Bac matematică M4 pedagogic 2024, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} cu a1=6\displaystyle a_1=6 și a2=8\displaystyle a_2=8. Calculați a3\displaystyle a_3.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. O calculăm din primii doi termeni: r=a2−a1\displaystyle r=a_2-a_1.
    r=a2−a1=8−6\displaystyle r=a_2-a_1=8-6
  2. Efectuăm scăderea și obținem rația progresiei: r=8−6=2\displaystyle r=8-6=2.
    r=2\displaystyle r=2
  3. Fiecare termen se obține din precedentul adunând rația, deci a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r.
    a3=a2+r=8+2\displaystyle a_3=a_2+r=8+2
  4. Calculăm suma și obținem al treilea termen al progresiei. Răspuns final: a3=10\displaystyle a_3=10.
    a3=10\displaystyle a_3=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−9\displaystyle f(x)=4x-9. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care punctul A(m,3)\displaystyle A(m,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(m,3)\displaystyle A(m,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(m)=3\displaystyle f(m)=3, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa m\displaystyle m.
    f(m)=3\displaystyle f(m)=3
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula funcției, f(m)=4m−9\displaystyle f(m)=4m-9, și obținem o ecuație de gradul I în m\displaystyle m.
    4m−9=3\displaystyle 4m-9=3
  3. Adunăm 9\displaystyle 9 în ambii membri ai ecuației: 4m=3+9\displaystyle 4m=3+9, deci 4m=12\displaystyle 4m=12.
    4m=12\displaystyle 4m=12
  4. Împărțim ambii membri la 4\displaystyle 4 și obținem m=124=3\displaystyle m=\dfrac{12}{4}=3. Acesta este răspunsul final.
    m=3\displaystyle m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x=23x−2\displaystyle 4^x=2^{3x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 4\displaystyle 4 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci 4x=(22)x=22x\displaystyle 4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2x}.
    4x=22x\displaystyle 4^{x}=2^{2x}
  2. Ecuația devine 22x=23x−2\displaystyle 2^{2x}=2^{3x-2}. Bazele sunt egale și diferite de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și putem egala exponenții: 2x=3x−2\displaystyle 2x=3x-2.
    22x=23x−2⇒2x=3x−2\displaystyle 2^{2x}=2^{3x-2}\Rightarrow 2x=3x-2
  3. Rezolvăm ecuația de gradul I: mutăm termenii cu x\displaystyle x în același membru, 2x−3x=−2\displaystyle 2x-3x=-2, adică −x=−2\displaystyle -x=-2.
    2x−3x=−2⇒−x=−2\displaystyle 2x-3x=-2\Rightarrow -x=-2
  4. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem x=2\displaystyle x=2. Aceasta este singura soluție reală a ecuației.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
La o competiție sportivă 40%\displaystyle 40\% dintre concurenți sunt fete. Determinați numărul total de concurenți, știind că la competiție au participat 80 de fete.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x numărul total de concurenți. Fetele reprezintă 40%\displaystyle 40\% din x\displaystyle x, adică 40100⋅x\displaystyle \dfrac{40}{100}\cdot x, iar acest număr este 80\displaystyle 80.
    40100⋅x=80\displaystyle \frac{40}{100}\cdot x=80
  2. Simplificăm fracția 40100\displaystyle \dfrac{40}{100} la 25\displaystyle \dfrac{2}{5}, deci ecuația devine 25⋅x=80\displaystyle \dfrac{2}{5}\cdot x=80.
    25⋅x=80\displaystyle \frac{2}{5}\cdot x=80
  3. Înmulțim ambii membri cu 52\displaystyle \dfrac{5}{2} și obținem x=80⋅52=40⋅5=200\displaystyle x=80\cdot\dfrac{5}{2}=40\cdot 5=200. Așadar, numărul total de concurenți este 200\displaystyle 200.
    x=200 de concurenți\displaystyle x=200\text{ de concurenți}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1), B(1,3)\displaystyle B(1,3) și C(a,a)\displaystyle C(a,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care segmentele AB\displaystyle AB și OC\displaystyle OC au același mijloc.
