Bac matematică M4 pedagogic 2021, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=12\displaystyle a_1=\frac{1}{2} și a4=5\displaystyle a_4=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem termenul a4\displaystyle a_4 cu formula termenului general al progresiei aritmetice, an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r, deci a4=a1+3r\displaystyle a_4=a_1+3r.
    a4=a1+3r\displaystyle a_4=a_1+3r
  2. Înlocuim a1=12\displaystyle a_1=\dfrac{1}{2} și a4=5\displaystyle a_4=5 și obținem o ecuație în r\displaystyle r.
    5=12+3r\displaystyle 5=\dfrac{1}{2}+3r
  3. Rezolvăm ecuația: 3r=5−12=92\displaystyle 3r=5-\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}, deci r=92⋅13\displaystyle r=\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{1}{3}.
    r=32\displaystyle r=\dfrac{3}{2}
  4. Exprimăm suma primilor trei termeni: a1+a2+a3\displaystyle a_1+a_2+a_3, unde a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r și a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r. Adunând, obținem 3a1+3r\displaystyle 3a_1+3r.
    a1+a2+a3=3a1+3r\displaystyle a_1+a_2+a_3=3a_1+3r
  5. Înlocuim a1=12\displaystyle a_1=\dfrac{1}{2} și r=32\displaystyle r=\dfrac{3}{2}: 3⋅12+3⋅32=32+92=122=6\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{2}+3\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{12}{2}=6.
    a1+a2+a3=6\displaystyle a_1+a_2+a_3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax+a−2\displaystyle f(x)=ax+a-2, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(1)+f(−2)=0\displaystyle f(1)+f(-2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=ax+a−2\displaystyle f(x)=ax+a-2: f(1)=a⋅1+a−2\displaystyle f(1)=a\cdot 1+a-2.
    f(1)=2a−2\displaystyle f(1)=2a-2
  2. Calculăm f(−2)\displaystyle f(-2) înlocuind x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2: f(−2)=a⋅(−2)+a−2=−2a+a−2\displaystyle f(-2)=a\cdot(-2)+a-2=-2a+a-2.
    f(−2)=−a−2\displaystyle f(-2)=-a-2
  3. Înlocuim în condiția f(1)+f(−2)=0\displaystyle f(1)+f(-2)=0 și obținem ecuația (2a−2)+(−a−2)=0\displaystyle (2a-2)+(-a-2)=0.
    2a−2−a−2=0\displaystyle 2a-2-a-2=0
  4. Reducem termenii asemenea: a−4=0\displaystyle a-4=0, de unde a=4\displaystyle a=4.
    a−4=0, deci a=4\displaystyle a-4=0\text{, deci }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1+log⁡6(2x+6)=3\displaystyle 1+\log_6(2x+6)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică 2x+6>0\displaystyle 2x+6>0, deci x>−3\displaystyle x>-3.
    x∈(−3,+∞)\displaystyle x\in(-3,+\infty)
  2. Izolăm logaritmul: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației 1+log⁡6(2x+6)=3\displaystyle 1+\log_6(2x+6)=3.
    log⁡6(2x+6)=2\displaystyle \log_6(2x+6)=2
  3. Trecem la forma exponențială: dacă log⁡6A=2\displaystyle \log_6 A=2, atunci A=62\displaystyle A=6^{2}, deci 2x+6=62\displaystyle 2x+6=6^{2}.
    log⁡6(2x+6)=2⇒2x+6=62\displaystyle \log_6(2x+6)=2\Rightarrow 2x+6=6^{2}
  4. Calculăm 62=36\displaystyle 6^{2}=36, deci 2x+6=36\displaystyle 2x+6=36. Scădem 6\displaystyle 6 din ambii membri.
    2x=30\displaystyle 2x=30
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=15\displaystyle x=15. Verificăm condiția: 15>−3\displaystyle 15>-3, deci soluția convine.
    x=15, care convine\displaystyle x=15\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris sub forma n3\displaystyle n^3, unde n\displaystyle n este număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,…,9\displaystyle 0,1,2,\ldots,9. Deci avem 10 numere, adică 10 cazuri posibile.
    10 cazuri posibile\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}
  2. Calculăm cuburile numerelor naturale n\displaystyle n până depășim 9: 03=0\displaystyle 0^3=0, 13=1\displaystyle 1^3=1, 23=8\displaystyle 2^3=8, iar 33=27\displaystyle 3^3=27, care nu mai are o cifră.
