Bac matematică M4 pedagogic 2016, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)>0{,}24

.

Vezi rezolvarea

Calculăm prima paranteză: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
La fel procedăm cu celelalte paranteze: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}$ și $\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ , $\displaystyle \quad 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Înlocuim în produs și simplificăm: $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 4}$ , apoi simplificăm cu $\displaystyle 2\cdot 3$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{1}{4}=0{,}25$ . Cum $\displaystyle 0{,}25>0{,}24$ , inegalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \frac{1}{4}=0{,}25>0{,}24$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-6x+3

. Arătați că

\displaystyle f(6-x)=f(x)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în expresia funcției pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 6-x$ . Obținem $\displaystyle f(6-x)=(6-x)^2-6(6-x)+3$ .
$\displaystyle f(6-x)=(6-x)^2-6(6-x)+3$
Dezvoltăm pătratul diferenței: $\displaystyle (6-x)^2=36-12x+x^2$ . Apoi distribuim $\displaystyle -6$ în paranteză: $\displaystyle -6(6-x)=-36+6x$ .
$\displaystyle f(6-x)=36-12x+x^2-36+6x+3$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 36-36=0$ , $\displaystyle -12x+6x=-6x$ , iar rămân $\displaystyle x^2$ și $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle f(6-x)=x^2-6x+3$
Expresia obținută coincide cu $\displaystyle f(x)=x^2-6x+3$ , deci $\displaystyle f(6-x)=f(x)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x^2-6x+3=f(x)\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2+4x-5}=x-1

.

Vezi rezolvarea

Observăm că membrul stâng al ecuației este o radical, deci trebuie să fie pozitiv sau zero. Ca urmare, $\displaystyle x-1\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge 1$ . Totodată, expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu 0: $\displaystyle x^{2}+4x-5\ge 0$ . Vom verifica la final soluția găsită.
$\displaystyle x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$
Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației $\displaystyle \sqrt{x^{2}+4x-5}=x-1$ , pentru a elimina radicalul.
$\displaystyle x^{2}+4x-5=(x-1)^{2}$
Dezvoltăm pătratul diferenței din membrul drept, după formula $\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ .
$\displaystyle x^{2}+4x-5=x^{2}-2x+1$
Reducem termenii $\displaystyle x^{2}$ din cei doi membri, apoi grupăm termenii cu $\displaystyle x$ într-o parte și numerele în cealaltă parte.
$\displaystyle 4x+2x=1+5\Rightarrow 6x=6$
Împărțim la $\displaystyle 6$ și obținem valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x=1$
Verificăm soluția în ecuația inițială: sub radical obținem $\displaystyle 1^{2}+4\cdot 1-5=0$ , deci $\displaystyle \sqrt{0}=0$ , iar membrul drept este $\displaystyle 1-1=0$ . Egalitatea este adevărată, deci $\displaystyle x=1$ este soluție a ecuației.
$\displaystyle x=1\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea

\displaystyle \left\{\sqrt{n}\mid n\in\mathbb{N},\ n<50\right\}

, acesta să fie număr rațional.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale $\displaystyle n<50$ sunt $\displaystyle 0,1,2,\ldots,49$ . Pentru $\displaystyle n$ diferite se obțin valori diferite ale lui $\displaystyle \sqrt{n}$ , deci mulțimea are $\displaystyle 50$ de elemente. Numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 50$ .
$\displaystyle \text{cazuri posibile}=50$
$\displaystyle \sqrt{n}$ cu $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ este număr rațional doar când $\displaystyle n$ este pătrat perfect. Altfel $\displaystyle \sqrt{n}$ este irațional. Deci cazurile favorabile sunt pătratele perfecte dintre $\displaystyle 0,1,\ldots,49$ .
$\displaystyle n=k^{2}$ , $\displaystyle \ k\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle \ k^{2}\le 49$
Din $\displaystyle k^{2}\le 49$ rezultă $\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,7\}$ . Pătratele perfecte sunt $\displaystyle 0,1,4,9,16,25,36,49$ , adică $\displaystyle 8$ valori. Numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle 8$ .
$\displaystyle \text{cazuri favorabile}=8$
Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $\displaystyle p=\dfrac{8}{50}$ . Simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle p=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-3,3)

,

\displaystyle B(-4,4)

și

\displaystyle C(3,-3)

. Verificați dacă punctele

\displaystyle A

,

\displaystyle B

și

\displaystyle C

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Punctele sunt coliniare dacă pantele dreptelor $\displaystyle AB$ și $\displaystyle BC$ sunt egale. Scriem formula pantei dreptei care trece prin punctele $\displaystyle M(x_1,y_1)$ și $\displaystyle N(x_2,y_2)$ : $\displaystyle m_{MN}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .
$\displaystyle m_{MN}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Calculăm panta dreptei $\displaystyle AB$ , cu $\displaystyle A(-3,3)$ și $\displaystyle B(-4,4)$ : $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-3}{-4-(-3)}=\dfrac{1}{-1}$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-3}{-4-(-3)}=\dfrac{1}{-1}=-1$
Calculăm panta dreptei $\displaystyle BC$ , cu $\displaystyle B(-4,4)$ și $\displaystyle C(3,-3)$ : $\displaystyle m_{BC}=\dfrac{-3-4}{3-(-4)}=\dfrac{-7}{7}$ .
$\displaystyle m_{BC}=\dfrac{-3-4}{3-(-4)}=\dfrac{-7}{7}=-1$
Pantele sunt egale, iar dreptele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle BC$ au punctul comun $\displaystyle B$ , deci coincid. Prin urmare punctele $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.
$\displaystyle m_{AB}=m_{BC}=-1\text{, deci punctele }A\text{, }B\text{ și }C\text{ sunt coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră rombul

\displaystyle ABCD

cu

\displaystyle AB=5

și

\displaystyle BD=6

. Calculați

\displaystyle \sin(\measuredangle ADB)

.

Vezi rezolvarea

Într-un romb toate laturile sunt egale, deci $\displaystyle AD=AB=5$ . Diagonalele se intersectează în punctul $\displaystyle O$ , care este mijlocul lor, și sunt perpendiculare: $\displaystyle \{O\}=AC\cap BD$ .
$\displaystyle AD=5$ , $\displaystyle \ m(\measuredangle AOD)=90^\circ$
Deoarece $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle BD$ , avem $\displaystyle DO=\dfrac{BD}{2}$ .
$\displaystyle DO=\frac{6}{2}=3$
În triunghiul dreptunghic $\displaystyle AOD$ , cu unghiul drept în $\displaystyle O$ , aplicăm teorema lui Pitagora: $\displaystyle AO^{2}=AD^{2}-DO^{2}$ .
$\displaystyle AO^{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16\Rightarrow AO=4$
Unghiul $\displaystyle ADB$ coincide cu unghiul $\displaystyle ADO$ din triunghiul dreptunghic $\displaystyle AOD$ , deoarece $\displaystyle O$ se află pe segmentul $\displaystyle DB$ . Sinusul lui este raportul dintre cateta opusă $\displaystyle AO$ și ipotenuza $\displaystyle AD$ .
$\displaystyle \sin(\measuredangle ADB)=\frac{AO}{AD}=\frac{4}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+3

.

Calculați

\displaystyle 2*(-4)

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=x+y+3$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x*y=x+y+3$
Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=-4$ în definiția legii: $\displaystyle 2*(-4)=2+(-4)+3$ .
$\displaystyle 2*(-4)=2+(-4)+3$
Calculăm suma: $\displaystyle 2+(-4)=-2$ , iar $\displaystyle -2+3=1$ . Deci $\displaystyle 2*(-4)=1$ .
$\displaystyle 2*(-4)=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+3

.

Arătați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Asociativitatea înseamnă că pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ . Calculăm separat cele două grupări.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{R}$
Calculăm $\displaystyle x*y=x+y+3$ , apoi îl folosim în $\displaystyle (x*y)*z=(x+y+3)*z$ .
$\displaystyle (x*y)*z=(x+y+3)*z$
Aplicăm definiția pentru numerele $\displaystyle x+y+3$ și $\displaystyle z$ : le adunăm și adăugăm $\displaystyle 3$ . Avem $\displaystyle (x+y+3)*z=(x+y+3)+z+3$ , iar prin reducerea constantelor obținem rezultatul.
$\displaystyle (x*y)*z=(x+y+3)+z+3=x+y+z+6$
Calculăm acum a doua grupare. Mai întâi $\displaystyle y*z=y+z+3$ , deci $\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z+3)$ .
$\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z+3)$
Aplicăm definiția pentru $\displaystyle x$ și $\displaystyle y+z+3$ : $\displaystyle x*(y+z+3)=x+(y+z+3)+3=x+y+z+6$ . Aceasta este aceeași expresie ca la $\displaystyle (x*y)*z$ , deci legea „ $\displaystyle *$ ” este asociativă.
$\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z+3)+3=x+y+z+6=(x*y)*z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+3

.

Verificați dacă

\displaystyle e=-3

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Amintim definiția: $\displaystyle e$ este element neutru dacă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle x*e=x$ și $\displaystyle e*x=x$ . Trebuie verificate ambele egalități pentru $\displaystyle e=-3$ .
$\displaystyle x*(-3)=x\text{ și }(-3)*x=x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Calculăm $\displaystyle x*(-3)$ înlocuind $\displaystyle y=-3$ în definiția legii: $\displaystyle x+(-3)+3$ . Termenii $\displaystyle -3$ și $\displaystyle 3$ se reduc, deci rămâne $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x*(-3)=x+(-3)+3=x$
Calculăm acum în ordinea inversă, $\displaystyle (-3)*x$ , înlocuind primul termen cu $\displaystyle -3$ și al doilea cu $\displaystyle x$ în definiția legii: $\displaystyle (-3)+x+3$ . Termenii se reduc și obținem $\displaystyle x$ .
$\displaystyle (-3)*x=(-3)+x+3=x$
Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice $\displaystyle x$ real, concluzionăm că $\displaystyle e=-3$ este elementul neutru al legii „ $\displaystyle *$ ”.
$\displaystyle x*(-3)=(-3)*x=x\text{, deci }e=-3\text{ este elementul neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+3

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 9^x*3^x=93

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii: $\displaystyle x*y=x+y+3$ , cu primul termen $\displaystyle 9^x$ și al doilea $\displaystyle 3^x$ . Ecuația devine $\displaystyle 9^x+3^x+3=93$ .
$\displaystyle 9^x+3^x+3=93$
Scădem 93 din ambii membri: $\displaystyle 9^x+3^x-90=0$ .
$\displaystyle 9^x+3^x-90=0$
Deoarece $\displaystyle 9^x=(3^x)^2$ , notăm $\displaystyle t=3^x$ , cu $\displaystyle t>0$ . Ecuația devine $\displaystyle t^2+t-90=0$ .
$\displaystyle t^{2}+t-90=0$
Căutăm două numere cu suma $\displaystyle 1$ și produsul $\displaystyle -90$ : acestea sunt $\displaystyle -9$ și $\displaystyle 10$ . Deci $\displaystyle t^2+t-90=(t-9)(t+10)$ , adică $\displaystyle (3^x-9)(3^x+10)=0$ .
$\displaystyle 9^x+3^x-90=0\Leftrightarrow(3^x-9)(3^x+10)=0$
Produsul este nul dacă unul dintre factori este nul. Cum $\displaystyle 3^x+10>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, singura posibilitate este $\displaystyle 3^x-9=0$ , adică $\displaystyle 3^x=9$ .
$\displaystyle 3^x=9$
Cum $\displaystyle 9=3^2$ , avem $\displaystyle 3^x=3^2$ , iar funcția exponențială este injectivă, deci $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+3

.

Demonstrați că numărul

\displaystyle (2n^2-2n-1)*(2n^2-2n-1)

este pătrat perfect, pentru orice număr natural

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle a=2n^{2}-2n-1$ . Conform definiției legii, $\displaystyle a*a=a+a+3$ .
$\displaystyle a*a=2a+3$
Înlocuim $\displaystyle a$ cu $\displaystyle 2n^{2}-2n-1$ și scriem suma celor două expresii plus $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle (2n^{2}-2n-1)+(2n^{2}-2n-1)+3$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2n^{2}+2n^{2}=4n^{2}$ , $\displaystyle -2n-2n=-4n$ , iar $\displaystyle -1-1+3=1$ .
$\displaystyle 4n^{2}-4n+1$
Recunoaștem dezvoltarea pătratului diferenței: $\displaystyle (2n)^{2}-2\cdot 2n\cdot 1+1^{2}=(2n-1)^{2}$ . Cum $\displaystyle 2n-1$ este număr întreg pentru orice $\displaystyle n$ natural, numărul este pătrat perfect.
$\displaystyle (2n-1)^{2}\text{, care este pătrat }$ $\displaystyle \text{perfect pentru orice }$ $\displaystyle \text{număr natural }n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+3

.

