Bac matematică M4 pedagogic 2019, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul (2−1)(32+1)+(2+1)2\displaystyle (\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}+1)^2 este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim primul produs termen cu termen: (2−1)(32+1)=2⋅32+2⋅1−1⋅32−1⋅1\displaystyle (\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot 1-1\cdot 3\sqrt{2}-1\cdot 1.
    3⋅2+2−32−1\displaystyle 3\cdot 2+\sqrt{2}-3\sqrt{2}-1
  2. Reducem termenii: 6−1=5\displaystyle 6-1=5, iar 2−32=−22\displaystyle \sqrt{2}-3\sqrt{2}=-2\sqrt{2}.
    (2−1)(32+1)=5−22\displaystyle (\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)=5-2\sqrt{2}
  3. Dezvoltăm pătratul sumei cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2: (2+1)2=(2)2+2⋅2⋅1+12\displaystyle (\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot 1+1^2.
    2+22+1=3+22\displaystyle 2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}
  4. Adunăm cele două rezultate: 5−22+3+22\displaystyle 5-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}. Termenii cu radical se reduc, iar rămâne 8\displaystyle 8, care este număr întreg.
    5−22+3+22=8∈Z\displaystyle 5-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}=8\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(2m−1)x−5\displaystyle f(x)=(2m-1)x-5, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numerele reale m\displaystyle m, știind că ∣f(1)∣=4\displaystyle |f(1)|=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=(2m−1)⋅1−5\displaystyle f(1)=(2m-1)\cdot 1-5.
    f(1)=(2m−1)⋅1−5\displaystyle f(1)=(2m-1)\cdot 1-5
  2. Reducem termenii: 2m−1−5=2m−6\displaystyle 2m-1-5=2m-6.
    f(1)=2m−6\displaystyle f(1)=2m-6
  3. Condiția din enunț este ∣f(1)∣=4\displaystyle |f(1)|=4, adică ∣2m−6∣=4\displaystyle |2m-6|=4. Un număr are modulul 4\displaystyle 4 dacă este egal cu −4\displaystyle -4 sau cu 4\displaystyle 4, deci obținem două ecuații.
    2m−6=−4 sau 2m−6=4\displaystyle 2m-6=-4\text{ sau }2m-6=4
  4. Din prima ecuație, 2m−6=−4\displaystyle 2m-6=-4, rezultă 2m=2\displaystyle 2m=2, deci m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
  5. Din a doua ecuație, 2m−6=4\displaystyle 2m-6=4, rezultă 2m=10\displaystyle 2m=10, deci m=5\displaystyle m=5. Ambele valori convin, deoarece nu există restricții asupra lui m\displaystyle m.
    m=1 sau m=5\displaystyle m=1\text{ sau }m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+3=3x+2\displaystyle \sqrt{2x+3}=3x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există dacă 2x+3≥0\displaystyle 2x+3\ge 0, iar egalitatea cere ca 3x+2≥0\displaystyle 3x+2\ge 0, deoarece o rădăcină pătrată este nenegativă. Deci x≥−23\displaystyle x\ge -\dfrac{2}{3}.
    x≥−23\displaystyle x\ge -\dfrac{2}{3}
  2. Ridicăm ecuația 2x+3=3x+2\displaystyle \sqrt{2x+3}=3x+2 la pătrat și obținem 2x+3=(3x+2)2\displaystyle 2x+3=(3x+2)^{2}.
    2x+3=(3x+2)2\displaystyle 2x+3=(3x+2)^{2}
  3. Dezvoltăm: (3x+2)2=9x2+12x+4\displaystyle (3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4. Atunci 2x+3=9x2+12x+4\displaystyle 2x+3=9x^{2}+12x+4, de unde 9x2+12x−2x+4−3=0\displaystyle 9x^{2}+12x-2x+4-3=0, adică 9x2+10x+1=0\displaystyle 9x^{2}+10x+1=0.
    9x2+10x+1=0\displaystyle 9x^{2}+10x+1=0
  4. Discriminantul este Δ=102−4⋅9⋅1=64\displaystyle \Delta=10^{2}-4\cdot 9\cdot 1=64, deci x=−10±818\displaystyle x=\dfrac{-10\pm 8}{18}. Obținem x1=−1\displaystyle x_1=-1 și x2=−19\displaystyle x_2=-\dfrac{1}{9}.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=−19\displaystyle \ x_2=-\dfrac{1}{9}
  5. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: 3x+2=−1<0\displaystyle 3x+2=-1<0, iar 2x+3=1\displaystyle \sqrt{2x+3}=1, deci nu convine (nu verifică x≥−23\displaystyle x\ge -\dfrac{2}{3}). Pentru x=−19\displaystyle x=-\dfrac{1}{9}: 2⋅(−19)+3=259=53\displaystyle \sqrt{2\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)+3}=\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3} și 3⋅(−19)+2=53\displaystyle 3\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)+2=\dfrac{5}{3}, deci convine.
    x=−1 nu convine, x=−19 convine\displaystyle x=-1\text{ nu convine, }x=-\dfrac{1}{9}\text{ convine}
  6. Singura soluție reală a ecuației este x=−19\displaystyle x=-\dfrac{1}{9}.
    x=−19\displaystyle x=-\dfrac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul numerelor naturale de două cifre, de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Sunt 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90 de numere.
    nr. cazuri posibile=90\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=90
  2. Notăm numărul cu ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a\displaystyle a este cifra zecilor (a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\ldots,9\}) și b\displaystyle b este cifra unităților (b∈{0,…,9}\displaystyle b\in\{0,\ldots,9\}). Condiția cerută este a<b\displaystyle a<b. Pentru b=0\displaystyle b=0 nu există nicio valoare a lui a\displaystyle a, iar pentru b=1\displaystyle b=1 nu există nicio valoare a lui a\displaystyle a (deoarece a≥1\displaystyle a\ge 1), deci numărătoarea începe de la b=2\displaystyle b=2.
    1≤a<b≤9\displaystyle 1\le a<b\le 9
  3. Pentru fiecare valoare a lui b\displaystyle b, cifra a\displaystyle a poate lua valorile 1,2,…,b−1\displaystyle 1,2,\ldots,b-1, adică b−1\displaystyle b-1 valori. Pentru b\displaystyle b de la 2\displaystyle 2 la 9\displaystyle 9 obținem 1+2+…+8\displaystyle 1+2+\ldots+8 numere.
    1+2+…+8=8⋅92=36\displaystyle 1+2+\ldots+8=\frac{8\cdot 9}{2}=36
  4. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 18\displaystyle 18.
    p=3690=25\displaystyle p=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(2,1)\displaystyle B(2,1) și C(0,a)\displaystyle C(0,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a astfel încât AC⊥OB\displaystyle AC\perp OB.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptele AC\displaystyle AC și OB\displaystyle OB nu sunt verticale, deci au pantă. Ele sunt perpendiculare dacă mAC⋅mOB=−1\displaystyle m_{AC}\cdot m_{OB}=-1. Panta dreptei prin (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) și (x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2) este m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    AC⊥OB⇔mAC⋅mOB=−1\displaystyle AC\perp OB\Leftrightarrow m_{AC}\cdot m_{OB}=-1
  2. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC folosind A(1,1)\displaystyle A(1,1) și C(0,a)\displaystyle C(0,a): mAC=a−10−1\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-1}{0-1}.
    mAC=a−1−1=−a+1\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-1}{-1}=-a+1
  3. Calculăm panta dreptei OB\displaystyle OB folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(2,1)\displaystyle B(2,1): mOB=1−02−0\displaystyle m_{OB}=\dfrac{1-0}{2-0}.
    mAC=−a+1\displaystyle m_{AC}=-a+1, mOB=12\displaystyle \ m_{OB}=\dfrac{1}{2}
  4. Impunem condiția de perpendicularitate mAC⋅mOB=−1\displaystyle m_{AC}\cdot m_{OB}=-1, adică înlocuim pantele găsite.
    12(−a+1)=−1\displaystyle \dfrac{1}{2}(-a+1)=-1
  5. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 și obținem −a+1=−2\displaystyle -a+1=-2. Atunci −a=−3\displaystyle -a=-3, deci a=3\displaystyle a=3.