    03=0\displaystyle 0^3=0, 13=1\displaystyle \ 1^3=1, 23=8\displaystyle \ 2^3=8, 33=27>9\displaystyle \ 3^3=27>9
  3. Numerele de o cifră care sunt cuburi perfecte sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 8\displaystyle 8, deci avem 3 cazuri favorabile.
    3 cazuri favorabile\displaystyle 3\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=310\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{3}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=310\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,2)\displaystyle A(0,2), B(0,6)\displaystyle B(0,6), C(4,2)\displaystyle C(4,2) și punctul D\displaystyle D, mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Determinați ecuația dreptei AD\displaystyle AD.
Vezi rezolvarea
  1. Mijlocul segmentului BC\displaystyle BC are coordonatele xD=xB+xC2\displaystyle x_D=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yD=yB+yC2\displaystyle y_D=\dfrac{y_B+y_C}{2}, unde B(0,6)\displaystyle B(0,6) și C(4,2)\displaystyle C(4,2).
    xD=xB+xC2\displaystyle x_D=\dfrac{x_B+x_C}{2},yD=yB+yC2\displaystyle \quad y_D=\dfrac{y_B+y_C}{2}
  2. Înlocuim: xD=0+42=2\displaystyle x_D=\dfrac{0+4}{2}=2 și yD=6+22=4\displaystyle y_D=\dfrac{6+2}{2}=4. Deci D(2,4)\displaystyle D(2,4).
    D(2,4)\displaystyle D(2,4)
  3. Panta dreptei AD\displaystyle AD este m=yD−yAxD−xA=4−22−0=1\displaystyle m=\dfrac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\dfrac{4-2}{2-0}=1.
    m=4−22−0=1\displaystyle m=\dfrac{4-2}{2-0}=1
  4. Punctul A(0,2)\displaystyle A(0,2) se află pe axa Oy\displaystyle Oy, deci ordonata la origine este 2\displaystyle 2. Ecuația dreptei este y=mx+2\displaystyle y=mx+2, adică y=x+2\displaystyle y=x+2. Verificare: pentru D(2,4)\displaystyle D(2,4) avem 2+2=4\displaystyle 2+2=4, deci D\displaystyle D se află pe dreaptă.
    AD: y=x+2\displaystyle AD:\ y=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați 2sin⁡30∘cos⁡60∘−cos⁡120∘\displaystyle 2\sin 30^\circ\cos 60^\circ-\cos 120^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile din tabelul unghiurilor uzuale: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Pentru cos⁡120∘\displaystyle \cos 120^\circ folosim formula cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x, cu x=60∘\displaystyle x=60^\circ. Obținem cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\dfrac{1}{2}.
    cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\dfrac{1}{2}
  3. Înlocuim valorile în expresie: 2sin⁡30∘cos⁡60∘−cos⁡120∘=2⋅12⋅12−(−12)\displaystyle 2\sin 30^\circ\cos 60^\circ-\cos 120^\circ=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right), adică 2⋅12⋅12+12\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.
    2⋅12⋅12+12\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}
  4. Calculăm produsul: 2⋅12⋅12=12\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}. Apoi 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.
    12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1.

Arătați că 2∗(−5)=−2\displaystyle 2*(-5)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\dfrac{(x-1)(y-1)}{2}+1 valorile x=2\displaystyle x=2 și y=−5\displaystyle y=-5.
    2∗(−5)=(2−1)(−5−1)2+1\displaystyle 2*(-5)=\frac{(2-1)(-5-1)}{2}+1
  2. Calculăm parantezele: 2−1=1\displaystyle 2-1=1 și −5−1=−6\displaystyle -5-1=-6.
    1⋅(−6)2+1\displaystyle \frac{1\cdot(-6)}{2}+1
  3. Împărțim: −62=−3\displaystyle \dfrac{-6}{2}=-3, apoi adunăm 1: −3+1=−2\displaystyle -3+1=-2. Deci 2∗(−5)=−2\displaystyle 2*(-5)=-2.
    −3+1=−2\displaystyle -3+1=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1.

