Bac matematică M4 pedagogic 2018, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați a 2018-a zecimală a numărului

\displaystyle \frac{40}{11}

.

Vezi rezolvarea

Împărțim $\displaystyle 40$ la $\displaystyle 11$ : $\displaystyle 40=3\cdot 11+7$ , deci partea întreagă este $\displaystyle 3$ , iar restul este $\displaystyle 7$ .
$\displaystyle 40=3\cdot 11+7$
Continuăm împărțirea pentru zecimale: $\displaystyle 70=6\cdot 11+4$ , apoi $\displaystyle 40=3\cdot 11+7$ . Restul $\displaystyle 7$ reapare, deci cifrele $\displaystyle 6$ și $\displaystyle 3$ se repetă la nesfârșit.
$\displaystyle \dfrac{40}{11}=3$ , $\displaystyle (63)$
Perioada $\displaystyle 63$ are lungimea $\displaystyle 2$ : zecimalele de pe poziții impare sunt $\displaystyle 6$ , iar cele de pe poziții pare sunt $\displaystyle 3$ . Deoarece $\displaystyle 2018$ este par, a $\displaystyle 2018$ -a zecimală este ultima cifră a perioadei.
$\displaystyle 2018=2\cdot 1009$
A $\displaystyle 2018$ -a zecimală a numărului $\displaystyle \dfrac{40}{11}$ este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x+2

. Determinați valoarea minimă a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea: $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-3$ , $\displaystyle c=2$ . Deoarece $\displaystyle a>0$ , parabola are ramurile în sus, deci funcția are un minim.
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-3$ , $\displaystyle \ c=2$ , $\displaystyle \ a>0$
Calculăm discriminantul după formula $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac$ . Obținem $\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8$ .
$\displaystyle \Delta=9-8=1$
Valoarea minimă a funcției, atinsă în vârful parabolei, este $\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}$ . Înlocuim $\displaystyle \Delta=1$ și $\displaystyle a=1$ și obținem $\displaystyle -\dfrac{1}{4\cdot 1}$ .
$\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{1}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 4^x-2^x=12

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 4^x=(2^x)^2$ și notăm $\displaystyle t=2^x$ , unde $\displaystyle t>0$ .
$\displaystyle t^{2}-t=12$ , $\displaystyle \ t>0$
Mutăm 12 în membrul stâng: $\displaystyle t^2-t-12=0$ . Căutăm două numere cu produsul $\displaystyle -12$ și suma $\displaystyle -1$ , adică $\displaystyle -4$ și $\displaystyle 3$ , deci descompunem în factori.
$\displaystyle 4^x-2^x-12=0\Leftrightarrow (2^x-4)(2^x+3)=0$
Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci $\displaystyle 2^x-4=0$ sau $\displaystyle 2^x+3=0$ .
$\displaystyle 2^x=4\text{ sau }2^x=-3$
Ecuația $\displaystyle 2^x=-3$ nu are soluții reale, deoarece $\displaystyle 2^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Din $\displaystyle 2^x=4=2^2$ rezultă $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o majorare cu

\displaystyle 10\%

, urmată de o reducere cu

\displaystyle 10\%

, prețul unui televizor este

\displaystyle 990

de lei. Calculați prețul inițial al televizorului.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul inițial al televizorului, în lei.
$\displaystyle x\text{ = prețul inițial}$
După majorarea cu $\displaystyle 10\%$ , prețul devine $\displaystyle x+\dfrac{10}{100}\cdot x=1{,}1\cdot x$ .
$\displaystyle x+\frac{10}{100}\cdot x=1{,}1x$
Reducerea de $\displaystyle 10\%$ se aplică prețului majorat, deci scădem din acesta $\displaystyle \dfrac{10}{100}$ din prețul majorat. Egalăm rezultatul cu $\displaystyle 990$ .
$\displaystyle \left(x+\frac{10}{100}\cdot x\right)-\frac{10}{100}\cdot\left(x+\frac{10}{100}\cdot x\right)=990$
Simplificăm: prețul majorat este $\displaystyle 1{,}1x$ , iar după reducere rămâne $\displaystyle 0{,}9\cdot 1{,}1x$ , adică $\displaystyle 0{,}99x$ .
$\displaystyle 1{,}1x-0{,}11x=0{,}99x$
Ecuația devine $\displaystyle 0{,}99x=990$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{990}{0{,}99}$ .
$\displaystyle x=\frac{990}{0{,}99}=1000$
Prețul inițial al televizorului este $\displaystyle 1000$ de lei.
$\displaystyle x=1000\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,2)

,

\displaystyle B(-1,5)

,

\displaystyle C(-3,4)

și

\displaystyle D(a,4)

. Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că vectorii

\displaystyle \overrightarrow{AD}

și

\displaystyle \overrightarrow{CB}

sunt coliniari.

Vezi rezolvarea

Calculăm coordonatele vectorului $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ scăzând coordonatele lui $\displaystyle A$ din cele ale lui $\displaystyle D$ : abscisa este $\displaystyle a-1$ , iar ordonata este $\displaystyle 4-2=2$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AD}=(a-1)\vec{i}+2\vec{j}$
Calculăm coordonatele vectorului $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ scăzând coordonatele lui $\displaystyle C$ din cele ale lui $\displaystyle B$ : abscisa este $\displaystyle -1-(-3)=2$ , iar ordonata este $\displaystyle 5-4=1$ .
$\displaystyle \overrightarrow{CB}=2\vec{i}+\vec{j}$
Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Scriem raportul absciselor egal cu raportul ordonatelor.
$\displaystyle \frac{a-1}{2}=\frac{2}{1}$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle a-1=4$ , deci $\displaystyle a=5$ .
$\displaystyle a-1=4\Leftrightarrow a=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați raza cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

cu

\displaystyle AB=10

,

\displaystyle AC=24

și

\displaystyle BC=26

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratele laturilor mai mici: $\displaystyle AB^{2}=10^{2}=100$ și $\displaystyle AC^{2}=24^{2}=576$ . Suma lor este $\displaystyle 100+576$ .
$\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=100+576=676$
Calculăm $\displaystyle BC^{2}=26^{2}=676$ . Observăm că $\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ , deci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , cu ipotenuza $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle BC^{2}=676=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow \Delta ABC\text{ este dreptunghic în }A$
Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ipotenuză: $\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{26}{2}$ .
$\displaystyle R=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20

.

Calculați

\displaystyle 2*3

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20$ . Pentru a calcula $\displaystyle 2*3$ , înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle 2*3=2\cdot 3-4\cdot 2-4\cdot 3+20$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 2\cdot 3=6$ , $\displaystyle 4\cdot 2=8$ și $\displaystyle 4\cdot 3=12$ .
$\displaystyle 2*3=6-8-12+20$
Calculăm suma: $\displaystyle 6-8=-2$ , apoi $\displaystyle -2-12=-14$ , iar $\displaystyle -14+20=6$ .
$\displaystyle 2*3=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20

.

Demonstrați că

\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția $\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20$ și scriem $\displaystyle 20=16+4$ , pentru a pregăti gruparea termenilor.
$\displaystyle x*y=xy-4x-4y+16+4$
Grupăm $\displaystyle xy-4x=x(y-4)$ . Apoi grupăm $\displaystyle -4y+16=-4(y-4)$ .
$\displaystyle x*y=x(y-4)-4(y-4)+4$
Dăm factor comun pe $\displaystyle y-4$ și obținem forma cerută, pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20

.

Demonstrați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Observăm că legea se poate scrie sub forma $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$ . Verificăm dezvoltând: $\displaystyle (x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$ .
$\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$
Calculăm $\displaystyle (x*y)*z$ . Înlocuim $\displaystyle x*y$ cu $\displaystyle (x-4)(y-4)+4$ și aplicăm forma de mai sus perechii formate din $\displaystyle x*y$ și $\displaystyle z$ . Avem $\displaystyle (x*y)-4=(x-4)(y-4)$ , deci produsul devine $\displaystyle (x-4)(y-4)(z-4)$ .
$\displaystyle (x*y)*z=\left((x-4)(y-4)+4\right)*z=(x-4)(y-4)(z-4)+4$
Calculăm $\displaystyle x*(y*z)$ . Înlocuim $\displaystyle y*z$ cu $\displaystyle (y-4)(z-4)+4$ . Avem $\displaystyle (y*z)-4=(y-4)(z-4)$ , deci $\displaystyle x*(y*z)=(x-4)(y-4)(z-4)+4$ .
$\displaystyle x*(y*z)=x*\left((y-4)(z-4)+4\right)=(x-4)(y-4)(z-4)+4$
Cele două grupări dau aceeași expresie pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ , deci legea „ $\displaystyle *$ ” este asociativă.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)=(x-4)(y-4)(z-4)+4$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20

. Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*(x+1)=6

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16$ , deci adăugând $\displaystyle 4$ obținem $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$ .
$\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$
Înlocuim $\displaystyle y=x+1$ . Primul factor este $\displaystyle x-4$ , iar al doilea este $\displaystyle (x+1)-4=x-3$ .
$\displaystyle x*(x+1)=(x-4)(x-3)+4$
Ecuația $\displaystyle x*(x+1)=6$ devine $\displaystyle (x-4)(x-3)+4=6$ .
$\displaystyle (x-4)(x-3)+4=6$
Desfacem parantezele: $\displaystyle (x-4)(x-3)=x^{2}-7x+12$ . Apoi mutăm $\displaystyle 6$ în stânga: $\displaystyle x^{2}-7x+12+4-6=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-7x+10=0$ .
$\displaystyle (x-4)(x-3)+4=6\Leftrightarrow x^{2}-7x+10=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=49-40=9$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{7\pm 3}{2}$ . Echivalent, căutăm două numere cu suma $\displaystyle 7$ și produsul $\displaystyle 10$ , adică $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle \dfrac{7\pm 3}{2}\in\{2,5\}$
Ambele soluții sunt numere reale, deci convin.
$\displaystyle x=2\text{ sau }x=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20

.

Determinați valorile reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*x\le 8

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle x*x$ înlocuind $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ în definiția legii: $\displaystyle x*x=x\cdot x-4x-4x+20$ .
$\displaystyle x*x=x^{2}-8x+20$
Grupăm termenii ca să apară pătratul perfect: $\displaystyle x^{2}-8x+20=(x^{2}-8x+16)+4=(x-4)^{2}+4$ .
$\displaystyle x*x=(x-4)^{2}+4$
Punem condiția $\displaystyle x*x\le 8$ , adică $\displaystyle (x-4)^{2}+4\le 8$ . Scădem 4 din ambii membri.
$\displaystyle (x-4)^{2}\le 4$
Mutăm 4 în membrul stâng și descompunem ca diferență de pătrate: $\displaystyle (x-4)^{2}-4\le 0$ , deci $\displaystyle (x-4-2)(x-4+2)\le 0$ .
$\displaystyle (x-6)(x-2)\le 0$
Rădăcinile sunt $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 6$ , iar coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ este pozitiv, deci expresia este mai mică sau egală cu zero între rădăcini, inclusiv capetele. Deci $\displaystyle x\in[2,6]$ .
$\displaystyle x\in[2,6]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20

.

Calculați

\displaystyle 2^0*2^1*2^2*\ldots*2^{2018}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că legea se poate scrie sub forma $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$ , deoarece desfăcând parantezele obținem $\displaystyle xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$ .
$\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$
Calculăm $\displaystyle x*4$ folosind forma de mai sus: $\displaystyle x*4=(x-4)(4-4)+4=(x-4)\cdot 0+4$ , deci rămâne doar $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle x*4=4$
Legea este comutativă, deoarece expresia $\displaystyle (x-4)(y-4)+4$ este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ . Deci $\displaystyle 4*y=4$ pentru orice $\displaystyle y$ real.
$\displaystyle x*4=4\text{ și }4*y=4\text{, pentru }x$ , $\displaystyle y\in\mathbb{R}$
Legea este asociativă: $\displaystyle (x*y)*z=(x-4)(y-4)(z-4)+4=x*(y*z)$ . Deci putem grupa factorii cum dorim, fără a schimba ordinea lor.
$\displaystyle (x*y)*z=(x-4)(y-4)(z-4)+4=x*(y*z)$
Printre factori se află $\displaystyle 2^2=4$ . Grupăm primii trei factori: $\displaystyle \left(2^0*2^1\right)*4=4$ , conform proprietății $\displaystyle x*4=4$ .
$\displaystyle \left(2^0*2^1\right)*4=4$
Expresia devine $\displaystyle 4*\left(2^3*2^4*\ldots*2^{2018}\right)$ , iar $\displaystyle 4*y=4$ pentru orice $\displaystyle y$ real, deci rezultatul este $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle 2^0*2^1*2^2*\ldots*2^{2018}=\left(\left(2^0*2^1\right)*4\right)*\left(2^3*\ldots*2^{2018}\right)=4*\left(2^3*\ldots*2^{2018}\right)=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Calculați

\displaystyle \det(A(1,1))

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=1$ în matricea $\displaystyle A(a,b)$ și obținem matricea $\displaystyle A(1,1)$ .
$\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
Calculăm determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle 1\cdot 1-1\cdot(-1)$ .
$\displaystyle \det(A(1,1))=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-1)=1-(-1)$
Efectuăm calculul: scăderea unui număr negativ revine la adunare, deci $\displaystyle 1-(-1)=1+1=2$ .
$\displaystyle \det(A(1,1))=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

, știind că

\displaystyle A(x,y)-A(3,1)=A(1,1)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele din egalitate explicit, folosind definiția lui $\displaystyle A(a,b)$ : $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}$ , $\displaystyle A(3,1)=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
Efectuăm scăderea element cu element în membrul stâng, apoi scriem egalitatea cu matricea din dreapta.
$\displaystyle \begin{pmatrix} x-3 & y-1 \\ -y+1 & x-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Egalând elementele de pe prima coloană obținem $\displaystyle x-3=1$ (prima linie) și $\displaystyle -y+1=-1$ (a doua linie). Celelalte elemente dau aceleași condiții.
$\displaystyle x-3=1\text{ și }-y+1=-1$
Rezolvăm prima ecuație: $\displaystyle x=1+3=4$ . Rezolvăm a doua ecuație: $\displaystyle -y=-1-1=-2$ , deci $\displaystyle y=2$ .
$\displaystyle x=4\text{ și }y=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle 6A(3,1)-A(3,1)\cdot A(3,1)=10A(1,0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=3$ și $\displaystyle b=1$ în matricea $\displaystyle A(a,b)$ .
$\displaystyle A(3,1)=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle A(3,1)$ cu $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle 6A(3,1)=\begin{pmatrix} 18 & 6 \\ -6 & 18 \end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(3,1)\cdot A(3,1)$ înmulțind liniile cu coloanele: $\displaystyle 3\cdot 3+1\cdot(-1)=8$ , $\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot 3=6$ , $\displaystyle -1\cdot 3+3\cdot(-1)=-6$ , $\displaystyle -1\cdot 1+3\cdot 3=8$ .
$\displaystyle A(3,1)\cdot A(3,1)=\begin{pmatrix} 8 & 6 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$
Scădem matricele element cu element: $\displaystyle 18-8=10$ , $\displaystyle 6-6=0$ , $\displaystyle -6-(-6)=0$ , $\displaystyle 18-8=10$ .
$\displaystyle 6A(3,1)-A(3,1)\cdot A(3,1)=\begin{pmatrix} 18 & 6 \\ -6 & 18 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 8 & 6 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$
Scoatem factorul $\displaystyle 10$ . Matricea rămasă este $\displaystyle A(1,0)$ , pentru că $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=0$ dau $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}=10\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=10A(1,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

, știind că

\displaystyle \det(A(a,b))=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(a,b)$ , folosind regula pentru determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det(A(a,b))=\begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}=a\cdot a-b\cdot(-b)$
Efectuăm calculele: $\displaystyle -b\cdot(-b)=b^{2}$ , deci determinantul este suma pătratelor lui $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle \det(A(a,b))=a^{2}+b^{2}$
Impunem condiția din enunț, $\displaystyle \det(A(a,b))=0$ . Obținem o sumă de două pătrate egală cu zero.
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$
Pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ avem $\displaystyle a^{2}\geq 0$ și $\displaystyle b^{2}\geq 0$ . O sumă de două numere nenegative este zero doar dacă ambele sunt zero, deci $\displaystyle a^{2}=0$ și $\displaystyle b^{2}=0$ .
$\displaystyle a^{2}=0\text{ și }b^{2}=0$
Din $\displaystyle a^{2}=0$ și $\displaystyle b^{2}=0$ rezultă valorile căutate.
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=0\Leftrightarrow a=0\text{ și }b=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Rezolvați ecuația matriceală

\displaystyle A(1,1)\cdot X=A(1,0)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele din ecuație, înlocuind valorile lui $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ . Avem $\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(1,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2$ , deci este matricea unitate.
$\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(1,0)=I_2$
Calculăm determinantul matricei $\displaystyle A(1,1)$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Obținem $\displaystyle \det(A(1,1))=1\cdot 1-1\cdot(-1)=2\ne 0$ , deci matricea este inversabilă.
$\displaystyle \det(A(1,1))=1\cdot 1-1\cdot(-1)=2\ne 0$
Calculăm inversa. Pentru o matrice $\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ inversa este $\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . Aici obținem $\displaystyle (A(1,1))^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Verificare: $\displaystyle A(1,1)\cdot\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=I_2$ .
$\displaystyle (A(1,1))^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
Înmulțim ecuația la stânga cu $\displaystyle (A(1,1))^{-1}$ . În membrul stâng $\displaystyle (A(1,1))^{-1}\cdot A(1,1)=I_2$ , deci $\displaystyle X=(A(1,1))^{-1}\cdot A(1,0)$ .
$\displaystyle X=(A(1,1))^{-1}\cdot A(1,0)$
Înlocuim $\displaystyle A(1,0)=I_2$ . Cum înmulțirea cu matricea unitate nu modifică matricea, $\displaystyle X$ este chiar inversa lui $\displaystyle A(1,1)$ . Răspuns final: $\displaystyle X=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle X=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale.

Determinați perechile de numere naturale

\displaystyle (m,n)

, știind că matricea

\displaystyle A(m,-n)

este inversa matricei

\displaystyle A(m,n)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele din enunț: $\displaystyle A(m,n)=\begin{pmatrix} m & n \\ -n & m \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(m,-n)=\begin{pmatrix} m & -n \\ n & m \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(m,n)=\begin{pmatrix} m & n \\ -n & m \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(m,-n)=\begin{pmatrix} m & -n \\ n & m \end{pmatrix}$
Matricea $\displaystyle A(m,-n)$ este inversa lui $\displaystyle A(m,n)$ exact când produsul lor, în ambele ordini, este matricea unitate $\displaystyle I_2$ . Calculăm produsul.
$\displaystyle A(m,-n)\cdot A(m,n)=\begin{pmatrix} m\cdot m+(-n)(-n) & m\cdot n+(-n)\cdot m \\ n\cdot m+m\cdot(-n) & n\cdot n+m\cdot m \end{pmatrix}$
Simplificăm: elementele de pe diagonala secundară sunt $\displaystyle 0$ , iar cele de pe diagonala principală sunt $\displaystyle m^2+n^2$ . Produsul în ordine inversă dă același rezultat. Din egalitatea cu $\displaystyle I_2$ obținem condiția pe $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ .
$\displaystyle A(m,-n)A(m,n)=A(m,n)A(m,-n)=\begin{pmatrix} m^2+n^2 & 0 \\ 0 & m^2+n^2 \end{pmatrix}=I_2\Rightarrow m^2+n^2=1$
Rezolvăm ecuația în numere naturale. Dacă $\displaystyle m$ sau $\displaystyle n$ ar fi cel puțin $\displaystyle 2$ , pătratul lui ar fi cel puțin $\displaystyle 4$ , mai mare decât $\displaystyle 1$ . Deci $\displaystyle m,n\in\{0,1\}$ , iar suma pătratelor este $\displaystyle 1$ doar dacă unul dintre ele este $\displaystyle 1$ și celălalt $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle m$ , $\displaystyle n\in\{0,1\}$ , $\displaystyle \quad m^2+n^2=1\Rightarrow (m,n)=(0,1)\text{ sau }(m,n)=(1,0)$
Perechile de numere naturale căutate sunt $\displaystyle (0,1)$ și $\displaystyle (1,0)$ .
$\displaystyle (0,1)\text{ și }(1,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2018, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani