Bac matematică M4 pedagogic 2016, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numerele naturale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c, știind că 2016=2a⋅3b⋅7c\displaystyle 2016=2^a\cdot 3^b\cdot 7^c.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim succesiv numărul 2016\displaystyle 2016 la 2\displaystyle 2 cât timp se poate: 2016:2=1008\displaystyle 2016:2=1008, apoi 1008:2=504\displaystyle 1008:2=504, 504:2=252\displaystyle 504:2=252, 252:2=126\displaystyle 252:2=126, 126:2=63\displaystyle 126:2=63. Am împărțit de 5\displaystyle 5 ori la 2\displaystyle 2, iar 63\displaystyle 63 este impar.
    2016=25⋅63\displaystyle 2016=2^{5}\cdot 63
  2. Descompunem 63\displaystyle 63: este divizibil cu 3\displaystyle 3, 63:3=21\displaystyle 63:3=21, apoi 21:3=7\displaystyle 21:3=7, iar 7\displaystyle 7 este număr prim. Deci 63=32⋅7\displaystyle 63=3^{2}\cdot 7.
    63=32⋅71\displaystyle 63=3^{2}\cdot 7^{1}
  3. Înlocuim descompunerea lui 63\displaystyle 63 și obținem descompunerea în factori primi a lui 2016\displaystyle 2016.
    2016=25⋅32⋅71\displaystyle 2016=2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}
  4. Descompunerea în factori primi este unică, deci comparăm exponenții factorilor 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 7\displaystyle 7 din egalitatea 2016=2a⋅3b⋅7c\displaystyle 2016=2^a\cdot 3^b\cdot 7^c cu cei obținuți. Rezultă a=5\displaystyle a=5, b=2\displaystyle b=2, c=1\displaystyle c=1.
    a=5\displaystyle a=5, b=2\displaystyle \ b=2, c=1\displaystyle \ c=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x2−3\displaystyle f(x)=4x^2-3. Determinați abscisele punctelor care au ordonata egală cu 1\displaystyle 1 și aparțin graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct de pe grafic are coordonatele (x,f(x))\displaystyle (x, f(x)). Ordonata egală cu 1\displaystyle 1 înseamnă f(x)=1\displaystyle f(x)=1, deci scriem ecuația.
    4x2−3=1\displaystyle 4x^{2}-3=1
  2. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri ai ecuației.
    4x2=4\displaystyle 4x^{2}=4
  3. Împărțim ecuația la 4\displaystyle 4 și mutăm termenul liber în stânga, obținând ecuația de gradul al doilea din barem.
    f(x)=1⇔x2−1=0\displaystyle f(x)=1\Leftrightarrow x^{2}-1=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). Produsul este zero dacă unul dintre factori este zero.
    (x−1)(x+1)=0\displaystyle (x-1)(x+1)=0
  5. Din x−1=0\displaystyle x-1=0 obținem x=1\displaystyle x=1, iar din x+1=0\displaystyle x+1=0 obținem x=−1\displaystyle x=-1. Acestea sunt abscisele căutate.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+10−2x=4−x\displaystyle \sqrt{3x+10}-2x=4-x.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm radicalul în membrul stâng: 3x+10=4−x+2x\displaystyle \sqrt{3x+10}=4-x+2x, deci 3x+10=4+x\displaystyle \sqrt{3x+10}=4+x.
    3x+10=4+x\displaystyle \sqrt{3x+10}=4+x
  2. Radicalul este mai mare sau egal cu zero, deci cerem 4+x≥0\displaystyle 4+x\ge 0 și 3x+10≥0\displaystyle 3x+10\ge 0, adică x≥−4\displaystyle x\ge -4 și x≥−103\displaystyle x\ge -\dfrac{10}{3}. Cum −103>−4\displaystyle -\dfrac{10}{3}>-4, condiția care rămâne este x≥−103\displaystyle x\ge -\dfrac{10}{3}.
    x≥−103\displaystyle x\ge -\dfrac{10}{3}
  3. Ridicăm la pătrat ambii membri: 3x+10=(4+x)2\displaystyle 3x+10=(4+x)^2, adică 3x+10=x2+8x+16\displaystyle 3x+10=x^2+8x+16.
