Bac matematică M4 pedagogic 2026, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 0,25⋅6+(3−0,5):5=2\displaystyle 0,25\cdot 6+(3-0,5):5=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează înmulțirea 0,25⋅6\displaystyle 0,25\cdot 6.
    0\displaystyle 0,25⋅6=1\displaystyle 25\cdot 6=1,5\displaystyle 5
  2. Se calculează paranteza (3−0,5)\displaystyle (3-0,5).
    3−0\displaystyle 3-0,5=2\displaystyle 5=2,5\displaystyle 5
  3. Se înlocuiesc rezultatele înmulțirii și parantezei în expresia inițială.
    0\displaystyle 0,25⋅6+(3−0,5):5=1\displaystyle 25\cdot 6+(3-0,5):5=1,5+2\displaystyle 5+2,5:5=\displaystyle 5:5=
  4. Se efectuează împărțirea 2,5:5\displaystyle 2,5:5.
    2\displaystyle 2,5:5=0\displaystyle 5:5=0,5\displaystyle 5
  5. Se adună rezultatele obținute, 1,5\displaystyle 1,5 și 0,5\displaystyle 0,5, obținându-se rezultatul final.
    =1\displaystyle =1,5+0\displaystyle 5+0,5=2\displaystyle 5=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x−3\displaystyle f(x)=x^2-2x-3 și numărul real m\displaystyle m, ordonata punctului de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Oy\displaystyle Oy. Calculați f(m)\displaystyle f(m).
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție al graficului funcției cu axa Oy\displaystyle Oy se obține pentru x=0\displaystyle x=0, iar ordonata acestui punct este valoarea funcției în 0\displaystyle 0.
    m=f(0)\displaystyle m=f(0)
  2. Se calculează f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia funcției.
    f(0)=02−2⋅0−3=−3\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot 0-3=-3
  3. Se obține valoarea lui m\displaystyle m ca fiind ordonata la origine.
    m=f(0)=−3\displaystyle m=f(0)=-3
  4. Se calculează f(m)\displaystyle f(m) înlocuind valoarea găsită pentru m\displaystyle m, adică x=−3\displaystyle x=-3, în expresia funcției.
    f(m)=f(−3)=(−3)2−2⋅(−3)−3\displaystyle f(m)=f(-3)=(-3)^2-2\cdot(-3)-3
  5. Se efectuează calculele: ridicarea la pătrat, înmulțirea și adunarea/scăderea termenilor, obținând rezultatul final.
    f(m)=f(−3)=(−3)2−2⋅(−3)−3=9+6−3=12\displaystyle f(m)=f(-3)=(-3)^2-2\cdot(-3)-3=9+6-3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x=22x\displaystyle x=2\sqrt{2x}.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește domeniul de valabilitate al ecuației: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă, iar membrul din stânga, fiind egal cu o expresie nenegativă (22x≥0\displaystyle 2\sqrt{2x}\geq0), trebuie ca x\displaystyle x să fie nenegativ.
    2x≥0 și x≥0⇒x≥0\displaystyle 2x\ge 0\text{ și }x\ge 0\Rightarrow x\ge 0
  2. Se ridică ambii membri ai ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul, folosind faptul că (22x)2=4⋅2x=8x\displaystyle (2\sqrt{2x})^{2} = 4\cdot2x = 8x.
    x2=(22x)2=4⋅2x=8x\displaystyle x^2=(2\sqrt{2x})^2=4\cdot 2x=8x
  3. Se aduce ecuația la forma generală a unei ecuații de gradul al doilea, trecând totul într-un membru.
    x2=8x, de unde obținem x2−8x=0\displaystyle x^2=8x\text{, de unde obținem }x^2-8x=0
  4. Se factorizează ecuația de gradul al doilea, dând factor comun pe x\displaystyle x.
    x(x−8)=0\displaystyle x(x-8)=0
  5. Se rezolvă ecuația obținută prin anularea fiecărui factor, obținând cele două soluții posibile.
    x=0 sau x=8\displaystyle x=0\text{ sau }x=8
  6. Se verifică fiecare soluție în ecuația inițială: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 0=20=0\displaystyle 0=2\sqrt{0}=0, adevărat; pentru x=8\displaystyle x=8 avem 8=216=2⋅4=8\displaystyle 8=2\sqrt{16}=2\cdot4=8, adevărat. Ambele soluții respectă și condiția x≥0\displaystyle x\geq0, deci convin.
