Bac matematică M4 pedagogic 2015, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (−3+(−12)2):(−112)=12\displaystyle \left(-3+\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right):\left(-\frac{11}{2}\right)=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm puterea din paranteză: (−12)2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2. Un număr negativ ridicat la puterea a doua dă un rezultat pozitiv, deci rezultatul este 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    (−12)2=14\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}
  2. Aducem la același numitor: −3=−124\displaystyle -3=-\dfrac{12}{4}. Atunci −3+14=−124+14=−114\displaystyle -3+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{12}{4}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{11}{4}.
    −3+(−12)2=−3+14=−114\displaystyle -3+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=-3+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{11}{4}
  3. Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul împărțitorului: inversul lui −112\displaystyle -\dfrac{11}{2} este −211\displaystyle -\dfrac{2}{11}. Obținem −114:(−112)=−114⋅(−211)\displaystyle -\dfrac{11}{4}:\left(-\dfrac{11}{2}\right)=-\dfrac{11}{4}\cdot\left(-\dfrac{2}{11}\right).
    −114⋅(−211)\displaystyle -\dfrac{11}{4}\cdot\left(-\dfrac{2}{11}\right)
  4. Produsul a două numere negative este pozitiv. Simplificăm cu 11\displaystyle 11 și apoi cu 2\displaystyle 2: 11⋅24⋅11=24=12\displaystyle \dfrac{11\cdot 2}{4\cdot 11}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    −114:(−112)=12\displaystyle -\dfrac{11}{4}:\left(-\dfrac{11}{2}\right)=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−13x+23\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}, cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct de pe axa Ox\displaystyle Ox are ordonata 0\displaystyle 0, deci căutăm valorile lui x\displaystyle x pentru care f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0\displaystyle f(x)=0
  2. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și obținem ecuația:
    −13x+23=0\displaystyle -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=0
  3. Înmulțim ambii membri cu 3\displaystyle 3 și obținem:
    −x+2=0\displaystyle -x+2=0
  4. Mutăm x\displaystyle x în partea dreaptă:
    x=2\displaystyle x=2
  5. Abscisa este x=2\displaystyle x=2, iar ordonata este y=0\displaystyle y=0, deci punctul de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox este (2,0)\displaystyle (2,0).
    x=2 și y=0\displaystyle x=2\text{ și }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2−3x=4x−2\displaystyle 2^{x^2-3x}=4^{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 4\displaystyle 4 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 4=22\displaystyle 4=2^{2}. Atunci 4x−2=(22)x−2=22(x−2)=22x−4\displaystyle 4^{x-2}=\left(2^{2}\right)^{x-2}=2^{2(x-2)}=2^{2x-4}.
    4x−2=22x−4\displaystyle 4^{x-2}=2^{2x-4}
  2. Ecuația devine 2x2−3x=22x−4\displaystyle 2^{x^2-3x}=2^{2x-4}. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalăm exponenții: x2−3x=2x−4\displaystyle x^2-3x=2x-4.
    2x2−3x=22x−4⇔x2−3x=2x−4\displaystyle 2^{x^2-3x}=2^{2x-4}\Leftrightarrow x^2-3x=2x-4
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng: x2−3x−2x+4=0\displaystyle x^2-3x-2x+4=0, deci x2−5x+4=0\displaystyle x^2-5x+4=0.
    x2−5x+4=0\displaystyle x^2-5x+4=0
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=4\displaystyle c=4 avem Δ=b2−4ac=25−16=9\displaystyle \Delta=b^2-4ac=25-16=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  5. Aplicăm formula x1,2=−b±Δ2a=5±32\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm 3}{2}. Rezultă x1=5−32=1\displaystyle x_1=\dfrac{5-3}{2}=1 și x2=5+32=4\displaystyle x_2=\dfrac{5+3}{2}=4. Ecuația inițială nu impune restricții asupra lui x\displaystyle x, deci ambele soluții convin.
    x1=1 și x2=4\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% un obiect costă 594\displaystyle 594 lei. Calculați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul obiectului înainte de scumpire. După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% prețul crește cu 10%⋅p\displaystyle 10\%\cdot p, deci prețul nou este p+10%⋅p\displaystyle p+10\%\cdot p și este egal cu 594\displaystyle 594 de lei.
    p+10%⋅p=594\displaystyle p+10\%\cdot p=594
  2. Scriem 10%=0,1\displaystyle 10\%=0{,}1 și dăm factor comun pe p\displaystyle p. Obținem 1,1⋅p=594\displaystyle 1{,}1\cdot p=594.