    3x+10=x2+8x+16\displaystyle 3x+10=x^2+8x+16
  4. Mutăm toți termenii în dreapta: 0=x2+8x+16−3x−10\displaystyle 0=x^2+8x+16-3x-10, deci x2+5x+6=0\displaystyle x^2+5x+6=0.
    x2+5x+6=0\displaystyle x^2+5x+6=0
  5. Calculăm Δ=25−24=1\displaystyle \Delta=25-24=1, deci x=−5±12\displaystyle x=\dfrac{-5\pm 1}{2}. Rezultă x=−3\displaystyle x=-3 sau x=−2\displaystyle x=-2.
    x=−3 sau x=−2\displaystyle x=-3\text{ sau }x=-2
  6. Verificăm în 3x+10=4+x\displaystyle \sqrt{3x+10}=4+x. Pentru x=−3\displaystyle x=-3: 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1 și 4−3=1\displaystyle 4-3=1, adevărat. Pentru x=−2\displaystyle x=-2: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2 și 4−2=2\displaystyle 4-2=2, adevărat. Deci ambele valori convin.
    x=−3 sau x=−2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=-3\text{ sau }x=-2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor mai mică sau egală cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    90\displaystyle 90
  2. Notăm numărul cu ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\ldots,9\} și b∈{0,…,9}\displaystyle b\in\{0,\ldots,9\}. Condiția este a+b≤10\displaystyle a+b\le 10, adică b≤10−a\displaystyle b\le 10-a. Numărăm valorile lui b\displaystyle b pentru fiecare a\displaystyle a.
    a+b≤10  ⟺  b≤10−a\displaystyle a+b\le 10\iff b\le 10-a
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1 convin toate cele 10\displaystyle 10 valori ale lui b\displaystyle b (de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9). Pentru a∈{2,…,9}\displaystyle a\in\{2,\ldots,9\}, b\displaystyle b ia valorile 0,1,…,10−a\displaystyle 0,1,\ldots,10-a, adică 11−a\displaystyle 11-a valori: 9,8,7,6,5,4,3,2\displaystyle 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2.
    10\displaystyle 10,9\displaystyle 9,8\displaystyle 8,7\displaystyle 7,6\displaystyle 6,5\displaystyle 5,4\displaystyle 4,3\displaystyle 3,2\displaystyle 2
  4. Adunăm numerele de cazuri favorabile pentru fiecare cifră a zecilor. Suma 2+3+…+10\displaystyle 2+3+\ldots+10 are 9\displaystyle 9 termeni, deci este (2+10)⋅92\displaystyle \dfrac{(2+10)\cdot 9}{2}.
    54\displaystyle 54
  5. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile, apoi simplificăm fracția prin 18\displaystyle 18.
    35\displaystyle \dfrac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(3,5)\displaystyle B(3,5). Determinați coordonatele simetricului punctului A\displaystyle A față de punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C) simetricul punctului A\displaystyle A față de punctul B\displaystyle B. Atunci B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC, deci coordonatele lui B\displaystyle B sunt semisumele coordonatelor lui A\displaystyle A și C\displaystyle C.
    xB=xA+xC2\displaystyle x_B=\frac{x_A+x_C}{2},yB=yA+yC2\displaystyle \quad y_B=\frac{y_A+y_C}{2}
  2. Scriem relația pentru abscise, înlocuind xB=3\displaystyle x_B=3 și xA=−1\displaystyle x_A=-1, apoi rezolvăm ecuația: −1+xC=6\displaystyle -1+x_C=6, deci xC=7\displaystyle x_C=7.
