Bac matematică M4 pedagogic 2018, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} de rație 2\displaystyle 2 și care are suma primilor 10\displaystyle 10 termeni egală cu 150\displaystyle 150. Determinați a1\displaystyle a_1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sumei primilor n\displaystyle n termeni ai unei progresii aritmetice, Sn=(2a1+(n−1)r)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{\left(2a_1+(n-1)r\right)\cdot n}{2}, pentru n=10\displaystyle n=10.
    S10=(2a1+9r)⋅102\displaystyle S_{10}=\frac{(2a_1+9r)\cdot 10}{2}
  2. Înlocuim r=2\displaystyle r=2 și S10=150\displaystyle S_{10}=150: (2a1+9⋅2)⋅102=150\displaystyle \dfrac{(2a_1+9\cdot 2)\cdot 10}{2}=150.
    (2a1+18)⋅102=150\displaystyle \frac{(2a_1+18)\cdot 10}{2}=150
  3. Simplificăm 102=5\displaystyle \dfrac{10}{2}=5, deci 5(2a1+18)=150\displaystyle 5(2a_1+18)=150. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem ecuația:
    2a1+18=30\displaystyle 2a_1+18=30
  4. Scădem 18\displaystyle 18 din ambii membri: 2a1=12\displaystyle 2a_1=12. Împărțim la 2\displaystyle 2:
    a1=6\displaystyle a_1=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1. Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f și care are abscisa egală cu dublul ordonatei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm ordonata punctului cu a\displaystyle a. Abscisa este dublul ordonatei, deci punctul are coordonatele A(2a,a)\displaystyle A(2a,a).
    A(2a,a)\displaystyle A(2a,a)
  2. Punctul se află pe graficul funcției f\displaystyle f dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa lui, adică f(2a)=a\displaystyle f(2a)=a.
    A(2a,a)∈Gf⇔f(2a)=a\displaystyle A(2a,a)\in G_f \Leftrightarrow f(2a)=a
  3. Calculăm f(2a)=2a−1\displaystyle f(2a)=2a-1 și înlocuim în egalitate: 2a−1=a\displaystyle 2a-1=a.
    2a−1=a\displaystyle 2a-1=a
  4. Trecem termenii cu a\displaystyle a în același membru: 2a−a=1\displaystyle 2a-a=1, deci a=1\displaystyle a=1. Abscisa este 2a=2\displaystyle 2a=2, iar punctul este A(2,1)\displaystyle A(2,1).
    a=1, deci A(2,1)\displaystyle a=1\text{, deci }A(2,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+1x=2\displaystyle x+\frac{1}{x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Fracția 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} are sens doar pentru x≠0\displaystyle x\neq 0, deci căutăm soluțiile în R∖{0}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{0\}.
    x∈R∖{0}\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}
  2. Înmulțim ambii membri ai ecuației x+1x=2\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=2 cu x\displaystyle x: x⋅x+x⋅1x=2x\displaystyle x\cdot x+x\cdot\dfrac{1}{x}=2x, deci x2+1=2x\displaystyle x^{2}+1=2x.
    x2+1=2x\displaystyle x^{2}+1=2x
  3. Trecem totul în stânga: x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0. Recunoaștem formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, deci ecuația devine (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0.
    (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0
  4. Din (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0 rezultă x−1=0\displaystyle x-1=0, deci x=1\displaystyle x=1. Verificare: x=1≠0\displaystyle x=1\neq 0 și 1+11=2\displaystyle 1+\dfrac{1}{1}=2, deci soluția convine.
    x=1, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=1\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea H={0,1,2,3,4}\displaystyle H=\{0,1,2,3,4\}, acesta să verifice egalitatea 2n+5n=3n+4n\displaystyle 2^n+5^n=3^n+4^n.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea H={0,1,2,3,4}\displaystyle H=\{0,1,2,3,4\} are cinci elemente. Deci numărul cazurilor posibile este 5\displaystyle 5.
    nr. cazuri posibile=5\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=5
  2. Verificăm egalitatea pentru n=0\displaystyle n=0 și n=1\displaystyle n=1. Pentru n=0\displaystyle n=0 avem 20+50=1+1=2\displaystyle 2^0+5^0=1+1=2 și 30+40=1+1=2\displaystyle 3^0+4^0=1+1=2, deci egalitatea e adevărată. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem 2+5=7\displaystyle 2+5=7 și 3+4=7\displaystyle 3+4=7, deci egalitatea e adevărată.
    adeva˘rat pentru n∈{0,1}\displaystyle \text{adevărat pentru }n\in\{0,1\}
  3. Verificăm egalitatea pentru n=2\displaystyle n=2, n=3\displaystyle n=3 și n=4\displaystyle n=4. Pentru n=2\displaystyle n=2: 4+25=29\displaystyle 4+25=29, iar 9+16=25\displaystyle 9+16=25, deci nu e adevărată. Pentru n=3\displaystyle n=3: 8+125=133\displaystyle 8+125=133, iar 27+64=91\displaystyle 27+64=91, deci nu e adevărată. Pentru n=4\displaystyle n=4: 16+625=641\displaystyle 16+625=641, iar 81+256=337\displaystyle 81+256=337, deci nu e adevărată.
    fals pentru n∈{2,3,4}\displaystyle \text{fals pentru }n\in\{2,3,4\}
  4. Egalitatea este verificată doar de n=0\displaystyle n=0 și n=1\displaystyle n=1. Deci numărul cazurilor favorabile este 2\displaystyle 2.
    nr. cazuri favorabile=2\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=2
  5. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică p=25\displaystyle p=\dfrac{2}{5}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=25\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(−1,1)\displaystyle M(-1,1), N(2,1)\displaystyle N(2,1) și P(2,4)\displaystyle P(2,4). Determinați lungimea înălțimii din N\displaystyle N a triunghiului MNP\displaystyle MNP.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea laturii MN\displaystyle MN cu formula distanței: MN=(2−(−1))2+(1−1)2=9\displaystyle MN=\sqrt{(2-(-1))^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{9}.
    MN=3\displaystyle MN=3
  2. Calculăm lungimea laturii NP\displaystyle NP: NP=(2−2)2+(4−1)2=9\displaystyle NP=\sqrt{(2-2)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9}.
    NP=3\displaystyle NP=3
  3. Calculăm lungimea laturii MP\displaystyle MP: MP=(2−(−1))2+(4−1)2=9+9=18=32\displaystyle MP=\sqrt{(2-(-1))^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
    MN=3\displaystyle MN=3, NP=3\displaystyle \ NP=3, MP=32\displaystyle \ MP=3\sqrt{2}
  4. Avem MN=NP\displaystyle MN=NP, deci triunghiul este isoscel, și MN2+NP2=9+9=18=MP2\displaystyle MN^{2}+NP^{2}=9+9=18=MP^{2}, deci conform reciprocei teoremei lui Pitagora triunghiul este dreptunghic în N\displaystyle N. Ipotenuza este MP\displaystyle MP.
    △MNP dreptunghic isoscel, ∠N=90∘\displaystyle \triangle MNP\text{ dreptunghic isoscel, }\angle N=90^\circ
  5. Înălțimea din N\displaystyle N cade pe ipotenuza MP\displaystyle MP. Din aria triunghiului: MN⋅NP2=MP⋅h2\displaystyle \dfrac{MN\cdot NP}{2}=\dfrac{MP\cdot h}{2}, deci h=3⋅332=32=322\displaystyle h=\dfrac{3\cdot 3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
    h=322\displaystyle h=\frac{3\sqrt{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC cu ipotenuza BC=4\displaystyle BC=4, punctele D\displaystyle D și E\displaystyle E, mijloacele laturilor AB\displaystyle AB, respectiv BC\displaystyle BC. Știind că DE=1\displaystyle DE=1, calculați m(∢B)\displaystyle m(\sphericalangle B).
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deoarece ipotenuza este BC\displaystyle BC. Punctele D\displaystyle D și E\displaystyle E sunt mijloacele laturilor AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC, deci DE\displaystyle DE este linie mijlocie în triunghiul ABC\displaystyle ABC, paralelă cu AC\displaystyle AC.
    DE∥AC\displaystyle DE\parallel AC
  2. Linia mijlocie este jumătate din latura paralelă cu ea: DE=AC2\displaystyle DE=\dfrac{AC}{2}. Cum DE=1\displaystyle DE=1, obținem AC=2DE=2\displaystyle AC=2DE=2.
