Bac matematică M4 pedagogic 2023, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(22−6)+23=4\displaystyle \sqrt{2}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)+2\sqrt{3}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim 2\displaystyle \sqrt{2} în paranteză: 2(22−6)=2⋅22−2⋅6\displaystyle \sqrt{2}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}.
    2⋅22−2⋅6\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}
  2. Primul produs: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci 2⋅22=2⋅2=4\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2=4.
    2⋅22=4\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4
  3. Al doilea produs: 2⋅6=12=4⋅3=23\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}. Deci 2(22−6)=4−23\displaystyle \sqrt{2}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)=4-2\sqrt{3}.
    2(22−6)=4−23\displaystyle \sqrt{2}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)=4-2\sqrt{3}
  4. Adăugăm 23\displaystyle 2\sqrt{3}: 4−23+23\displaystyle 4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}. Termenii −23\displaystyle -2\sqrt{3} și +23\displaystyle +2\sqrt{3} se reduc, deci expresia este egală cu 4\displaystyle 4, ceea ce trebuia demonstrat.
    4−23+23=4\displaystyle 4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1. Determinați numărul real pozitiv a\displaystyle a pentru care f(a)\displaystyle f(a) este media geometrică a numerelor f(0)\displaystyle f(0) și f(4)\displaystyle f(4).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1: f(0)=2⋅0+1\displaystyle f(0)=2\cdot 0+1.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  2. Calculăm f(4)=2⋅4+1\displaystyle f(4)=2\cdot 4+1. Pentru a\displaystyle a avem f(a)=2a+1\displaystyle f(a)=2a+1.
    f(a)=2a+1\displaystyle f(a)=2a+1, f(0)=1\displaystyle \ f(0)=1, f(4)=9\displaystyle \ f(4)=9
  3. Media geometrică a numerelor 1\displaystyle 1 și 9\displaystyle 9 este 1⋅9\displaystyle \sqrt{1\cdot 9}. Condiția din enunț este f(a)=f(0)⋅f(4)\displaystyle f(a)=\sqrt{f(0)\cdot f(4)}, adică 2a+1=1⋅9\displaystyle 2a+1=\sqrt{1\cdot 9}.
    2a+1=9=3\displaystyle 2a+1=\sqrt{9}=3
  4. Din 2a+1=3\displaystyle 2a+1=3 obținem 2a=2\displaystyle 2a=2, deci a=1\displaystyle a=1. Valoarea este pozitivă, deci convine.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅3x+1=18\displaystyle 2\cdot 3^{x+1}=18.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim ambii membri ai ecuației 2⋅3x+1=18\displaystyle 2\cdot 3^{x+1}=18 la 2\displaystyle 2, ca să izolăm puterea lui 3\displaystyle 3.
    3x+1=9\displaystyle 3^{x+1}=9
  2. Scriem pe 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Astfel ambii membri sunt puteri ale lui 3\displaystyle 3, cu aceeași bază.
    3x+1=32\displaystyle 3^{x+1}=3^{2}
  3. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci exponenții sunt egali.
    x+1=2\displaystyle x+1=2
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem soluția ecuației: x=2−1\displaystyle x=2-1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui produs este 300\displaystyle 300 de lei. După o scumpire cu p%\displaystyle p\% prețul produsului devine 360\displaystyle 360 de lei. Calculați p\displaystyle p.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem prețul nou ca preț inițial plus p%\displaystyle p\% din prețul inițial: 300+p100⋅300=360\displaystyle 300+\dfrac{p}{100}\cdot 300=360.