    3=−1+xC2⇔xC=7\displaystyle 3=\frac{-1+x_C}{2}\Leftrightarrow x_C=7
  3. Scriem relația pentru ordonate, înlocuind yB=5\displaystyle y_B=5 și yA=2\displaystyle y_A=2, apoi rezolvăm ecuația: 2+yC=10\displaystyle 2+y_C=10, deci yC=8\displaystyle y_C=8. Simetricul punctului A\displaystyle A față de B\displaystyle B este C(7,8)\displaystyle C(7,8).
    5=2+yC2⇔yC=8\displaystyle 5=\frac{2+y_C}{2}\Leftrightarrow y_C=8,C(7,8)\displaystyle \quad C(7,8)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Perimetrul triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC este egal cu 72\displaystyle 72. Determinați lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC, știind că sin⁡C=0,8\displaystyle \sin C=0{,}8.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul drept este în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar cateta AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C. Sinusul unghiului C\displaystyle C este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Scriem 0,8\displaystyle 0{,}8 ca fracție ireductibilă.
    sin⁡C=ABBC=0,8=45\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}=0{,}8=\frac{4}{5}
  2. Din egalitatea fracțiilor exprimăm cateta AB\displaystyle AB în funcție de ipotenuza BC\displaystyle BC.
    AB=45BC\displaystyle AB=\frac{4}{5}BC
  3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC\displaystyle ABC și înlocuim AB\displaystyle AB. Obținem pătratul catetei AC\displaystyle AC în funcție de BC\displaystyle BC.
    AC2=BC2−AB2=BC2−1625BC2=925BC2\displaystyle AC^2=BC^2-AB^2=BC^2-\frac{16}{25}BC^2=\frac{9}{25}BC^2
  4. Extragem rădăcina pătrată; lungimea este pozitivă.
    AC=35BC\displaystyle AC=\frac{3}{5}BC
  5. Perimetrul este suma celor trei laturi: AB\displaystyle AB, AC\displaystyle AC și BC\displaystyle BC. Înlocuim AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC cu expresiile găsite și egalăm cu 72\displaystyle 72.
    45BC+35BC+BC=72\displaystyle \frac{4}{5}BC+\frac{3}{5}BC+BC=72
  6. Adunăm termenii din stânga: 45+35+1=125\displaystyle \dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}+1=\dfrac{12}{5}. Rezolvăm ecuația în BC\displaystyle BC și obținem lungimea ipotenuzei.
    125BC=72⇔BC=72⋅512=30\displaystyle \frac{12}{5}BC=72\Leftrightarrow BC=72\cdot\frac{5}{12}=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Calculați (−2)∘2\displaystyle (-\sqrt{2})\circ\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii: x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y. Pentru x=−2\displaystyle x=-\sqrt{2} și y=2\displaystyle y=\sqrt{2} înlocuim valorile în definiție.
    (−2)∘2=(−2)⋅2+(−2)+2\displaystyle (-\sqrt{2})\circ\sqrt{2}=(-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{2}
  2. Calculăm produsul: (−2)⋅2=−(2)2=−2\displaystyle (-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=-(\sqrt{2})^{2}=-2.
    (−2)⋅2=−2\displaystyle (-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=-2
  3. Termenii −2\displaystyle -\sqrt{2} și 2\displaystyle \sqrt{2} sunt opuși, deci suma lor este 0\displaystyle 0. Obținem −2+0=−2\displaystyle -2+0=-2.
    −2+(−2+2)=−2\displaystyle -2+\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Arătați că x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y, și vrem să ajungem la forma (x+1)(y+1)−1\displaystyle (x+1)(y+1)-1. Pentru aceasta adunăm și scădem 1\displaystyle 1, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei.
    x∘y=xy+x+y+1−1\displaystyle x\circ y=xy+x+y+1-1
  2. Grupăm primii doi termeni, xy\displaystyle xy și x\displaystyle x, și dăm factor comun pe x\displaystyle x. Ceilalți doi termeni, y\displaystyle y și 1\displaystyle 1, formează grupul y+1\displaystyle y+1. Rămâne scăderea lui 1\displaystyle 1.