    1,1⋅p=594\displaystyle 1{,}1\cdot p=594
  3. Împărțim 594\displaystyle 594 la 1,1\displaystyle 1{,}1 și aflăm prețul inițial: p=5941,1=540\displaystyle p=\dfrac{594}{1{,}1}=540 de lei.
    p=5941,1=540 de lei\displaystyle p=\dfrac{594}{1{,}1}=540\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele D(2,4)\displaystyle D(2,4), E(−2,−2)\displaystyle E(-2,-2) și F(6,−2)\displaystyle F(6,-2). Determinați coordonatele mijlocului medianei din vârful D\displaystyle D al triunghiului DEF\displaystyle DEF.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful D\displaystyle D unește punctul D\displaystyle D cu mijlocul M\displaystyle M al laturii EF\displaystyle EF. Folosim formula mijlocului: xM=xE+xF2\displaystyle x_M=\dfrac{x_E+x_F}{2} și yM=yE+yF2\displaystyle y_M=\dfrac{y_E+y_F}{2}.
    xM=xE+xF2\displaystyle x_M=\dfrac{x_E+x_F}{2}, yM=yE+yF2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_E+y_F}{2}
  2. Înlocuim coordonatele lui E(−2,−2)\displaystyle E(-2,-2) și F(6,−2)\displaystyle F(6,-2): xM=−2+62=2\displaystyle x_M=\dfrac{-2+6}{2}=2 și yM=−2+(−2)2=−2\displaystyle y_M=\dfrac{-2+(-2)}{2}=-2.
    xM=2\displaystyle x_M=2, yM=−2\displaystyle \ y_M=-2
  3. Mijlocul medianei este mijlocul N\displaystyle N al segmentului DM\displaystyle DM, unde D(2,4)\displaystyle D(2,4) și M(2,−2)\displaystyle M(2,-2). Avem xN=xD+xM2\displaystyle x_N=\dfrac{x_D+x_M}{2} și yN=yD+yM2\displaystyle y_N=\dfrac{y_D+y_M}{2}.
    xN=xD+xM2\displaystyle x_N=\dfrac{x_D+x_M}{2}, yN=yD+yM2\displaystyle \ y_N=\dfrac{y_D+y_M}{2}
  4. Înlocuim: xN=2+22=2\displaystyle x_N=\dfrac{2+2}{2}=2 și yN=4+(−2)2=1\displaystyle y_N=\dfrac{4+(-2)}{2}=1. Deci mijlocul medianei este punctul N(2,1)\displaystyle N(2,1).
    xN=2\displaystyle x_N=2, yN=1\displaystyle \ y_N=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că tg⁡B=34\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{3}{4} și AC=9\displaystyle AC=9.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, tangenta unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta opusă, AC\displaystyle AC, și cateta alăturată, AB\displaystyle AB. Scriem relația: tg⁡B=ACAB\displaystyle \operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{AB}.
    tg⁡B=ACAB=34\displaystyle \operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}
  2. Înlocuim AC=9\displaystyle AC=9 și aflăm AB\displaystyle AB din proporție: 9AB=34\displaystyle \dfrac{9}{AB}=\dfrac{3}{4}, deci AB=9⋅43\displaystyle AB=\dfrac{9\cdot 4}{3}.
    AB=9⋅43=12\displaystyle AB=\dfrac{9\cdot 4}{3}=12
  3. Aflăm ipotenuza BC\displaystyle BC cu teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2=122+92=144+81=225\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+9^{2}=144+81=225.
    BC=225=15\displaystyle BC=\sqrt{225}=15
  4. Perimetrul este suma celor trei laturi: P=AB+AC+BC=12+9+15\displaystyle P=AB+AC+BC=12+9+15.
    PΔABC=12+9+15=36\displaystyle P_{\Delta ABC}=12+9+15=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Calculați 4∘2\displaystyle 4\circ 2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6. Înlocuim x=4\displaystyle x=4 și y=2\displaystyle y=2.
    4∘2=4⋅2−2⋅4−2⋅2+6\displaystyle 4\circ 2=4\cdot 2-2\cdot 4-2\cdot 2+6
  2. Calculăm produsele: 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8, 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8, 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4.
    4∘2=8−8−4+6\displaystyle 4\circ 2=8-8-4+6
  3. Efectuăm operațiile: 8−8=0\displaystyle 8-8=0, apoi 0−4+6=2\displaystyle 0-4+6=2.
    4∘2=2\displaystyle 4\circ 2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Verificați dacă legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6 și calculăm y∘x\displaystyle y\circ x, schimbând între ele rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6
  2. În definiție înlocuim x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Obținem y∘x=yx−2y−2x+6\displaystyle y\circ x=yx-2y-2x+6.
    y∘x=yx−2y−2x+6\displaystyle y\circ x=yx-2y-2x+6
  3. Înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci yx=xy\displaystyle yx=xy. Adunarea este și ea comutativă, deci −2y−2x=−2x−2y\displaystyle -2y-2x=-2x-2y. Rezultă că y∘x=xy−2x−2y+6\displaystyle y\circ x=xy-2x-2y+6, adică exact x∘y\displaystyle x\circ y, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Prin urmare legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    y∘x=xy−2x−2y+6=x∘y, pentru orice numere \displaystyle y\circ x=xy-2x-2y+6=x\circ y\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Arătați că x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.
    x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6
  2. Scriem termenul liber 6\displaystyle 6 ca 4+2\displaystyle 4+2, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=xy−2x−2y+4+2\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+4+2
  3. Grupăm xy−2x\displaystyle xy-2x și scoatem factor comun pe x\displaystyle x, apoi grupăm −2y+4\displaystyle -2y+4 și scoatem factor comun pe −2\displaystyle -2. Astfel apare factorul y−2\displaystyle y-2 în ambele grupe.
    x∘y=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle x\circ y=x(y-2)-2(y-2)+2
  4. Scoatem factor comun pe y−2\displaystyle y-2 și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−2)(y−2)+2, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Arătați că 2∘x=2\displaystyle 2\circ x=2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: 2∘x=2x−2⋅2−2x+6\displaystyle 2\circ x=2x-2\cdot 2-2x+6.
    2∘x=2x−4−2x+6\displaystyle 2\circ x=2x-4-2x+6
  2. Observăm că legea se scrie în formă factorizată: xy−2x−2y+6=(x−2)(y−2)+2\displaystyle xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2, deoarece (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4. Pentru 2∘x\displaystyle 2\circ x obținem (2−2)(x−2)+2\displaystyle (2-2)(x-2)+2.
    2∘x=(2−2)(x−2)+2\displaystyle 2\circ x=(2-2)(x-2)+2
  3. Prima paranteză este 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci produsul este 0\displaystyle 0, oricare ar fi x\displaystyle x. Rămâne 0+2=2\displaystyle 0+2=2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    2∘x=0+2=2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2\circ x=0+2=2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘x=10\displaystyle x\circ x\circ x=10.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2, deoarece (x−2)(y−2)+2=xy−2x−2y+4+2=xy−2x−2y+6\displaystyle (x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6.