Verificați dacă e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e=3\displaystyle e=3 este neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗3=x\displaystyle x*3=x și 3∗x=x\displaystyle 3*x=x. Verificăm cele două egalități pe rând.
    x∗3=x și 3∗x=x\displaystyle x*3=x\text{ și }3*x=x
  2. Înlocuim y=3\displaystyle y=3 în definiția legii: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, deci factorul 2\displaystyle 2 de la numărător se simplifică cu numitorul 2\displaystyle 2.
    x∗3=(x−1)(3−1)2+1=2(x−1)2+1\displaystyle x*3=\frac{(x-1)(3-1)}{2}+1=\frac{2(x-1)}{2}+1
  3. După simplificare rămâne x−1+1\displaystyle x-1+1, adică x\displaystyle x. Deci x∗3=x\displaystyle x*3=x pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗3=x−1+1=x\displaystyle x*3=x-1+1=x
  4. Acum verificăm egalitatea din partea cealaltă, înlocuind primul element cu 3\displaystyle 3. Din nou 3−1=2\displaystyle 3-1=2 se simplifică cu numitorul.
    3∗x=(3−1)(x−1)2+1=2(x−1)2+1\displaystyle 3*x=\frac{(3-1)(x-1)}{2}+1=\frac{2(x-1)}{2}+1
  5. Rezultă 3∗x=x−1+1=x\displaystyle 3*x=x-1+1=x pentru orice x\displaystyle x real. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, e=3\displaystyle e=3 este element neutru al legii.
    3∗x=x−1+1=x, deci e=3 este elementul neutru al \displaystyle 3*x=x-1+1=x\text{, deci }e=3\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care a∗5=3\displaystyle a*5=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\dfrac{(x-1)(y-1)}{2}+1 pe x=a\displaystyle x=a și y=5\displaystyle y=5.
    a∗5=(a−1)(5−1)2+1\displaystyle a*5=\dfrac{(a-1)(5-1)}{2}+1
  2. Avem 5−1=4\displaystyle 5-1=4, iar 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2, deci expresia devine 2(a−1)+1\displaystyle 2(a-1)+1. Desfacem parantezele și reducem termenii.
    a∗5=2(a−1)+1=2a−2+1=2a−1\displaystyle a*5=2(a-1)+1=2a-2+1=2a-1
  3. Din condiția a∗5=3\displaystyle a*5=3 obținem ecuația 2a−1=3\displaystyle 2a-1=3, adică 2a=4\displaystyle 2a=4. Împărțim la 2.
    2a−1=3⇒2a=4⇒a=2\displaystyle 2a-1=3\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗(1−x)≥−5\displaystyle x*(1-x)\ge -5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii pe y\displaystyle y cu 1−x\displaystyle 1-x. Atunci y−1=(1−x)−1=−x\displaystyle y-1=(1-x)-1=-x.
    x∗(1−x)=(x−1)(−x)2+1\displaystyle x*(1-x)=\frac{(x-1)(-x)}{2}+1
  2. Desfacem parantezele: (x−1)(−x)=−x2+x\displaystyle (x-1)(-x)=-x^{2}+x. Apoi aducem la același numitor: −x2+x2+1=−x2+x+22\displaystyle \dfrac{-x^{2}+x}{2}+1=\dfrac{-x^{2}+x+2}{2}.
    x∗(1−x)=−x2+x+22\displaystyle x*(1-x)=\frac{-x^{2}+x+2}{2}
  3. Inegalitatea x∗(1−x)≥−5\displaystyle x*(1-x)\ge -5 devine −x2+x+22≥−5\displaystyle \dfrac{-x^{2}+x+2}{2}\ge -5.
    −x2+x+22≥−5\displaystyle \frac{-x^{2}+x+2}{2}\ge -5
  4. Înmulțim cu 2>0\displaystyle 2>0, deci sensul inegalității se păstrează: −x2+x+2≥−10\displaystyle -x^{2}+x+2\ge -10. Adunăm 10 în ambii membri.
    −x2+x+12≥0  ⟺  x2−x−12≤0\displaystyle -x^{2}+x+12\ge 0\iff x^{2}-x-12\le 0
  5. Pentru x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0 avem Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49, deci x=1±72\displaystyle x=\dfrac{1\pm 7}{2}.
    x1=−3\displaystyle x_1=-3,x2=4\displaystyle \quad x_2=4
  6. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci x2−x−12≤0\displaystyle x^{2}-x-12\le 0 pentru x\displaystyle x între rădăcini. Inegalitatea este nestrictă, deci capetele −3\displaystyle -3 și 4\displaystyle 4 sunt incluse în soluție.
    x∈[−3,4]\displaystyle x\in[-3,4]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1.

Arătați că există o infinitate de numere naturale n\displaystyle n pentru care numărul N=(n+1)∗(n+1)\displaystyle N=(\sqrt{n}+1)*(\sqrt{n}+1) este natural par.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii pentru x=y=n+1\displaystyle x=y=\sqrt{n}+1. Atunci x−1=n\displaystyle x-1=\sqrt{n} și y−1=n\displaystyle y-1=\sqrt{n}, deci (x−1)(y−1)=n⋅n=n\displaystyle (x-1)(y-1)=\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n.
    (x−1)(y−1)=n⋅n=n\displaystyle (x-1)(y-1)=\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n
  2. Înlocuim în formula legii: N=(x−1)(y−1)2+1=n2+1\displaystyle N=\dfrac{(x-1)(y-1)}{2}+1=\dfrac{n}{2}+1.
    N=n2+1\displaystyle N=\dfrac{n}{2}+1
  3. Pentru ca N\displaystyle N să fie natural par, n2\displaystyle \dfrac{n}{2} trebuie să fie număr natural impar, deoarece n2+1\displaystyle \dfrac{n}{2}+1 trebuie să fie par. Deci n2=2k+1\displaystyle \dfrac{n}{2}=2k+1, adică n=4k+2\displaystyle n=4k+2.
    n2=2k+1⇒n=4k+2\displaystyle \dfrac{n}{2}=2k+1\Rightarrow n=4k+2
  4. Luăm n=4k+2\displaystyle n=4k+2, cu k∈N\displaystyle k\in\mathbb{N}. Atunci N=4k+22+1=2k+1+1=2(k+1)\displaystyle N=\dfrac{4k+2}{2}+1=2k+1+1=2(k+1), care este număr natural par. Cum k\displaystyle k poate fi orice număr natural, obținem o infinitate de valori ale lui n\displaystyle n.
    n=4k+2\displaystyle n=4k+2, k∈N, obținem N=2(k+1), care este numa˘r natural \displaystyle \ k\in\mathbb{N}\text{, obținem }N=2(k+1)\text{, care este număr natural }par\displaystyle \text{par}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x−1)(y−1)2+1\displaystyle x*y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1.

Determinați tripletele (m,n,p)\displaystyle (m,n,p) de numere naturale, cu m<n<p\displaystyle m<n<p, pentru care m∗n∗p=8\displaystyle m*n*p=8.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că definiția legii se poate scrie sub forma x∗y−1=(x−1)(y−1)2\displaystyle x*y-1=\dfrac{(x-1)(y-1)}{2}. Deci diferențele x−1\displaystyle x-1 și y−1\displaystyle y-1 se înmulțesc, iar rezultatul se împarte la 2\displaystyle 2.
    x∗y−1=(x−1)(y−1)2\displaystyle x*y-1=\dfrac{(x-1)(y-1)}{2}
  2. Folosim asociativitatea și calculăm (m∗n)∗p\displaystyle (m*n)*p. Avem m∗n−1=(m−1)(n−1)2\displaystyle m*n-1=\dfrac{(m-1)(n-1)}{2}, deci (m∗n)∗p−1=(m∗n−1)(p−1)2=(m−1)(n−1)(p−1)4\displaystyle (m*n)*p-1=\dfrac{(m*n-1)(p-1)}{2}=\dfrac{(m-1)(n-1)(p-1)}{4}.
    m∗n∗p=(m−1)(n−1)(p−1)4+1\displaystyle m*n*p=\dfrac{(m-1)(n-1)(p-1)}{4}+1
  3. Punem condiția m∗n∗p=8\displaystyle m*n*p=8: (m−1)(n−1)(p−1)4+1=8\displaystyle \dfrac{(m-1)(n-1)(p-1)}{4}+1=8. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și înmulțim cu 4\displaystyle 4, deci (m−1)(n−1)(p−1)=28\displaystyle (m-1)(n-1)(p-1)=28.
    (m−1)(n−1)(p−1)=28\displaystyle (m-1)(n-1)(p-1)=28
  4. Notăm a=m−1\displaystyle a=m-1, b=n−1\displaystyle b=n-1, c=p−1\displaystyle c=p-1. Cum m,n,p∈N\displaystyle m,n,p\in\mathbb{N}, avem a,b,c≥−1\displaystyle a,b,c\ge -1, iar din m<n<p\displaystyle m<n<p rezultă a<b<c\displaystyle a<b<c. Produsul abc=28\displaystyle abc=28 este pozitiv. Doar a\displaystyle a ar putea fi negativ, adică a=−1\displaystyle a=-1, caz în care abc<0\displaystyle abc<0, imposibil. Deci a,b,c\displaystyle a,b,c sunt numere întregi pozitive și 1≤a<b<c\displaystyle 1\le a<b<c.
    a\displaystyle a,b\displaystyle b,c∈N∗\displaystyle c\in\mathbb{N}^{*}, a<b<c\displaystyle \ a<b<c, abc=28\displaystyle \ abc=28
  5. Descompunem 28=22⋅7\displaystyle 28=2^{2}\cdot 7 în trei factori pozitivi distincți, în ordine crescătoare. Se obțin 1⋅2⋅14\displaystyle 1\cdot 2\cdot 14 și 1⋅4⋅7\displaystyle 1\cdot 4\cdot 7. Descompunerile 1⋅1⋅28\displaystyle 1\cdot 1\cdot 28 și 2⋅2⋅7\displaystyle 2\cdot 2\cdot 7 nu convin, deoarece au factori egali.
    (a,b,c)∈{(1,2,14),(1,4,7)}\displaystyle (a,b,c)\in\{(1,2,14),(1,4,7)\}
  6. Revenim la m=a+1\displaystyle m=a+1, n=b+1\displaystyle n=b+1, p=c+1\displaystyle p=c+1. Din (1,2,14)\displaystyle (1,2,14) obținem (2,3,15)\displaystyle (2,3,15), iar din (1,4,7)\displaystyle (1,4,7) obținem (2,5,8)\displaystyle (2,5,8). Ambele verifică m<n<p\displaystyle m<n<p.
    (m,n,p)∈{(2,5,8),(2,3,15)}\displaystyle (m,n,p)\in\{(2,5,8),(2,3,15)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(n)=A⋅A⋅…⋅A⏟de n ori A\displaystyle B(n)=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\text{de }n\text{ ori }A}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Arătați că det⁡A=4\displaystyle \det A=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordinul doi format cu elementele ei: det⁡A=∣13−11∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\-1&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣13−11∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\-1&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm definiția determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡A=1⋅1−(−1)⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 1-(-1)\cdot 3.
    det⁡A=1⋅1−(−1)⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 1-(-1)\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar (−1)⋅3=−3\displaystyle (-1)\cdot 3=-3. Scăderea numărului negativ devine adunare: det⁡A=1+3=4\displaystyle \det A=1+3=4.
    det⁡A=1+3=4\displaystyle \det A=1+3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(n)=A⋅A⋅…⋅A⏟de n ori A\displaystyle B(n)=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\text{de }n\text{ ori }A}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Arătați că det⁡(A+xI2)≥3\displaystyle \det(A+xI_2)\ge 3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A+xI2\displaystyle A+xI_2: xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}, deci se adaugă x\displaystyle x pe diagonala principală a lui A\displaystyle A.
    A+xI2=(1+x3−11+x)\displaystyle A+xI_2=\begin{pmatrix}1+x&3\\-1&1+x\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A+xI2)=(1+x)(1+x)−3⋅(−1)\displaystyle \det(A+xI_2)=(1+x)(1+x)-3\cdot(-1).
    det⁡(A+xI2)=(1+x)(1+x)−3⋅(−1)\displaystyle \det(A+xI_2)=(1+x)(1+x)-3\cdot(-1)
  3. Simplificăm: (1+x)(1+x)=(1+x)2\displaystyle (1+x)(1+x)=(1+x)^2, iar −3⋅(−1)=+3\displaystyle -3\cdot(-1)=+3.
    det⁡(A+xI2)=(1+x)2+3\displaystyle \det(A+xI_2)=(1+x)^2+3
  4. Un pătrat de număr real este mereu pozitiv sau nul: (1+x)2≥0\displaystyle (1+x)^2\ge 0. Adăugând 3\displaystyle 3 obținem (1+x)2+3≥3\displaystyle (1+x)^2+3\ge 3, pentru orice x\displaystyle x real. Astfel inegalitatea cerută este demonstrată.