Se consideră numărul real

\displaystyle a=1*(-3)*5*(-7)*9*(-11)*13*(-15)*17*(-19)

. Arătați că

\displaystyle a\in(\sqrt{288},\sqrt{290})

.

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă, deci putem grupa factorii în perechi. Calculăm fiecare pereche cu $\displaystyle x*y=x+y+3$ . Suma fiecărei perechi este $\displaystyle -2$ , deci rezultatul este $\displaystyle -2+3=1$ . De exemplu, $\displaystyle 1*(-3)=1+(-3)+3=1$ .
$\displaystyle 1*(-3)=5*(-7)=9*(-11)=13*(-15)=17*(-19)=1$
Înlocuim perechile cu $\displaystyle 1$ și obținem cinci factori egali cu $\displaystyle 1$ . Îi grupăm: $\displaystyle (1*1)*(1*1)*1$ . Calculăm $\displaystyle 1*1=1+1+3=5$ , apoi $\displaystyle 5*5=5+5+3=13$ , iar expresia devine $\displaystyle 13*1$ .
$\displaystyle a=1*1*1*1*1=5*5*1=13*1$
Calculăm ultima compunere: $\displaystyle 13*1=13+1+3=17$ . Observăm că $\displaystyle 17=\sqrt{289}$ , iar $\displaystyle 288<289<290$ . Cum radicalul este o funcție strict crescătoare, rezultă $\displaystyle \sqrt{288}<\sqrt{289}<\sqrt{290}$ , deci $\displaystyle a$ aparține intervalului.
$\displaystyle a=17=\sqrt{289}\in\left(\sqrt{288},\sqrt{290}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

.

Verificați dacă

\displaystyle 1\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]

.

Vezi rezolvarea

Un număr aparține mulțimii $\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ dacă poate fi scris sub forma $\displaystyle a+b\sqrt{5}$ , cu $\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}$ . Verificăm dacă $\displaystyle 1$ are această formă.
$\displaystyle 1=a+b\sqrt{5}$ , $\displaystyle \ a$ , $\displaystyle b\in\mathbb{Z}$
Alegem $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=0$ . Ambele sunt numere întregi, iar termenul cu radical dispare: $\displaystyle 0\cdot\sqrt{5}=0$ .
$\displaystyle 1=1+0\cdot\sqrt{5}$
Deoarece $\displaystyle 1=1+0\cdot\sqrt{5}$ , cu $\displaystyle 1,0\in\mathbb{Z}$ , concluzionăm că $\displaystyle 1$ aparține mulțimii.
$\displaystyle 1\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

.

Demonstrați că

\displaystyle x+y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]

, pentru orice

\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ oarecare. Atunci există numerele întregi $\displaystyle a,b,c,d$ astfel încât $\displaystyle x=a+b\sqrt{5}$ și $\displaystyle y=c+d\sqrt{5}$ .
$\displaystyle x=a+b\sqrt{5}$ , $\displaystyle \quad y=c+d\sqrt{5}$ , $\displaystyle \quad a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d\in\mathbb{Z}$
Adunăm: $\displaystyle x+y=a+b\sqrt{5}+c+d\sqrt{5}$ . Grupăm termenii fără radical și pe cei cu $\displaystyle \sqrt{5}$ , apoi dăm factor comun pe $\displaystyle \sqrt{5}$ .
$\displaystyle x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{5}$
Deoarece $\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ , avem $\displaystyle a+c\in\mathbb{Z}$ și $\displaystyle b+d\in\mathbb{Z}$ . Deci $\displaystyle x+y$ are forma $\displaystyle m+n\sqrt{5}$ cu $\displaystyle m,n$ întregi, adică aparține mulțimii $\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ .
$\displaystyle a+c\in\mathbb{Z}$ , $\displaystyle \ b+d\in\mathbb{Z}\Rightarrow x+y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

.

Demonstrați că

\displaystyle xy\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]

, pentru orice

\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ oarecare. Atunci există $\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ astfel încât $\displaystyle x=a+b\sqrt{5}$ și $\displaystyle y=c+d\sqrt{5}$ .
$\displaystyle x=a+b\sqrt{5}$ , $\displaystyle \ y=c+d\sqrt{5}$ , $\displaystyle \ a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d\in\mathbb{Z}$
Calculăm $\displaystyle xy=(a+b\sqrt{5})(c+d\sqrt{5})$ și desfacem parantezele: $\displaystyle xy=ac+ad\sqrt{5}+bc\sqrt{5}+bd\cdot(\sqrt{5})^{2}$ .
$\displaystyle xy=ac+ad\sqrt{5}+bc\sqrt{5}+bd(\sqrt{5})^{2}$
Deoarece $\displaystyle (\sqrt{5})^{2}=5$ , obținem $\displaystyle xy=ac+5bd+(ad+bc)\sqrt{5}$ .
$\displaystyle xy=(ac+5bd)+(ad+bc)\sqrt{5}$
Cum $\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ , iar sumele și produsele de numere întregi sunt numere întregi, avem $\displaystyle ac+5bd\in\mathbb{Z}$ și $\displaystyle ad+bc\in\mathbb{Z}$ .
$\displaystyle ac+5bd\in\mathbb{Z}$ , $\displaystyle \ ad+bc\in\mathbb{Z}$
Deci $\displaystyle xy$ are forma $\displaystyle m+n\sqrt{5}$ cu $\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}$ , adică $\displaystyle xy\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ , pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ .
$\displaystyle xy\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

.

Verificați dacă

\displaystyle \frac{1}{9+4\sqrt{5}}=9-4\sqrt{5}

.

Vezi rezolvarea

Numitorul conține un radical, deci raționalizăm: amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică cu $\displaystyle 9-4\sqrt{5}$ (este nenul).
$\displaystyle \frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{9-4\sqrt{5}}{\left(9-4\sqrt{5}\right)\left(9+4\sqrt{5}\right)}$
La numitor aplicăm formula $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , cu $\displaystyle a=9$ și $\displaystyle b=4\sqrt{5}$ .
$\displaystyle \left(9-4\sqrt{5}\right)\left(9+4\sqrt{5}\right)=9^{2}-\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$
Calculăm: $\displaystyle 9^{2}=81$ , iar $\displaystyle \left(4\sqrt{5}\right)^{2}=16\cdot 5=80$ . Deci numitorul este $\displaystyle 81-80=1$ .
$\displaystyle 9^{2}-\left(4\sqrt{5}\right)^{2}=81-80=1$
Înlocuim numitorul cu $\displaystyle 1$ și obținem $\displaystyle 9-4\sqrt{5}$ , deci egalitatea din enunț este adevărată.
$\displaystyle \frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{9-4\sqrt{5}}{1}=9-4\sqrt{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}

.

Arătați că

\displaystyle \frac{1}{9-4\sqrt{5}}\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]

.

Vezi rezolvarea

Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică cu $\displaystyle 9+4\sqrt{5}$ , pentru a raționaliza numitorul.
$\displaystyle \frac{1}{9-4\sqrt{5}}=\frac{9+4\sqrt{5}}{\left(9-4\sqrt{5}\right)\left(9+4\sqrt{5}\right)}$
Calculăm numitorul cu formula diferenței de pătrate: $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , deci $\displaystyle 9^{2}-\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$ .
$\displaystyle 81-16\cdot 5=81-80=1$
Numitorul fiind $\displaystyle 1$ , fracția este egală cu numărătorul.
$\displaystyle \frac{1}{9-4\sqrt{5}}=9+4\sqrt{5}$
Numărul obținut are forma $\displaystyle a+b\sqrt{5}$ , cu $\displaystyle a=9\in\mathbb{Z}$ și $\displaystyle b=4\in\mathbb{Z}$ . Deci fracția aparține mulțimii $\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ .
$\displaystyle \frac{1}{9-4\sqrt{5}}\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2016, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Aceeași sesiune, alți ani