Bac matematică M4 pedagogic 2019, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Rezultatul calculului 13−2+13+2+149\displaystyle \frac{1}{3-\sqrt{2}}+\frac{1}{3+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{49}} este: A. 1\displaystyle 1 B. 3+2\displaystyle 3+\sqrt{2} C. 7+22\displaystyle 7+2\sqrt{2} D. 7\displaystyle 7
Vezi rezolvarea
  1. Aducem primele două fracții la același numitor comun, care este produsul (3−2)(3+2)\displaystyle (3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2}).
    13−2+13+2=(3+2)+(3−2)(3−2)(3+2)\displaystyle \frac{1}{3-\sqrt{2}}+\frac{1}{3+\sqrt{2}}=\frac{(3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}
  2. Numărătorul se reduce la 6\displaystyle 6, iar numitorul se calculează cu formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}, deci 32−(2)2\displaystyle 3^{2}-(\sqrt{2})^{2}.
    69−2=67\displaystyle \frac{6}{9-2}=\frac{6}{7}
  3. Calculăm al treilea termen: 49=7\displaystyle \sqrt{49}=7.
    149=17\displaystyle \frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{7}
  4. Adunăm rezultatele, care au același numitor 7\displaystyle 7: 67+17=77=1\displaystyle \dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{7}{7}=1. Deci varianta corectă este A.
    67+17=1, deci varianta corecta˘ \displaystyle \frac{6}{7}+\frac{1}{7}=1\text{, deci varianta corectă }este A\displaystyle \text{este A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−5\displaystyle f(x)=2x-5. Mulțimea soluțiilor inecuației f(2m+1)>f(m)\displaystyle f(2m+1)>f(m) este:
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2m+1)\displaystyle f(2m+1) înlocuind x\displaystyle x cu 2m+1\displaystyle 2m+1 în f(x)=2x−5\displaystyle f(x)=2x-5.
    f(2m+1)=2(2m+1)−5=4m−3\displaystyle f(2m+1)=2(2m+1)-5=4m-3
  2. Calculăm f(m)\displaystyle f(m) înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m.
    f(m)=2m−5\displaystyle f(m)=2m-5
  3. Inecuația f(2m+1)>f(m)\displaystyle f(2m+1)>f(m) devine o inecuație în m\displaystyle m.
    4m−3>2m−5\displaystyle 4m-3>2m-5
  4. Mutăm termenii cu m\displaystyle m în stânga și numerele în dreapta, apoi împărțim la 2>0\displaystyle 2>0, deci sensul inegalității se păstrează.
    2m>−2⇒m>−1\displaystyle 2m>-2\Rightarrow m>-1
  5. Mulțimea soluțiilor este (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), deci varianta corectă este C.
    m∈(−1,+∞), varianta C\displaystyle m\in(-1,+\infty)\text{, varianta C}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Mulțimea soluțiilor ecuației 2log⁡2x=log⁡2(x+12)\displaystyle 2\log_2 x=\log_2(x+12) este: A. {−3}\displaystyle \{-3\} B. {−4,3}\displaystyle \{-4,3\} C. {−3,4}\displaystyle \{-3,4\} D. {4}\displaystyle \{4\}
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din x>0\displaystyle x>0 și x+12>0\displaystyle x+12>0 rezultă x>0\displaystyle x>0.
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: 2log⁡2x=log⁡2x2\displaystyle 2\log_2 x=\log_2 x^{2}, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0.
    log⁡2x2=log⁡2(x+12)\displaystyle \log_2 x^{2}=\log_2(x+12)
  3. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x2=x+12\displaystyle x^{2}=x+12.
    x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49, iar rădăcinile sunt x=1±72\displaystyle x=\dfrac{1\pm 7}{2}.
    x1=−3\displaystyle x_1=-3,x2=4\displaystyle \quad x_2=4
  5. Verificăm condiția x>0\displaystyle x>0. Valoarea −3\displaystyle -3 nu convine, iar 4\displaystyle 4 convine. Verificare: 2log⁡24=4\displaystyle 2\log_2 4=4 și log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4.
    S={4}\displaystyle S=\{4\}
  6. Mulțimea soluțiilor este {4}\displaystyle \{4\}, deci varianta corectă este D.
    D\displaystyle \text{D}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o majorare cu 20%\displaystyle 20\%, urmată de o reducere cu 20%\displaystyle 20\%, prețul unui obiect este 96\displaystyle 96 de lei. Prețul inițial al obiectului este: A. 96\displaystyle 96 de lei B. 100\displaystyle 100 de lei C. 120\displaystyle 120 de lei D. 144\displaystyle 144 de lei
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei.
    x = prețul inițial\displaystyle x\text{ = prețul inițial}
  2. După majorarea cu 20%\displaystyle 20\%, prețul devine x⋅(1+20100)=1,2x\displaystyle x\cdot\left(1+\dfrac{20}{100}\right)=1{,}2x.
    1,2x\displaystyle 1{,}2x
  3. După reducerea cu 20%\displaystyle 20\%, prețul majorat se înmulțește cu 0,8\displaystyle 0{,}8, deci prețul final este 1,2x⋅0,8=0,96x\displaystyle 1{,}2x\cdot 0{,}8=0{,}96x.
    0,96x\displaystyle 0{,}96x
  4. Prețul final este 96\displaystyle 96 de lei, deci scriem ecuația 0,96x=96\displaystyle 0{,}96x=96.
    0,96x=96\displaystyle 0{,}96x=96
  5. Împărțim la 0,96\displaystyle 0{,}96 și obținem x=960,96=100\displaystyle x=\dfrac{96}{0{,}96}=100. Corespunde variantei B.
    x=100 lei, varianta B\displaystyle x=100\text{ lei, varianta B}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră dreptele de ecuații d1:y=2x−1\displaystyle d_1: y=2x-1, d2:y=−x+5\displaystyle d_2: y=-x+5 și d3:y=x−a\displaystyle d_3: y=x-a, unde a\displaystyle a este număr real. Dacă dreptele d1\displaystyle d_1, d2\displaystyle d_2 și d3\displaystyle d_3 sunt concurente, atunci a\displaystyle a este egal cu:
Vezi rezolvarea
  1. Dreptele sunt concurente dacă au un punct comun. Aflăm mai întâi punctul de intersecție al dreptelor d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2, egalând expresiile lui y\displaystyle y: 2x−1=−x+5\displaystyle 2x-1=-x+5.
    2x−1=−x+5\displaystyle 2x-1=-x+5
  2. Rezolvăm ecuația: 3x=6\displaystyle 3x=6, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  3. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în ecuația lui d1\displaystyle d_1: y=2⋅2−1=3\displaystyle y=2\cdot 2-1=3. Punctul de intersecție este M(2,3)\displaystyle M(2,3).
    M(2,3)\displaystyle M(2,3)
  4. Dreapta d3\displaystyle d_3 trebuie să treacă prin punctul M\displaystyle M, deci coordonatele lui verifică ecuația ei: 3=2−a\displaystyle 3=2-a.
    3=2−a\displaystyle 3=2-a
  5. Din 3=2−a\displaystyle 3=2-a obținem a=−1\displaystyle a=-1, deci varianta corectă este B.
    a=−1, varianta B\displaystyle a=-1\text{, varianta B}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Aria triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC cu ipotenuza BC=26\displaystyle BC=26 și cos⁡B=1213\displaystyle \cos B=\frac{12}{13} este egală cu: A. 65\displaystyle 65 B. 120\displaystyle 120 C. 156\displaystyle 156 D. 240\displaystyle 240
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza. Cosinusul unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta alăturată AB\displaystyle AB și ipotenuză: cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}. Atunci AB=BC⋅cos⁡B\displaystyle AB=BC\cdot\cos B.
    AB=26⋅1213=24\displaystyle AB=26\cdot\dfrac{12}{13}=24
  2. Aflăm cealaltă catetă AC\displaystyle AC cu teorema lui Pitagora: AC2=BC2−AB2\displaystyle AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}.
    AC=262−242=676−576=100=10\displaystyle AC=\sqrt{26^{2}-24^{2}}=\sqrt{676-576}=\sqrt{100}=10
  3. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: A=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}. Înlocuim AB=24\displaystyle AB=24 și AC=10\displaystyle AC=10 și obținem 120\displaystyle 120, adică varianta B.
    A=24⋅102=120, varianta B\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{24\cdot 10}{2}=120\text{, varianta B}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.

Arătați că 3∗9=9\displaystyle 3*9=9.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y} pentru x=3\displaystyle x=3 și y=9\displaystyle y=9.
