathbb{Z}$ , $\displaystyle \ x^2+y^2=1$
Pătratele $\displaystyle x^2$ și $\displaystyle y^2$ sunt numere întregi nenegative cu suma $\displaystyle 1$ . Deci unul dintre ele este $\displaystyle 1$ și celălalt este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \left(x^2=1,\ y^2=0\right)\text{ sau }\left(x^2=0,\ y^2=1\right)$
Cazul $\displaystyle x^2=1$ și $\displaystyle y^2=0$ : obținem $\displaystyle x=\pm 1$ și $\displaystyle y=0$ , deci două perechi.
$\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \ y=0\text{ sau }x=-1$ , $\displaystyle \ y=0$
Cazul $\displaystyle x^2=0$ și $\displaystyle y^2=1$ : obținem $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=\pm 1$ , deci alte două perechi.
$\displaystyle x=0$ , $\displaystyle \ y=1\text{ sau }x=0$ , $\displaystyle \ y=-1$
Cele patru perechi $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-1,0)$ , $\displaystyle (0,1)$ , $\displaystyle (0,-1)$ dau patru matrice distincte. Prin urmare $\displaystyle M$ conține $\displaystyle 4$ matrice cu toate elementele întregi.
$\displaystyle \text{Mulțimea }M\text{ conține 4 matrice care au }$ $\displaystyle \text{toate elementele numere }$ $\displaystyle \text{întregi}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\left\{A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\ \middle|\ x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=1\right\}

.

Se consideră numerele reale

\displaystyle p

și

\displaystyle q

cu proprietatea că

\displaystyle p^2+q^2=1

. Demonstrați că matricea

\displaystyle \begin{pmatrix} p-2 & q+2 \\ -(q+2) & p-2 \end{pmatrix}

nu este element al mulțimii

\displaystyle M

.

Vezi rezolvarea

Matricea dată are forma $\displaystyle A(x,y)$ cu $\displaystyle x=p-2$ și $\displaystyle y=q+2$ . Ea ar aparține lui $\displaystyle M$ doar dacă $\displaystyle x^2+y^2=1$ , adică $\displaystyle (p-2)^2+(q+2)^2=1$ . Vom arăta că această sumă este cel puțin $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \text{Condiția pentru }M:\ (p-2)^2+(q+2)^2=1$
Din $\displaystyle p^2+q^2=1$ rezultă $\displaystyle p^2\le 1$ și $\displaystyle q^2\le 1$ , deci $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt în intervalul $\displaystyle [-1,1]$ .
$\displaystyle -1\le p\le 1\text{ și }-1\le q\le 1$
Din $\displaystyle p\le 1$ rezultă $\displaystyle p-2\le -1$ , deci $\displaystyle p-2$ este negativ și modulul lui este cel puțin $\displaystyle 1$ . Prin urmare $\displaystyle (p-2)^2\ge 1$ . Din $\displaystyle q\ge -1$ rezultă $\displaystyle q+2\ge 1$ , deci $\displaystyle (q+2)^2\ge 1$ .
$\displaystyle (p-2)^2\ge 1\text{ și }(q+2)^2\ge 1$
Adunăm cele două inegalități: suma pătratelor elementelor de pe prima linie este cel puțin $\displaystyle 2$ , deci diferită de $\displaystyle 1$ . Atunci matricea nu verifică condiția $\displaystyle x^2+y^2=1$ și nu aparține lui $\displaystyle M$ .
$\displaystyle (p-2)^2+(q+2)^2\ge 2>1\Rightarrow \begin{pmatrix} p-2 & q+2 \\ -(q+2) & p-2 \end{pmatrix}\notin M$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2014, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani