Bac matematică M4 pedagogic 2022, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=3\displaystyle a_1=3 și r=2\displaystyle r=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general pentru al treilea termen: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r, deci pentru n=3\displaystyle n=3 avem a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  2. Înlocuim a1=3\displaystyle a_1=3 și r=2\displaystyle r=2 și obținem a3=3+2⋅2=3+4\displaystyle a_3=3+2\cdot 2=3+4.
    a3=3+2⋅2=7\displaystyle a_3=3+2\cdot 2=7
  3. Folosim formula sumei primilor n\displaystyle n termeni: Sn=(a1+an)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}, iar pentru n=3\displaystyle n=3 avem S3=(a1+a3)⋅32\displaystyle S_3=\dfrac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}.
    S3=(a1+a3)⋅32\displaystyle S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}
  4. Înlocuim a1=3\displaystyle a_1=3 și a3=7\displaystyle a_3=7: S3=(3+7)⋅32=10⋅32=302\displaystyle S_3=\dfrac{(3+7)\cdot 3}{2}=\dfrac{10\cdot 3}{2}=\dfrac{30}{2}. Suma primilor trei termeni este 15\displaystyle 15.
    a3=7\displaystyle a_3=7, S3=(3+7)⋅32=15\displaystyle \ S_3=\frac{(3+7)\cdot 3}{2}=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(1−2a)x+1\displaystyle f(x)=(1-2a)x+1, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(1)=f(−1)\displaystyle f(1)=f(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=(1−2a)⋅1+1\displaystyle f(1)=(1-2a)\cdot 1+1.
    f(1)=1−2a+1=2−2a\displaystyle f(1)=1-2a+1=2-2a
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1: f(−1)=(1−2a)⋅(−1)+1\displaystyle f(-1)=(1-2a)\cdot(-1)+1. Înmulțirea cu −1\displaystyle -1 schimbă semnele din paranteză.
    f(−1)=−1+2a+1=2a\displaystyle f(-1)=-1+2a+1=2a
  3. Egalăm cele două valori, conform condiției f(1)=f(−1)\displaystyle f(1)=f(-1), și obținem o ecuație de gradul întâi în a\displaystyle a.
    2−2a=2a\displaystyle 2-2a=2a
  4. Mutăm termenul cu a\displaystyle a în partea dreaptă: 2=4a\displaystyle 2=4a. Apoi împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    4a=2⇒a=12\displaystyle 4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1+log⁡2(2x+1)=log⁡24\displaystyle 1+\log_2(2x+1)=\log_2 4.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 2x+1>0\displaystyle 2x+1>0, adică x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}.
    x∈(−12,+∞)\displaystyle x\in\left(-\dfrac{1}{2},+\infty\right)
  2. Calculăm membrul drept: log⁡24=2\displaystyle \log_2 4=2, pentru că 4=22\displaystyle 4=2^{2}. Ecuația devine 1+log⁡2(2x+1)=2\displaystyle 1+\log_2(2x+1)=2.
    1+log⁡2(2x+1)=2\displaystyle 1+\log_2(2x+1)=2
  3. Izolăm logaritmul: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    log⁡2(2x+1)=1\displaystyle \log_2(2x+1)=1
  4. Trecem la forma exponențială: din log⁡2(2x+1)=1\displaystyle \log_2(2x+1)=1 rezultă 2x+1=21=2\displaystyle 2x+1=2^{1}=2.
    2x+1=2\displaystyle 2x+1=2
  5. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 2x=1\displaystyle 2x=1, deci x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}. Verificăm condiția: 12>−12\displaystyle \dfrac{1}{2}>-\dfrac{1}{2}, deci soluția convine.
    log⁡2(2x+1)=1⇒2x+1=2⇒x=12, care convine\displaystyle \log_2(2x+1)=1 \Rightarrow 2x+1=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea numerelor naturale de o cifră este {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\dots,9\}. Acestea sunt cazurile posibile.
    {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\dots,9\}
  2. Numărăm elementele mulțimii: sunt zece numere, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    0\displaystyle 0,1\displaystyle 1,2\displaystyle 2,…\displaystyle \dots,9, deci sunt zece cazuri \displaystyle 9\text{, deci sunt zece cazuri }posibile\displaystyle \text{posibile}
  3. Căutăm printre aceste numere pe cele care sunt pătrate perfecte: 02=0\displaystyle 0^{2}=0, 12=1\displaystyle 1^{2}=1, 22=4\displaystyle 2^{2}=4, 32=9\displaystyle 3^{2}=9, iar 42=16\displaystyle 4^{2}=16 are deja două cifre.
    0=02\displaystyle 0=0^{2}, 1=12\displaystyle \ 1=1^{2}, 4=22\displaystyle \ 4=2^{2}, 9=32\displaystyle \ 9=3^{2}
  4. Pătratele perfecte de o cifră sunt 0,1,4,9\displaystyle 0, 1, 4, 9, deci avem 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    0\displaystyle 0,1\displaystyle 1,4\displaystyle 4,9, deci sunt patru cazuri \displaystyle 9\text{, deci sunt patru cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  5. Aplicăm formula probabilității: P=numa˘r cazuri favorabilenuma˘r cazuri posibile=410\displaystyle P=\dfrac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}=\dfrac{4}{10}, iar prin simplificare cu 2\displaystyle 2 obținem 25\displaystyle \dfrac{2}{5}.
    P=numa˘r cazuri favorabilenuma˘r cazuri posibile=410=25\displaystyle P=\frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(−3,2)\displaystyle B(-3,2) și C(5,2)\displaystyle C(5,2). Determinați lungimea medianei triunghiului ABC\displaystyle ABC construită din vârful A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din A\displaystyle A unește vârful A\displaystyle A cu mijlocul M\displaystyle M al laturii BC\displaystyle BC. Calculăm abscisa lui M\displaystyle M ca medie aritmetică a abscisei lui B\displaystyle B și a lui C\displaystyle C: xM=xB+xC2=−3+52=1\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{-3+5}{2}=1.
    xM=−3+52=1\displaystyle x_M=\dfrac{-3+5}{2}=1
  2. Analog, ordonata lui M\displaystyle M este yM=yB+yC2=2+22=2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2, deci M(1,2)\displaystyle M(1,2).
    yM=2+22=2\displaystyle y_M=\dfrac{2+2}{2}=2, M(1,2)\displaystyle \ M(1,2)
  3. Lungimea medianei este distanța AM\displaystyle AM, calculată cu formula distanței dintre două puncte: AM=(xM−xA)2+(yM−yA)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}. Avem xM−xA=1−1=0\displaystyle x_M-x_A=1-1=0 și yM−yA=2−4=−2\displaystyle y_M-y_A=2-4=-2.
    AM=(1−1)2+(2−4)2=0+4\displaystyle AM=\sqrt{(1-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{0+4}
  4. Rezultă AM=4=2\displaystyle AM=\sqrt{4}=2, deci lungimea medianei din A\displaystyle A este 2\displaystyle 2.
    AM=4=2\displaystyle AM=\sqrt{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați 3⋅sin⁡60∘⋅sin⁡45∘−3⋅sin⁡30∘⋅cos⁡45∘\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ\cdot\sin 45^\circ-3\cdot\sin 30^\circ\cdot\cos 45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\displaystyle \ \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia dată.
    3⋅32⋅22−3⋅12⋅22\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Calculăm primul produs: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci primul termen este 324\displaystyle \dfrac{3\sqrt{2}}{4}.
    3⋅32⋅22=324\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}
  4. Calculăm al doilea produs: 3⋅12⋅22=324\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}.
    3⋅12⋅22=324\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}
  5. Scădem cei doi termeni, care sunt egali: 324−324=0\displaystyle \dfrac{3\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}=0.
    324−324=0\displaystyle \dfrac{3\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1.

Arătați că 3∗4=−1\displaystyle 3*4=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=4\displaystyle y=4 în formula x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\dfrac{(x-1)(y-1)}{3}+1.
    3∗4=−(3−1)⋅(4−1)3+1\displaystyle 3*4=-\frac{(3-1)\cdot(4-1)}{3}+1
  2. Calculăm parantezele: 3−1=2\displaystyle 3-1=2 și 4−1=3\displaystyle 4-1=3.
    3∗4=−2⋅33+1\displaystyle 3*4=-\frac{2\cdot 3}{3}+1
  3. Simplificăm fracția cu 3\displaystyle 3: 2⋅33=2\displaystyle \dfrac{2\cdot 3}{3}=2. Rămâne −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    −2⋅33+1=−2+1=−1\displaystyle -\frac{2\cdot 3}{3}+1=-2+1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1.

Verificați dacă e=−2\displaystyle e=-2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Un element e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Verificăm mai întâi la dreapta, adică calculăm x∗(−2)\displaystyle x*(-2), înlocuind y\displaystyle y cu −2\displaystyle -2 în definiția legii.
    x∗(−2)=−(x−1)(−2−1)3+1\displaystyle x*(-2)=-\frac{(x-1)(-2-1)}{3}+1
  2. Avem −2−1=−3\displaystyle -2-1=-3. Simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3 și semnul minus dinaintea ei dispare, rămânând x−1\displaystyle x-1. Apoi adunăm 1\displaystyle 1 și obținem x\displaystyle x.
    x∗(−2)=−(x−1)⋅(−3)3+1=x−1+1=x\displaystyle x*(-2)=-\frac{(x-1)\cdot(-3)}{3}+1=x-1+1=x
  3. Verificăm și la stânga, adică calculăm (−2)∗x\displaystyle (-2)*x, înlocuind pe x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în definiția legii.
    (−2)∗x=−(−2−1)(x−1)3+1\displaystyle (-2)*x=-\frac{(-2-1)(x-1)}{3}+1
  4. Avem −2−1=−3\displaystyle -2-1=-3, deci numărătorul este −3\displaystyle -3 înmulțit cu (x−1)\displaystyle (x-1). Simplificăm prin 3\displaystyle 3, semnul minus dispare și obținem x−1+1=x\displaystyle x-1+1=x. Deoarece x∗(−2)=(−2)∗x=x\displaystyle x*(-2)=(-2)*x=x pentru orice x\displaystyle x real, numărul −2\displaystyle -2 este elementul neutru al legii.
    (−2)∗x=−(−2−1)⋅(x−1)3+1=x−1+1=x, deci e=−2 este elementul neutru al \displaystyle (-2)*x=-\frac{(-2-1)\cdot(x-1)}{3}+1=x-1+1=x\text{, deci }e=-2\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „*”\displaystyle \text{legii de compoziție „*”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care a∗7=5\displaystyle a*7=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru a\displaystyle a și 7\displaystyle 7: în formula lui x∗y\displaystyle x*y punem x=a\displaystyle x=a și y=7\displaystyle y=7, iar rezultatul trebuie să fie 5\displaystyle 5.
    −(a−1)(7−1)3+1=5\displaystyle -\frac{(a-1)(7-1)}{3}+1=5
  2. Calculăm diferența 7−1=6\displaystyle 7-1=6 și simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3, deoarece 63=2\displaystyle \dfrac{6}{3}=2.
    −(a−1)⋅2+1=5\displaystyle -(a-1)\cdot 2+1=5
  3. Mutăm termenul 1\displaystyle 1 în membrul drept: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri, deci −2(a−1)=4\displaystyle -2(a-1)=4.
    −2(a−1)=4\displaystyle -2(a-1)=4
  4. Împărțim ambii membri la −2\displaystyle -2, apoi adunăm 1\displaystyle 1 pentru a-l afla pe a\displaystyle a. Obținem a−1=−2\displaystyle a-1=-2, deci a=−1\displaystyle a=-1.
    a−1=−2, de unde a=−1\displaystyle a-1=-2\text{, de unde }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗(1+x)≥−3\displaystyle x*(1+x)\ge -3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii cu y=1+x\displaystyle y=1+x: x∗(1+x)=−(x−1)(1+x−1)3+1\displaystyle x*(1+x)=-\dfrac{(x-1)(1+x-1)}{3}+1.
    x∗(1+x)=−(x−1)(1+x−1)3+1\displaystyle x*(1+x)=-\frac{(x-1)(1+x-1)}{3}+1
  2. Deoarece 1+x−1=x\displaystyle 1+x-1=x, obținem x∗(1+x)=−x(x−1)3+1\displaystyle x*(1+x)=-\dfrac{x(x-1)}{3}+1.
    x∗(1+x)=−x(x−1)3+1\displaystyle x*(1+x)=-\frac{x(x-1)}{3}+1
  3. Inegalitatea devine −x(x−1)3+1≥−3\displaystyle -\dfrac{x(x-1)}{3}+1\ge -3, deci −x(x−1)3≥−4\displaystyle -\dfrac{x(x-1)}{3}\ge -4.
    −x(x−1)3≥−4\displaystyle -\frac{x(x-1)}{3}\ge -4
  4. Înmulțim cu −3\displaystyle -3 (se schimbă sensul inegalității): x(x−1)≤12\displaystyle x(x-1)\le 12, adică x2−x−12≤0\displaystyle x^2-x-12\le 0.
    x2−x−12≤0\displaystyle x^2-x-12\le 0
  5. Pentru x2−x−12=0\displaystyle x^2-x-12=0 avem Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49, deci x=1±72\displaystyle x=\dfrac{1\pm 7}{2}, adică x1=−3\displaystyle x_1=-3 și x2=4\displaystyle x_2=4. Deoarece coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, x2−x−12≤0\displaystyle x^2-x-12\le 0 între rădăcini.
    x∈[−3,4]\displaystyle x\in[-3,4]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1.

Determinați cel mai mare număr natural n\displaystyle n pentru care n∗n∗n≤n\displaystyle n*n*n\le n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm n∗n\displaystyle n*n, înlocuind x\displaystyle x și y\displaystyle y cu n\displaystyle n în definiția legii x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\dfrac{(x-1)(y-1)}{3}+1.
    n∗n=−(n−1)23+1\displaystyle n*n=-\dfrac{(n-1)^{2}}{3}+1
  2. Folosim asociativitatea: n∗n∗n=(n∗n)∗n\displaystyle n*n*n=(n*n)*n. Avem (n∗n)−1=−(n−1)23\displaystyle (n*n)-1=-\dfrac{(n-1)^{2}}{3}, deci (n∗n∗n)−1=−13⋅(−(n−1)23)⋅(n−1)\displaystyle (n*n*n)-1=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{(n-1)^{2}}{3}\right)\cdot(n-1). Adunăm 1 la rezultat.
    n∗n∗n=(−(n−1)23+1)∗n=(n−1)39+1\displaystyle n*n*n=\left(-\dfrac{(n-1)^{2}}{3}+1\right)*n=\dfrac{(n-1)^{3}}{9}+1
  3. Inegalitatea n∗n∗n≤n\displaystyle n*n*n\le n devine (n−1)39+1≤n\displaystyle \dfrac{(n-1)^{3}}{9}+1\le n. O înmulțim cu 9: (n−1)3+9≤9n\displaystyle (n-1)^{3}+9\le 9n, adică (n−1)3−9(n−1)≤0\displaystyle (n-1)^{3}-9(n-1)\le 0. Dăm factor comun n−1\displaystyle n-1 și descompunem (n−1)2−9=(n−1−3)(n−1+3)\displaystyle (n-1)^{2}-9=(n-1-3)(n-1+3).
    (n−1)(n−4)(n+2)9≤0\displaystyle \dfrac{(n-1)(n-4)(n+2)}{9}\le 0
  4. Studiem semnul produsului (n−1)(n−4)(n+2)\displaystyle (n-1)(n-4)(n+2), cu rădăcinile −2\displaystyle -2, 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4. El este ≤0\displaystyle \le 0 pentru n∈(−∞,−2]∪[1,4]\displaystyle n\in(-\infty,-2]\cup[1,4]. Printre numerele naturale rămân 1,2,3,4\displaystyle 1,2,3,4, iar n=0\displaystyle n=0 nu convine. Cel mai mare este 4\displaystyle 4. Verificare: 4∗4∗4=279+1=4≤4\displaystyle 4*4*4=\dfrac{27}{9}+1=4\le 4.
    n∈(−∞,−2]∪[1,4], n∈N⇒n=4 este cel mai mare numa˘r \displaystyle n\in(-\infty,-2]\cup[1,4]\text{, }n\in\mathbb{N}\Rightarrow n=4\text{ este cel mai mare număr }natural ca˘utat\displaystyle \text{natural căutat}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−(x−1)(y−1)3+1\displaystyle x*y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∗n=−1\displaystyle m*n=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii: m∗n=−(m−1)(n−1)3+1\displaystyle m*n=-\dfrac{(m-1)(n-1)}{3}+1, deci condiția m∗n=−1\displaystyle m*n=-1 devine o ecuație în m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    −(m−1)(n−1)3+1=−1\displaystyle -\frac{(m-1)(n-1)}{3}+1=-1
  2. Scădem 1 din ambii membri: −(m−1)(n−1)3=−2\displaystyle -\dfrac{(m-1)(n-1)}{3}=-2. Înmulțim cu −3\displaystyle -3 și obținem produsul căutat.
    (m−1)(n−1)=6\displaystyle (m-1)(n-1)=6
  3. Cum m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N}, avem m−1≥−1\displaystyle m-1\geq -1 și n−1≥−1\displaystyle n-1\geq -1. Dacă ambii factori ar fi negativi, ar rezulta m−1=n−1=−1\displaystyle m-1=n-1=-1, deci produsul ar fi 1≠6\displaystyle 1\neq 6. Prin urmare ambii factori sunt pozitivi.
    m−1≥1\displaystyle m-1\geq 1, n−1≥1\displaystyle \ n-1\geq 1
  4. Divizorii lui 6 sunt 1,2,3,6\displaystyle 1,2,3,6. Perechile (m−1,n−1)\displaystyle (m-1,n-1) cu produsul 6 sunt (1,6)\displaystyle (1,6), (2,3)\displaystyle (2,3), (3,2)\displaystyle (3,2) și (6,1)\displaystyle (6,1).
    (m−1,n−1)∈{(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)}\displaystyle (m-1,n-1)\in\{(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)\}
  5. Adunăm 1 la fiecare componentă: din (1,6)\displaystyle (1,6) obținem (2,7)\displaystyle (2,7), din (2,3)\displaystyle (2,3) obținem (3,4)\displaystyle (3,4), din (3,2)\displaystyle (3,2) obținem (4,3)\displaystyle (4,3), iar din (6,1)\displaystyle (6,1) obținem (7,2)\displaystyle (7,2). Toate sunt perechi de numere naturale.
    (m,n)∈{(2,7),(3,4),(4,3),(7,2)}\displaystyle (m,n)\in\{(2,7),(3,4),(4,3),(7,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(231−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A)=−7\displaystyle \det(A)=-7.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=2\displaystyle a=2, b=3\displaystyle b=3, c=1\displaystyle c=1, d=−2\displaystyle d=-2, și le înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣231−2∣=2⋅(−2)−1⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-1\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile: 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4, iar 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3. Apoi scădem și obținem −7\displaystyle -7, deci determinantul este −7\displaystyle -7, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=−4−3=−7\displaystyle \det A=-4-3=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(231−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A+xI2)≥−7\displaystyle \det(A+xI_2)\ge -7, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xI2\displaystyle xI_2: pe diagonala principală apare x\displaystyle x, iar în rest 0\displaystyle 0.
    xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x & 0\\ 0 & x\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și xI2\displaystyle xI_2, element cu element.
    A+xI2=(231−2)+(x00x)=(2+x31−2+x)\displaystyle A+xI_2=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x & 0\\ 0 & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+x & 3\\ 1 & -2+x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A+xI2)=(2+x)(−2+x)−3⋅1\displaystyle \det(A+xI_2)=(2+x)(-2+x)-3\cdot 1.
    det⁡(A+xI2)=(x+2)(x−2)−3\displaystyle \det(A+xI_2)=(x+2)(x-2)-3
  4. Aplicăm formula (x+2)(x−2)=x2−4\displaystyle (x+2)(x-2)=x^2-4 și reducem termenii: x2−4−3=x2−7\displaystyle x^2-4-3=x^2-7.
    det⁡(A+xI2)=x2−7\displaystyle \det(A+xI_2)=x^2-7
  5. Inegalitatea cerută devine x2−7≥−7\displaystyle x^2-7\ge -7, adică x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x, fiindcă un pătrat este nenegativ.
    x2−7≥−7⇔x2≥0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^2-7\ge -7\Leftrightarrow x^2\ge 0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(231−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A⋅A=aI2\displaystyle A\cdot A=aI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea cu ea însăși.
    A⋅A=(231−2)⋅(231−2)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului, linie înmulțită cu coloană. Pe prima linie: 2⋅2+3⋅1=7\displaystyle 2\cdot 2+3\cdot 1=7 și 2⋅3+3⋅(−2)=0\displaystyle 2\cdot 3+3\cdot(-2)=0.
    (2⋅2+3⋅12⋅3+3⋅(−2)⋯⋯)=(70⋯⋯)\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot 2+3\cdot 1 & 2\cdot 3+3\cdot(-2)\\ \cdots & \cdots\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 0\\ \cdots & \cdots\end{pmatrix}
  3. Pe a doua linie: 1⋅2+(−2)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0 și 1⋅3+(−2)⋅(−2)=7\displaystyle 1\cdot 3+(-2)\cdot(-2)=7. Deci A⋅A\displaystyle A\cdot A este matricea cu 7 pe diagonala principală și 0 în rest. Scriem și aI2\displaystyle aI_2.
    A⋅A=(7007)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}7 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}, aI2=(a00a)\displaystyle \ aI_2=\begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & a\end{pmatrix}
  4. Egalăm cele două matrice și identificăm elementele corespunzătoare: din 7=a\displaystyle 7=a rezultă a=7\displaystyle a=7, iar celelalte elemente (0=0\displaystyle 0=0) se verifică.
    (7007)=(a00a)⇒a=7\displaystyle \begin{pmatrix}7 & 0\\ 0 & 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & a\end{pmatrix}\Rightarrow a=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(231−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(mA−I2)=m⋅det⁡(A+I2)\displaystyle \det(mA-I_2)=m\cdot\det(A+I_2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea mA−I2\displaystyle mA-I_2, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu m\displaystyle m și scăzând matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    mA−I2=(2m−13mm−2m−1)\displaystyle mA-I_2=\begin{pmatrix}2m-1 & 3m\\ m & -2m-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(mA−I2)\displaystyle \det(mA-I_2) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: (2m−1)(−2m−1)−3m⋅m=−(4m2−1)−3m2\displaystyle (2m-1)(-2m-1)-3m\cdot m=-(4m^{2}-1)-3m^{2}.
    det⁡(mA−I2)=1−4m2−3m2=1−7m2\displaystyle \det(mA-I_2)=1-4m^{2}-3m^{2}=1-7m^{2}
  3. Scriem matricea A+I2\displaystyle A+I_2 și îi calculăm determinantul: A+I2=(331−1)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}3 & 3\\ 1 & -1\end{pmatrix}, deci det⁡(A+I2)=3⋅(−1)−3⋅1\displaystyle \det(A+I_2)=3\cdot(-1)-3\cdot 1.
    det⁡(mA−I2)=1−7m2\displaystyle \det(mA-I_2)=1-7m^{2}, det⁡(A+I2)=−6\displaystyle \ \det(A+I_2)=-6
  4. Înlocuim determinanții în ecuația det⁡(mA−I2)=m⋅det⁡(A+I2)\displaystyle \det(mA-I_2)=m\cdot\det(A+I_2) și obținem 1−7m2=−6m\displaystyle 1-7m^{2}=-6m. Mutăm toți termenii în partea stângă și înmulțim cu −1\displaystyle -1.
    7m2−6m−1=0\displaystyle 7m^{2}-6m-1=0
  5. Rezolvăm ecuația: Δ=(−6)2−4⋅7⋅(−1)=36+28=64\displaystyle \Delta=(-6)^{2}-4\cdot 7\cdot(-1)=36+28=64, deci m=6±814\displaystyle m=\dfrac{6\pm 8}{14}. Obținem m=1414=1\displaystyle m=\dfrac{14}{14}=1 și m=−214=−17\displaystyle m=\dfrac{-2}{14}=-\dfrac{1}{7}.
    7m2−6m−1=0, de unde obținem m=−17 sau m=1\displaystyle 7m^{2}-6m-1=0\text{, de unde obținem }m=-\frac{1}{7}\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(231−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Se consideră matricea M=(xyyx)∈M2(R)\displaystyle M=\begin{pmatrix}x & y\\ y & x\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), astfel încât A⋅M=M⋅A\displaystyle A\cdot M=M\cdot A. Arătați că y=0\displaystyle y=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅M\displaystyle A\cdot M, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui M\displaystyle M. Pe prima linie: 2x+3y\displaystyle 2x+3y și 2y+3x\displaystyle 2y+3x. Pe a doua linie: x−2y\displaystyle x-2y și y−2x\displaystyle y-2x.
    A⋅M=(2x+3y3x+2yx−2y−2x+y)\displaystyle A\cdot M=\begin{pmatrix}2x+3y & 3x+2y\\ x-2y & -2x+y\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M⋅A\displaystyle M\cdot A, înmulțind liniile lui M\displaystyle M cu coloanele lui A\displaystyle A. Pe prima linie: 2x+y\displaystyle 2x+y și 3x−2y\displaystyle 3x-2y. Pe a doua linie: 2y+x\displaystyle 2y+x și 3y−2x\displaystyle 3y-2x.
    M⋅A=(2x+y3x−2yx+2y−2x+3y)\displaystyle M\cdot A=\begin{pmatrix}2x+y & 3x-2y\\ x+2y & -2x+3y\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele de pe prima linie și prima coloană din cele două produse, deoarece A⋅M=M⋅A\displaystyle A\cdot M=M\cdot A. Obținem 2x+3y=2x+y\displaystyle 2x+3y=2x+y.
    2x+3y=2x+y\displaystyle 2x+3y=2x+y
  4. Reducem termenul 2x\displaystyle 2x din ambele părți și obținem 2y=0\displaystyle 2y=0, deci y=0\displaystyle y=0. Celelalte egalități se verifică și ele pentru y=0\displaystyle y=0.
    2x+3y=2x+y⇒2y=0⇒y=0, care verifica˘\displaystyle 2x+3y=2x+y\Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0\text{, care verifică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(231−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & -2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Determinați pentru câte valori întregi ale lui a\displaystyle a obținem det⁡(aA)≥−28\displaystyle \det(aA)\ge -28.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare element al matricei A\displaystyle A cu a\displaystyle a: aA=(2a3aa−2a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}2a & 3a\\ a & -2a\end{pmatrix}.
    aA=(2a3aa−2a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}2a & 3a\\ a & -2a\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(aA)=2a⋅(−2a)−3a⋅a=−4a2−3a2=−7a2\displaystyle \det(aA)=2a\cdot(-2a)-3a\cdot a=-4a^{2}-3a^{2}=-7a^{2}.
    det⁡(aA)=−4a2−3a2=−7a2\displaystyle \det(aA)=-4a^{2}-3a^{2}=-7a^{2}
  3. Condiția det⁡(aA)≥−28\displaystyle \det(aA)\ge -28 devine −7a2≥−28\displaystyle -7a^{2}\ge -28. Împărțim la −7\displaystyle -7, iar sensul inegalității se schimbă: a2≤4\displaystyle a^{2}\le 4.
    −7a2≥−28⇒a2≤4\displaystyle -7a^{2}\ge -28\Rightarrow a^{2}\le 4
  4. Inegalitatea a2≤4\displaystyle a^{2}\le 4 înseamnă −2≤a≤2\displaystyle -2\le a\le 2. Cum a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}, obținem a∈{−2,−1,0,1,2}\displaystyle a\in\{-2,-1,0,1,2\}, deci există 5 valori.
    a∈{−2,−1,0,1,2}, deci a poate avea 5 valori\displaystyle a\in\{-2,-1,0,1,2\}\text{, deci }a\text{ poate avea }5\text{ valori}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.