    (xy+x)+(y+1)−1=x(y+1)+(y+1)−1\displaystyle (xy+x)+(y+1)-1=x(y+1)+(y+1)-1
  3. Acum y+1\displaystyle y+1 apare în ambii termeni, deci îl dăm factor comun. Obținem exact forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+1)(y+1)−1, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2∘x=−1\displaystyle x^2\circ x=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y se poate scrie x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1, deoarece (x+1)(y+1)−1=xy+x+y+1−1\displaystyle (x+1)(y+1)-1=xy+x+y+1-1.
    x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1
  2. Înlocuim în formulă pe x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^2 și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x: x2∘x=(x2+1)(x+1)−1\displaystyle x^2\circ x=(x^2+1)(x+1)-1.
    x2∘x=(x2+1)(x+1)−1\displaystyle x^{2}\circ x=(x^{2}+1)(x+1)-1
  3. Ecuația devine (x2+1)(x+1)−1=−1\displaystyle (x^2+1)(x+1)-1=-1. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem (x2+1)(x+1)=0\displaystyle (x^2+1)(x+1)=0.
    (x2+1)(x+1)−1=−1⇔(x2+1)(x+1)=0\displaystyle (x^{2}+1)(x+1)-1=-1\Leftrightarrow(x^{2}+1)(x+1)=0
  4. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero. Cum x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, avem x2+1≥1>0\displaystyle x^2+1\ge 1>0 pentru orice x\displaystyle x real, deci ecuația x2+1=0\displaystyle x^2+1=0 nu are soluții reale.
    x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0
  5. Rămâne x+1=0\displaystyle x+1=0, de unde x=−1\displaystyle x=-1, unica soluție reală a ecuației.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Verificați dacă legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Deoarece (x+1)(y+1)=xy+x+y+1\displaystyle (x+1)(y+1)=xy+x+y+1, avem x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1
  2. Calculăm (x∘y)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z. Înlocuim x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1 și aplicăm forma factorizată; primul factor este (x∘y)+1=(x+1)(y+1)\displaystyle (x\circ y)+1=(x+1)(y+1).
    (x∘y)∘z=((x+1)(y+1)−1+1)(z+1)−1=(x+1)(y+1)(z+1)−1\displaystyle (x\circ y)\circ z=((x+1)(y+1)-1+1)(z+1)-1=(x+1)(y+1)(z+1)-1
  3. Calculăm x∘(y∘z)\displaystyle x\circ(y\circ z). Înlocuim y∘z=(y+1)(z+1)−1\displaystyle y\circ z=(y+1)(z+1)-1; al doilea factor este (y∘z)+1=(y+1)(z+1)\displaystyle (y\circ z)+1=(y+1)(z+1).
    x∘(y∘z)=(x+1)((y+1)(z+1)−1+1)−1=(x+1)(y+1)(z+1)−1\displaystyle x\circ(y\circ z)=(x+1)((y+1)(z+1)-1+1)-1=(x+1)(y+1)(z+1)-1
  4. Comparăm cele două grupări: ambele sunt egale cu (x+1)(y+1)(z+1)−1\displaystyle (x+1)(y+1)(z+1)-1 pentru orice numere reale x,y,z\displaystyle x,y,z, deci legea este asociativă.
    x∘(y∘z)=(x∘y)∘z, pentru orice x\displaystyle x\circ(y\circ z)=(x\circ y)\circ z\text{, pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈R, deci legea ∘ este asociativa˘\displaystyle z\in\mathbb{R}\text{, deci legea }\circ\text{ este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Demonstrați că numărul n∘n\displaystyle n\circ n este multiplu de 8\displaystyle 8, pentru orice număr natural par n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y pentru x=y=n\displaystyle x=y=n și obținem n∘n=n2+2n\displaystyle n\circ n=n^{2}+2n.
    n∘n=n2+2n\displaystyle n\circ n=n^{2}+2n
  2. Deoarece n\displaystyle n este număr natural par, putem scrie n=2k\displaystyle n=2k, unde k∈N\displaystyle k\in\mathbb{N}.