    x=0 sau x=8, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=8\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%, un obiect costă 600\displaystyle 600 de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu 5%\displaystyle 5\%. Calculați diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de prima scumpire (prețul inițial).
    x=prețul inițial\displaystyle x=\text{prețul inițial}
  2. Scrierea ecuației care exprimă faptul că, după o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%, prețul devine 600\displaystyle 600 de lei.
    x+20100⋅x=600\displaystyle x+\frac{20}{100}\cdot x=600
  3. Simplificăm ecuația, adunând termenii asemenea (x+0,2x=1,2x\displaystyle x + 0,2x = 1,2x).
    1\displaystyle 1,2⋅x=600\displaystyle 2\cdot x=600
  4. Rezolvăm ecuația pentru a afla prețul inițial x\displaystyle x.
    x=500\displaystyle x=500
  5. Calculăm prețul obiectului după a doua scumpire, aplicând o creștere de 5%\displaystyle 5\% la prețul de 600\displaystyle 600 de lei.
    600+5100⋅600=630\displaystyle 600+\frac{5}{100}\cdot 600=630
  6. Calculăm diferența dintre prețul final (după cele două scumpiri) și prețul inițial x=500\displaystyle x=500.
    630−500=130\displaystyle 630-500=130
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,3)\displaystyle A(3,3), B(4,6)\displaystyle B(4,6) și C\displaystyle C, astfel încât A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Determinați lungimea segmentului OC\displaystyle OC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm coordonatele necunoscute ale punctului C\displaystyle C și reamintim formula coordonatelor mijlocului unui segment.
    C(xC,yC), iar mijlocul \displaystyle C(x_C,y_C)\text{, iar mijlocul }segmentului BC are coordonatele (xB+xC2,yB+yC2)\displaystyle \text{segmentului }BC\text{ are coordonatele }\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)
  2. Scriem condiția ca A\displaystyle A să fie mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, folosind formula mijlocului aplicată pentru coordonatele lui B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    xA=xB+xC2, yA=yB+yC2\displaystyle x_A=\frac{x_B+x_C}{2}\text{, }y_A=\frac{y_B+y_C}{2}
  3. Înlocuim coordonatele punctelor A(3,3)\displaystyle A(3,3) și B(4,6)\displaystyle B(4,6) în ecuațiile de mai sus și rezolvăm sistemul pentru a afla coordonatele lui C\displaystyle C.
    3=4+xC2, 3=6+yC2, deci C(2,0)\displaystyle 3=\frac{4+x_C}{2}\text{, }3=\frac{6+y_C}{2}\text{, deci }C(2,0)
  4. Scriem formula distanței de la origine O(0,0)\displaystyle O(0,0) la punctul C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C).
    OC=xC2+yC2\displaystyle OC=\sqrt{x_C^2+y_C^2}
  5. Înlocuim coordonatele găsite pentru C\displaystyle C și calculăm lungimea segmentului OC\displaystyle OC.
    OC=2\displaystyle OC=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul DEF\displaystyle DEF, dreptunghic în D\displaystyle D, cu DE=3\displaystyle DE=3 și sin⁡F=13\displaystyle \sin F=\frac{1}{3}. Arătați că DF=62\displaystyle DF=6\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în D\displaystyle D, deci ipotenuza este EF\displaystyle EF. Cateta DE\displaystyle DE este opusă unghiului F\displaystyle F, așa că sinusul lui F\displaystyle F este raportul dintre DE\displaystyle DE și EF\displaystyle EF.
    sin⁡F=DEEF\displaystyle \sin F=\frac{DE}{EF}
  2. Înlocuim valorile cunoscute: sin⁡F=13\displaystyle \sin F=\dfrac{1}{3} și DE=3\displaystyle DE=3.
    13=3EF\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{3}{EF}
  3. Din proporție, EF=3⋅3\displaystyle EF=3\cdot 3, adică ipotenuza are lungimea 9\displaystyle 9.
    EF=9\displaystyle EF=9
  4. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul DEF\displaystyle DEF: EF2=DE2+DF2\displaystyle EF^{2}=DE^{2}+DF^{2}, deci DF2=EF2−DE2\displaystyle DF^{2}=EF^{2}-DE^{2}.
    DF2=EF2−DE2=92−32\displaystyle DF^{2}=EF^{2}-DE^{2}=9^{2}-3^{2}
  5. Calculăm: DF2=81−9=72\displaystyle DF^{2}=81-9=72. Cum DF>0\displaystyle DF>0, obținem DF=72=36⋅2=62\displaystyle DF=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}.
    DF2=81−9=72, de unde DF=72=62\displaystyle DF^{2}=81-9=72\text{, de unde }DF=\sqrt{72}=6\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.

Arătați că 1∗3=15\displaystyle 1*3=15.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică legea de compoziție dată și valorile pentru care trebuie calculată: x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4, x=1\displaystyle \ x=1, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se înlocuiesc valorile x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3 în definiția legii de compoziție.
    1∗3=(1−4⋅3)(3−4⋅1)+4=\displaystyle 1*3=(1-4\cdot 3)(3-4\cdot 1)+4=
  3. Se calculează valorile din interiorul parantezelor.
    1−4⋅3=1−12=−11\displaystyle 1-4\cdot 3=1-12=-11, 3−4⋅1=3−4=−1\displaystyle \ 3-4\cdot 1=3-4=-1
  4. Se înmulțesc cele două rezultate obținute și se adaugă 4\displaystyle 4, obținând rezultatul final.
    =(−11)⋅(−1)+4=15\displaystyle =(-11)\cdot(-1)+4=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț, pentru perechea (x,y)\displaystyle (x,y).
    x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4
  2. Se calculează y∗x\displaystyle y*x, înlocuind în definiție x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    y∗x=(y−4x)(x−4y)+4\displaystyle y*x=(y-4x)(x-4y)+4
  3. Se observă că înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci produsul (y−4x)(x−4y)\displaystyle (y-4x)(x-4y) este egal cu (x−4y)(y−4x)\displaystyle (x-4y)(y-4x).
    (y−4x)(x−4y)=(x−4y)(y−4x)\displaystyle (y-4x)(x-4y)=(x-4y)(y-4x)
  4. Se înlocuiește produsul comutat în expresia lui y∗x\displaystyle y*x, obținând aceeași formă ca x∗y\displaystyle x*y.
    y∗x=(y−4x)(x−4y)+4=(x−4y)(y−4x)+4=\displaystyle y*x=(y-4x)(x-4y)+4=(x-4y)(y-4x)+4=
  5. Se compară rezultatul obținut cu expresia lui x∗y\displaystyle x*y și se concluzionează că legea de compoziție este comutativă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =x∗y, pentru orice numere \displaystyle =x*y\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗0=0\displaystyle x*0=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru perechea (x,0)\displaystyle (x,0), înlocuind y\displaystyle y cu 0\displaystyle 0 în formula x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.
    x∗0=(x−4⋅0)(0−4x)+4\displaystyle x*0=(x-4\cdot 0)(0-4x)+4
  2. Se efectuează calculele: se simplifică fiecare paranteză și se face produsul, obținând expresia lui x∗0\displaystyle x*0 în funcție de x\displaystyle x.
    x∗0=x⋅(−4x)+4=−4x2+4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*0=x\cdot(-4x)+4=-4x^2+4\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția x∗0=0\displaystyle x*0=0, conform cerinței problemei, obținându-se o ecuație de gradul al doilea în x\displaystyle x.
    −4x2+4=0\displaystyle -4x^2+4=0
  4. Se rezolvă ecuația: se împarte prin −4\displaystyle -4, se obține x2=1\displaystyle x^{2}=1, apoi se extrage rădăcina, rezultând cele două soluții reale.
    −4x2+4=0⇒x2=1⇒x=−1 sau x=1\displaystyle -4x^2+4=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.

Arătați că x∗(x+1)=9x(x+1)\displaystyle x*(x+1)=9x(x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție cu x\displaystyle x și y=x+1\displaystyle y=x+1, identificând expresiile x−4y\displaystyle x-4y și y−4x\displaystyle y-4x.
    x∗(x+1)=(x−4(x+1))((x+1)−4x)+4\displaystyle x*(x+1)=(x-4(x+1))((x+1)-4x)+4
  2. Se simplifică fiecare paranteză: x−4(x+1)=x−4x−4=−3x−4\displaystyle x-4(x+1)=x-4x-4=-3x-4, iar (x+1)−4x=1−3x\displaystyle (x+1)-4x=1-3x.
    x∗(x+1)=(−3x−4)(1−3x)+4=\displaystyle x*(x+1)=(-3x-4)(1-3x)+4=
  3. Se efectuează înmulțirea celor două paranteze, aplicând regula de înmulțire a binoamelor.
    (−3x−4)(1−3x)=−3x+9x2−4+12x\displaystyle (-3x-4)(1-3x)=-3x+9x^2-4+12x
  4. Se adună termenul +4\displaystyle +4 din definiția legii de compoziție și se reduc termenii asemenea.
    =−3x+9x2−4+12x+4=9x2+9x\displaystyle =-3x+9x^2-4+12x+4=9x^2+9x
  5. Se factorizează expresia finală, dând factor comun 9x\displaystyle 9x, obținând forma cerută valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =9x(x+1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle =9x(x+1)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x−1)∗x=(x+1)∗(x+2)\displaystyle (x-1)*x=(x+1)*(x+2).
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește identitatea generală (demonstrată la punctul anterior): pentru orice număr real t\displaystyle t, calculăm (t−1)∗t\displaystyle (t-1)*t folosind legea de compoziție dată.
    (t−1)∗t=((t−1)−4t)(t−4(t−1))+4=(−3t−1)(−3t+4)+4=9t2−9t=9t(t−1)\displaystyle (t-1)*t=((t-1)-4t)(t-4(t-1))+4=(-3t-1)(-3t+4)+4=9t^2-9t=9t(t-1)
  2. Se aplică identitatea generală pentru t=x\displaystyle t=x, respectiv pentru t=x+2\displaystyle t=x+2, obținând cele două egalități cerute, valabile pentru orice x\displaystyle x real.
    (x−1)∗x=9x(x−1), (x+1)∗(x+2)=9(x+1)(x+2), pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x-1)*x=9x(x-1)\text{, }(x+1)*(x+2)=9(x+1)(x+2)\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se scrie ecuația din enunț folosind cele două expresii obținute și se simplifică prin împărțire la 9\displaystyle 9, apoi se dezvoltă parantezele.
    9x(x−1)=9(x+1)(x+2)⇔x(x−1)=(x+1)(x+2)⇔x2−x=x2+3x+2\displaystyle 9x(x-1)=9(x+1)(x+2)\Leftrightarrow x(x-1)=(x+1)(x+2)\Leftrightarrow x^2-x=x^2+3x+2
  4. Se reduc termenii asemenea și se rezolvă ecuația liniară obținută pentru x\displaystyle x.
    x2−x=x2+3x+2⇔−4x=2⇔x=−12\displaystyle x^2-x=x^2+3x+2\Leftrightarrow -4x=2\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−4y)(y−4x)+4\displaystyle x*y=(x-4y)(y-4x)+4.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care x∗(mx)=4\displaystyle x*(mx)=4, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție și se înlocuiește y\displaystyle y cu mx\displaystyle mx, pentru a calcula x∗(mx)\displaystyle x*(mx).
    x∗(mx)=(x−4(mx))((mx)−4x)+4\displaystyle x*(mx)=(x-4(mx))((mx)-4x)+4
  2. Se simplifică fiecare paranteză, scoțând factor comun pe x\displaystyle x.
    x−4mx=x(1−4m) și mx−4x=x(m−4)\displaystyle x-4mx=x(1-4m)\text{ și }mx-4x=x(m-4)
  3. Se înlocuiește în expresia inițială și se înmulțesc cei doi factori care conțin x\displaystyle x, obținând forma cerută de barem.
    x∗(mx)=x2(1−4m)(m−4)+4, pentru orice numere \displaystyle x*(mx)=x^2(1-4m)(m-4)+4\text{, pentru orice numere }reale x și m\displaystyle \text{reale }x\text{ și }m
  4. Pentru ca x∗(mx)\displaystyle x*(mx) să nu depindă de x\displaystyle x (adică rezultatul să fie constant, egal cu 4\displaystyle 4, pentru orice x\displaystyle x real), coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} trebuie să fie nul.
    (1−4m)(m−4)=0\displaystyle (1-4m)(m-4)=0
  5. Se rezolvă ecuația obținută, anulând fiecare factor în parte, pentru a determina valorile lui m\displaystyle m.
    1−4m=0⇒m=14 sau m−4=0⇒m=4\displaystyle 1-4m=0\Rightarrow m=\frac{1}{4}\text{ sau }m-4=0\Rightarrow m=4
  6. Se scrie concluzia finală: valorile lui m\displaystyle m pentru care coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} se anulează.
    (1−4m)(m−4)=0, de unde obținem m=14 sau m=4\displaystyle (1-4m)(m-4)=0\text{, de unde obținem }m=\frac{1}{4}\text{ sau }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(4))=2\displaystyle \det(A(4))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei A(x)\displaystyle A(x) și se identifică valoarea x=4\displaystyle x=4 pentru care trebuie calculată.
    A(x)=(x2−xx−13−x)⇒x=4\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}\Rightarrow x=4
  2. Se înlocuiește x=4\displaystyle x=4 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține A(4)\displaystyle A(4).
    A(4)=(42−44−13−4)=(4−23−1)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}4 & 2-4\\ 4-1 & 3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -2\\ 3 & -1\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei A(4)\displaystyle A(4) folosind formula determinantului de ordin 2 și se calculează produsele de pe diagonale.
    det⁡(A(4))=∣4−23−1∣=4⋅(−1)−(−2)⋅3=\displaystyle \det(A(4))=\begin{vmatrix}4 & -2\\ 3 & -1\end{vmatrix}=4\cdot(-1)-(-2)\cdot 3=
  4. Se efectuează calculele numerice: produsul de pe diagonala principală, produsul de pe diagonala secundară, iar apoi se scade pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =−4+6=2\displaystyle =-4+6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(3)+3A(x)=4A(6)\displaystyle A(3)+3A(x)=4A(6).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(3)\displaystyle A(3) înlocuind x=3\displaystyle x=3 în expresia matricei A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 2-x \\ x-1 & 3-x \end{pmatrix}.
    A(3)=(32−33−13−3)=(3−120)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3 & 2-3\\ 3-1 & 3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\ 2 & 0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(6)\displaystyle A(6) înlocuind x=6\displaystyle x=6 în expresia matricei A(x)\displaystyle A(x).
    A(6)=(62−66−13−6)=(6−45−3)\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix}6 & 2-6\\ 6-1 & 3-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & -4\\ 5 & -3\end{pmatrix}
  3. Scriem relația cerută de problemă, folosind matricele obținute la pașii anteriori: 3A(x)=4A(6)−A(3)\displaystyle 3A(x)=4A(6)-A(3).
    A(3)=(3−120), A(6)=(6−45−3), 3A(x)=4A(6)−A(3)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3 & -1\\ 2 & 0\end{pmatrix}\text{, }A(6)=\begin{pmatrix}6 & -4\\ 5 & -3\end{pmatrix}\text{, }3A(x)=4A(6)-A(3)
  4. Calculăm 4A(6)\displaystyle 4A(6), înmulțind fiecare element al matricei A(6)\displaystyle A(6) cu 4\displaystyle 4.
    4A(6)=(24−1620−12)\displaystyle 4A(6)=\begin{pmatrix}24 & -16\\ 20 & -12\end{pmatrix}
  5. Calculăm 4A(6)−A(3)\displaystyle 4A(6)-A(3), scăzând element cu element matricea A(3)\displaystyle A(3) din matricea 4A(6)\displaystyle 4A(6).
    4A(6)−A(3)=(24−3−16−(−1)20−2−12−0)=(21−1518−12)\displaystyle 4A(6)-A(3)=\begin{pmatrix}24-3 & -16-(-1)\\ 20-2 & -12-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21 & -15\\ 18 & -12\end{pmatrix}
  6. Observăm că matricea obținută se poate scrie ca 3A(7)\displaystyle 3A(7) (verificăm prin calculul lui A(7)\displaystyle A(7) și înmulțirea cu 3), astfel încât 3A(x)=3A(7)\displaystyle 3A(x)=3A(7), de unde, prin identificare, rezultă x=7\displaystyle x=7.