    3∗9=3log⁡39\displaystyle 3*9=3^{\log_3 9}
  2. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci log⁡39=log⁡332=2log⁡33=2\displaystyle \log_3 9=\log_3 3^{2}=2\log_3 3=2.
    log⁡39=2\displaystyle \log_3 9=2
  3. Înlocuim în expresie: 3∗9=32=9\displaystyle 3*9=3^{2}=9, deci egalitatea este demonstrată.
    3∗9=32=9\displaystyle 3*9=3^{2}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M. Pentru x,y>0\displaystyle x,y>0, ambele compuneri sunt numere strict pozitive, deci le putem logaritma în baza 3\displaystyle 3. Pornim de la x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.
    x∗y=xlog⁡3y>0\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}>0
  2. Logaritmăm în baza 3\displaystyle 3 și folosim formula log⁡3ab=b⋅log⁡3a\displaystyle \log_3 a^{b}=b\cdot\log_3 a, cu a=x\displaystyle a=x și b=log⁡3y\displaystyle b=\log_3 y.
    log⁡3(x∗y)=log⁡3(xlog⁡3y)=log⁡3y⋅log⁡3x, pentru orice x\displaystyle \log_3(x*y)=\log_3\left(x^{\log_3 y}\right)=\log_3 y\cdot\log_3 x\text{, pentru orice }x,y∈M\displaystyle y\in M
  3. Calculăm la fel logaritmul lui y∗x=ylog⁡3x\displaystyle y*x=y^{\log_3 x}, schimbând rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y în definiția legii.
    log⁡3(y∗x)=log⁡3(ylog⁡3x)=log⁡3x⋅log⁡3y\displaystyle \log_3(y*x)=\log_3\left(y^{\log_3 x}\right)=\log_3 x\cdot\log_3 y
  4. Înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci log⁡3x⋅log⁡3y=log⁡3y⋅log⁡3x\displaystyle \log_3 x\cdot\log_3 y=\log_3 y\cdot\log_3 x, adică logaritmii celor două compuneri sunt egali. Funcția logaritm este injectivă, deci compunerile sunt egale: x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M. Prin urmare legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    log⁡3(y∗x)=log⁡3x⋅log⁡3y=log⁡3(x∗y), deci x∗y=y∗x\displaystyle \log_3(y*x)=\log_3 x\cdot\log_3 y=\log_3(x*y)\text{, deci }x*y=y*x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.

Verificați dacă e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e=3\displaystyle e=3 este neutru dacă x∗3=x\displaystyle x*3=x și 3∗x=x\displaystyle 3*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Verificăm mai întâi egalitatea x∗3=x\displaystyle x*3=x, înlocuind y=3\displaystyle y=3 în definiția legii: x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.
    x∗3=xlog⁡33\displaystyle x*3=x^{\log_3 3}
  2. Logaritmul în baza 3 din 3 este 1, adică log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1, deci xlog⁡33=x1=x\displaystyle x^{\log_3 3}=x^{1}=x. Egalitatea este adevărată pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    x∗3=xlog⁡33=x1=x, pentru orice x∈M\displaystyle x*3=x^{\log_3 3}=x^1=x\text{, pentru orice }x\in M
  3. Verificăm acum cealaltă egalitate, 3∗x=x\displaystyle 3*x=x, înlocuind în definiție baza cu 3\displaystyle 3 și exponentul cu log⁡3x\displaystyle \log_3 x.
    3∗x=3log⁡3x\displaystyle 3*x=3^{\log_3 x}
  4. Folosim identitatea alog⁡ax=x\displaystyle a^{\log_a x}=x, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0. Astfel 3log⁡3x=x\displaystyle 3^{\log_3 x}=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Cum ambele egalități, x∗3=x\displaystyle x*3=x și 3∗x=x\displaystyle 3*x=x, sunt verificate, e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii.
    3∗x=3log⁡3x=x, pentru orice x∈M, deci e=3 este elementul neutru\displaystyle 3*x=3^{\log_3 x}=x\text{, pentru orice }x\in M\text{, deci }e=3\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.