    n=2k\displaystyle n=2k, k∈N\displaystyle \ k\in\mathbb{N}
  3. Înlocuim n=2k\displaystyle n=2k în n2+2n\displaystyle n^{2}+2n și obținem (2k)2+2⋅2k=4k2+4k\displaystyle (2k)^{2}+2\cdot 2k=4k^{2}+4k. Dăm factor comun 4k\displaystyle 4k și rezultă 4k(k+1)\displaystyle 4k(k+1).
    n∘n=4k2+4k=4k(k+1)\displaystyle n\circ n=4k^{2}+4k=4k(k+1)
  4. Numerele k\displaystyle k și k+1\displaystyle k+1 sunt consecutive, deci unul dintre ele este par. Prin urmare k(k+1)\displaystyle k(k+1) este multiplu de 2\displaystyle 2, adică k(k+1)=2m\displaystyle k(k+1)=2m, cu m∈N\displaystyle m\in\mathbb{N}.
    k(k+1)=2m\displaystyle k(k+1)=2m, m∈N\displaystyle \ m\in\mathbb{N}
  5. Înlocuim în n∘n=4k(k+1)\displaystyle n\circ n=4k(k+1) și obținem n∘n=4⋅2m=8m\displaystyle n\circ n=4\cdot 2m=8m. Deci n∘n\displaystyle n\circ n este multiplu de 8\displaystyle 8, pentru orice număr natural par n\displaystyle n.
    n∘n=8m⇒n∘n este multiplu de 8\displaystyle n\circ n=8m\Rightarrow n\circ n\text{ este multiplu de }8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Dați un exemplu de două numere iraționale a\displaystyle a și b\displaystyle b, pentru care a∘b∈N\displaystyle a\circ b\in\mathbb{N}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea într-o formă factorizată: a∘b=ab+a+b=ab+a+b+1−1\displaystyle a\circ b=ab+a+b=ab+a+b+1-1, deci ab+a+b+1=(a+1)(b+1)\displaystyle ab+a+b+1=(a+1)(b+1).
    a∘b=(a+1)(b+1)−1\displaystyle a\circ b=(a+1)(b+1)-1
  2. Condiția a∘b∈N\displaystyle a\circ b\in\mathbb{N} devine (a+1)(b+1)−1∈N\displaystyle (a+1)(b+1)-1\in\mathbb{N}, adică (a+1)(b+1)∈N∗\displaystyle (a+1)(b+1)\in\mathbb{N}^*. Deci trebuie să găsim numere iraționale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care produsul (a+1)(b+1)\displaystyle (a+1)(b+1) este natural nenul.
    a∘b=(a+1)(b+1)−1∈N⇒(a+1)(b+1)∈N∗\displaystyle a\circ b=(a+1)(b+1)-1\in\mathbb{N}\Rightarrow(a+1)(b+1)\in\mathbb{N}^*
  3. Alegem a+1=2\displaystyle a+1=\sqrt{2} și b+1=22\displaystyle b+1=2\sqrt{2}. Produsul lor este 2⋅22=2⋅2=4∈N∗\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2=4\in\mathbb{N}^*.
    (a+1)(b+1)=2⋅22=4\displaystyle (a+1)(b+1)=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4
  4. Rezultă a=2−1\displaystyle a=\sqrt{2}-1 și b=22−1\displaystyle b=2\sqrt{2}-1, ambele iraționale (un număr irațional minus un întreg rămâne irațional). Verificare: a∘b=4−1=3∈N\displaystyle a\circ b=4-1=3\in\mathbb{N}.
    a=2−1 și b=22−1\displaystyle a=\sqrt{2}-1\text{ și }b=2\sqrt{2}-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Prima linie devine 2\displaystyle 2 și 2−1=1\displaystyle 2-1=1, iar a doua linie rămâne 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    A(2)=(2112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2\displaystyle 2 al matricei A(2)\displaystyle A(2) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣2112∣=2⋅2−1⋅1\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1
  3. Calculăm: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 4−1=3\displaystyle 4-1=3. Deci determinantul este 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(2))=4−1=3\displaystyle \det(A(2))=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(1)+A(3)=2A(2)\displaystyle A(1)+A(3)=2A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x): prima linie este 1\displaystyle 1 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar a doua linie este 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    A(1)=(1012)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 în A(x)\displaystyle A(x): prima linie este 3\displaystyle 3 și 3−1=2\displaystyle 3-1=2, iar a doua linie este 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    A(3)=(3212)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 0+2=2\displaystyle 0+2=2, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4.
    A(1)+A(3)=(1012)+(3212)=(4224)\displaystyle A(1)+A(3)=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(2)=(2112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea sumă și observăm că rezultatul este chiar 2A(2)\displaystyle 2A(2), deci egalitatea este demonstrată.
    (4224)=2(2112)=2A(2)\displaystyle \begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=2A(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, pentru care ∣det⁡(A(n))∣=1−2n\displaystyle |\det(A(n))|=1-2n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu n\displaystyle n în matricea dată: obținem matricea A(n)\displaystyle A(n).
    A(n)=(nn−112)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n&n-1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(n))=n⋅2−(n−1)⋅1=2n−n+1\displaystyle \det(A(n))=n\cdot 2-(n-1)\cdot 1=2n-n+1.
    det⁡(A(n))=n+1\displaystyle \det(A(n))=n+1
  3. Ecuația devine ∣n+1∣=1−2n\displaystyle |n+1|=1-2n. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, avem n+1>0\displaystyle n+1>0, deci ∣n+1∣=n+1\displaystyle |n+1|=n+1.
    n+1=1−2n\displaystyle n+1=1-2n
  4. Mutăm termenii cu n\displaystyle n în stânga: n+2n=1−1\displaystyle n+2n=1-1, deci 3n=0\displaystyle 3n=0.
    n=0\displaystyle n=0
  5. Verificăm: n=0∈N\displaystyle n=0\in\mathbb{N}, iar ∣0+1∣=1\displaystyle |0+1|=1 și 1−2⋅0=1\displaystyle 1-2\cdot 0=1, deci valoarea convine.
    n=0, care convine\displaystyle n=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x, pentru care det⁡(xA(x)−2I2)≥0\displaystyle \det(xA(x)-2I_2)\ge 0, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xA(x)\displaystyle xA(x), înmulțind fiecare element al lui A(x)\displaystyle A(x) cu x\displaystyle x.
    xA(x)=(x2x2−xx2x)\displaystyle xA(x)=\begin{pmatrix}x^{2}&x^{2}-x\\x&2x\end{pmatrix}
  2. Scădem 2I2\displaystyle 2I_2, adică scădem 2\displaystyle 2 din elementele de pe diagonala principală.
    xA(x)−2I2=(x2−2x2−xx2x−2)\displaystyle xA(x)-2I_2=\begin{pmatrix}x^{2}-2&x^{2}-x\\x&2x-2\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul ca diferență dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară, apoi dezvoltăm parantezele.
    det⁡(xA(x)−2I2)=(x2−2)(2x−2)−x(x2−x)=2x3−2x2−4x+4−x3+x2=x3−x2−4x+4\displaystyle \det(xA(x)-2I_2)=(x^{2}-2)(2x-2)-x(x^{2}-x)=2x^{3}-2x^{2}-4x+4-x^{3}+x^{2}=x^{3}-x^{2}-4x+4
  4. Descompunem în factori prin grupare: scoatem factor comun x2\displaystyle x^{2} din primii doi termeni și −4\displaystyle -4 din ceilalți doi, apoi folosim diferența de pătrate x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2).