    12(−a+1)=−1⇔−a+1=−2⇔a=3\displaystyle \dfrac{1}{2}(-a+1)=-1\Leftrightarrow -a+1=-2\Leftrightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați măsura unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că BC=62\displaystyle BC=6\sqrt{2}, AC=12\displaystyle AC=12 și m(∠B)=45∘\displaystyle m(\angle B)=45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura BC\displaystyle BC și sinusul unghiului opus A\displaystyle A este egal cu raportul dintre latura AC\displaystyle AC și sinusul unghiului opus B\displaystyle B.
    BCsin⁡A=ACsin⁡B\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}
  2. Înlocuim datele: BC=62\displaystyle BC=6\sqrt{2}, AC=12\displaystyle AC=12, iar sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    62sin⁡A=1222\displaystyle \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin A}=\dfrac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
  3. Calculăm membrul drept: 1222=242=122\displaystyle \dfrac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}.
    62sin⁡A=122\displaystyle \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin A}=12\sqrt{2}
  4. Din egalitate obținem sin⁡A=62122\displaystyle \sin A=\dfrac{6\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}.
    sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2}
  5. Ecuația sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2} are, pentru un unghi de triunghi, soluțiile 30∘\displaystyle 30^\circ și 150∘\displaystyle 150^\circ.
    m(∠A)∈{30∘,150∘}\displaystyle m(\angle A)\in\{30^\circ,150^\circ\}
  6. Verificăm suma unghiurilor: dacă m(∠A)=150∘\displaystyle m(\angle A)=150^\circ, atunci 150∘+45∘=195∘>180∘\displaystyle 150^\circ+45^\circ=195^\circ>180^\circ, deci nu convine. Rămâne m(∠A)=30∘\displaystyle m(\angle A)=30^\circ, iar 30∘+45∘=75∘<180∘\displaystyle 30^\circ+45^\circ=75^\circ<180^\circ convine.
    m(∠A)=30∘, care convine, sau m(∠A)=150∘, care nu convine, \displaystyle m(\angle A)=30^\circ\text{, care convine, sau }m(\angle A)=150^\circ\text{, care nu convine, }deoarece m(∠B)=45∘\displaystyle \text{deoarece }m(\angle B)=45^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.

Calculați 2∗4\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2 pentru x=2\displaystyle x=\sqrt{2} și y=4\displaystyle y=\sqrt{4}.
    2∗4=(2−2)(4−2)+2\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{4}=(\sqrt{2}-2)(\sqrt{4}-2)+2
  2. Avem 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, deci a doua paranteză devine 4−2=2−2=0\displaystyle \sqrt{4}-2=2-2=0.
    (2−2)(2−2)+2=(2−2)⋅0+2\displaystyle (\sqrt{2}-2)(2-2)+2=(\sqrt{2}-2)\cdot 0+2
  3. Produsul cu 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, deci rămâne doar termenul 2\displaystyle 2. Rezultatul final este 2\displaystyle 2.
    2∗4=2\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru două numere reale oarecare x\displaystyle x și y\displaystyle y. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, deci pornim de la x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2, pentru orice x\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  2. Calculăm y∗x\displaystyle y*x aplicând aceeași definiție, cu rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y inversate: primul număr este y\displaystyle y, al doilea este x\displaystyle x.
    y∗x=(y−2)(x−2)+2\displaystyle y*x=(y-2)(x-2)+2
  3. Folosim comutativitatea înmulțirii numerelor reale: (y−2)(x−2)=(x−2)(y−2)\displaystyle (y-2)(x-2)=(x-2)(y-2). Astfel y∗x\displaystyle y*x este egal cu x∗y\displaystyle x*y, deci legea este comutativă.
    y∗x=(y−2)(x−2)+2=(x−2)(y−2)+2=x∗y, deci legea este \displaystyle y*x=(y-2)(x-2)+2=(x-2)(y-2)+2=x*y\text{, deci legea este }comutativa˘\displaystyle \text{comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2. Verificați dacă e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ \displaystyle \ *\ ”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Vom verifica ambele egalități pentru e=3\displaystyle e=3.
    x∗3=3∗x=x\displaystyle x*3=3*x=x
  2. Înlocuim e=3\displaystyle e=3 în definiția legii: x∗3=(x−2)(3−2)+2\displaystyle x*3=(x-2)(3-2)+2.
    x∗3=(x−2)(3−2)+2\displaystyle x*3=(x-2)(3-2)+2
  3. Deoarece 3−2=1\displaystyle 3-2=1, obținem (x−2)⋅1+2=x−2+2=x\displaystyle (x-2)\cdot 1+2=x-2+2=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗3=(x−2)⋅1+2=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*3=(x-2)\cdot 1+2=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Legea nu este dată ca fiind comutativă, deci verificăm și cealaltă egalitate: 3∗x=(3−2)(x−2)+2\displaystyle 3*x=(3-2)(x-2)+2.