    AC=2DE=2\displaystyle AC=2DE=2
  3. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, sinusul unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: sin⁡B=ACBC=24\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2}{4}.
    sin⁡B=ACBC=24=12\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
  4. Unghiul B\displaystyle B este ascuțit, iar singurul unghi ascuțit cu sin⁡B=12\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{2} este cel de 30∘\displaystyle 30^\circ. Deci m(∢B)=30∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=30^\circ.
    sin⁡B=12, deci m(∢B)=30∘\displaystyle \sin B=\frac{1}{2}\text{, deci }m(\sphericalangle B)=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Calculați 1∗3\displaystyle 1*3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3: 1∗3=2⋅1⋅3−6⋅1−6⋅3+21\displaystyle 1*3=2\cdot 1\cdot 3-6\cdot 1-6\cdot 3+21.
    1∗3=2⋅1⋅3−6⋅1−6⋅3+21\displaystyle 1*3=2\cdot 1\cdot 3-6\cdot 1-6\cdot 3+21
  2. Efectuăm înmulțirile: 2⋅1⋅3=6\displaystyle 2\cdot 1\cdot 3=6, 6⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1=6, 6⋅3=18\displaystyle 6\cdot 3=18. Obținem o expresie cu numere.
    1∗3=6−6−18+21\displaystyle 1*3=6-6-18+21
  3. Calculăm: 6−6=0\displaystyle 6-6=0, apoi 0−18=−18\displaystyle 0-18=-18, iar −18+21=3\displaystyle -18+21=3.
    1∗3=3\displaystyle 1*3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Demonstrați că x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.
    x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21
  2. Descompunem termenul liber 21=18+3\displaystyle 21=18+3. Astfel, 18\displaystyle 18 va completa grupările pentru factor comun, iar 3\displaystyle 3 rămâne separat.
    x∗y=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+18+3
  3. Grupăm 2xy−6x\displaystyle 2xy-6x și −6y+18\displaystyle -6y+18. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2x în primul grup și −6\displaystyle -6 în al doilea: 2xy−6x=2x(y−3)\displaystyle 2xy-6x=2x(y-3) și −6y+18=−6(y−3)\displaystyle -6y+18=-6(y-3).
    x∗y=2x(y−3)−6(y−3)+3\displaystyle x*y=2x(y-3)-6(y-3)+3
  4. Dăm factor comun pe y−3\displaystyle y-3: 2x(y−3)−6(y−3)=(2x−6)(y−3)=2(x−3)(y−3)\displaystyle 2x(y-3)-6(y-3)=(2x-6)(y-3)=2(x-3)(y-3). Deci egalitatea cerută este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Dezvoltăm 2(x−3)(y−3)+3=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle 2(x-3)(y-3)+3=2xy-6x-6y+18+3, adică exact 2xy−6x−6y+21\displaystyle 2xy-6x-6y+21.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Observăm că (x∗y)−3=2(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=2(x-3)(y-3), apoi aplicăm forma factorizată pentru perechea x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z.
    (x∗y)∗z=2⋅2(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=2\cdot 2(x-3)(y-3)(z-3)+3
  3. Simplificăm: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, deci (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z are forma de mai jos.
    (x∗y)∗z=4(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=4(x-3)(y-3)(z-3)+3
  4. Calculăm x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Avem y∗z=2(y−3)(z−3)+3\displaystyle y*z=2(y-3)(z-3)+3, deci (y∗z)−3=2(y−3)(z−3)\displaystyle (y*z)-3=2(y-3)(z-3). Aplicăm forma factorizată pentru perechea x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z.
    x∗(y∗z)=2(x−3)⋅2(y−3)(z−3)+3\displaystyle x*(y*z)=2(x-3)\cdot 2(y-3)(z-3)+3
  5. Simplificăm și obținem aceeași expresie ca la (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}. Deci legea este asociativă.
    x∗(y∗z)=4(x−3)(y−3)(z−3)+3=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=4(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=21\displaystyle x*x=21.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub forma 2(x−3)(y−3)+3\displaystyle 2(x-3)(y-3)+3. Verificăm: 2(x−3)(y−3)=2xy−6x−6y+18\displaystyle 2(x-3)(y-3)=2xy-6x-6y+18, deci adăugând 3\displaystyle 3 obținem 2xy−6x−6y+21\displaystyle 2xy-6x-6y+21.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma obținută: x∗x=2(x−3)(x−3)+3=2(x−3)2+3\displaystyle x*x=2(x-3)(x-3)+3=2(x-3)^{2}+3.
    x∗x=2(x−3)2+3\displaystyle x*x=2(x-3)^{2}+3
  3. Impunem condiția x∗x=21\displaystyle x*x=21, adică 2(x−3)2+3=21\displaystyle 2(x-3)^{2}+3=21, și scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri.
    2(x−3)2+3=21⇔2(x−3)2=18\displaystyle 2(x-3)^{2}+3=21\Leftrightarrow 2(x-3)^{2}=18
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem (x−3)2=9\displaystyle (x-3)^{2}=9, deci x−3=3\displaystyle x-3=3 sau x−3=−3\displaystyle x-3=-3.
    (x−3)2=9⇔x−3=3 sau x−3=−3\displaystyle (x-3)^{2}=9\Leftrightarrow x-3=3\text{ sau }x-3=-3
  5. Rezolvăm cele două ecuații: x=6\displaystyle x=6 sau x=0\displaystyle x=0. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x=0 sau x=6\displaystyle x=0\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Calculați 1∗2∗3∗…∗2018\displaystyle \sqrt{1}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\ldots*\sqrt{2018}.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție sub o formă factorizată: x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3. Verificăm: 2(xy−3x−3y+9)+3=2xy−6x−6y+21\displaystyle 2(xy-3x-3y+9)+3=2xy-6x-6y+21.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∗3=2(x−3)(3−3)+3=3\displaystyle x*3=2(x-3)(3-3)+3=3. La fel, 3∗y=2(3−3)(y−3)+3=3\displaystyle 3*y=2(3-3)(y-3)+3=3 pentru orice y\displaystyle y real. Deci 3\displaystyle 3 este element absorbant.
    x∗3=3 și 3∗y=3, pentru x și y numere reale\displaystyle x*3=3\text{ și }3*y=3\text{, pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}
  3. Observăm că în șirul 1,2,…,2018\displaystyle \sqrt{1},\sqrt{2},\ldots,\sqrt{2018} apare 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3.
    9=3\displaystyle \sqrt{9}=3
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii cum dorim. Grupăm termenii dinaintea lui 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3 și termenii de după el: ((1∗…∗8)∗3)∗(10∗…∗2018)\displaystyle \left(\left(\sqrt{1}*\ldots*\sqrt{8}\right)*3\right)*\left(\sqrt{10}*\ldots*\sqrt{2018}\right).
    ((1∗2∗…∗8)∗3)∗(10∗11∗…∗2018)\displaystyle \left(\left(\sqrt{1}*\sqrt{2}*\ldots*\sqrt{8}\right)*3\right)*\left(\sqrt{10}*\sqrt{11}*\ldots*\sqrt{2018}\right)
  5. Folosim x∗3=3\displaystyle x*3=3 pentru paranteza din stânga: expresia devine 3∗(10∗…∗2018)\displaystyle 3*\left(\sqrt{10}*\ldots*\sqrt{2018}\right). Apoi folosim 3∗y=3\displaystyle 3*y=3 și obținem răspunsul final.
    1∗2∗3∗…∗2018=3∗(10∗11∗…∗2018)=3\displaystyle \sqrt{1}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\ldots*\sqrt{2018}=3*\left(\sqrt{10}*\sqrt{11}*\ldots*\sqrt{2018}\right)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x*y=2xy-6x-6y+21.

Dați exemplu de numere a,b∈Q∖Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} astfel încât a∗b=5\displaystyle a*b=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub formă factorizată. Desfacem parantezele: 2(x−3)(y−3)+3=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle 2(x-3)(y-3)+3=2xy-6x-6y+18+3, adică este egal cu 2xy−6x−6y+21\displaystyle 2xy-6x-6y+21.
    x∗y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Punem condiția a∗b=5\displaystyle a*b=5 și folosim forma factorizată: 2(a−3)(b−3)+3=5\displaystyle 2(a-3)(b-3)+3=5. Scădem 3 din ambii membri și obținem 2(a−3)(b−3)=2\displaystyle 2(a-3)(b-3)=2, apoi împărțim la 2.
    2(a−3)(b−3)+3=5⇒(a−3)(b−3)=1\displaystyle 2(a-3)(b-3)+3=5\Rightarrow (a-3)(b-3)=1
  3. Căutăm două numere raționale cu produsul 1, care să dea a și b neîntregi. Alegem numere inverse unul altuia: a−3=23\displaystyle a-3=\dfrac{2}{3} și b−3=32\displaystyle b-3=\dfrac{3}{2}. Produsul lor este 23⋅32=1\displaystyle \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=1.
    a−3=23\displaystyle a-3=\dfrac{2}{3},b−3=32\displaystyle \quad b-3=\dfrac{3}{2}
  4. Aflăm a\displaystyle a și b\displaystyle b adunând 3: a=3+23=113\displaystyle a=3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3} și b=3+32=92\displaystyle b=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}. Ambele sunt raționale neîntregi, deci a,b∈Q∖Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}, și a∗b=2⋅1+3=5\displaystyle a*b=2\cdot 1+3=5.
    a=113 și b=92\displaystyle a=\dfrac{11}{3}\text{ și }b=\dfrac{9}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră Z10={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^,8^,9^}\displaystyle \mathbb{Z}_{10}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{9}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 10\displaystyle 10.

Calculați 1^+3^+5^+7^+9^\displaystyle \hat{1}+\hat{3}+\hat{5}+\hat{7}+\hat{9} în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10} avem 1^+9^=10^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{9}=\hat{10}=\hat{0} și 3^+7^=10^=0^\displaystyle \hat{3}+\hat{7}=\hat{10}=\hat{0}. Grupăm termenii în perechi convenabile, iar 5^\displaystyle \hat{5} rămâne singur.
    (1^+9^)+(3^+7^)+5^\displaystyle (\hat{1}+\hat{9})+(\hat{3}+\hat{7})+\hat{5}
  2. Înlocuim fiecare sumă dintre paranteze cu 0^\displaystyle \hat{0}, deoarece 10^=0^\displaystyle \hat{10}=\hat{0} în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}.
    1^+3^+5^+7^+9^=0^+0^+5^\displaystyle \hat{1}+\hat{3}+\hat{5}+\hat{7}+\hat{9}=\hat{0}+\hat{0}+\hat{5}
  3. Clasa 0^\displaystyle \hat{0} este element neutru la adunare, deci suma este 5^\displaystyle \hat{5}. Acesta este răspunsul final.
    5^\displaystyle \hat{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră Z10={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^,8^,9^}\displaystyle \mathbb{Z}_{10}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{9}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 10\displaystyle 10.

Calculați 2^⋅8^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{8} în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}.
Vezi rezolvarea
  1. În Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10} înmulțirea claselor se face înmulțind reprezentanții, apoi se ia restul împărțirii la 10\displaystyle 10. Deci mai întâi calculăm produsul numerelor 2\displaystyle 2 și 8\displaystyle 8.
    2⋅8=16\displaystyle 2\cdot 8=16
  2. Împărțim 16\displaystyle 16 la 10\displaystyle 10: 16=1⋅10+6\displaystyle 16=1\cdot 10+6, deci restul este 6\displaystyle 6.
    16=1⋅10+6\displaystyle 16=1\cdot 10+6
  3. Clasa produsului este clasa restului, adică clasa lui 6\displaystyle 6. Răspuns final: 2^⋅8^=6^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{8}=\hat{6}.
    2^⋅8^=16^=6^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{8}=\hat{16}=\hat{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră Z10={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^,8^,9^}\displaystyle \mathbb{Z}_{10}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{9}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 10\displaystyle 10.

Rezolvați în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10} ecuația 3^⋅x+2^=7^\displaystyle \hat{3}\cdot x+\hat{2}=\hat{7}.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem 2^\displaystyle \hat{2} din ambii membri ai ecuației. Deoarece 7^−2^=5^\displaystyle \hat{7}-\hat{2}=\hat{5}, ecuația devine 3^⋅x=5^\displaystyle \hat{3}\cdot x=\hat{5}.