    x2(x−1)−4(x−1)=(x−1)(x2−4)=(x−1)(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^{2}-4)=(x-1)(x-2)(x+2)
  5. Rădăcinile factorilor sunt −2\displaystyle -2, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Coeficientul dominant al polinomului de gradul trei este pozitiv, deci produsul este pozitiv pentru x\displaystyle x mare. Semnul alternează la trecerea prin fiecare rădăcină: minus pe (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2), plus pe (−2,1)\displaystyle (-2,1), minus pe (1,2)\displaystyle (1,2), plus pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    (x−1)(x−2)(x+2)>0 pe (−2,1)∪(2,+∞)\displaystyle (x-1)(x-2)(x+2)>0\text{ pe }(-2,1)\cup(2,+\infty)
  6. Inegalitatea este nestrictă, deci includem și rădăcinile −2\displaystyle -2, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, în care produsul este 0\displaystyle 0. Obținem mulțimea soluțiilor.
    (x−1)(x−2)(x+2)≥0⇔x∈[−2,1]∪[2,+∞)\displaystyle (x-1)(x-2)(x+2)\ge 0\Leftrightarrow x\in[-2,1]\cup[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că matricea A(x2)\displaystyle A(x^2) este inversabilă, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(x2)\displaystyle A(x^{2}).
    A(x2)=(x2x2−112)\displaystyle A(x^{2})=\begin{pmatrix}x^{2}&x^{2}-1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică x2⋅2−(x2−1)⋅1\displaystyle x^{2}\cdot 2-(x^{2}-1)\cdot 1.
    det⁡(A(x2))=2x2−(x2−1)\displaystyle \det(A(x^{2}))=2x^{2}-(x^{2}-1)
  3. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 2x2−x2+1=x2+1\displaystyle 2x^{2}-x^{2}+1=x^{2}+1.
    det⁡(A(x2))=x2+1\displaystyle \det(A(x^{2}))=x^{2}+1
  4. Pentru orice x\displaystyle x real avem x2≥0\displaystyle x^{2}\geq 0, deci x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0, adică determinantul este nenul. O matrice este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, deci A(x2)\displaystyle A(x^{2}) este inversabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x2+1≠0 pentru orice numa˘r real x, deci A(x2) este inversabila˘ pentru \displaystyle x^{2}+1\neq 0\text{ pentru orice număr real }x\text{, deci }A(x^{2})\text{ este inversabilă pentru }orice numa˘r real x\displaystyle \text{orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), pentru care 2X+3A(1)=4A(2)\displaystyle 2X+3A(1)=4A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(1)\displaystyle A(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x): x−1=0\displaystyle x-1=0, deci A(1)\displaystyle A(1) are primul rând 1,0\displaystyle 1, 0 și al doilea rând 1,2\displaystyle 1, 2.
    A(1)=(1012)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(2)\displaystyle A(2) înlocuind x=2\displaystyle x=2 în A(x)\displaystyle A(x): x−1=1\displaystyle x-1=1, deci A(2)\displaystyle A(2) are primul rând 2,1\displaystyle 2, 1 și al doilea rând 1,2\displaystyle 1, 2.
    A(2)=(2112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}
  3. Înlocuim A(1)\displaystyle A(1) și A(2)\displaystyle A(2) în egalitatea 2X+3A(1)=4A(2)\displaystyle 2X+3A(1)=4A(2) și înmulțim fiecare matrice cu scalarul ei, element cu element.
    2X+3(1012)=4(2112)⇔2X+(3036)=(8448)\displaystyle 2X+3\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\Leftrightarrow 2X+\begin{pmatrix}3&0\\3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&4\\4&8\end{pmatrix}
  4. Trecem matricea cunoscută în membrul drept: 2X=(8448)−(3036)\displaystyle 2X=\begin{pmatrix}8&4\\4&8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&0\\3&6\end{pmatrix}.
    2X=(5412)\displaystyle 2X=\begin{pmatrix}5&4\\1&2\end{pmatrix}
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 toate elementele matricei: X=12(5412)\displaystyle X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}5&4\\1&2\end{pmatrix}.
    X=(522121)\displaystyle X=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}&2\\\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.