Bac matematică M4 pedagogic 2025, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 5(25+10)−2−52=8\displaystyle \sqrt{5}\left(2\sqrt{5}+\sqrt{10}\right)-2-5\sqrt{2}=8.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim 5\displaystyle \sqrt{5} în paranteză: 5⋅25+5⋅10\displaystyle \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}.
    5(25+10)=25⋅5+5⋅10\displaystyle \sqrt{5}\left(2\sqrt{5}+\sqrt{10}\right)=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}
  2. Calculăm produsele: 5⋅5=5\displaystyle \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5, deci 25⋅5=2⋅5=10\displaystyle 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 5=10, iar 5⋅10=50\displaystyle \sqrt{5}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{50}.
    2⋅5+50−2−52\displaystyle 2\cdot 5+\sqrt{50}-2-5\sqrt{2}
  3. Scoatem factorul de sub radical: 50=25⋅2=52\displaystyle \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}. Expresia devine 10+52−2−52\displaystyle 10+5\sqrt{2}-2-5\sqrt{2}.
    10+52−2−52\displaystyle 10+5\sqrt{2}-2-5\sqrt{2}
  4. Reducem termenii asemenea: 52−52=0\displaystyle 5\sqrt{2}-5\sqrt{2}=0, rămâne 10−2=8\displaystyle 10-2=8. Egalitatea este demonstrată.
    10−2=8\displaystyle 10-2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−1\displaystyle f(x)=3x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+7\displaystyle g(x)=x+7. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție al graficelor are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci egalăm expresiile celor două funcții: f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x), adică 3x−1=x+7\displaystyle 3x-1=x+7.
    3x−1=x+7\displaystyle 3x-1=x+7
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 3x−x=7+1\displaystyle 3x-x=7+1.
    3x−x=7+1\displaystyle 3x-x=7+1
  3. Reducem termenii asemenea: 2x=8\displaystyle 2x=8, apoi împărțim la 2\displaystyle 2. Abscisa punctului de intersecție este x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x⋅133=9x\displaystyle 3^{3x}\cdot\dfrac{1}{3^3}=9^x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim 133=3−3\displaystyle \dfrac{1}{3^{3}}=3^{-3} și regula am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Membrul stâng devine 33x⋅3−3=33x−3\displaystyle 3^{3x}\cdot 3^{-3}=3^{3x-3}.
    33x⋅133=33x−3\displaystyle 3^{3x}\cdot\dfrac{1}{3^{3}}=3^{3x-3}
  2. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci 9x=(32)x=32x\displaystyle 9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=3^{2x}. Ecuația devine 33x−3=32x\displaystyle 3^{3x-3}=3^{2x}.
    33x−3=32x\displaystyle 3^{3x-3}=3^{2x}
  3. Deoarece baza 3\displaystyle 3 este aceeași și 3≠1\displaystyle 3\neq 1, egalăm exponenții: 3x−3=2x\displaystyle 3x-3=2x.
    3x−3=2x\displaystyle 3x-3=2x
  4. Din 3x−2x=3\displaystyle 3x-2x=3 obținem x=3\displaystyle x=3. Este număr real, deci este soluția ecuației.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu 70%\displaystyle 70\% din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă 10%\displaystyle 10\% din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de 900\displaystyle 900 de lei.
Vezi rezolvarea
  1. Toate produsele se vând cu 70%\displaystyle 70\% din prețul afișat la raft. Calculăm 70%\displaystyle 70\% din 900\displaystyle 900 de lei, adică noul preț după prima reducere.
    70100⋅900=630 de lei\displaystyle \dfrac{70}{100}\cdot 900=630\text{ de lei}
  2. Produsele electronice sunt ieftinite cu încă 10%\displaystyle 10\% din noul preț, deci calculăm 10%\displaystyle 10\% din 630\displaystyle 630 de lei.
    10100⋅630=63 de lei\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 630=63\text{ de lei}
  3. Scădem această reducere din noul preț și obținem prețul de vânzare în cadrul campaniei: 630−63\displaystyle 630-63.
    630−10100⋅630=630−63=567 de lei\displaystyle 630-\dfrac{10}{100}\cdot 630=630-63=567\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,5)\displaystyle A(1,5), B(5,3)\displaystyle B(5,3), C(8,4)\displaystyle C(8,4) și D\displaystyle D, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Arătați că triunghiul ODC\displaystyle ODC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Mijlocul segmentului AB\displaystyle AB are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Calculăm abscisa lui D\displaystyle D: xD=1+52=3\displaystyle x_D=\dfrac{1+5}{2}=3.
    xD=1+52=3\displaystyle x_D=\dfrac{1+5}{2}=3
  2. Calculăm ordonata lui D\displaystyle D: yD=5+32=4\displaystyle y_D=\dfrac{5+3}{2}=4. Deci D\displaystyle D are coordonatele (3,4)\displaystyle (3,4).
    D(3,4)\displaystyle D(3,4)
  3. Pentru a arăta că triunghiul ODC\displaystyle ODC este isoscel, comparăm două laturi cu formula distanței dintre două puncte. Mai întâi calculăm OD\displaystyle OD, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și D(3,4)\displaystyle D(3,4).
    OD=32+42=25=5\displaystyle OD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5
  4. Calculăm DC\displaystyle DC, cu D(3,4)\displaystyle D(3,4) și C(8,4)\displaystyle C(8,4). Punctele au aceeași ordonată, deci distanța este diferența absciselor: DC=(8−3)2+(4−4)2=25=5\displaystyle DC=\sqrt{(8-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{25}=5.
    DC=(8−3)2+(4−4)2=5\displaystyle DC=\sqrt{(8-3)^2+(4-4)^2}=5
  5. Cum OD=DC=5\displaystyle OD=DC=5, triunghiul ODC\displaystyle ODC are două laturi congruente, deci este isoscel.
    OD=DC=5, deci triunghiul ODC este isoscel\displaystyle OD=DC=5\text{, deci triunghiul }ODC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=4\displaystyle AB=4 și sin⁡B=13\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{3}. Arătați că AC=2\displaystyle AC=\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, sinusul unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta opusă, AC\displaystyle AC, și ipotenuza BC\displaystyle BC: sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}
  2. Din sin⁡B=13\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{3} obținem ACBC=13\displaystyle \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{3}, deci, prin înmulțire în cruce, BC=3AC\displaystyle BC=3AC.
    ACBC=13\displaystyle \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{3}, deci BC=3AC\displaystyle \text{ deci }BC=3AC
  3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A: AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^2+AC^2=BC^2.
    AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^2+AC^2=BC^2
  4. Înlocuim AB=4\displaystyle AB=4 și BC=3AC\displaystyle BC=3AC, apoi ridicăm la pătrat: 42+AC2=(3AC)2=9AC2\displaystyle 4^2+AC^2=(3AC)^2=9AC^2.
    42+AC2=9AC2\displaystyle 4^2+AC^2=9AC^2
  5. Trecem termenii cu AC2\displaystyle AC^2 în același membru: 16=8AC2\displaystyle 16=8AC^2, deci AC2=2\displaystyle AC^2=2. Cum AC>0\displaystyle AC>0 este o lungime, rezultă AC=2\displaystyle AC=\sqrt{2}.
    42+AC2=9AC2\displaystyle 4^2+AC^2=9AC^2, deci AC2=2\displaystyle \text{ deci }AC^2=2, de unde AC=2\displaystyle \text{ de unde }AC=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.

Arătați că 2∘3=5\displaystyle 2\circ 3=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.
    x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3 în definiția legii.
    2∘3=2+3−2⋅36+1\displaystyle 2\circ 3=2+3-\dfrac{2\cdot 3}{6}+1
  3. Calculăm suma 2+3=5\displaystyle 2+3=5 și fracția 2⋅36=66=1\displaystyle \dfrac{2\cdot 3}{6}=\dfrac{6}{6}=1.
    2∘3=5−1+1\displaystyle 2\circ 3=5-1+1
  4. Efectuăm calculul: 5−1+1=5\displaystyle 5-1+1=5, deci 2∘3=5\displaystyle 2\circ 3=5, ceea ce trebuia arătat.
    2∘3=5\displaystyle 2\circ 3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.

Arătați că x∘y=7−16(x−6)(y−6)\displaystyle x\circ y=7-\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1 și scriem 1=7−6\displaystyle 1=7-6, ca să apară termenul y−6\displaystyle y-6.
    x∘y=x−xy6+y−6+7\displaystyle x\circ y=x-\dfrac{xy}{6}+y-6+7
  2. Din termenii x−xy6\displaystyle x-\dfrac{xy}{6} dăm factor comun −x6\displaystyle -\dfrac{x}{6}: avem −x6(y−6)=−xy6+x\displaystyle -\dfrac{x}{6}(y-6)=-\dfrac{xy}{6}+x. Iar y−6\displaystyle y-6 rămâne ca atare.
    x∘y=−x6(y−6)+(y−6)+7\displaystyle x\circ y=-\dfrac{x}{6}(y-6)+(y-6)+7
  3. Dăm factor comun y−6\displaystyle y-6 între primii doi termeni.
    x∘y=(y−6)(−x6+1)+7\displaystyle x\circ y=(y-6)\left(-\dfrac{x}{6}+1\right)+7
  4. Scriem −x6+1=−16(x−6)\displaystyle -\dfrac{x}{6}+1=-\dfrac{1}{6}(x-6). Astfel obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=7−16(x−6)(y−6)\displaystyle x\circ y=7-\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘4=4\displaystyle x\circ 4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=4\displaystyle y=4 în definiția x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.
    x∘4=x+4−4x6+1\displaystyle x\circ 4=x+4-\dfrac{4x}{6}+1
  2. Simplificăm 4x6=2x3\displaystyle \dfrac{4x}{6}=\dfrac{2x}{3} și grupăm termenii: x−2x3=x3\displaystyle x-\dfrac{2x}{3}=\dfrac{x}{3}, iar 4+1=5\displaystyle 4+1=5.
    x∘4=x3+5\displaystyle x\circ 4=\dfrac{x}{3}+5
  3. Din x∘4=4\displaystyle x\circ 4=4 obținem ecuația x3+5=4\displaystyle \dfrac{x}{3}+5=4.
    x3+5=4\displaystyle \dfrac{x}{3}+5=4
  4. Scădem 5 din ambii membri: x3=−1\displaystyle \dfrac{x}{3}=-1. Înmulțim cu 3 și obținem x=−3\displaystyle x=-3.
    x=−3\displaystyle x=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care m∘n=16\displaystyle m\circ n=\dfrac{1}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul (x−6)(y−6)=xy−6x−6y+36\displaystyle (x-6)(y-6)=xy-6x-6y+36. Atunci −16(x−6)(y−6)=−xy6+x+y−6\displaystyle -\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6)=-\dfrac{xy}{6}+x+y-6.
    −16(x−6)(y−6)=x+y−xy6−6\displaystyle -\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6)=x+y-\dfrac{xy}{6}-6
  2. Deoarece x+y−xy6+1=(x+y−xy6−6)+7\displaystyle x+y-\dfrac{xy}{6}+1=\left(x+y-\dfrac{xy}{6}-6\right)+7, legea se scrie sub forma cu produs.
    x∘y=7−16(x−6)(y−6)\displaystyle x\circ y=7-\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6)
  3. Din m∘n=16\displaystyle m\circ n=\dfrac{1}{6} rezultă 7−16(m−6)(n−6)=16\displaystyle 7-\dfrac{1}{6}(m-6)(n-6)=\dfrac{1}{6}. Înmulțim cu 6: 42−(m−6)(n−6)=1\displaystyle 42-(m-6)(n-6)=1.
    (m−6)(n−6)=41\displaystyle (m-6)(n-6)=41
  4. Cum 41\displaystyle 41 este prim, avem 41=1⋅41=(−41)⋅(−1)\displaystyle 41=1\cdot 41=(-41)\cdot(-1) și ordinile inverse. Din m<n\displaystyle m<n rezultă m−6<n−6\displaystyle m-6<n-6, deci rămân doar cazurile m−6=1, n−6=41\displaystyle m-6=1,\ n-6=41 și m−6=−41, n−6=−1\displaystyle m-6=-41,\ n-6=-1.
    {m−6=1n−6=41 sau {m−6=−41n−6=−1\displaystyle \begin{cases}m-6=1\\ n-6=41\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}m-6=-41\\ n-6=-1\end{cases}
  5. În primul caz m=7\displaystyle m=7, n=47\displaystyle n=47. În al doilea caz m=−35\displaystyle m=-35, n=5\displaystyle n=5. În ambele cazuri m<n\displaystyle m<n și produsul (m−6)(n−6)\displaystyle (m-6)(n-6) este 41\displaystyle 41.
    (−35,5) și (7,47)\displaystyle (-35,5)\text{ și }(7,47)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (0∘x)∘(x+1)=1\displaystyle (0\circ x)\circ(x+1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 0∘x\displaystyle 0\circ x, înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: 0∘x=0+x−0⋅x6+1\displaystyle 0\circ x=0+x-\dfrac{0\cdot x}{6}+1. Termenul cu produs dispare, deoarece produsul cu 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0.
    0∘x=x+1\displaystyle 0\circ x=x+1
  2. Expresia din enunț devine (x+1)∘(x+1)\displaystyle (x+1)\circ(x+1). Aplicăm definiția legii cu ambii termeni egali cu x+1\displaystyle x+1.
    (x+1)∘(x+1)=2(x+1)−(x+1)26+1\displaystyle (x+1)\circ(x+1)=2(x+1)-\dfrac{(x+1)^{2}}{6}+1
  3. Aducem expresia la forma din barem. Desfacem parantezele și aducem la numitor comun 6\displaystyle 6: 2x+3−x2+2x+16=−x2+10x+176\displaystyle 2x+3-\dfrac{x^{2}+2x+1}{6}=\dfrac{-x^{2}+10x+17}{6}. Acesta este egal cu 7−16(x−5)2\displaystyle 7-\dfrac{1}{6}(x-5)^{2}, pentru că (x−5)2=x2−10x+25\displaystyle (x-5)^{2}=x^{2}-10x+25 și 42−25=17\displaystyle 42-25=17.
    (0∘x)∘(x+1)=−x2+10x+176=7−16(x−5)2\displaystyle (0\circ x)\circ(x+1)=\dfrac{-x^{2}+10x+17}{6}=7-\dfrac{1}{6}(x-5)^{2}
  4. Punem condiția din enunț: 7−16(x−5)2=1\displaystyle 7-\dfrac{1}{6}(x-5)^{2}=1. Izolăm termenul cu pătrat: 16(x−5)2=6\displaystyle \dfrac{1}{6}(x-5)^{2}=6. Înmulțim cu 6\displaystyle 6.
    (x−5)2=36\displaystyle (x-5)^{2}=36
  5. Extragem rădăcina pătrată: x−5=6\displaystyle x-5=6 sau x−5=−6\displaystyle x-5=-6. Rezultă x=11\displaystyle x=11 sau x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1 sau x=11\displaystyle x=-1\text{ sau }x=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−xy6+1\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1.

Determinați tripletele (a,b,c)\displaystyle (a,b,c) de numere reale, știind că numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația 6\displaystyle 6 și b∘c=−5\displaystyle b\circ c=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația 6\displaystyle 6, deci c=b+6\displaystyle c=b+6 și a=b−6\displaystyle a=b-6. Este suficient să-l aflăm pe b\displaystyle b.
    c=b+6\displaystyle c=b+6, a=b−6\displaystyle \ a=b-6
  2. Scriem legea de compoziție sub formă cu produs: x∘y=x+y−xy6+1=7−16(x−6)(y−6)\displaystyle x\circ y=x+y-\dfrac{xy}{6}+1=7-\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6). Verificare: −16(xy−6x−6y+36)+7=−xy6+x+y−6+7\displaystyle -\dfrac{1}{6}(xy-6x-6y+36)+7=-\dfrac{xy}{6}+x+y-6+7.
    x∘y=7−16(x−6)(y−6)\displaystyle x\circ y=7-\dfrac{1}{6}(x-6)(y-6)
  3. Folosim condiția b∘c=−5\displaystyle b\circ c=-5 în forma cu produs: 7−16(b−6)(c−6)=−5\displaystyle 7-\dfrac{1}{6}(b-6)(c-6)=-5.
    7−16(b−6)(c−6)=−5\displaystyle 7-\dfrac{1}{6}(b-6)(c-6)=-5
  4. Eliminăm fracția: (b−6)(c−6)6=12\displaystyle \dfrac{(b-6)(c-6)}{6}=12, deci (b−6)(c−6)=72\displaystyle (b-6)(c-6)=72. Înlocuim c=b+6\displaystyle c=b+6, deci c−6=b\displaystyle c-6=b, și obținem (b−6)b=72\displaystyle (b-6)b=72, adică b2−6b−72=0\displaystyle b^2-6b-72=0.
    b2−6b−72=0\displaystyle b^2-6b-72=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=36+288=324=182\displaystyle \Delta=36+288=324=18^2, deci b=6±182\displaystyle b=\dfrac{6\pm 18}{2}, adică b=12\displaystyle b=12 sau b=−6\displaystyle b=-6.
    b=−6 sau b=12\displaystyle b=-6\text{ sau }b=12
  6. Pentru b=−6\displaystyle b=-6 avem a=−12\displaystyle a=-12 și c=0\displaystyle c=0. Pentru b=12\displaystyle b=12 avem a=6\displaystyle a=6 și c=18\displaystyle c=18. Ambele triplete verifică condițiile din enunț.
    (a,b,c)=(−12,−6,0) sau (a,b,c)=(6,12,18)\displaystyle (a,b,c)=(-12,-6,0)\text{ sau }(a,b,c)=(6,12,18)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} și B(x)=(2x3x+11−x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(1))=2\displaystyle \det(B(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea B(x)\displaystyle B(x): 2x\displaystyle 2x devine 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, 3x+1\displaystyle 3x+1 devine 3⋅1+1=4\displaystyle 3\cdot 1+1=4, 1−x\displaystyle 1-x devine 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar ultimul element rămâne 1\displaystyle 1.
    B(1)=(2401)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2&4\\0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2⋅1−4⋅0\displaystyle 2\cdot 1-4\cdot 0.
    det⁡(B(1))=∣2401∣=2⋅1−4⋅0\displaystyle \det(B(1))=\begin{vmatrix}2&4\\0&1\end{vmatrix}=2\cdot 1-4\cdot 0
  3. Efectuăm calculele: 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, iar 4⋅0=0\displaystyle 4\cdot 0=0, deci determinantul este 2−0=2\displaystyle 2-0=2, ceea ce trebuia arătat.
    2−0=2\displaystyle 2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} și B(x)=(2x3x+11−x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(1)⋅B(2)−B(2)=11A\displaystyle B(1)\cdot B(2)-B(2)=11A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm B(1)\displaystyle B(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în B(x)\displaystyle B(x): 2x=2\displaystyle 2x=2, 3x+1=4\displaystyle 3x+1=4, 1−x=0\displaystyle 1-x=0.
    B(1)=(2401)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2&4\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm B(2)\displaystyle B(2) înlocuind x=2\displaystyle x=2: 2x=4\displaystyle 2x=4, 3x+1=7\displaystyle 3x+1=7, 1−x=−1\displaystyle 1-x=-1.
    B(2)=(47−11)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}4&7\\-1&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B(1)⋅B(2)\displaystyle B(1)\cdot B(2), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: 2⋅4+4⋅(−1)=4\displaystyle 2\cdot 4+4\cdot(-1)=4 și 2⋅7+4⋅1=18\displaystyle 2\cdot 7+4\cdot 1=18. A doua linie: 0⋅4+1⋅(−1)=−1\displaystyle 0\cdot 4+1\cdot(-1)=-1 și 0⋅7+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot 7+1\cdot 1=1.
    B(1)⋅B(2)=(418−11)\displaystyle B(1)\cdot B(2)=\begin{pmatrix}4&18\\-1&1\end{pmatrix}
  4. Scădem B(2)\displaystyle B(2) din produs, element cu element: 4−4=0\displaystyle 4-4=0, 18−7=11\displaystyle 18-7=11, −1−(−1)=0\displaystyle -1-(-1)=0, 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    B(1)⋅B(2)−B(2)=(4−418−7−1−(−1)1−1)=(01100)\displaystyle B(1)\cdot B(2)-B(2)=\begin{pmatrix}4-4&18-7\\-1-(-1)&1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&11\\0&0\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 11\displaystyle 11 în fața matricei și recunoaștem matricea A\displaystyle A. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    (01100)=11(0100)=11A\displaystyle \begin{pmatrix}0&11\\0&0\end{pmatrix}=11\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=11A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} și B(x)=(2x3x+11−x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(B(−1)+aA)=0\displaystyle \det(B(-1)+aA)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B(−1)\displaystyle B(-1), înlocuind x=−1\displaystyle x=-1 în B(x)\displaystyle B(x): 2x=−2\displaystyle 2x=-2, 3x+1=−2\displaystyle 3x+1=-2, 1−x=2\displaystyle 1-x=2.
    B(−1)=(−2−221)\displaystyle B(-1)=\begin{pmatrix}-2&-2\\2&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm aA\displaystyle aA: înmulțim fiecare element al matricei A\displaystyle A cu a\displaystyle a, deci apare a\displaystyle a doar pe poziția din dreapta sus.
    aA=(0a00)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}0&a\\0&0\end{pmatrix}
  3. Adunăm element cu element matricele B(−1)\displaystyle B(-1) și aA\displaystyle aA. Singurul element care se modifică este cel din dreapta sus: −2+a\displaystyle -2+a.
    B(−1)+aA=(−2−2+a21)\displaystyle B(-1)+aA=\begin{pmatrix}-2&-2+a\\2&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Deschidem parantezele și reducem termenii: (−2)⋅1−2(−2+a)=−2+4−2a\displaystyle (-2)\cdot 1-2(-2+a)=-2+4-2a.
    det⁡(B(−1)+aA)=(−2)⋅1−2⋅(−2+a)=2−2a\displaystyle \det(B(-1)+aA)=(-2)\cdot 1-2\cdot(-2+a)=2-2a
  5. Punem condiția det⁡(B(−1)+aA)=0\displaystyle \det(B(-1)+aA)=0 și rezolvăm ecuația de gradul întâi: 2−2a=0\displaystyle 2-2a=0, deci 2a=2\displaystyle 2a=2, adică a=1\displaystyle a=1.
    2−2a=0⇒a=1\displaystyle 2-2a=0\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} și B(x)=(2x3x+11−x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(−x)+2B(x)=3B(x3)\displaystyle B(-x)+2B(x)=3B\left(\dfrac{x}{3}\right), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în matricea B(x)\displaystyle B(x): 2⋅(−x)=−2x\displaystyle 2\cdot(-x)=-2x, 3⋅(−x)+1=−3x+1\displaystyle 3\cdot(-x)+1=-3x+1, 1−(−x)=1+x\displaystyle 1-(-x)=1+x.
    B(−x)=(−2x−3x+11+x1)\displaystyle B(-x)=\begin{pmatrix}-2x&-3x+1\\1+x&1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al matricei B(x)\displaystyle B(x) cu 2\displaystyle 2.
    2B(x)=(4x6x+22−2x2)\displaystyle 2B(x)=\begin{pmatrix}4x&6x+2\\2-2x&2\end{pmatrix}
  3. Adunăm B(−x)\displaystyle B(-x) și 2B(x)\displaystyle 2B(x) element cu element: −2x+4x=2x\displaystyle -2x+4x=2x, −3x+1+6x+2=3x+3\displaystyle -3x+1+6x+2=3x+3, 1+x+2−2x=3−x\displaystyle 1+x+2-2x=3-x, 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    B(−x)+2B(x)=(2x3x+33−x3)\displaystyle B(-x)+2B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+3\\3-x&3\end{pmatrix}
  4. Calculăm B(x3)\displaystyle B\left(\dfrac{x}{3}\right), apoi înmulțim cu 3\displaystyle 3: 3⋅2⋅x3=2x\displaystyle 3\cdot 2\cdot\dfrac{x}{3}=2x, 3(3⋅x3+1)=3x+3\displaystyle 3\left(3\cdot\dfrac{x}{3}+1\right)=3x+3, 3(1−x3)=3−x\displaystyle 3\left(1-\dfrac{x}{3}\right)=3-x, 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3.
    3B(x3)=3(2⋅x33⋅x3+11−x31)=(2x3x+33−x3)\displaystyle 3B\left(\dfrac{x}{3}\right)=3\begin{pmatrix}2\cdot\dfrac{x}{3}&3\cdot\dfrac{x}{3}+1\\1-\dfrac{x}{3}&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&3x+3\\3-x&3\end{pmatrix}
  5. Matricea obținută la suma B(−x)+2B(x)\displaystyle B(-x)+2B(x) coincide cu 3B(x3)\displaystyle 3B\left(\dfrac{x}{3}\right), deci egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x real.
    B(−x)+2B(x)=3B(x3)\displaystyle B(-x)+2B(x)=3B\left(\dfrac{x}{3}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} și B(x)=(2x3x+11−x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅(B(x)+I2)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot(B(x)+I_2)=B(x)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma B(x)+I2\displaystyle B(x)+I_2, adunând elementele corespunzătoare: pe diagonala principală se adaugă câte 1\displaystyle 1.
    B(x)+I2=(2x+13x+11−x2)\displaystyle B(x)+I_2=\begin{pmatrix}2x+1&3x+1\\1-x&2\end{pmatrix}
  2. Înmulțim A\displaystyle A cu matricea obținută. Prima linie a produsului este a doua linie a matricei B(x)+I2\displaystyle B(x)+I_2, deoarece A\displaystyle A are pe prima linie elementele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, iar a doua linie a produsului este nulă, deoarece A\displaystyle A are a doua linie nulă.
    A⋅(B(x)+I2)=(0100)(2x+13x+11−x2)=(1−x200)\displaystyle A\cdot(B(x)+I_2)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2x+1&3x+1\\1-x&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x&2\\0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm membrul drept, B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A. Prima coloană a produsului este nulă, deoarece prima coloană a lui A\displaystyle A este nulă, iar a doua coloană este prima coloană a lui B(x)\displaystyle B(x).
    B(x)⋅A=(2x3x+11−x1)(0100)=(02x01−x)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2x\\0&1-x\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice: 1−x=0\displaystyle 1-x=0, 2=2x\displaystyle 2=2x, 0=0\displaystyle 0=0 și 0=1−x\displaystyle 0=1-x.
    {1−x=02=2x0=1−x\displaystyle \begin{cases}1-x=0\\2=2x\\0=1-x\end{cases}
  5. Toate ecuațiile sunt verificate pentru aceeași valoare, x=1\displaystyle x=1, deci aceasta este numărul căutat.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} și B(x)=(2x3x+11−x1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x&3x+1\\1-x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că, pentru orice numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n, numărul N=det⁡(B(2m)−B(2n+1))\displaystyle N=\det(B(2m)-B(2n+1)) este natural, multiplu impar de 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2m\displaystyle 2m în B(x)\displaystyle B(x): 2x=4m\displaystyle 2x=4m, 3x+1=6m+1\displaystyle 3x+1=6m+1, 1−x=1−2m\displaystyle 1-x=1-2m.
    B(2m)=(4m6m+11−2m1)\displaystyle B(2m)=\begin{pmatrix}4m&6m+1\\1-2m&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2n+1\displaystyle 2n+1 în B(x)\displaystyle B(x): 2x=4n+2\displaystyle 2x=4n+2, 3x+1=6n+4\displaystyle 3x+1=6n+4, 1−x=−2n\displaystyle 1-x=-2n.
    B(2n+1)=(4n+26n+4−2n1)\displaystyle B(2n+1)=\begin{pmatrix}4n+2&6n+4\\-2n&1\end{pmatrix}
  3. Scădem element cu element: 4m−(4n+2)=4m−4n−2\displaystyle 4m-(4n+2)=4m-4n-2, 6m+1−(6n+4)=6m−6n−3\displaystyle 6m+1-(6n+4)=6m-6n-3, 1−2m−(−2n)=1−2m+2n\displaystyle 1-2m-(-2n)=1-2m+2n, 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    B(2m)−B(2n+1)=(4m−4n−26m−6n−31−2m+2n0)\displaystyle B(2m)-B(2n+1)=\begin{pmatrix}4m-4n-2&6m-6n-3\\1-2m+2n&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: pe diagonala principală produsul este (4m−4n−2)⋅0=0\displaystyle (4m-4n-2)\cdot 0=0, deci N=−(6m−6n−3)(1−2m+2n)\displaystyle N=-(6m-6n-3)(1-2m+2n).
    N=−(6m−6n−3)(1−2m+2n)\displaystyle N=-(6m-6n-3)(1-2m+2n)
  5. Scriem 6m−6n−3=3(2m−2n−1)=−3(1−2m+2n)\displaystyle 6m-6n-3=3(2m-2n-1)=-3(1-2m+2n). Atunci N=3(1−2m+2n)(1−2m+2n)\displaystyle N=3(1-2m+2n)(1-2m+2n).
    N=3(1−2m+2n)2\displaystyle N=3(1-2m+2n)^2
  6. Numărul k=1−2m+2n\displaystyle k=1-2m+2n este întreg și impar, pentru că 2n−2m\displaystyle 2n-2m este par, iar 1\displaystyle 1 este impar. Atunci k2\displaystyle k^2 este număr natural impar. Deci N=3k2\displaystyle N=3k^2 este natural, multiplu de 3\displaystyle 3, și impar (produs de două numere impare).
    N=3(1−2m+2n)2\displaystyle N=3(1-2m+2n)^2, iar (1−2m+2n)2 este numa˘r natural impar\displaystyle \text{ iar }(1-2m+2n)^2\text{ este număr natural impar}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.