    3∗x=(3−2)(x−2)+2\displaystyle 3*x=(3-2)(x-2)+2
  5. Cum 3−2=1\displaystyle 3-2=1, obținem 1⋅(x−2)+2=x−2+2=x\displaystyle 1\cdot(x-2)+2=x-2+2=x, pentru orice număr real x\displaystyle x. Cum x∗3=3∗x=x\displaystyle x*3=3*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=3\displaystyle e=3 este element neutru.
    3∗x=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=3 este element neutru\displaystyle 3*x=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=3\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 2x∗4x=2\displaystyle 2^x*4^x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2 pentru numerele 2x\displaystyle 2^x și 4x\displaystyle 4^x. Ecuația 2x∗4x=2\displaystyle 2^x*4^x=2 devine (2x−2)(4x−2)+2=2\displaystyle (2^x-2)(4^x-2)+2=2.
    (2x−2)(4x−2)+2=2\displaystyle (2^x-2)(4^x-2)+2=2
  2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri și obținem un produs egal cu zero: (2x−2)(4x−2)=0\displaystyle (2^x-2)(4^x-2)=0.
    (2x−2)(4x−2)=0\displaystyle (2^x-2)(4^x-2)=0
  3. Un produs este nul dacă unul dintre factori este nul, deci 2x−2=0\displaystyle 2^x-2=0 sau 4x−2=0\displaystyle 4^x-2=0.
    2x−2=0 sau 4x−2=0\displaystyle 2^x-2=0\text{ sau }4^x-2=0
  4. Din 2x=2\displaystyle 2^x=2 rezultă 2x=21\displaystyle 2^x=2^1, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  5. Din 4x=2\displaystyle 4^x=2 avem (22)x=21\displaystyle \left(2^2\right)^x=2^1, adică 22x=21\displaystyle 2^{2x}=2^1. Rezultă 2x=1\displaystyle 2x=1, deci x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}
  6. Mulțimea soluțiilor reale este formată din valorile găsite: x=1\displaystyle x=1 sau x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=1 sau x=12\displaystyle x=1\text{ sau }x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.

Determinați valorile reale x\displaystyle x pentru care x∗(x+1)≤8\displaystyle x*(x+1)\le 8.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2, înlocuind pe y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1.
    x∗(x+1)=(x−2)(x+1−2)+2=(x−2)(x−1)+2\displaystyle x*(x+1)=(x-2)(x+1-2)+2=(x-2)(x-1)+2
  2. Condiția x∗(x+1)≤8\displaystyle x*(x+1)\le 8 devine o inecuație în x\displaystyle x.
    (x−2)(x−1)+2≤8\displaystyle (x-2)(x-1)+2\le 8
  3. Desfacem parantezele: (x−2)(x−1)=x2−3x+2\displaystyle (x-2)(x-1)=x^{2}-3x+2. Inecuația devine x2−3x+2+2≤8\displaystyle x^{2}-3x+2+2\le 8, adică x2−3x−4≤0\displaystyle x^{2}-3x-4\le 0.
    x2−3x−4≤0\displaystyle x^{2}-3x-4\le 0
  4. Pentru x2−3x−4=0\displaystyle x^{2}-3x-4=0 avem Δ=9+16=25\displaystyle \Delta=9+16=25, deci x1,2=3±52\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{3\pm 5}{2}.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1,x2=4\displaystyle \quad x_2=4
  5. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este 1>0\displaystyle 1>0, deci trinomul este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0 între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Rezultă x∈[−1,4]\displaystyle x\in[-1,4].
    x∈[−1,4]\displaystyle x\in[-1,4]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.

Calculați 1∗2∗3∗…∗10\displaystyle 1*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\ldots*\sqrt{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că în produsul 1∗2∗3∗…∗10\displaystyle 1*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\ldots*\sqrt{10} apare 4\displaystyle \sqrt{4}, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2. Vom arăta că numărul 2\displaystyle 2 are o proprietate specială față de legea dată.