    x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2
  2. Calculăm x∘x=(x−2)(x−2)+2\displaystyle x\circ x=(x-2)(x-2)+2.
    x∘x=(x−2)2+2\displaystyle x\circ x=(x-2)^{2}+2
  3. Calculăm (x∘x)∘x=((x∘x)−2)(x−2)+2\displaystyle (x\circ x)\circ x=\left((x\circ x)-2\right)(x-2)+2. Cum (x∘x)−2=(x−2)2\displaystyle (x\circ x)-2=(x-2)^{2}, rezultă x∘x∘x=(x−2)3+2\displaystyle x\circ x\circ x=(x-2)^{3}+2.
    x∘x∘x=(x−2)3+2\displaystyle x\circ x\circ x=(x-2)^{3}+2
  4. Ecuația devine (x−2)3+2=10\displaystyle (x-2)^{3}+2=10, adică (x−2)3=8\displaystyle (x-2)^{3}=8.
    (x−2)3=8\displaystyle (x-2)^{3}=8
  5. Cum 8=23\displaystyle 8=2^{3} și funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, obținem x−2=2\displaystyle x-2=2, deci x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Determinați perechile de numere întregi (m,n)\displaystyle (m,n), știind că m∘n=3\displaystyle m\circ n=3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii: m∘n=mn−2m−2n+6\displaystyle m\circ n=mn-2m-2n+6. Egalitatea m∘n=3\displaystyle m\circ n=3 devine mn−2m−2n+6=3\displaystyle mn-2m-2n+6=3.
    mn−2m−2n+6=3\displaystyle mn-2m-2n+6=3
  2. Scădem 3 din ambii membri: mn−2m−2n+3=0\displaystyle mn-2m-2n+3=0. Scriem 3=4−1\displaystyle 3=4-1, deci mn−2m−2n+4=1\displaystyle mn-2m-2n+4=1. Factorizăm grupând termenii: mn−2m−2n+4=m(n−2)−2(n−2)=(m−2)(n−2)\displaystyle mn-2m-2n+4=m(n-2)-2(n-2)=(m-2)(n-2).
    (m−2)(n−2)=1\displaystyle (m-2)(n-2)=1
  3. Cum m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}, numerele m−2\displaystyle m-2 și n−2\displaystyle n-2 sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Atunci fie m−2=1\displaystyle m-2=1 și n−2=1\displaystyle n-2=1, fie m−2=−1\displaystyle m-2=-1 și n−2=−1\displaystyle n-2=-1.
    m−2=n−2=1 sau m−2=n−2=−1\displaystyle m-2=n-2=1\text{ sau }m-2=n-2=-1
  4. Din m−2=n−2=1\displaystyle m-2=n-2=1 obținem m=n=3\displaystyle m=n=3. Din m−2=n−2=−1\displaystyle m-2=n-2=-1 obținem m=n=1\displaystyle m=n=1. Verificare: 1∘1=1−2−2+6=3\displaystyle 1\circ 1=1-2-2+6=3 și 3∘3=9−6−6+6=3\displaystyle 3\circ 3=9-6-6+6=3.
    (m,n)=(1,1) și (m,n)=(3,3)\displaystyle (m,n)=(1,1)\text{ și }(m,n)=(3,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră mulțimea G={A(x)=(1−xx−2x1+2x)|x∈R}\displaystyle G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix}\middle| x\in\mathbb{R}\right\}.

Arătați că matricea (1001)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} aparține mulțimii G\displaystyle G.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea cerută aparține lui G\displaystyle G dacă există x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} pentru care A(x)\displaystyle A(x) este egală cu ea. Elementul din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este x\displaystyle x și trebuie să fie 0\displaystyle 0, deci încercăm x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x).
    A(0)=(1−00−2⋅01+2⋅0)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1-0 & 0\\ -2\cdot 0 & 1+2\cdot 0\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele: 1−0=1\displaystyle 1-0=1, −2⋅0=0\displaystyle -2\cdot 0=0 și 1+2⋅0=1\displaystyle 1+2\cdot 0=1. Obținem matricea unitate, deci aceasta aparține lui G\displaystyle G.
    A(0)=(1001)∈G\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\in G
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră mulțimea G={A(x)=(1−xx−2x1+2x)|x∈R}\displaystyle G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix}\middle| x\in\mathbb{R}\right\}.