Determinați a∈M\displaystyle a\in M pentru care x∗a=a\displaystyle x*a=a, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea este comutativă: x∗y=xlog⁡3y=3log⁡3x⋅log⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}=3^{\log_3 x\cdot\log_3 y}, iar produsul log⁡3x⋅log⁡3y\displaystyle \log_3 x\cdot\log_3 y este simetric în x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=3log⁡3x⋅log⁡3y=y∗x\displaystyle x*y=3^{\log_3 x\cdot\log_3 y}=y*x
  2. Cum legea este comutativă, condiția x∗a=a\displaystyle x*a=a este echivalentă cu a∗x=a\displaystyle a*x=a, adică alog⁡3x=a\displaystyle a^{\log_3 x}=a, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    x∗a=a⇔a∗x=a⇔alog⁡3x=a, pentru orice x∈M\displaystyle x*a=a\Leftrightarrow a*x=a\Leftrightarrow a^{\log_3 x}=a\text{, pentru orice }x\in M
  3. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x, deci în particular pentru x=9\displaystyle x=9. Atunci log⁡39=2\displaystyle \log_3 9=2 și obținem a2=a\displaystyle a^{2}=a, adică a(a−1)=0\displaystyle a(a-1)=0.
    a2=a⇔a(a−1)=0\displaystyle a^{2}=a\Leftrightarrow a(a-1)=0
  4. Cum a∈M\displaystyle a\in M, deci a>0\displaystyle a>0, soluția a=0\displaystyle a=0 nu convine, deci a=1\displaystyle a=1. Verificăm: x∗1=xlog⁡31=x0=1\displaystyle x*1=x^{\log_3 1}=x^{0}=1, deci egal cu a\displaystyle a pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima compunere, înlocuind în definiția legii pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x: x∗x=xlog⁡3x\displaystyle x*x=x^{\log_3 x}.
    x∗x=xlog⁡3x\displaystyle x*x=x^{\log_3 x}
  2. Legea este asociativă, deci x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Aplicăm definiția: baza este xlog⁡3x\displaystyle x^{\log_3 x}, iar exponentul este log⁡3x\displaystyle \log_3 x. Folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^m)^n=a^{mn} și obținem x∗x∗x=(xlog⁡3x)log⁡3x=xlog⁡32x\displaystyle x*x*x=\left(x^{\log_3 x}\right)^{\log_3 x}=x^{\log_3^{2}x}.
    x∗x∗x=(xlog⁡3x)log⁡3x=xlog⁡32x\displaystyle x*x*x=\left(x^{\log_3 x}\right)^{\log_3 x}=x^{\log_3^{2}x}
  3. Ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x devine xlog⁡32x=x\displaystyle x^{\log_3^{2}x}=x. Logaritmăm în baza 3\displaystyle 3, ceea ce se poate deoarece ambii membri sunt strict pozitivi, și coborâm exponenții în față.
    log⁡32x⋅log⁡3x=log⁡3x\displaystyle \log_3^{2}x\cdot\log_3 x=\log_3 x
  4. Notăm t=log⁡3x\displaystyle t=\log_3 x, cu t∈R\displaystyle t\in\mathbb{R}. Ecuația devine t3=t\displaystyle t^{3}=t, adică t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t(t-1)(t+1)=0.
    t3−t=0  ⟺  t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t^{3}-t=0\iff t(t-1)(t+1)=0
  5. Din factorizare obținem trei valori pentru t\displaystyle t: 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1.
    t=0 sau t=1 sau t=−1\displaystyle t=0\text{ sau }t=1\text{ sau }t=-1
  6. Revenim la x\displaystyle x: din log⁡3x=0\displaystyle \log_3 x=0 rezultă x=1\displaystyle x=1, din log⁡3x=1\displaystyle \log_3 x=1 rezultă x=3\displaystyle x=3, iar din log⁡3x=−1\displaystyle \log_3 x=-1 rezultă x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3}. Toate valorile sunt strict pozitive, deci aparțin lui M\displaystyle M și convin.
    x=1 sau x=13 sau x=3, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=\frac{1}{3}\text{ sau }x=3\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}.

Calculați 15∗25∗35∗45∗55\displaystyle \frac{1}{5}*\frac{2}{5}*\frac{3}{5}*\frac{4}{5}*\frac{5}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ultimul factor este 55=1\displaystyle \dfrac{5}{5}=1. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii fără a le schimba ordinea: primii patru factori se compun, iar rezultatul se compune cu 1\displaystyle 1.
    15∗25∗35∗45∗55=(15∗25∗35∗45)∗1\displaystyle \frac{1}{5}*\frac{2}{5}*\frac{3}{5}*\frac{4}{5}*\frac{5}{5}=\left(\frac{1}{5}*\frac{2}{5}*\frac{3}{5}*\frac{4}{5}\right)*1
  2. Calculăm x∗1\displaystyle x*1 pentru orice x∈M\displaystyle x\in M: x∗1=xlog⁡31\displaystyle x*1=x^{\log_3 1}. Deoarece log⁡31=0\displaystyle \log_3 1=0, obținem x0=1\displaystyle x^{0}=1.
    x∗1=xlog⁡31=x0=1, pentru orice x∈M\displaystyle x*1=x^{\log_3 1}=x^{0}=1\text{, pentru orice }x\in M
  3. Rezultatul compunerii primilor patru factori este un element x∈M\displaystyle x\in M, fiindcă legea este definită pe M\displaystyle M. Aplicăm x∗1=1\displaystyle x*1=1. Deci întreaga expresie este egală cu 1\displaystyle 1.
    15∗25∗35∗45∗55=(15∗25∗35∗45)∗1=1\displaystyle \frac{1}{5}*\frac{2}{5}*\frac{3}{5}*\frac{4}{5}*\frac{5}{5}=\left(\frac{1}{5}*\frac{2}{5}*\frac{3}{5}*\frac{4}{5}\right)*1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră mulțimea Z[3]={m+n3∣m,n∈Z}\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

Verificați dacă 1∈Z[3]\displaystyle 1\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right].
Vezi rezolvarea
  1. Un număr aparține mulțimii Z[3]\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right] dacă se poate scrie sub forma m+n3\displaystyle m+n\sqrt{3}, cu m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}. Verificăm dacă putem scrie numărul 1\displaystyle 1 astfel.
    1=m+n3\displaystyle 1=m+n\sqrt{3}, m\displaystyle \ m,n∈Z\displaystyle n\in\mathbb{Z}
  2. Alegem m=1\displaystyle m=1 și n=0\displaystyle n=0. Ambele sunt numere întregi, iar termenul cu radical dispare, deoarece 0⋅3=0\displaystyle 0\cdot\sqrt{3}=0.
    1=1+0⋅3\displaystyle 1=1+0\cdot\sqrt{3}
  3. Deoarece 1=1+0⋅3\displaystyle 1=1+0\cdot\sqrt{3} cu 1,0∈Z\displaystyle 1,0\in\mathbb{Z}, rezultă că 1\displaystyle 1 aparține mulțimii.
    1∈Z[3]\displaystyle 1\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră mulțimea Z[3]={m+n3∣m,n∈Z}\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

Demonstrați că x+y∈Z[3]\displaystyle x+y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right], pentru orice x,y∈Z[3]\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right].
Vezi rezolvarea
  1. Scriem elementele x\displaystyle x și y\displaystyle y sub forma generală a mulțimii: x=m+n3\displaystyle x=m+n\sqrt{3} și y=p+q3\displaystyle y=p+q\sqrt{3}, cu m,n,p,q∈Z\displaystyle m,n,p,q\in\mathbb{Z}.
    x=m+n3\displaystyle x=m+n\sqrt{3}, y=p+q3\displaystyle \ y=p+q\sqrt{3}, m\displaystyle \ m,n\displaystyle n,p\displaystyle p,q∈Z\displaystyle q\in\mathbb{Z}
  2. Adunăm cele două elemente: x+y=m+n3+p+q3\displaystyle x+y=m+n\sqrt{3}+p+q\sqrt{3}. Grupăm separat termenii fără radical și termenii care conțin 3\displaystyle \sqrt{3}, dând factor comun pe 3\displaystyle \sqrt{3}.
    x+y=(m+p)+(n+q)3\displaystyle x+y=(m+p)+(n+q)\sqrt{3}
  3. Suma a două numere întregi este număr întreg, deci m+p∈Z\displaystyle m+p\in\mathbb{Z} și n+q∈Z\displaystyle n+q\in\mathbb{Z}. Astfel x+y\displaystyle x+y are forma a+b3\displaystyle a+b\sqrt{3} cu a,b∈Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}, deci aparține mulțimii Z[3]\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right].
    x+y∈Z[3]\displaystyle x+y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră mulțimea Z[3]={m+n3∣m,n∈Z}\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

Demonstrați că xy∈Z[3]\displaystyle xy\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right], pentru orice x,y∈Z[3]\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right].