Vezi rezolvarea
  1. Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Pentru segmentul AB\displaystyle AB, cu A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(1,3)\displaystyle B(1,3), avem xM=3+12\displaystyle x_M=\dfrac{3+1}{2} și yM=1+32\displaystyle y_M=\dfrac{1+3}{2}.
    xM=3+12=2\displaystyle x_M=\dfrac{3+1}{2}=2,yM=1+32=2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{1+3}{2}=2
  2. Deci mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este punctul M(2,2)\displaystyle M(2,2).
    M(2,2)\displaystyle M(2,2)
  3. Mijlocul segmentului OC\displaystyle OC, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și C(a,a)\displaystyle C(a,a), este punctul (0+a2,0+a2)\displaystyle \left(\dfrac{0+a}{2},\dfrac{0+a}{2}\right). Segmentele au același mijloc dacă acest punct coincide cu M(2,2)\displaystyle M(2,2).
    (a2,a2)=(2,2)\displaystyle \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right)=(2,2)
  4. Egalăm abscisele: 0+a2=2\displaystyle \dfrac{0+a}{2}=2, deci a=4\displaystyle a=4. Ordonata dă aceeași condiție, deci mijloacele coincid pentru a=4\displaystyle a=4.
    0+a2=2⇒a=4\displaystyle \dfrac{0+a}{2}=2\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=83\displaystyle AB=8\sqrt{3} și BC=16\displaystyle BC=16. Demonstrați că triunghiul AMC\displaystyle AMC este echilateral, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Din teorema lui Pitagora avem AC2=BC2−AB2\displaystyle AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}.
    AC2=BC2−AB2\displaystyle AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}
  2. Înlocuim: BC2=162=256\displaystyle BC^{2}=16^{2}=256 și AB2=(83)2=64⋅3=192\displaystyle AB^{2}=(8\sqrt{3})^{2}=64\cdot 3=192. Atunci AC2=256−192=64\displaystyle AC^{2}=256-192=64, deci AC=8\displaystyle AC=8.
    AC=256−192=64=8\displaystyle AC=\sqrt{256-192}=\sqrt{64}=8
  3. Punctul M\displaystyle M este mijlocul lui BC\displaystyle BC, deci CM=BC2=162=8\displaystyle CM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{16}{2}=8.
    CM=162=8\displaystyle CM=\dfrac{16}{2}=8
  4. AM\displaystyle AM este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, deci este jumătate din ipotenuză: AM=BC2=8\displaystyle AM=\dfrac{BC}{2}=8.
    AM=BC2=8\displaystyle AM=\dfrac{BC}{2}=8
  5. Avem AC=8\displaystyle AC=8, CM=8\displaystyle CM=8 și AM=8\displaystyle AM=8. Cele trei laturi ale triunghiului AMC\displaystyle AMC sunt egale, deci triunghiul AMC\displaystyle AMC este echilateral.
    AC=CM=AM=8⇒△AMC echilateral\displaystyle AC=CM=AM=8\Rightarrow \triangle AMC\text{ echilateral}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14.

Arătați că 3∘3=1∘1\displaystyle 3\circ 3=1\circ 1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14 pentru x=3\displaystyle x=3 și y=3\displaystyle y=3.
    3∘3=3(3⋅3−2⋅3−2⋅3)+14\displaystyle 3\circ 3=3(3\cdot 3-2\cdot 3-2\cdot 3)+14
  2. În paranteză avem 9−6−6=−3\displaystyle 9-6-6=-3. Apoi 3⋅(−3)+14=−9+14=5\displaystyle 3\cdot(-3)+14=-9+14=5.
    3∘3=3⋅(−3)+14=5\displaystyle 3\circ 3=3\cdot(-3)+14=5
  3. Aplicăm definiția pentru x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    1∘1=3(1⋅1−2⋅1−2⋅1)+14\displaystyle 1\circ 1=3(1\cdot 1-2\cdot 1-2\cdot 1)+14
  4. În paranteză avem 1−2−2=−3\displaystyle 1-2-2=-3. Apoi 3⋅(−3)+14=−9+14=5\displaystyle 3\cdot(-3)+14=-9+14=5. Cum 3∘3=5\displaystyle 3\circ 3=5 și 1∘1=5\displaystyle 1\circ 1=5, cele două compuneri sunt egale.
    1∘1=5⇒3∘3=1∘1\displaystyle 1\circ 1=5\Rightarrow 3\circ 3=1\circ 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14.

Demonstrați că x∘2=2\displaystyle x\circ 2=2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14 și înlocuim y=2\displaystyle y=2, pentru un număr real oarecare x\displaystyle x.
    x∘2=3(x⋅2−2⋅x−2⋅2)+14\displaystyle x\circ 2=3(x\cdot 2-2\cdot x-2\cdot 2)+14
  2. Reducem termenii care conțin x\displaystyle x: 2x−2x=0\displaystyle 2x-2x=0, iar 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4.
    x∘2=3(2x−2x−4)+14=3⋅(−4)+14\displaystyle x\circ 2=3(2x-2x-4)+14=3\cdot(-4)+14
  3. Calculăm: 3⋅(−4)=−12\displaystyle 3\cdot(-4)=-12, iar −12+14=2\displaystyle -12+14=2. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x, deci egalitatea are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    −12+14=2, deci x∘2=2 pentru orice x∈R\displaystyle -12+14=2\text{, deci }x\circ 2=2\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14.

Arătați că e=73\displaystyle e=\frac{7}{3} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Precizăm ce avem de verificat: e\displaystyle e este element neutru dacă x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Începem prin a-l înlocui pe e=73\displaystyle e=\dfrac{7}{3} în x∘e\displaystyle x\circ e.
    x∘73=3(x⋅73−2x−2⋅73)+14\displaystyle x\circ\frac{7}{3}=3\left(x\cdot\frac{7}{3}-2x-2\cdot\frac{7}{3}\right)+14
  2. Înmulțim factorul 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din paranteză: 3⋅7x3=7x\displaystyle 3\cdot\dfrac{7x}{3}=7x, 3⋅2x=6x\displaystyle 3\cdot 2x=6x, 3⋅143=14\displaystyle 3\cdot\dfrac{14}{3}=14. Apoi reducem termenii: −14+14=0\displaystyle -14+14=0 și 7x−6x=x\displaystyle 7x-6x=x.
    x∘73=7x−6x−14+14=x\displaystyle x\circ\frac{7}{3}=7x-6x-14+14=x
  3. Verificăm și cealaltă egalitate, cu e=73\displaystyle e=\dfrac{7}{3} în prima poziție: scriem 73∘x\displaystyle \dfrac{7}{3}\circ x după definiția legii.
    73∘x=3(73⋅x−2⋅73−2x)+14\displaystyle \frac{7}{3}\circ x=3\left(\frac{7}{3}\cdot x-2\cdot\frac{7}{3}-2x\right)+14
  4. Înmulțim cu 3\displaystyle 3 fiecare termen din paranteză: 7x−14−6x\displaystyle 7x-14-6x, apoi adunăm 14\displaystyle 14. Reducem termenii asemenea și obținem x\displaystyle x. Deci x∘73=73∘x=x\displaystyle x\circ\dfrac{7}{3}=\dfrac{7}{3}\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, adică e=73\displaystyle e=\dfrac{7}{3} este elementul neutru.
    73∘x=7x−14−6x+14=x\displaystyle \frac{7}{3}\circ x=7x-14-6x+14=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=5\displaystyle x\circ x=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∘x=3(x⋅x−2x−2x)+14\displaystyle x\circ x=3(x\cdot x-2x-2x)+14.
    x∘x=3(x2−4x)+14\displaystyle x\circ x=3(x^{2}-4x)+14
  2. Desfacem parantezele: 3(x2−4x)+14=3x2−12x+14\displaystyle 3(x^{2}-4x)+14=3x^{2}-12x+14.
    x∘x=3x2−12x+14\displaystyle x\circ x=3x^{2}-12x+14
  3. Punem condiția x∘x=5\displaystyle x\circ x=5, adică 3x2−12x+14=5\displaystyle 3x^{2}-12x+14=5.
    3x2−12x+14=5\displaystyle 3x^{2}-12x+14=5
  4. Mutăm 5 în stânga: 3x2−12x+9=0\displaystyle 3x^{2}-12x+9=0. Împărțim la 3\displaystyle 3.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  5. Calculăm Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=4. Atunci x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14.