    3^⋅x=5^\displaystyle \hat{3}\cdot x=\hat{5}
  2. Clasa 3^\displaystyle \hat{3} este inversabilă în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}, deoarece 3\displaystyle 3 și 10\displaystyle 10 sunt prime între ele. Putem înmulți ecuația cu inversul lui 3^\displaystyle \hat{3}, deci x=3^−1⋅5^\displaystyle x=\hat{3}^{-1}\cdot\hat{5}.
    3^⋅x=5^⇔x=3^−1⋅5^\displaystyle \hat{3}\cdot x=\hat{5}\Leftrightarrow x=\hat{3}^{-1}\cdot\hat{5}
  3. Aflăm inversul lui 3^\displaystyle \hat{3}. Cum 3⋅7=21=2⋅10+1\displaystyle 3\cdot 7=21=2\cdot 10+1, avem 3^⋅7^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{7}=\hat{1}, deci inversul lui 3^\displaystyle \hat{3} este 7^\displaystyle \hat{7}.
    3^−1=7^\displaystyle \hat{3}^{-1}=\hat{7}
  4. Înlocuim inversul și calculăm: 7⋅5=35=3⋅10+5\displaystyle 7\cdot 5=35=3\cdot 10+5, deci 7^⋅5^=5^\displaystyle \hat{7}\cdot\hat{5}=\hat{5}. Soluția ecuației este x=5^\displaystyle x=\hat{5}.
    x=7^⋅5^⇒x=5^\displaystyle x=\hat{7}\cdot\hat{5}\Rightarrow x=\hat{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră Z10={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^,8^,9^}\displaystyle \mathbb{Z}_{10}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{9}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 10\displaystyle 10.

Determinați simetricul elementului 4^\displaystyle \hat{4} în raport cu operația de adunare în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Simetricul lui 4^\displaystyle \hat{4} față de adunare este o clasă x^∈Z10\displaystyle \hat{x}\in\mathbb{Z}_{10} cu proprietatea că suma lor este elementul neutru 0^\displaystyle \hat{0}, adică 4^+x^=0^\displaystyle \hat{4}+\hat{x}=\hat{0} (și x^+4^=0^\displaystyle \hat{x}+\hat{4}=\hat{0}, adunarea fiind comutativă).
    4^+x^=0^\displaystyle \hat{4}+\hat{x}=\hat{0}
  2. Egalitatea înseamnă că 4+x\displaystyle 4+x este multiplu de 10\displaystyle 10. Cel mai mic număr natural x\displaystyle x cu această proprietate este 6\displaystyle 6, deoarece 4+6=10\displaystyle 4+6=10, iar 10\displaystyle 10 se împarte exact la 10\displaystyle 10, deci are restul 0\displaystyle 0.
    4+6=10≡0(mod10)\displaystyle 4+6=10\equiv 0 \pmod{10}
  3. Deci suma claselor 4^\displaystyle \hat{4} și 6^\displaystyle \hat{6} este 0^\displaystyle \hat{0}.
    4^+6^=0^\displaystyle \hat{4}+\hat{6}=\hat{0}
  4. Adunarea în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10} este comutativă, deci și 6^+4^=0^\displaystyle \hat{6}+\hat{4}=\hat{0}. Prin urmare 6^\displaystyle \hat{6} este simetricul lui 4^\displaystyle \hat{4} în raport cu adunarea în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}.
    6^+4^=0^⇒6^ este simetricul \displaystyle \hat{6}+\hat{4}=\hat{0}\Rightarrow\hat{6}\text{ este simetricul }elementului 4^ ıˆn raport cu adunarea ıˆn Z10\displaystyle \text{elementului }\hat{4}\text{ în raport cu adunarea în }\mathbb{Z}_{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră Z10={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^,8^,9^}\displaystyle \mathbb{Z}_{10}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{9}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 10\displaystyle 10.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu operația de înmulțire în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Clasa a^\displaystyle \hat{a} este simetrizabilă față de înmulțire dacă există b^∈Z10\displaystyle \hat{b}\in\mathbb{Z}_{10} cu a^⋅b^=1^\displaystyle \hat{a}\cdot\hat{b}=\hat{1}. Aceasta se întâmplă exact când a\displaystyle a este prim cu 10\displaystyle 10, adică (a,10)=1\displaystyle (a,10)=1.
    a^ este simetrizabil ıˆn Z10⇔(a,10)=1\displaystyle \hat{a}\text{ este simetrizabil în }\mathbb{Z}_{10}\Leftrightarrow (a,10)=1
  2. Verificăm numerele a∈{0,1,…,9}\displaystyle a\in\{0,1,\dots,9\}. Numerele pare, adică 0,2,4,6,8\displaystyle 0,2,4,6,8, au cu 10\displaystyle 10 divizorul comun cel puțin 2\displaystyle 2. Numărul 5\displaystyle 5 are cu 10\displaystyle 10 divizorul comun 5\displaystyle 5. Deci aceste clase nu sunt simetrizabile.
    (0,10)=10\displaystyle (0,10)=10, (2,10)=2\displaystyle \ (2,10)=2, (4,10)=2\displaystyle \ (4,10)=2, (5,10)=5\displaystyle \ (5,10)=5, (6,10)=2\displaystyle \ (6,10)=2, (8,10)=2\displaystyle \ (8,10)=2
  3. Numerele rămase, 1,3,7,9\displaystyle 1,3,7,9, sunt prime cu 10\displaystyle 10, deci clasele lor sunt simetrizabile. Verificare: 3^⋅7^=21^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{7}=\hat{21}=\hat{1} și 9^⋅9^=81^=1^\displaystyle \hat{9}\cdot\hat{9}=\hat{81}=\hat{1}, iar 1^⋅1^=1^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{1}=\hat{1}.
    1^⋅1^=1^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{1}=\hat{1}, 3^⋅7^=1^\displaystyle \ \hat{3}\cdot\hat{7}=\hat{1}, 9^⋅9^=1^\displaystyle \ \hat{9}\cdot\hat{9}=\hat{1}
  4. Elementele simetrizabile în raport cu înmulțirea în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10} sunt 1^,3^,7^\displaystyle \hat{1},\hat{3},\hat{7} și 9^\displaystyle \hat{9}.
    1^\displaystyle \hat{1}, 3^\displaystyle \ \hat{3}, 7^ și 9^\displaystyle \ \hat{7}\text{ și }\hat{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră Z10={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^,8^,9^}\displaystyle \mathbb{Z}_{10}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7},\hat{8},\hat{9}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 10\displaystyle 10.

Determinați mulțimea M={x∈Z10∣x2+3^=0^}\displaystyle M=\{x\in\mathbb{Z}_{10}\mid x^2+\hat{3}=\hat{0}\}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2+3^=0^\displaystyle x^2+\hat{3}=\hat{0} din Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10} este echivalentă cu x2=−3^\displaystyle x^2=-\hat{3}, adică x2=7^\displaystyle x^2=\hat{7}, deoarece −3\displaystyle -3 și 7\displaystyle 7 dau același rest la împărțirea la 10\displaystyle 10.
    x2=7^\displaystyle x^2=\hat{7}
  2. Calculăm pătratele tuturor claselor din Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}: 0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}, 3^2=9^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{9}, 4^2=16^=6^\displaystyle \hat{4}^2=\hat{16}=\hat{6}, 5^2=25^=5^\displaystyle \hat{5}^2=\hat{25}=\hat{5}, 6^2=36^=6^\displaystyle \hat{6}^2=\hat{36}=\hat{6}, 7^2=49^=9^\displaystyle \hat{7}^2=\hat{49}=\hat{9}, 8^2=64^=4^\displaystyle \hat{8}^2=\hat{64}=\hat{4}, 9^2=81^=1^\displaystyle \hat{9}^2=\hat{81}=\hat{1}.
    x2∈{0^,1^,4^,5^,6^,9^} pentru orice x∈Z10\displaystyle x^2\in\{\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{9}\}\text{ pentru orice }x\in\mathbb{Z}_{10}
  3. Comparăm: 7^\displaystyle \hat{7} nu apare printre valorile posibile ale pătratelor, deci ecuația x2=7^\displaystyle x^2=\hat{7} nu are soluții în Z10\displaystyle \mathbb{Z}_{10}. Rezultă că mulțimea M\displaystyle M este vidă.
    x2=7^ și, cum 7^∉{0^,1^,4^,5^,6^,9^}, obținem M=∅\displaystyle x^2=\hat{7}\text{ și, cum }\hat{7}\notin\{\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{9}\}\text{, obținem }M=\varnothing
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.