    300+p100⋅300=360\displaystyle 300+\dfrac{p}{100}\cdot 300=360
  2. Scădem 300\displaystyle 300 din ambii membri ai ecuației. Obținem că scumpirea este de 60\displaystyle 60 de lei.
    p100⋅300=60\displaystyle \dfrac{p}{100}\cdot 300=60
  3. Simplificăm 300\displaystyle 300 cu 100\displaystyle 100 și obținem 3p=60\displaystyle 3p=60.
    3p=60\displaystyle 3p=60
  4. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem p=20\displaystyle p=20.
    p=20\displaystyle p=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2), B(1,1)\displaystyle B(1,1) și C(3,m)\displaystyle C(3,m). Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care punctul C\displaystyle C aparține dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei AB\displaystyle AB cu formula x−xAxB−xA=y−yAyB−yA\displaystyle \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}, unde A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(1,1)\displaystyle B(1,1).
    x−(−1)1−(−1)=y−21−2\displaystyle \frac{x-(-1)}{1-(-1)}=\frac{y-2}{1-2}
  2. Calculăm 1−(−1)=2\displaystyle 1-(-1)=2 și 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, deci ecuația devine o proporție cu numitorii 2\displaystyle 2 și −1\displaystyle -1.
    x+12=y−2−1\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}
  3. Înmulțim pe diagonală: −(x+1)=2(y−2)\displaystyle -(x+1)=2(y-2), adică −x−1=2y−4\displaystyle -x-1=2y-4. Mutăm toți termenii într-o parte.
    x+2y−3=0\displaystyle x+2y-3=0
  4. Punctul C(3,m)\displaystyle C(3,m) aparține dreptei AB\displaystyle AB dacă coordonatele lui verifică ecuația. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=m\displaystyle y=m.
    3+2m−3=0\displaystyle 3+2m-3=0
  5. Reducem termenii: 3−3=0\displaystyle 3-3=0, deci 2m=0\displaystyle 2m=0.
    m=0\displaystyle m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, AB=6\displaystyle AB=6 și măsura unghiului C\displaystyle C egală cu 60∘\displaystyle 60^\circ. Arătați că BC=43\displaystyle BC=4\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar cateta AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C.
    ipotenuza BC\displaystyle \text{ipotenuza }BC, cateta opusa˘ lui C: AB=6\displaystyle \ \text{cateta opusă lui }C:\ AB=6
  2. Scriem sinusul unghiului C\displaystyle C ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză: sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}.
    sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}
  3. Înlocuim sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și AB=6\displaystyle AB=6.
    32=6BC\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{BC}
  4. Înmulțim în cruce: 3⋅BC=12\displaystyle \sqrt{3}\cdot BC=12, deci BC=123\displaystyle BC=\dfrac{12}{\sqrt{3}}.
    BC=123\displaystyle BC=\dfrac{12}{\sqrt{3}}
  5. Raționalizăm numitorul, amplificând cu 3\displaystyle \sqrt{3}: BC=1233=43\displaystyle BC=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.
    BC=43\displaystyle BC=4\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy-x-y+6.

Arătați că 1∘(−3)=7\displaystyle 1\circ(-3)=7.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}xy-x-y+6 și înlocuim x=1\displaystyle x=1, y=−3\displaystyle y=-3.
    1∘(−3)=13⋅1⋅(−3)−1−(−3)+6\displaystyle 1\circ(-3)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)-1-(-3)+6
  2. Scăderea lui −3\displaystyle -3 devine adunare: −(−3)=+3\displaystyle -(-3)=+3.
    1∘(−3)=13⋅1⋅(−3)−1+3+6\displaystyle 1\circ(-3)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)-1+3+6
  3. Calculăm 13⋅1⋅(−3)=−1\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)=-1.
    13⋅1⋅(−3)=−1\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 1\cdot(-3)=-1
  4. Adunăm termenii: −1−1+3+6=7\displaystyle -1-1+3+6=7, deci 1∘(−3)=7\displaystyle 1\circ(-3)=7.
    −1−1+3+6=7\displaystyle -1-1+3+6=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy-x-y+6.