Arătați că x∘y≥2\displaystyle x\circ y\geq 2, pentru orice numere reale x≥2\displaystyle x\geq 2 și y≥2\displaystyle y\geq 2.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul: (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci 3(x−2)(y−2)=3(xy−2x−2y)+12\displaystyle 3(x-2)(y-2)=3(xy-2x-2y)+12.
    3(x−2)(y−2)=3(xy−2x−2y)+12\displaystyle 3(x-2)(y-2)=3(xy-2x-2y)+12
  2. Cum 14=12+2\displaystyle 14=12+2, obținem, pentru orice x,y\displaystyle x,y reale: x∘y=3(xy−2x−2y)+12+2=3(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+12+2=3(x-2)(y-2)+2.
    x∘y=3(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=3(x-2)(y-2)+2
  3. Din x≥2\displaystyle x\geq 2 și y≥2\displaystyle y\geq 2 rezultă x−2≥0\displaystyle x-2\geq 0 și y−2≥0\displaystyle y-2\geq 0. Produsul a două numere nenegative este nenegativ, deci (x−2)(y−2)≥0\displaystyle (x-2)(y-2)\geq 0.
    x−2≥0\displaystyle x-2\geq 0, y−2≥0⇒(x−2)(y−2)≥0\displaystyle \ y-2\geq 0\Rightarrow (x-2)(y-2)\geq 0
  4. Înmulțim inegalitatea (x−2)(y−2)≥0\displaystyle (x-2)(y-2)\geq 0 cu 3>0\displaystyle 3>0, apoi adunăm 2\displaystyle 2: x∘y=3(x−2)(y−2)+2≥2\displaystyle x\circ y=3(x-2)(y-2)+2\geq 2, pentru orice x≥2\displaystyle x\geq 2 și y≥2\displaystyle y\geq 2.
    x∘y=3(x−2)(y−2)+2⇒x∘y≥2\displaystyle x\circ y=3(x-2)(y-2)+2\Rightarrow x\circ y\geq 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3(xy−2x−2y)+14\displaystyle x\circ y=3(xy-2x-2y)+14.

Demonstrați că, dacă m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale nenule și m∘n=8\displaystyle m\circ n=8, atunci m+n=7\displaystyle m+n=7.
Vezi rezolvarea
  1. Din m∘n=8\displaystyle m\circ n=8 și definiția legii obținem 3(mn−2m−2n)+14=8\displaystyle 3(mn-2m-2n)+14=8.
    3(mn−2m−2n)+14=8\displaystyle 3(mn-2m-2n)+14=8
  2. Observăm că (m−2)(n−2)=mn−2m−2n+4\displaystyle (m-2)(n-2)=mn-2m-2n+4, deci mn−2m−2n=(m−2)(n−2)−4\displaystyle mn-2m-2n=(m-2)(n-2)-4.
    mn−2m−2n=(m−2)(n−2)−4\displaystyle mn-2m-2n=(m-2)(n-2)-4
  3. Înlocuim în relație: 3((m−2)(n−2)−4)+14=3(m−2)(n−2)−12+14\displaystyle 3\left((m-2)(n-2)-4\right)+14=3(m-2)(n-2)-12+14. Astfel relația devine 3(m−2)(n−2)+2=8\displaystyle 3(m-2)(n-2)+2=8.
    m∘n=8⇔3(m−2)(n−2)+2=8\displaystyle m\circ n=8\Leftrightarrow 3(m-2)(n-2)+2=8
  4. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 3(m−2)(n−2)=6\displaystyle 3(m-2)(n-2)=6. Împărțim la 3\displaystyle 3.
    (m−2)(n−2)=2\displaystyle (m-2)(n-2)=2
  5. Deoarece m,n∈N∗\displaystyle m,n\in\mathbb{N}^*, numerele m−2\displaystyle m-2 și n−2\displaystyle n-2 sunt întregi cu produsul 2\displaystyle 2. Perechile posibile sunt (1,2)\displaystyle (1,2), (2,1)\displaystyle (2,1), (−1,−2)\displaystyle (-1,-2), (−2,−1)\displaystyle (-2,-1).
    (m−2,n−2)∈{(1,2),(2,1),(−1,−2),(−2,−1)}\displaystyle (m-2,n-2)\in\{(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1)\}
  6. Perechile (−1,−2)\displaystyle (-1,-2) și (−2,−1)\displaystyle (-2,-1) dau m=1,n=0\displaystyle m=1,n=0 sau m=0,n=1\displaystyle m=0,n=1, deci nu convin, deoarece m,n\displaystyle m,n sunt nenule. Din (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) obținem m=3,n=4\displaystyle m=3,n=4 sau m=4,n=3\displaystyle m=4,n=3.
    m=4 și n=3 sau m=3 și n=4\displaystyle m=4\text{ și }n=3\text{ sau }m=3\text{ și }n=4
  7. În ambele cazuri m+n=3+4=7\displaystyle m+n=3+4=7, ceea ce trebuia demonstrat.
    (m−2)(n−2)=2\displaystyle (m-2)(n-2)=2, m=4 și n=3 sau m=3 și n=4\displaystyle \ m=4\text{ și }n=3\text{ sau }m=3\text{ și }n=4, deci m+n=7\displaystyle \text{ deci }m+n=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(36−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣36−1−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&6\\-1&-2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣36−1−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&6\\-1&-2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula diagonalelor: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală avem 3\displaystyle 3 și −2\displaystyle -2, iar pe cea secundară 6\displaystyle 6 și −1\displaystyle -1.
    det⁡A=3⋅(−2)−6⋅(−1)\displaystyle \det A=3\cdot(-2)-6\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−2)=−6\displaystyle 3\cdot(-2)=-6, iar 6⋅(−1)=−6\displaystyle 6\cdot(-1)=-6. Scăderea unui număr negativ revine la adunare, deci obținem −6+6=0\displaystyle -6+6=0.
    det⁡A=−6+6=0\displaystyle \det A=-6+6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(36−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, adică matricea A\displaystyle A înmulțită cu ea însăși, și aplicăm regula de înmulțire a matricelor: fiecare element se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua.
    A⋅A=(36−1−2)⋅(36−1−2)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element: linia 1 cu coloana 1, linia 1 cu coloana 2, linia 2 cu coloana 1, linia 2 cu coloana 2.
    A⋅A=(3⋅3+6⋅(−1)3⋅6+6⋅(−2)−1⋅3+(−2)⋅(−1)−1⋅6+(−2)⋅(−2))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3\cdot 3+6\cdot(-1)&3\cdot 6+6\cdot(-2)\\-1\cdot 3+(-2)\cdot(-1)&-1\cdot 6+(-2)\cdot(-2)\end{pmatrix}
  3. Efectuăm înmulțirile și adunările din fiecare element: 9−6=3\displaystyle 9-6=3, 18−12=6\displaystyle 18-12=6, −3+2=−1\displaystyle -3+2=-1, −6+4=−2\displaystyle -6+4=-2.
    (9−618−12−3+2−6+4)=(36−1−2)\displaystyle \begin{pmatrix}9-6&18-12\\-3+2&-6+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}
  4. Matricea obținută coincide cu matricea A\displaystyle A, deci A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
    A⋅A=(36−1−2)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}=A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(36−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(X(a))=2a2\displaystyle \det(X(a))=2a^2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA: înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu a\displaystyle a și adunăm cu I2\displaystyle I_2.
    X(a)=(1+3a6a−a1−2a)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1+3a&6a\\-a&1-2a\end{pmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: det⁡(X(a))=(1+3a)(1−2a)−6a⋅(−a)\displaystyle \det(X(a))=(1+3a)(1-2a)-6a\cdot(-a).
    det⁡(X(a))=(1+3a)(1−2a)+6a2\displaystyle \det(X(a))=(1+3a)(1-2a)+6a^{2}
  3. Dezvoltăm: (1+3a)(1−2a)=1−2a+3a−6a2=1+a−6a2\displaystyle (1+3a)(1-2a)=1-2a+3a-6a^{2}=1+a-6a^{2}. Adunând 6a2\displaystyle 6a^{2}, termenii în a2\displaystyle a^{2} se reduc.
    det⁡(X(a))=1+a−6a2+6a2=1+a\displaystyle \det(X(a))=1+a-6a^{2}+6a^{2}=1+a
  4. Din condiția det⁡(X(a))=2a2\displaystyle \det(X(a))=2a^2 obținem 1+a=2a2\displaystyle 1+a=2a^2, adică ecuația de gradul II 2a2−a−1=0\displaystyle 2a^2-a-1=0.
    2a2−a−1=0\displaystyle 2a^{2}-a-1=0
  5. Discriminantul este Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=9\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9, deci a=1±34\displaystyle a=\dfrac{1\pm 3}{4}, adică a=44=1\displaystyle a=\dfrac{4}{4}=1 sau a=−24=−12\displaystyle a=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}.
    a=−12 sau a=1\displaystyle a=-\frac{1}{2}\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(36−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A⋅X(a)=(a+1)A\displaystyle A\cdot X(a)=(a+1)A, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA în produsul A⋅X(a)\displaystyle A\cdot X(a).
    A⋅X(a)=A⋅(I2+aA)\displaystyle A\cdot X(a)=A\cdot(I_2+aA)
  2. Distribuim produsul față de adunare și scoatem scalarul a\displaystyle a în fața produsului: A⋅(I2+aA)=A⋅I2+a⋅A⋅A\displaystyle A\cdot(I_2+aA)=A\cdot I_2+a\cdot A\cdot A.
    A⋅I2+a⋅A⋅A\displaystyle A\cdot I_2+a\cdot A\cdot A
  3. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A. Prima linie: 3⋅3+6⋅(−1)=3\displaystyle 3\cdot 3+6\cdot(-1)=3 și 3⋅6+6⋅(−2)=6\displaystyle 3\cdot 6+6\cdot(-2)=6. A doua linie: (−1)⋅3+(−2)⋅(−1)=−1\displaystyle (-1)\cdot 3+(-2)\cdot(-1)=-1 și (−1)⋅6+(−2)⋅(−2)=−2\displaystyle (-1)\cdot 6+(-2)\cdot(-2)=-2. Deci A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
    A⋅A=(36−1−2)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}=A
  4. Folosim A⋅I2=A\displaystyle A\cdot I_2=A, deoarece I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire, și A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A. Obținem A+aA\displaystyle A+aA.
    A⋅X(a)=A+aA\displaystyle A\cdot X(a)=A+aA
  5. Dăm factor comun matricea A\displaystyle A: A+aA=(1+a)A\displaystyle A+aA=(1+a)A. Deci A⋅X(a)=(a+1)A\displaystyle A\cdot X(a)=(a+1)A pentru orice a\displaystyle a real.
    A⋅X(a)=(a+1)A\displaystyle A\cdot X(a)=(a+1)A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(36−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că X(m)⋅X(n)=X(m+n+mn)\displaystyle X(m)\cdot X(n)=X(m+n+mn), pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul folosind definiția X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, pentru a=m\displaystyle a=m și a=n\displaystyle a=n.
    X(m)⋅X(n)=(I2+mA)(I2+nA)\displaystyle X(m)\cdot X(n)=(I_2+mA)(I_2+nA)
  2. Verificăm că A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A, calculând pătratul matricei A\displaystyle A. Această egalitate va fi folosită la gruparea termenilor.