Vezi rezolvarea
  1. Fie x,y∈Z[3]\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right] oarecare. Atunci le putem scrie x=m+n3\displaystyle x=m+n\sqrt{3} și y=p+q3\displaystyle y=p+q\sqrt{3}, cu m,n,p,q∈Z\displaystyle m,n,p,q\in\mathbb{Z}.
    x=m+n3\displaystyle x=m+n\sqrt{3}, y=p+q3\displaystyle \ y=p+q\sqrt{3}, m\displaystyle \ m,n\displaystyle n,p\displaystyle p,q∈Z\displaystyle q\in\mathbb{Z}
  2. Calculăm produsul: xy=(m+n3)(p+q3)=mp+mq3+np3+nq⋅(3)2\displaystyle xy=(m+n\sqrt{3})(p+q\sqrt{3})=mp+mq\sqrt{3}+np\sqrt{3}+nq\cdot(\sqrt{3})^{2}. Cum (3)2=3\displaystyle (\sqrt{3})^{2}=3, ultimul termen devine 3nq\displaystyle 3nq.
    xy=mp+mq3+np3+3nq\displaystyle xy=mp+mq\sqrt{3}+np\sqrt{3}+3nq
  3. Grupăm termenii fără radical și pe cei cu 3\displaystyle \sqrt{3}, dând factor comun 3\displaystyle \sqrt{3} la cei din a doua grupă.
    xy=(mp+3nq)+(mq+np)3\displaystyle xy=(mp+3nq)+(mq+np)\sqrt{3}
  4. Deoarece m,n,p,q∈Z\displaystyle m,n,p,q\in\mathbb{Z}, avem mp+3nq∈Z\displaystyle mp+3nq\in\mathbb{Z} și mq+np∈Z\displaystyle mq+np\in\mathbb{Z}, fiind obținute prin înmulțiri și adunări de numere întregi. Deci xy\displaystyle xy are forma a+b3\displaystyle a+b\sqrt{3} cu a,b∈Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}, adică xy∈Z[3]\displaystyle xy\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right], pentru orice x,y∈Z[3]\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right].
    xy∈Z[3]\displaystyle xy\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră mulțimea Z[3]={m+n3∣m,n∈Z}\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

Pentru x=2+3\displaystyle x=2+\sqrt{3}, determinați x′∈Z[3]\displaystyle x'\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right] astfel încât xx′=1\displaystyle xx'=1.
Vezi rezolvarea
  1. Din condiția xx′=1\displaystyle xx'=1 cu x=2+3\displaystyle x=2+\sqrt{3} obținem (2+3)x′=1\displaystyle \left(2+\sqrt{3}\right)x'=1.
    (2+3)x′=1\displaystyle \left(2+\sqrt{3}\right)x'=1
  2. Cum 2+3≠0\displaystyle 2+\sqrt{3}\neq 0, împărțim egalitatea la 2+3\displaystyle 2+\sqrt{3} și obținem x′=12+3\displaystyle x'=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}.
    x′=12+3\displaystyle x'=\frac{1}{2+\sqrt{3}}
  3. Amplificăm fracția cu conjugata numitorului, 2−3\displaystyle 2-\sqrt{3}.
    x′=1⋅(2−3)(2+3)(2−3)=2−322−32\displaystyle x'=\frac{1\cdot\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}
  4. Numitorul este 22−32=4−3=1\displaystyle 2^{2}-\sqrt{3}^{2}=4-3=1, deci x′=2−3\displaystyle x'=2-\sqrt{3}.
    x′=2−31=2−3\displaystyle x'=\frac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}
  5. Numărul 2−3\displaystyle 2-\sqrt{3} are forma m+n3\displaystyle m+n\sqrt{3} cu m=2\displaystyle m=2 și n=−1\displaystyle n=-1, ambele întregi, deci x′∈Z[3]\displaystyle x'\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right].
    x′=2−3∈Z[3]\displaystyle x'=2-\sqrt{3}\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră mulțimea Z[3]={m+n3∣m,n∈Z}\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

Dați exemplu de un număr x∈Z[3]\displaystyle x\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right], astfel încât 0<x<310\displaystyle 0<x<\frac{3}{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm un număr de forma m+n3\displaystyle m+n\sqrt{3}, cu m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}, care să fie pozitiv și foarte mic. Cum 3≈1,73\displaystyle \sqrt{3}\approx 1{,}73, numărul 2−3\displaystyle 2-\sqrt{3} este pozitiv și mic. Alegem m=2\displaystyle m=2 și n=−1\displaystyle n=-1, ambele întregi.
    x=2−3\displaystyle x=2-\sqrt{3}
  2. Verificăm că x\displaystyle x aparține mulțimii: x=2+(−1)⋅3\displaystyle x=2+(-1)\cdot\sqrt{3}, cu 2,−1∈Z\displaystyle 2,-1\in\mathbb{Z}.
    x=2−3∈Z[3]\displaystyle x=2-\sqrt{3}\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]
  3. Estimăm 3\displaystyle \sqrt{3}. Deoarece 1,72=2,89<3\displaystyle 1{,}7^{2}=2{,}89<3 și 22=4>3\displaystyle 2^{2}=4>3, avem 3\displaystyle \sqrt{3} între 1,7\displaystyle 1{,}7 și 2\displaystyle 2.
    1,7<3<2\displaystyle 1{,}7<\sqrt{3}<2
  4. Înmulțim inegalitatea cu −1\displaystyle -1, ceea ce schimbă sensul: −2<−3<−1,7\displaystyle -2<-\sqrt{3}<-1{,}7. Adunăm 2\displaystyle 2 în fiecare membru și obținem 0<2−3<0,3\displaystyle 0<2-\sqrt{3}<0{,}3.
    0<2−3<0,3\displaystyle 0<2-\sqrt{3}<0{,}3
  5. Cum 0,3=310\displaystyle 0{,}3=\dfrac{3}{10}, obținem inegalitatea cerută pentru x=2−3\displaystyle x=2-\sqrt{3}.
    0<x<310, pentru x=2−3\displaystyle 0<x<\frac{3}{10}\text{, pentru }x=2-\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră mulțimea Z[3]={m+n3∣m,n∈Z}\displaystyle \mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

Se consideră mulțimea H={m+n3∣m,n∈Z, m2−3n2=1}\displaystyle H=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z},\ m^2-3n^2=1\right\}. Demonstrați că, dacă a∈H\displaystyle a\in H, atunci 1a∈H\displaystyle \frac{1}{a}\in H.
Vezi rezolvarea
  1. Fie a∈H\displaystyle a\in H. Atunci a=m+n3\displaystyle a=m+n\sqrt{3}, cu m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z} și m2−3n2=1\displaystyle m^2-3n^2=1. Scriem inversul: 1a=1m+n3\displaystyle \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{m+n\sqrt{3}}.
    a=m+n3\displaystyle a=m+n\sqrt{3}, m2−3n2=1\displaystyle \ m^2-3n^2=1, 1a=1m+n3\displaystyle \ \frac{1}{a}=\frac{1}{m+n\sqrt{3}}
  2. Raționalizăm numitorul: amplificăm fracția cu conjugatul m−n3\displaystyle m-n\sqrt{3}. La numitor folosim formula (x+y)(x−y)=x2−y2\displaystyle (x+y)(x-y)=x^2-y^2, deci (m+n3)(m−n3)=m2−3n2\displaystyle (m+n\sqrt{3})(m-n\sqrt{3})=m^2-3n^2. Numitorul m+n3\displaystyle m+n\sqrt{3} este nenul, deoarece altfel am avea m2−3n2=0\displaystyle m^2-3n^2=0, în contradicție cu m2−3n2=1\displaystyle m^2-3n^2=1.
    1m+n3=m−n3m2−3n2\displaystyle \frac{1}{m+n\sqrt{3}}=\frac{m-n\sqrt{3}}{m^2-3n^2}
  3. Folosim condiția m2−3n2=1\displaystyle m^2-3n^2=1, deci numitorul este 1\displaystyle 1. Scriem rezultatul sub forma m+(−n)3\displaystyle m+(-n)\sqrt{3}.
    1a=m−n31=m+(−n)3\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{m-n\sqrt{3}}{1}=m+(-n)\sqrt{3}
  4. Verificăm condiția din H\displaystyle H pentru coeficienții m\displaystyle m și −n\displaystyle -n. Ambii sunt numere întregi, iar m2−3(−n)2=m2−3n2=1\displaystyle m^2-3(-n)^2=m^2-3n^2=1. Prin urmare, 1a∈H\displaystyle \dfrac{1}{a}\in H.
    m\displaystyle m,−n∈Z\displaystyle -n\in\mathbb{Z}, m2−3(−n)2=m2−3n2=1, deci 1a∈H\displaystyle \ m^2-3(-n)^2=m^2-3n^2=1\text{, deci }\frac{1}{a}\in H
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.