    4=2\displaystyle \sqrt{4}=2
  2. Calculăm x∗2\displaystyle x*2 cu definiția legii: x∗2=(x−2)(2−2)+2=(x−2)⋅0+2\displaystyle x*2=(x-2)(2-2)+2=(x-2)\cdot 0+2, deci rămâne doar termenul 2\displaystyle 2.
    x∗2=(x−2)(2−2)+2=2\displaystyle x*2=(x-2)(2-2)+2=2
  3. Analog, 2∗y=(2−2)(y−2)+2=2\displaystyle 2*y=(2-2)(y-2)+2=2. Deci 2\displaystyle 2 absoarbe orice număr real, din ambele părți.
    x∗2=2 și 2∗y=2, pentru orice x\displaystyle x*2=2\text{ și }2*y=2\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  4. Legea fiind asociativă, putem grupa factorii cum dorim. Grupăm primii patru factori, până la 4\displaystyle \sqrt{4}, și separat ultimii șase.
    1∗2∗…∗10=((1∗2∗3)∗4)∗(5∗6∗…∗10)\displaystyle 1*\sqrt{2}*\ldots*\sqrt{10}=\left((1*\sqrt{2}*\sqrt{3})*\sqrt{4}\right)*\left(\sqrt{5}*\sqrt{6}*\ldots*\sqrt{10}\right)
  5. Notăm cu a=1∗2∗3\displaystyle a=1*\sqrt{2}*\sqrt{3}. Cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, avem a∗2=2\displaystyle a*2=2 conform proprietății de absorbție.
    (1∗2∗3)∗4=a∗2=2\displaystyle (1*\sqrt{2}*\sqrt{3})*\sqrt{4}=a*2=2
  6. Expresia devine 2∗b\displaystyle 2*b, unde b=5∗6∗…∗10\displaystyle b=\sqrt{5}*\sqrt{6}*\ldots*\sqrt{10}. Aplicăm din nou absorbția: 2∗b=2\displaystyle 2*b=2. Răspunsul final este 2\displaystyle 2.
    1∗2∗3∗…∗10=2∗(5∗6∗…∗10)=2\displaystyle 1*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\ldots*\sqrt{10}=2*(\sqrt{5}*\sqrt{6}*\ldots*\sqrt{10})=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele M=(21−13)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați det⁡M\displaystyle \det M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice cu elementele a,b\displaystyle a,b pe prima linie și c,d\displaystyle c,d pe a doua linie, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei M\displaystyle M: 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1 pe prima linie, −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3 pe a doua linie, apoi aplicăm formula.
    det⁡M=∣21−13∣=2⋅3−1⋅(−1)\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix}=2\cdot 3-1\cdot(-1)
  3. Efectuăm produsele: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, iar 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1, deci scăderea lui −1\displaystyle -1 înseamnă adunarea lui 1\displaystyle 1. Obținem 6+1\displaystyle 6+1, adică 7\displaystyle 7.
    det⁡M=6+1=7\displaystyle \det M=6+1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele M=(21−13)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că det⁡(A(a))=7\displaystyle \det(A(a))=7.
Vezi rezolvarea
  1. Avem 2aI2=(2a002a)\displaystyle 2aI_2=\begin{pmatrix}2a&0\\0&2a\end{pmatrix}. Adunăm această matrice la M\displaystyle M, element cu element.
    A(a)=(2+2a1−13+2a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2+2a&1\\-1&3+2a\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=(2+2a)(3+2a)−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=(2+2a)(3+2a)-1\cdot(-1).
    det⁡(A(a))=(2+2a)(3+2a)+1\displaystyle \det(A(a))=(2+2a)(3+2a)+1
  3. Desfacem parantezele: (2+2a)(3+2a)=6+4a+6a+4a2=4a2+10a+6\displaystyle (2+2a)(3+2a)=6+4a+6a+4a^{2}=4a^{2}+10a+6. Adăugăm 1\displaystyle 1 și obținem expresia determinantului.
    det⁡(A(a))=4a2+10a+7\displaystyle \det(A(a))=4a^{2}+10a+7
  4. Din condiția det⁡(A(a))=7\displaystyle \det(A(a))=7 obținem 4a2+10a+7=7\displaystyle 4a^{2}+10a+7=7. Scădem 7\displaystyle 7 din ambii membri.