    det⁡(A+xI2)=(1+x)2+3≥3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(A+xI_2)=(1+x)^2+3\ge 3\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(n)=A⋅A⋅…⋅A⏟de n ori A\displaystyle B(n)=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\text{de }n\text{ ori }A}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul. Arătați că există un număr real a\displaystyle a, astfel încât B(3)=aI2\displaystyle B(3)=aI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A înmulțind linie cu coloană: 1⋅1+3⋅(−1)=−2\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot(-1)=-2, 1⋅3+3⋅1=6\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 1=6, (−1)⋅1+1⋅(−1)=−2\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot(-1)=-2, (−1)⋅3+1⋅1=−2\displaystyle (-1)\cdot 3+1\cdot 1=-2. Obținem matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    (−26−2−2)\displaystyle \begin{pmatrix}-2&6\\-2&-2\end{pmatrix}
  2. Scriem B(3)=(A⋅A)⋅A\displaystyle B(3)=(A\cdot A)\cdot A și calculăm linie cu coloană: (−2)⋅1+6⋅(−1)=−8\displaystyle (-2)\cdot 1+6\cdot(-1)=-8, (−2)⋅3+6⋅1=0\displaystyle (-2)\cdot 3+6\cdot 1=0, (−2)⋅1+(−2)⋅(−1)=0\displaystyle (-2)\cdot 1+(-2)\cdot(-1)=0, (−2)⋅3+(−2)⋅1=−8\displaystyle (-2)\cdot 3+(-2)\cdot 1=-8. Rezultatul se scrie ca −8I2\displaystyle -8I_2.
    (−800−8)=−8I2\displaystyle \begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}=-8I_2
  3. Comparăm B(3)=−8I2\displaystyle B(3)=-8I_2 cu aI2\displaystyle aI_2. Cele două matrice sunt egale pentru a=−8\displaystyle a=-8, deci există un astfel de număr real a\displaystyle a.
    −8I2=aI2, de unde a=−8\displaystyle -8I_2=aI_2\text{, de unde }a=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(n)=A⋅A⋅…⋅A⏟de n ori A\displaystyle B(n)=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\text{de }n\text{ ori }A}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(2mA+I2)+2mdet⁡(A−I2)=0\displaystyle \det(2mA+I_2)+2m\det(A-I_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea 2mA+I2\displaystyle 2mA+I_2: înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu 2m\displaystyle 2m și adunăm 1\displaystyle 1 pe diagonala principală.
    2mA+I2=(2m+16m−2m2m+1)\displaystyle 2mA+I_2=\begin{pmatrix}2m+1&6m\\-2m&2m+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul acestei matrice: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Avem det⁡(2mA+I2)=(2m+1)2−6m⋅(−2m)\displaystyle \det(2mA+I_2)=(2m+1)^2-6m\cdot(-2m).
    det⁡(2mA+I2)=(2m+1)2+12m2=16m2+4m+1\displaystyle \det(2mA+I_2)=(2m+1)^2+12m^2=16m^2+4m+1
  3. Calculăm matricea A−I2=(03−10)\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}0&3\\-1&0\end{pmatrix}, al cărei determinant este 0⋅0−3⋅(−1)=3\displaystyle 0\cdot 0-3\cdot(-1)=3. Apoi înmulțim cu 2m\displaystyle 2m.
    det⁡(A−I2)=3, deci 2mdet⁡(A−I2)=6m\displaystyle \det(A-I_2)=3\text{, deci }2m\det(A-I_2)=6m
  4. Înlocuim cei doi determinanți în ecuația dată: 16m2+4m+1+6m=0\displaystyle 16m^2+4m+1+6m=0. Reducem termenii asemenea și obținem o ecuație de gradul al doilea în m\displaystyle m.
    16m2+10m+1=0\displaystyle 16m^2+10m+1=0
  5. Calculăm discriminantul ecuației: Δ=102−4⋅16⋅1=100−64=36\displaystyle \Delta=10^2-4\cdot16\cdot1=100-64=36, deci Δ=6\displaystyle \sqrt{\Delta}=6.
    Δ=36\displaystyle \Delta=36
  6. Aplicăm formula m=−10±632\displaystyle m=\dfrac{-10\pm6}{32}. Obținem m=−1632=−12\displaystyle m=\dfrac{-16}{32}=-\dfrac{1}{2} și m=−432=−18\displaystyle m=\dfrac{-4}{32}=-\dfrac{1}{8}. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    m=−12 sau m=−18\displaystyle m=-\frac{1}{2}\text{ sau }m=-\frac{1}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(n)=A⋅A⋅…⋅A⏟de n ori A\displaystyle B(n)=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\text{de }n\text{ ori }A}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Se consideră matricea M=(xyzt)∈M2(R)\displaystyle M=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), astfel încât A⋅M=M⋅A\displaystyle A\cdot M=M\cdot A. Arătați că x+y+3z−t=0\displaystyle x+y+3z-t=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅M\displaystyle A\cdot M, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui M\displaystyle M.
    A⋅M=(13−11)(xyzt)=(x+3zy+3t−x+z−y+t)\displaystyle A\cdot M=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+3z&y+3t\\-x+z&-y+t\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M⋅A\displaystyle M\cdot A, înmulțind liniile lui M\displaystyle M cu coloanele lui A\displaystyle A.
    M⋅A=(xyzt)(13−11)=(x−y3x+yz−t3z+t)\displaystyle M\cdot A=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-y&3x+y\\z-t&3z+t\end{pmatrix}
  3. Din egalitatea A⋅M=M⋅A\displaystyle A\cdot M=M\cdot A egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem un sistem de patru ecuații.
    {x+3z=x−yy+3t=3x+y−x+z=z−t−y+t=3z+t\displaystyle \begin{cases}x+3z=x-y\\y+3t=3x+y\\-x+z=z-t\\-y+t=3z+t\end{cases}
  4. Simplificăm ecuațiile: prima și a patra dau aceeași relație, iar a doua și a treia dau aceeași relație.
    3z=−y și t=x\displaystyle 3z=-y\text{ și }t=x
  5. Înlocuim relațiile 3z=−y\displaystyle 3z=-y și t=x\displaystyle t=x în expresia cerută și obținem 0\displaystyle 0.
    x+y+3z−t=x+y−y−x=0\displaystyle x+y+3z-t=x+y-y-x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(13−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(n)=A⋅A⋅…⋅A⏟de n ori A\displaystyle B(n)=\underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\text{de }n\text{ ori }A}, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, matricea B(6n)\displaystyle B(6n) are toate elementele numere naturale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: A2=(13−11)(13−11)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}.
    A2=(1⋅1+3⋅(−1)1⋅3+3⋅1−1⋅1+1⋅(−1)−1⋅3+1⋅1)=(−26−2−2)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}1\cdot1+3\cdot(-1)&1\cdot3+3\cdot1\\-1\cdot1+1\cdot(-1)&-1\cdot3+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&6\\-2&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm B(3)=A3=A2⋅A\displaystyle B(3)=A^{3}=A^{2}\cdot A: (−26−2−2)(13−11)\displaystyle \begin{pmatrix}-2&6\\-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}. Rezultatul este −8I2\displaystyle -8I_2.
    B(3)=(−2−6−6+6−2+2−6−2)=(−800−8)=−8I2\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}-2-6&-6+6\\-2+2&-6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}=-8I_2
  3. Grupăm cei 6n\displaystyle 6n factori A\displaystyle A în 2n\displaystyle 2n grupe de câte trei factori, iar fiecare grupă este B(3)=−8I2\displaystyle B(3)=-8I_2. Deoarece I2\displaystyle I_2 comută cu orice matrice și I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, scalarii se înmulțesc între ei.
    B(6n)=B(3)⋅B(3)⋅…⋅B(3)⏟2n ori=(−8I2)2n=(−8)2nI2\displaystyle B(6n)=\underbrace{B(3)\cdot B(3)\cdot\ldots\cdot B(3)}_{2n\text{ ori}}=(-8I_2)^{2n}=(-8)^{2n}I_2
  4. Exponentul 2n\displaystyle 2n este par, deci (−8)2n=((−8)2)n=64n\displaystyle (-8)^{2n}=\left((-8)^{2}\right)^{n}=64^{n}. Atunci B(6n)=64nI2\displaystyle B(6n)=64^{n}I_2, adică are pe diagonală 64n\displaystyle 64^{n}, iar în rest 0\displaystyle 0. Toate elementele sunt numere naturale, pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    B(6n)=64nI2=(64n0064n), cu elemente ıˆn N\displaystyle B(6n)=64^{n}I_2=\begin{pmatrix}64^{n}&0\\0&64^{n}\end{pmatrix}\text{, cu elemente în }\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.