Arătați că e=6\displaystyle e=6 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Trebuie deci să verificăm ambele egalități pentru e=6\displaystyle e=6.
    x∘6=6∘x=x\displaystyle x\circ 6=6\circ x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Verificăm la dreapta: în definiția legii înlocuim y\displaystyle y cu 6\displaystyle 6.
    x∘6=13⋅x⋅6−x−6+6\displaystyle x\circ 6=\frac{1}{3}\cdot x\cdot 6-x-6+6
  3. Calculăm: 13⋅6=2\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 6=2, deci obținem 2x−x−6+6\displaystyle 2x-x-6+6, adică x\displaystyle x.
    x∘6=2x−x−6+6=x\displaystyle x\circ 6=2x-x-6+6=x
  4. Verificăm la stânga: în definiția legii înlocuim x\displaystyle x cu 6\displaystyle 6.
    6∘x=13⋅6⋅x−6−x+6\displaystyle 6\circ x=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot x-6-x+6
  5. Calculăm: 13⋅6=2\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 6=2, deci obținem 2x−6−x+6\displaystyle 2x-6-x+6, adică x\displaystyle x. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, 6\displaystyle 6 este elementul neutru.
    6∘x=2x−6−x+6=x\displaystyle 6\circ x=2x-6-x+6=x, deci e=6\displaystyle \ \text{deci } e=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy-x-y+6.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația x∘6=1\displaystyle \sqrt{x}\circ 6=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm t∘6\displaystyle t\circ 6 pentru un număr real oarecare t\displaystyle t, înlocuind y=6\displaystyle y=6 în definiția legii: t∘6=13⋅t⋅6−t−6+6\displaystyle t\circ 6=\dfrac{1}{3}\cdot t\cdot 6-t-6+6. Termenul 13⋅t⋅6\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot t\cdot 6 este 2t\displaystyle 2t, iar −6\displaystyle -6 și +6\displaystyle +6 se reduc.
    t∘6=2t−t−6+6=t\displaystyle t\circ 6=2t-t-6+6=t
  2. Deci 6\displaystyle 6 se comportă ca element neutru la dreapta. Luăm t=x\displaystyle t=\sqrt{x}, cu x≥0\displaystyle x\geq 0, și obținem x∘6=x\displaystyle \sqrt{x}\circ 6=\sqrt{x}. Ecuația devine x=1\displaystyle \sqrt{x}=1.
    x∘6=x\displaystyle \sqrt{x}\circ 6=\sqrt{x}
  3. Ridicăm la pătrat ecuația x=1\displaystyle \sqrt{x}=1 și obținem x=1\displaystyle x=1. Valoarea 1\displaystyle 1 este număr real pozitiv și verifică ecuația: 1∘6=1∘6=1\displaystyle \sqrt{1}\circ 6=1\circ 6=1. Deci x=1\displaystyle x=1 convine.
    x=1\displaystyle \sqrt{x}=1, x=1, care convine\displaystyle \ x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy-x-y+6.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care 2∘n<(2n)∘1+1\displaystyle 2\circ n<(2n)\circ 1+1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2∘n\displaystyle 2\circ n înlocuind x=2\displaystyle x=2 și y=n\displaystyle y=n în definiția legii: 2∘n=13⋅2⋅n−2−n+6\displaystyle 2\circ n=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot n-2-n+6.
    2∘n=2n3−2−n+6\displaystyle 2\circ n=\frac{2n}{3}-2-n+6
  2. Calculăm (2n)∘1\displaystyle (2n)\circ 1 înlocuind x=2n\displaystyle x=2n și y=1\displaystyle y=1: (2n)∘1=13⋅2n⋅1−2n−1+6\displaystyle (2n)\circ 1=\dfrac{1}{3}\cdot 2n\cdot 1-2n-1+6. Apoi adunăm 1\displaystyle 1.
    (2n)∘1+1=2n3−2n−1+6+1\displaystyle (2n)\circ 1+1=\frac{2n}{3}-2n-1+6+1
  3. Scriem inegalitatea 2∘n<(2n)∘1+1\displaystyle 2\circ n<(2n)\circ 1+1 cu expresiile obținute.
    2n3−2−n+6<2n3−2n−1+6+1\displaystyle \frac{2n}{3}-2-n+6<\frac{2n}{3}-2n-1+6+1
  4. Reducem termenii asemenea: în stânga avem 2n3−n+4\displaystyle \dfrac{2n}{3}-n+4, în dreapta 2n3−2n+6\displaystyle \dfrac{2n}{3}-2n+6. Termenul 2n3\displaystyle \dfrac{2n}{3} apare în ambele părți și se reduce, deci rămâne −n+4<−2n+6\displaystyle -n+4<-2n+6.