    4a2+10a=0\displaystyle 4a^{2}+10a=0
  5. Dăm factor comun 2a\displaystyle 2a: 2a(2a+5)=0\displaystyle 2a(2a+5)=0. Deci a=0\displaystyle a=0 sau 2a+5=0\displaystyle 2a+5=0, adică a=−52\displaystyle a=-\dfrac{5}{2}.
    a=−52 sau a=0\displaystyle a=-\frac{5}{2}\text{ sau }a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele M=(21−13)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că M⋅A(a)=A(a)⋅M\displaystyle M\cdot A(a)=A(a)\cdot M, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)\displaystyle A(a) explicit: A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, deci adunăm la M\displaystyle M matricea 2aI2\displaystyle 2aI_2.
    A(a)=(2+2a1−13+2a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2+2a&1\\-1&3+2a\end{pmatrix}
  2. Calculăm M⋅A(a)\displaystyle M\cdot A(a), înlocuind A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2 și distribuind înmulțirea față de adunare: M⋅(M+2aI2)=M⋅M+M⋅2aI2\displaystyle M\cdot(M+2aI_2)=M\cdot M+M\cdot 2aI_2.
    M⋅A(a)=M⋅M+M⋅2aI2\displaystyle M\cdot A(a)=M\cdot M+M\cdot 2aI_2
  3. Scoatem scalarul 2a\displaystyle 2a în fața produsului și folosim faptul că I2\displaystyle I_2 este element neutru: M⋅I2=M\displaystyle M\cdot I_2=M. Obținem M⋅2aI2=2a (M⋅I2)=2aM\displaystyle M\cdot 2aI_2=2a\,(M\cdot I_2)=2aM.
    M⋅A(a)=M⋅M+2aM, pentru orice numa˘r real a\displaystyle M\cdot A(a)=M\cdot M+2aM\text{, pentru orice număr real }a
  4. Calculăm acum A(a)⋅M=(M+2aI2)⋅M\displaystyle A(a)\cdot M=(M+2aI_2)\cdot M și distribuim: (M+2aI2)⋅M=M⋅M+2aI2⋅M\displaystyle (M+2aI_2)\cdot M=M\cdot M+2aI_2\cdot M.
    A(a)⋅M=M⋅M+2aI2⋅M\displaystyle A(a)\cdot M=M\cdot M+2aI_2\cdot M
  5. Folosim faptul că I2⋅M=M\displaystyle I_2\cdot M=M, deci 2aI2⋅M=2aM\displaystyle 2aI_2\cdot M=2aM. Rezultă A(a)⋅M=M⋅M+2aM\displaystyle A(a)\cdot M=M\cdot M+2aM, care este exact expresia găsită pentru M⋅A(a)\displaystyle M\cdot A(a). Deci cele două produse sunt egale pentru orice a\displaystyle a real.
    A(a)⋅M=M⋅M+2aM=M⋅A(a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)\cdot M=M\cdot M+2aM=M\cdot A(a)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele M=(21−13)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați inversa matricei A(−1)\displaystyle A(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, deci A(−1)=M−2I2\displaystyle A(-1)=M-2I_2.
    A(−1)=M−2I2\displaystyle A(-1)=M-2I_2
  2. Calculăm: A(−1)=(21−13)−(2002)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}.
    A(−1)=(01−11)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm det⁡(A(−1))=0⋅1−1⋅(−1)=1\displaystyle \det(A(-1))=0\cdot 1-1\cdot(-1)=1. Cum determinantul este nenul, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(−1))=1≠0\displaystyle \det(A(-1))=1\neq 0
  4. Transpusa este  tA=(0−111)\displaystyle \,^tA=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}.
    tA=(0−111)\displaystyle {}^tA=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}
  5. Pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, adjuncta se obține schimbând elementele de pe diagonala principală și schimbând semnul celor de pe diagonala secundară. Obținem A∗=(1−110)\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}.
    A∗=(1−110)\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}
  6. Aplicăm formula (A(−1))−1=1det⁡(A(−1))⋅A∗=11⋅A∗\displaystyle (A(-1))^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(-1))}\cdot A^*=\dfrac{1}{1}\cdot A^*.