    A2=(3⋅3+6⋅(−1)3⋅6+6⋅(−2)−1⋅3+(−2)⋅(−1)−1⋅6+(−2)(−2))=(36−1−2)=A\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}3\cdot3+6\cdot(-1)&3\cdot6+6\cdot(-2)\\-1\cdot3+(-2)\cdot(-1)&-1\cdot6+(-2)(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}=A
  3. Dezvoltăm produsul, înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua. Folosim faptul că I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire, iar scalarii se pot scoate în fața matricelor.
    (I2+mA)(I2+nA)=I2⋅I2+nI2A+mAI2+mnA⋅A=I2+nA+mA+mnA2\displaystyle (I_2+mA)(I_2+nA)=I_2\cdot I_2+nI_2A+mAI_2+mnA\cdot A=I_2+nA+mA+mnA^2
  4. Înlocuim A⋅A\displaystyle A\cdot A cu A\displaystyle A, conform egalității verificate. Obținem expresia din barem.
    X(m)⋅X(n)=I2+mA+nA+mnA\displaystyle X(m)\cdot X(n)=I_2+mA+nA+mnA
  5. Grupăm termenii care conțin pe A\displaystyle A, dând factor comun matricea A\displaystyle A. Rezultă exact forma lui X(m+n+mn)\displaystyle X(m+n+mn), deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    I2+(m+n+mn)A=X(m+n+mn)\displaystyle I_2+(m+n+mn)A=X(m+n+mn)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(36−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale distincte pentru care X(a)⋅X(a)=X(b)⋅X(b)\displaystyle X(a)\cdot X(a)=X(b)\cdot X(b), atunci a+b+2=0\displaystyle a+b+2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A=(36−1−2)(36−1−2)=(9−618−12−3+2−6+4)\displaystyle A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-6&18-12\\-3+2&-6+4\end{pmatrix}. Obținem că A2=A\displaystyle A^{2}=A.
    A2=(36−1−2)=A\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}=A
  2. Dezvoltăm X(a)⋅X(a)=(I2+aA)2=I2+2aA+a2A2\displaystyle X(a)\cdot X(a)=(I_2+aA)^{2}=I_2+2aA+a^{2}A^{2}. Cum A2=A\displaystyle A^{2}=A, obținem I2+(2a+a2)A\displaystyle I_2+(2a+a^{2})A, adică X(2a+a2)\displaystyle X(2a+a^{2}).
    X(a)⋅X(a)=X(2a+a2)\displaystyle X(a)\cdot X(a)=X(2a+a^{2})
  3. La fel, X(b)⋅X(b)=X(2b+b2)\displaystyle X(b)\cdot X(b)=X(2b+b^{2}). Ipoteza devine X(2a+a2)=X(2b+b2)\displaystyle X(2a+a^{2})=X(2b+b^{2}), adică (2a+a2)A=(2b+b2)A\displaystyle (2a+a^{2})A=(2b+b^{2})A. Cum A≠O2\displaystyle A\neq O_2, rezultă 2a+a2=2b+b2\displaystyle 2a+a^{2}=2b+b^{2}.
    2a+a2=2b+b2\displaystyle 2a+a^{2}=2b+b^{2}
  4. Mutăm termenii în același membru: a2−b2+2a−2b=0\displaystyle a^{2}-b^{2}+2a-2b=0. Scriem a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) și 2a−2b=2(a−b)\displaystyle 2a-2b=2(a-b). Dând factor comun a−b\displaystyle a-b, obținem (a−b)(a+b+2)=0\displaystyle (a-b)(a+b+2)=0.
    (a−b)(a+b+2)=0\displaystyle (a-b)(a+b+2)=0
  5. Numerele a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt distincte, deci a−b≠0\displaystyle a-b\neq 0. Din (a−b)(a+b+2)=0\displaystyle (a-b)(a+b+2)=0 rezultă a+b+2=0\displaystyle a+b+2=0, ceea ce trebuia demonstrat.
    a+b+2=0\displaystyle a+b+2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.