Calculați det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x): 1−x=1−1=0\displaystyle 1-x=1-1=0, x=1\displaystyle x=1, −2x=−2\displaystyle -2x=-2, iar 1+2x=1+2=3\displaystyle 1+2x=1+2=3.
    A(1)=(01−23)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -2 & 3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi al matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣01−23∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}0 & 1\\ -2 & 3\end{vmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 0⋅3−1⋅(−2)=0+2\displaystyle 0\cdot 3-1\cdot(-2)=0+2, deci det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
    det⁡(A(1))=0⋅3−1⋅(−2)=2\displaystyle \det(A(1))=0\cdot 3-1\cdot(-2)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră mulțimea G={A(x)=(1−xx−2x1+2x)|x∈R}\displaystyle G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix}\middle| x\in\mathbb{R}\right\}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația A(x2)−A(2x)=(0000)\displaystyle A\left(x^2\right)-A(2x)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(x2)\displaystyle A\left(x^{2}\right).
    A(x2)=(1−x2x2−2x21+2x2)\displaystyle A\left(x^{2}\right)=\begin{pmatrix}1-x^{2} & x^{2}\\ -2x^{2} & 1+2x^{2}\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2x)\displaystyle A(2x).
    A(2x)=(1−2x2x−4x1+4x)\displaystyle A(2x)=\begin{pmatrix}1-2x & 2x\\ -4x & 1+4x\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele element cu element: de exemplu (1−x2)−(1−2x)=−x2+2x\displaystyle \left(1-x^{2}\right)-(1-2x)=-x^{2}+2x, iar x2−2x\displaystyle x^{2}-2x pe poziția a doua, −2x2+4x\displaystyle -2x^{2}+4x pe a treia și (1+2x2)−(1+4x)=2x2−4x\displaystyle \left(1+2x^{2}\right)-(1+4x)=2x^{2}-4x pe a patra.
    A(x2)−A(2x)=(−x2+2xx2−2x−2x2+4x2x2−4x)\displaystyle A\left(x^{2}\right)-A(2x)=\begin{pmatrix}-x^{2}+2x & x^{2}-2x\\ -2x^{2}+4x & 2x^{2}-4x\end{pmatrix}
  4. Toate elementele matricei sunt multipli ai lui x2−2x\displaystyle x^{2}-2x, deci egalitatea cu matricea nulă revine la o singură ecuație.
    x2−2x=0\displaystyle x^{2}-2x=0
  5. Factorizăm: x(x−2)=0\displaystyle x(x-2)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=2\displaystyle x=2. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x1=0 și x2=2\displaystyle x_{1}=0\text{ și }x_{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră mulțimea G={A(x)=(1−xx−2x1+2x)|x∈R}\displaystyle G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix}\middle| x\in\mathbb{R}\right\}.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem criteriul: o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci trebuie să calculăm det⁡(A(x))\displaystyle \det(A(x)).
    A(x) inversabila˘⇔det⁡(A(x))≠0\displaystyle A(x)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow \det(A(x))\neq 0
  2. Scriem determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x))=(1−x)(1+2x)−x⋅(−2x)\displaystyle \det(A(x))=(1-x)(1+2x)-x\cdot(-2x).
    det⁡(A(x))=(1−x)(1+2x)−x⋅(−2x)\displaystyle \det(A(x))=(1-x)(1+2x)-x\cdot(-2x)
  3. Desfacem parantezele: (1−x)(1+2x)=1+2x−x−2x2=1+x−2x2\displaystyle (1-x)(1+2x)=1+2x-x-2x^{2}=1+x-2x^{2}. Al doilea termen este −x⋅(−2x)=2x2\displaystyle -x\cdot(-2x)=2x^{2}, deci termenii cu x2\displaystyle x^{2} se reduc și rămâne 1+x\displaystyle 1+x.
    det⁡(A(x))=1+x−2x2+2x2=1+x\displaystyle \det(A(x))=1+x-2x^{2}+2x^{2}=1+x
  4. Impunem condiția ca determinantul să fie nenul: 1+x≠0\displaystyle 1+x\neq 0, deci x≠−1\displaystyle x\neq -1.
    1+x≠0⇔x≠−1\displaystyle 1+x\neq 0\Leftrightarrow x\neq -1
  5. Concluzie: matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă pentru orice număr real x\displaystyle x, cu excepția lui −1\displaystyle -1.
    x∈R∖{−1}\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră mulțimea G={A(x)=(1−xx−2x1+2x)|x∈R}\displaystyle G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix}\middle| x\in\mathbb{R}\right\}.

Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y+xy)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y+xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(x)=(1−xx−2x1+2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix} și A(y)=(1−yy−2y1+2y)\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}1-y & y\\ -2y & 1+2y\end{pmatrix}. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j al produsului este suma produselor elementelor liniei i\displaystyle i din A(x)\displaystyle A(x) cu elementele coloanei j\displaystyle j din A(y)\displaystyle A(y).
    A(x)⋅A(y)=((1−x)(1−y)+x(−2y)(1−x)y+x(1+2y)−2x(1−y)+(1+2x)(−2y)−2x⋅y+(1+2x)(1+2y))\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}(1-x)(1-y)+x(-2y) & (1-x)y+x(1+2y)\\ -2x(1-y)+(1+2x)(-2y) & -2x\cdot y+(1+2x)(1+2y)\end{pmatrix}
  2. Pentru linia 1, coloana 1 desfacem parantezele: (1−x)(1−y)=1−x−y+xy\displaystyle (1-x)(1-y)=1-x-y+xy, iar x(−2y)=−2xy\displaystyle x(-2y)=-2xy. Reducem termenii asemenea.
    1−x−y+xy−2xy=1−x−y−xy\displaystyle 1-x-y+xy-2xy=1-x-y-xy
  3. Pentru linia 1, coloana 2: (1−x)y=y−xy\displaystyle (1-x)y=y-xy, iar x(1+2y)=x+2xy\displaystyle x(1+2y)=x+2xy. Adunăm și reducem termenii asemenea.
    y−xy+x+2xy=x+y+xy\displaystyle y-xy+x+2xy=x+y+xy
  4. Pentru linia 2, coloana 1: −2x(1−y)=−2x+2xy\displaystyle -2x(1-y)=-2x+2xy, iar (1+2x)(−2y)=−2y−4xy\displaystyle (1+2x)(-2y)=-2y-4xy. Adunăm și reducem termenii asemenea.
    −2x+2xy−2y−4xy=−2x−2y−2xy\displaystyle -2x+2xy-2y-4xy=-2x-2y-2xy
  5. Pentru linia 2, coloana 2: −2xy\displaystyle -2xy și (1+2x)(1+2y)=1+2x+2y+4xy\displaystyle (1+2x)(1+2y)=1+2x+2y+4xy. Adunăm și reducem termenii asemenea.