    (A(−1))−1=(1−110)\displaystyle (A(-1))^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele M=(21−13)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, pentru care suma elementelor matricei A(log⁡2a)\displaystyle A(\log_2 a) este egală cu 37\displaystyle 37.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2. Adunăm elementele corespunzătoare: pe diagonală apar 2+2a\displaystyle 2+2a și 3+2a\displaystyle 3+2a, iar în afara diagonalei rămân 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1.
    A(a)=(2+2a1−13+2a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2+2a&1\\-1&3+2a\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a\displaystyle a cu log⁡2a\displaystyle \log_2 a în matricea obținută.
    A(log⁡2a)=(2+2log⁡2a1−13+2log⁡2a)\displaystyle A(\log_2 a)=\begin{pmatrix}2+2\log_2 a&1\\-1&3+2\log_2 a\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele patru elemente ale matricei. Termenii 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 se reduc, iar restul dă suma de mai jos.
    (2+2log⁡2a)+1+(−1)+(3+2log⁡2a)=5+4log⁡2a\displaystyle (2+2\log_2 a)+1+(-1)+(3+2\log_2 a)=5+4\log_2 a
  4. Egalăm suma cu 37\displaystyle 37: 5+4log⁡2a=37\displaystyle 5+4\log_2 a=37. Scădem 5\displaystyle 5, obținem 4log⁡2a=32\displaystyle 4\log_2 a=32, apoi împărțim la 4\displaystyle 4.
    5+4log⁡2a=37⇔4log⁡2a=32⇔log⁡2a=8\displaystyle 5+4\log_2 a=37\Leftrightarrow 4\log_2 a=32\Leftrightarrow \log_2 a=8
  5. Din definiția logaritmului, a=28=256\displaystyle a=2^{8}=256. Valoarea este pozitivă, deci convine condiției a>0\displaystyle a>0.
    a=256\displaystyle a=256
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele M=(21−13)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+2aI2\displaystyle A(a)=M+2aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr întreg m\displaystyle m, numărul det⁡(A(m))\displaystyle \det(A(m)) este natural impar.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(m)=M+2mI2\displaystyle A(m)=M+2mI_2, adunând 2m\displaystyle 2m pe diagonala principală a lui M\displaystyle M.
    A(m)=(2m+21−12m+3)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2m+2&1\\-1&2m+3\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (2m+2)(2m+3)−1⋅(−1)=(2m+2)(2m+3)+1\displaystyle (2m+2)(2m+3)-1\cdot(-1)=(2m+2)(2m+3)+1. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    det⁡(A(m))=4m2+6m+4m+6+1=4m2+10m+7\displaystyle \det(A(m))=4m^2+6m+4m+6+1=4m^2+10m+7
  3. Pentru m\displaystyle m întreg, expresia 4m2+10m+7\displaystyle 4m^2+10m+7 este întreagă, fiind formată din sume și produse de numere întregi. Arătăm că este pozitivă: discriminantul trinomului este Δ=102−4⋅4⋅7=100−112=−12<0\displaystyle \Delta=10^2-4\cdot 4\cdot 7=100-112=-12<0, iar coeficientul lui m2\displaystyle m^2 este 4>0\displaystyle 4>0, deci trinomul are semn pozitiv pentru orice m\displaystyle m real. Un număr întreg pozitiv este natural.
    Δ=−12<0⇒4m2+10m+7>0, deci det⁡(A(m))∈N\displaystyle \Delta=-12<0\Rightarrow 4m^2+10m+7>0\text{, deci }\det(A(m))\in\mathbb{N}
  4. Studiem paritatea. Numărul 4m2=2⋅2m2\displaystyle 4m^2=2\cdot 2m^2 este par. Numărul 10m=2⋅5m\displaystyle 10m=2\cdot 5m este par. Suma a două numere pare este pară, iar adăugând 7\displaystyle 7, care este impar, obținem un număr impar. Așadar det⁡(A(m))\displaystyle \det(A(m)) este natural impar.
    4m2+10m par⇒4m2+10m+7 impar, deci det⁡(A(m)) este natural impar\displaystyle 4m^2+10m\text{ par}\Rightarrow 4m^2+10m+7\text{ impar, deci }\det(A(m))\text{ este natural impar}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.