    4A(6)−A(3)=(21−1518−12)=3A(7), deci 3A(x)=3A(7), de unde obținem x=7\displaystyle 4A(6)-A(3)=\begin{pmatrix}21 & -15\\ 18 & -12\end{pmatrix}=3A(7)\text{, deci }3A(x)=3A(7)\text{, de unde obținem }x=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(5)⋅(3I2−A(5))=2I2\displaystyle A(5)\cdot(3I_2-A(5))=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 în A(x)\displaystyle A(x): obținem 2−5=−3\displaystyle 2-5=-3, 5−1=4\displaystyle 5-1=4 și 3−5=−2\displaystyle 3-5=-2.
    A(5)=(5−34−2)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}5 & -3\\ 4 & -2\end{pmatrix}
  2. Avem 3I2=(3003)\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}, de unde scădem A(5)\displaystyle A(5) element cu element.
    3I2−A(5)=(3−50+30−43+2)=(−23−45)\displaystyle 3I_2-A(5)=\begin{pmatrix}3-5 & 0+3\\ 0-4 & 3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 3\\ -4 & 5\end{pmatrix}
  3. Înmulțim rândurile lui A(5)\displaystyle A(5) cu coloanele lui 3I2−A(5)\displaystyle 3I_2-A(5): de exemplu elementul din stânga sus este 5⋅(−2)+(−3)⋅(−4)=−10+12\displaystyle 5\cdot(-2)+(-3)\cdot(-4)=-10+12.
    A(5)⋅(3I2−A(5))=(−10+1215−15−8+812−10)\displaystyle A(5)\cdot(3I_2-A(5))=\begin{pmatrix}-10+12 & 15-15\\ -8+8 & 12-10\end{pmatrix}
  4. Calculăm elementele: −10+12=2\displaystyle -10+12=2, 15−15=0\displaystyle 15-15=0, −8+8=0\displaystyle -8+8=0, 12−10=2\displaystyle 12-10=2. Deci matricea este 2I2\displaystyle 2I_2.
    (2002)=2I2\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=2I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0)⋅A(1)−A(x))=0\displaystyle \det(A(0)\cdot A(1)-A(x))=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea A(0)\displaystyle A(0) înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(0)=(02−13)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0 & 2\\ -1 & 3\end{pmatrix}
  2. Se calculează matricea A(1)\displaystyle A(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(1)=(1102)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  3. Se înmulțesc matricele A(0)\displaystyle A(0) și A(1)\displaystyle A(1), aplicând regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
    A(0)⋅A(1)=(0⋅1+2⋅00⋅1+2⋅2−1⋅1+3⋅0−1⋅1+3⋅2)=(04−15)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}0\cdot1+2\cdot0 & 0\cdot1+2\cdot2\\ -1\cdot1+3\cdot0 & -1\cdot1+3\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 4\\ -1 & 5\end{pmatrix}
  4. Se scade matricea A(x)\displaystyle A(x) din produsul obținut, element cu element, obținându-se o matrice care depinde de x\displaystyle x.
    A(0)⋅A(1)−A(x)=(0−x4−(2−x)−1−(x−1)5−(3−x))=(−xx+2−xx+2), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A(0)\cdot A(1)-A(x)=\begin{pmatrix}0-x & 4-(2-x)\\ -1-(x-1) & 5-(3-x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x & x+2\\ -x & x+2\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  5. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det = a \cdot d - b \cdot c, și se observă că cei doi termeni sunt egali, deci diferența este zero pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(0)⋅A(1)−A(x))=(−x)⋅(x+2)−(x+2)⋅(−x)=−x(x+2)+x(x+2)=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(A(0)\cdot A(1)-A(x))=(-x)\cdot(x+2)-(x+2)\cdot(-x)=-x(x+2)+x(x+2)=0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că numărul N=det⁡(A(n)+nI2)\displaystyle N=\det(A(n)+nI_2) este natural par, pentru orice număr natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(n)\displaystyle A(n), înlocuind x\displaystyle x cu n\displaystyle n, și matricea nI2\displaystyle nI_2.
    A(n)=(n2−nn−13−n)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n & 2-n\\ n-1 & 3-n\end{pmatrix},nI2=(n00n)\displaystyle \quad nI_2=\begin{pmatrix}n & 0\\ 0 & n\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: pe diagonală apare n+n=2n\displaystyle n+n=2n, respectiv 3−n+n=3\displaystyle 3-n+n=3.
    A(n)+nI2=(2n2−nn−13)\displaystyle A(n)+nI_2=\begin{pmatrix}2n & 2-n\\ n-1 & 3\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: N=2n⋅3−(2−n)(n−1)\displaystyle N=2n\cdot 3-(2-n)(n-1). Desfacem parantezele: (2−n)(n−1)=−n2+3n−2\displaystyle (2-n)(n-1)=-n^2+3n-2, deci N=6n+n2−3n+2\displaystyle N=6n+n^2-3n+2.
    N=6n−(2−n)(n−1)=n2+3n+2\displaystyle N=6n-(2-n)(n-1)=n^2+3n+2
  4. Descompunem trinomul în factori: căutăm două numere cu suma 3\displaystyle 3 și produsul 2\displaystyle 2, adică 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Obținem n2+3n+2=(n+1)(n+2)\displaystyle n^2+3n+2=(n+1)(n+2).
    N=(n+1)(n+2)\displaystyle N=(n+1)(n+2)
  5. Numerele n+1\displaystyle n+1 și n+2\displaystyle n+2 sunt naturale și consecutive, deci unul dintre ele este par. Produsul lor este așadar un număr natural par, pentru orice n\displaystyle n natural.
    N=(n+1)(n+2)∈N, par, pentru orice n∈N\displaystyle N=(n+1)(n+2)\in\mathbb{N}\text{, par, pentru orice }n\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x2−xx−13−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & 2-x\\ x-1 & 3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(5)⋅X=A(0)+3X\displaystyle A(5)\cdot X=A(0)+3X.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricele A(5)\displaystyle A(5) și A(0)\displaystyle A(0) prin înlocuirea directă a lui x\displaystyle x în expresia lui A(x)\displaystyle A(x), precum și 3I2\displaystyle 3I_{2}.
    A(5)=(5−34−2), A(0)=(02−13), 3I2=(3003)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}5 & -3\\ 4 & -2\end{pmatrix}\text{, }A(0)=\begin{pmatrix}0 & 2\\ -1 & 3\end{pmatrix}\text{, }3I_2=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea A(5)−3I2\displaystyle A(5)-3I_{2} prin scădere directă, element cu element.
    A(5)−3I2=(2−34−5)\displaystyle A(5)-3I_2=\begin{pmatrix}2 & -3\\ 4 & -5\end{pmatrix}
  3. Se verifică relația dintre A(5)−3I2\displaystyle A(5)-3I_{2} și A(5)\displaystyle A(5), calculând produsul (A(5)−3I2)⋅A(5)\displaystyle (A(5)-3I_{2})\cdot A(5), pentru a găsi inversa lui A(5)−3I2\displaystyle A(5)-3I_{2}.
    (A(5)−3I2)⋅A(5)=(−200−2)=−2I2, deci (A(5)−3I2)−1=−12A(5)\displaystyle (A(5)-3I_2)\cdot A(5)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix}=-2I_2\text{, deci }(A(5)-3I_2)^{-1}=-\frac{1}{2}A(5)
  4. Se scrie ecuația matriceală dată sub forma (A(5)−3I2)⋅X=A(0)\displaystyle (A(5)-3I_{2})\cdot X=A(0) și, folosind inversa găsită, se exprimă X\displaystyle X.
    (A(5)−3I2)⋅X=A(0), (A(5)−3I2)−1=−12A(5), X=−12A(5)⋅A(0)\displaystyle (A(5)-3I_2)\cdot X=A(0)\text{, }(A(5)-3I_2)^{-1}=-\frac{1}{2}A(5)\text{, }X=-\frac{1}{2}A(5)\cdot A(0)
  5. Se calculează produsul A(5)⋅A(0)\displaystyle A(5)\cdot A(0), efectuând înmulțirea celor două matrice.
    A(5)⋅A(0)=(3122)\displaystyle A(5)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  6. Se înmulțește rezultatul cu −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} pentru a obține matricea X\displaystyle X, finalizând calculul.
    X=−12(3122)=(−32−12−1−1)\displaystyle X=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\\ -1 & -1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.