    −n+4<−2n+6\displaystyle -n+4<-2n+6
  5. Adunăm 2n\displaystyle 2n la ambele părți și scădem 4\displaystyle 4: −n+2n<6−4\displaystyle -n+2n<6-4, deci n<2\displaystyle n<2.
    n<2\displaystyle n<2
  6. Cum n\displaystyle n este număr natural și n<2\displaystyle n<2, rămân doar valorile 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    n<2\displaystyle n<2, n=0 sau n=1\displaystyle \ n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy-x-y+6.

Demonstrați că x∘y=13⋅(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}\cdot(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}xy-x-y+6. Scriem 6=3+3\displaystyle 6=3+3 și x=13⋅3x\displaystyle x=\dfrac{1}{3}\cdot 3x, ca să pregătim gruparea termenilor.
    x∘y=13xy−13⋅3x−y+3+3\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}xy-\dfrac{1}{3}\cdot 3x-y+3+3
  2. Grupăm primii doi termeni, care au factorul comun 13x\displaystyle \dfrac{1}{3}x, iar pe −y+3\displaystyle -y+3 îl scriem ca −(y−3)\displaystyle -(y-3).
    x∘y=13x(y−3)−(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}x(y-3)-(y-3)+3
  3. Dăm factor comun pe y−3\displaystyle y-3 din primii doi termeni.
    x∘y=(y−3)(13x−1)+3\displaystyle x\circ y=(y-3)\left(\dfrac{1}{3}x-1\right)+3
  4. Scoatem factorul 13\displaystyle \dfrac{1}{3} din paranteză: 13x−1=13(x−3)\displaystyle \dfrac{1}{3}x-1=\dfrac{1}{3}(x-3). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=13(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=13xy−x−y+6\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}xy-x-y+6.

Calculați 1∘2∘…∘2023\displaystyle \sqrt{1}\circ\sqrt{2}\circ\ldots\circ\sqrt{2023}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că în șir apare 9\displaystyle \sqrt{9}, iar 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3. Vrem să vedem ce se întâmplă când compunem un număr real x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3.
    9=3\displaystyle \sqrt{9}=3
  2. Înlocuim y=3\displaystyle y=3 în definiție: x∘3=13⋅x⋅3−x−3+6\displaystyle x\circ 3=\dfrac{1}{3}\cdot x\cdot 3-x-3+6.
    x∘3=13⋅x⋅3−x−3+6\displaystyle x\circ 3=\frac{1}{3}\cdot x\cdot 3-x-3+6
  3. Simplificăm: x−x=0\displaystyle x-x=0, iar −3+6=3\displaystyle -3+6=3. Expresia dată a legii este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și 3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3. Așadar 3\displaystyle 3 este element absorbant.
    x∘3=3∘x=3\displaystyle x\circ 3=3\circ x=3, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa termenii: separăm primii opt, apoi 9\displaystyle \sqrt{9}, apoi restul, de la 10\displaystyle \sqrt{10} la 2023\displaystyle \sqrt{2023}.
    (1∘…∘8)∘9∘(10∘…∘2023)\displaystyle \left(\sqrt{1}\circ\ldots\circ\sqrt{8}\right)\circ\sqrt{9}\circ\left(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2023}\right)
  5. Notăm cu a\displaystyle a rezultatul compunerii primilor opt termeni. Atunci a∘3=3\displaystyle a\circ 3=3, deoarece 3\displaystyle 3 este element absorbant. Apoi 3∘b=3\displaystyle 3\circ b=3, unde b\displaystyle b este rezultatul compunerii ultimilor termeni. Deci valoarea cerută este 3\displaystyle 3.
    (1∘…∘8)∘9∘(10∘…∘2023)=3∘(10∘…∘2023)=3\displaystyle \left(\sqrt{1}\circ\ldots\circ\sqrt{8}\right)\circ\sqrt{9}\circ\left(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2023}\right)=3\circ\left(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2023}\right)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Arătați că A⋅A=5I2\displaystyle A\cdot A=5I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, cu matricea A\displaystyle A de două ori, și aplicăm regula de înmulțire a matricelor: element de pe linie înmulțit cu element de pe coloană, apoi suma.
    A⋅A=(−1221)⋅(−1221)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului: pe poziția (1,1) avem (−1)(−1)+2⋅2\displaystyle (-1)(-1)+2\cdot 2, pe (1,2) avem (−1)⋅2+2⋅1\displaystyle (-1)\cdot 2+2\cdot 1, pe (2,1) avem 2⋅(−1)+1⋅2\displaystyle 2\cdot(-1)+1\cdot 2, iar pe (2,2) avem 2⋅2+1⋅1\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 1.
    A⋅A=(1+4−2+2−2+24+1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1+4 & -2+2\\ -2+2 & 4+1\end{pmatrix}
  3. Efectuăm adunările din fiecare element: 1+4=5\displaystyle 1+4=5, −2+2=0\displaystyle -2+2=0, 4+1=5\displaystyle 4+1=5. Obținem 5\displaystyle 5 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, adică 5\displaystyle 5 înmulțit cu matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A⋅A=(5005)=5(1001)=5I2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5 & 0\\ 0 & 5\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=5I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(B(a)+A)=0\displaystyle \det(B(a)+A)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B(a)\displaystyle B(a) element cu element: (a+2)+(−1)=a+1\displaystyle (a+2)+(-1)=a+1, 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar pe diagonala secundară ambele elemente sunt 3\displaystyle 3, în timp ce a+1\displaystyle a+1 apare și pe a doua linie.
    B(a)+A=(a+133a+1)\displaystyle B(a)+A=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (a+1)(a+1)−3⋅3\displaystyle (a+1)(a+1)-3\cdot 3.
    det⁡(B(a)+A)=(a+1)2−9\displaystyle \det(B(a)+A)=(a+1)^2-9
  3. Punem condiția det⁡(B(a)+A)=0\displaystyle \det(B(a)+A)=0, deci (a+1)2−9=0\displaystyle (a+1)^2-9=0. Folosim diferența de pătrate: (a+1−3)(a+1+3)=0\displaystyle (a+1-3)(a+1+3)=0.
    (a−2)(a+4)=0\displaystyle (a-2)(a+4)=0
  4. Un produs este nul când unul dintre factori este nul: a−2=0\displaystyle a-2=0 sau a+4=0\displaystyle a+4=0. Deci valorile căutate sunt cele de mai jos.
    a=−4 sau a=2\displaystyle a=-4\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Demonstrați că B(q−1)\displaystyle B(q-1) este inversabilă pentru orice număr rațional q\displaystyle q.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu q−1\displaystyle q-1 în matricea B(a)\displaystyle B(a). Avem a+2=q+1\displaystyle a+2=q+1 și a=q−1\displaystyle a=q-1.
    B(q−1)=(q+111q−1)\displaystyle B(q-1)=\begin{pmatrix}q+1 & 1\\ 1 & q-1\end{pmatrix}
  2. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Calculăm det⁡(B(q−1))\displaystyle \det(B(q-1)) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală.
    det⁡(B(q−1))=(q+1)(q−1)−1⋅1=q2−1−1=q2−2\displaystyle \det(B(q-1))=(q+1)(q-1)-1\cdot 1=q^2-1-1=q^2-2
  3. Presupunem că determinantul ar fi zero. Atunci q2−2=0\displaystyle q^2-2=0, deci q2=2\displaystyle q^2=2, de unde q=±2\displaystyle q=\pm\sqrt{2}.
    q2−2=0⇒q=−2 sau q=2\displaystyle q^2-2=0\Rightarrow q=-\sqrt{2}\text{ sau }q=\sqrt{2}
  4. Numărul 2\displaystyle \sqrt{2} este irațional, deci nici −2\displaystyle -\sqrt{2}, nici 2\displaystyle \sqrt{2} nu sunt raționale. Cum q\displaystyle q este rațional, determinantul nu poate fi zero. Deci det⁡(B(q−1))≠0\displaystyle \det(B(q-1))\neq 0 și B(q−1)\displaystyle B(q-1) este inversabilă pentru orice q∈Q\displaystyle q\in\mathbb{Q}.
    q2−2=0⇒q=−2∉Q sau q=2∉Q, deci det⁡(B(q−1))≠0\displaystyle q^2-2=0\Rightarrow q=-\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\text{ sau }q=\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\text{, deci }\det(B(q-1))\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care B(a)⋅B(a)=B(54)\displaystyle B(a)\cdot B(a)=B\left(\frac{5}{4}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(a)⋅B(a)\displaystyle B(a)\cdot B(a), înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (a+2)(a+2)+1⋅1=(a+2)2+1\displaystyle (a+2)(a+2)+1\cdot 1=(a+2)^{2}+1.
    (a+2)2+1\displaystyle (a+2)^{2}+1
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este (a+2)⋅1+1⋅a=2a+2\displaystyle (a+2)\cdot 1+1\cdot a=2a+2. Același rezultat apare pe linia 2, coloana 1: 1⋅(a+2)+a⋅1=2a+2\displaystyle 1\cdot(a+2)+a\cdot 1=2a+2. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este 1⋅1+a⋅a=1+a2\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot a=1+a^{2}. Deci:
    B(a)⋅B(a)=((a+2)2+12+2a2+2a1+a2)\displaystyle B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}(a+2)^{2}+1 & 2+2a\\ 2+2a & 1+a^{2}\end{pmatrix}
  3. Scriem B(54)\displaystyle B\left(\dfrac{5}{4}\right), înlocuind a=54\displaystyle a=\dfrac{5}{4}. Avem a+2=54+2=134\displaystyle a+2=\dfrac{5}{4}+2=\dfrac{13}{4}.
    B(54)=(1341154)\displaystyle B\left(\frac{5}{4}\right)=\begin{pmatrix}\frac{13}{4} & 1\\ 1 & \frac{5}{4}\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din elementul de pe linia 1, coloana 2 obținem 2+2a=1\displaystyle 2+2a=1, deci 2a=−1\displaystyle 2a=-1.
    a=−12\displaystyle a=-\frac{1}{2}
  5. Verificăm celelalte egalități pentru a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}. Avem (a+2)2+1=(32)2+1=94+1=134\displaystyle (a+2)^{2}+1=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+1=\dfrac{9}{4}+1=\dfrac{13}{4} și 1+a2=1+14=54\displaystyle 1+a^{2}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}. Toate egalitățile sunt satisfăcute, deci singura valoare este:
    a=−12\displaystyle a=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Determinați numerele reale pozitive x\displaystyle x pentru care B(log⁡2x)−B(log⁡4x)=I2\displaystyle B(\log_2 x)-B(\log_4 x)=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>0\displaystyle x>0 logaritmii sunt definiți. Scriem B(log⁡2x)=(log⁡2x+211log⁡2x)\displaystyle B(\log_2 x)=\begin{pmatrix}\log_2 x+2 & 1\\ 1 & \log_2 x\end{pmatrix} și B(log⁡4x)=(log⁡4x+211log⁡4x)\displaystyle B(\log_4 x)=\begin{pmatrix}\log_4 x+2 & 1\\ 1 & \log_4 x\end{pmatrix}.
    B(log⁡2x)=(log⁡2x+211log⁡2x)\displaystyle B(\log_2 x)=\begin{pmatrix}\log_2 x+2 & 1\\ 1 & \log_2 x\end{pmatrix}, B(log⁡4x)=(log⁡4x+211log⁡4x)\displaystyle \ B(\log_4 x)=\begin{pmatrix}\log_4 x+2 & 1\\ 1 & \log_4 x\end{pmatrix}
  2. Scădem element cu element: (log⁡2x+2)−(log⁡4x+2)=log⁡2x−log⁡4x\displaystyle (\log_2 x+2)-(\log_4 x+2)=\log_2 x-\log_4 x, 1−1=0\displaystyle 1-1=0 și log⁡2x−log⁡4x\displaystyle \log_2 x-\log_4 x pe a doua poziție diagonală.
    B(log⁡2x)−B(log⁡4x)=(log⁡2x−log⁡4x00log⁡2x−log⁡4x)\displaystyle B(\log_2 x)-B(\log_4 x)=\begin{pmatrix}\log_2 x-\log_4 x & 0\\ 0 & \log_2 x-\log_4 x\end{pmatrix}
  3. Din egalitatea cu I2\displaystyle I_2 obținem ecuația log⁡2x−log⁡4x=1\displaystyle \log_2 x-\log_4 x=1, iar elementele din afara diagonalei sunt deja 0\displaystyle 0.
    log⁡2x−log⁡4x=1\displaystyle \log_2 x-\log_4 x=1
  4. Cum 4=22\displaystyle 4=2^{2}, avem log⁡4x=log⁡2xlog⁡24=12log⁡2x\displaystyle \log_4 x=\dfrac{\log_2 x}{\log_2 4}=\dfrac{1}{2}\log_2 x.
    log⁡4x=12log⁡2x\displaystyle \log_4 x=\dfrac{1}{2}\log_2 x
  5. Ecuația devine log⁡2x−12log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x-\dfrac{1}{2}\log_2 x=1, adică 12log⁡2x=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\log_2 x=1, deci log⁡2x=2\displaystyle \log_2 x=2.
    log⁡2x=2\displaystyle \log_2 x=2
  6. Din log⁡2x=2\displaystyle \log_2 x=2 rezultă x=22=4\displaystyle x=2^{2}=4. Cum 4>0\displaystyle 4>0, valoarea convine.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este un număr real. Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R}) pentru care X⋅B(0)=A\displaystyle X\cdot B(0)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B(0)\displaystyle B(0), înlocuind a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în B(a)\displaystyle B(a): obținem B(0)=(2110)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
    B(0)=(2110)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
  2. Notăm X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} cu a,b,c,d∈R\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R} (a\displaystyle a de aici nu este parametrul din B(a)\displaystyle B(a)) și calculăm produsul X⋅B(0)\displaystyle X\cdot B(0), înmulțind liniile lui X\displaystyle X cu coloanele lui B(0)\displaystyle B(0): prima linie dă a⋅2+b⋅1\displaystyle a\cdot 2+b\cdot 1 și a⋅1+b⋅0\displaystyle a\cdot 1+b\cdot 0, a doua linie dă c⋅2+d⋅1\displaystyle c\cdot 2+d\cdot 1 și c⋅1+d⋅0\displaystyle c\cdot 1+d\cdot 0.
    X⋅B(0)=(2a+ba2c+dc)\displaystyle X\cdot B(0)=\begin{pmatrix}2a+b & a\\ 2c+d & c\end{pmatrix}
  3. Egalăm produsul cu A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, element cu element. Două matrice sunt egale când au toate elementele corespunzătoare egale, deci obținem patru ecuații, care se separă în două sisteme: unul pentru a\displaystyle a și b\displaystyle b, altul pentru c\displaystyle c și d\displaystyle d.
    {2a+b=−1a=22c+d=2c=1\displaystyle \begin{cases}2a+b=-1\\ a=2\\ 2c+d=2\\ c=1\end{cases}
  4. Din a=2\displaystyle a=2 înlocuim în 2a+b=−1\displaystyle 2a+b=-1: 4+b=−1\displaystyle 4+b=-1, deci b=−5\displaystyle b=-5. Din c=1\displaystyle c=1 înlocuim în 2c+d=2\displaystyle 2c+d=2: 2+d=2\displaystyle 2+d=2, deci d=0\displaystyle d=0. Înlocuim valorile în X\displaystyle X și obținem matricea căutată.
    a=2\displaystyle a=2, b=−5\displaystyle \ b=-5, c=1\displaystyle \ c=1, d=0\displaystyle \ d=0, X=(2−510)\displaystyle \ X=\begin{pmatrix}2 & -5\\ 1 & 0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.