    −2xy+1+2x+2y+4xy=1+2x+2y+2xy\displaystyle -2xy+1+2x+2y+4xy=1+2x+2y+2xy
  6. Punem cele patru elemente calculate în matricea produs.
    A(x)⋅A(y)=(1−x−y−xyx+y+xy−2x−2y−2xy1+2x+2y+2xy)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1-x-y-xy & x+y+xy\\ -2x-2y-2xy & 1+2x+2y+2xy\end{pmatrix}
  7. Notăm t=x+y+xy\displaystyle t=x+y+xy. Pe prima linie avem 1−x−y−xy=1−t\displaystyle 1-x-y-xy=1-t și t\displaystyle t. Pe linia a doua avem −2x−2y−2xy=−2t\displaystyle -2x-2y-2xy=-2t și 1+2x+2y+2xy=1+2t\displaystyle 1+2x+2y+2xy=1+2t. Matricea are forma A(t)\displaystyle A(t), deci produsul este A(x+y+xy)\displaystyle A(x+y+xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =(1−(x+y+xy)x+y+xy−2(x+y+xy)1+2(x+y+xy))=A(x+y+xy), pentru orice numere \displaystyle =\begin{pmatrix}1-(x+y+xy) & x+y+xy\\ -2(x+y+xy) & 1+2(x+y+xy)\end{pmatrix}=A(x+y+xy)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră mulțimea G={A(x)=(1−xx−2x1+2x)|x∈R}\displaystyle G=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\ -2x & 1+2x\end{pmatrix}\middle| x\in\mathbb{R}\right\}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația A(x)⋅A(x)⋅A(x)⋅A(x)=A(0)\displaystyle A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că A(x)=I2+xB\displaystyle A(x)=I_2+xB, unde B=(−11−22)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -2 & 2\end{pmatrix}. Calculăm B2=(1−2−1+22−4−2+4)=B\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1-2 & -1+2\\ 2-4 & -2+4\end{pmatrix}=B.
    A(x)=I2+xB\displaystyle A(x)=I_2+xB,B2=B\displaystyle \quad B^2=B
  2. Deducem formula produsului: A(x)A(y)=I2+(x+y)B+xyB2=I2+(x+y+xy)B\displaystyle A(x)A(y)=I_2+(x+y)B+xyB^2=I_2+(x+y+xy)B, deci A(x)A(y)=A(x+y+xy)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+xy).
    A(x)⋅A(y)=A(x+y+xy)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y+xy)
  3. Grupăm produsul astfel: (A(x)⋅A(x))⋅(A(x)⋅A(x))\displaystyle \left(A(x)\cdot A(x)\right)\cdot\left(A(x)\cdot A(x)\right). Pentru y=x\displaystyle y=x formula dă A(x)⋅A(x)=A(x2+2x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(x^2+2x).
    A(x)⋅A(x)=A(x2+2x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A\left(x^2+2x\right)
  4. Scriem x2+2x=(x+1)2−1\displaystyle x^2+2x=(x+1)^2-1. Atunci produsul devine A(x2+2x)⋅A(x2+2x)=A((x+1)2−1)⋅A((x+1)2−1)\displaystyle A\left(x^2+2x\right)\cdot A\left(x^2+2x\right)=A\left((x+1)^2-1\right)\cdot A\left((x+1)^2-1\right).
    A((x+1)2−1)⋅A((x+1)2−1)\displaystyle A\left((x+1)^2-1\right)\cdot A\left((x+1)^2-1\right)
  5. Aplicăm din nou formula pentru t=(x+1)2−1\displaystyle t=(x+1)^2-1: A(t)⋅A(t)=A(t2+2t)=A((t+1)2−1)\displaystyle A(t)\cdot A(t)=A\left(t^2+2t\right)=A\left((t+1)^2-1\right). Cum t+1=(x+1)2\displaystyle t+1=(x+1)^2, obținem (t+1)2−1=(x+1)4−1\displaystyle (t+1)^2-1=(x+1)^4-1.
    A(x)⋅A(x)⋅A(x)⋅A(x)=A((x+1)4−1)\displaystyle A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=A\left((x+1)^4-1\right)
  6. Ecuația devine A((x+1)4−1)=A(0)\displaystyle A\left((x+1)^4-1\right)=A(0). Avem A(t)=I2+tB\displaystyle A(t)=I_2+tB și B≠O2\displaystyle B\neq O_2, deci A(t)=A(0)\displaystyle A(t)=A(0) doar pentru t=0\displaystyle t=0. Rezultă (x+1)4−1=0\displaystyle (x+1)^4-1=0.
    (x+1)4−1=0\displaystyle (x+1)^4-1=0
  7. Din (x+1)4=1\displaystyle (x+1)^4=1 și x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} rezultă x+1=1\displaystyle x+1=1 sau x+1=−1\displaystyle x+1=-1. Deci x=0\displaystyle x=0 sau x=−2\displaystyle x=-2.
    x1=−2 și x2=0\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.