Bac matematică M4 pedagogic 2015, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați 2−2⋅3−(14)0\displaystyle 2^{-2}\cdot 3-\left(\frac{1}{4}\right)^{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm puterea cu exponent negativ: 2−2=122=14\displaystyle 2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}.
    2−2=14\displaystyle 2^{-2}=\dfrac{1}{4}
  2. Orice număr nenul ridicat la puterea 0\displaystyle 0 este egal cu 1\displaystyle 1, deci (14)0=1\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}=1.
    2−2=14\displaystyle 2^{-2}=\dfrac{1}{4}, (14)0=1\displaystyle \ \left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}=1
  3. Înlocuim puterile în expresie: 14⋅3−1\displaystyle \dfrac{1}{4}\cdot 3-1. Efectuăm mai întâi înmulțirea: 14⋅3=34\displaystyle \dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{3}{4}.
    14⋅3−1=34−1\displaystyle \dfrac{1}{4}\cdot 3-1=\dfrac{3}{4}-1
  4. Scădem: 34−1=34−44=−14\displaystyle \dfrac{3}{4}-1=\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{4}=-\dfrac{1}{4}. Acesta este răspunsul final.
    −14\displaystyle -\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)\displaystyle f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−4x+1\displaystyle f(x)=-4x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile funcției f(x)=−4x+1\displaystyle f(x)=-4x+1 în fiecare punct: f(−2)=−4⋅(−2)+1=9\displaystyle f(-2)=-4\cdot(-2)+1=9, f(−1)=−4⋅(−1)+1=5\displaystyle f(-1)=-4\cdot(-1)+1=5, f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f(1)=−4+1=−3\displaystyle f(1)=-4+1=-3, f(2)=−8+1=−7\displaystyle f(2)=-8+1=-7.
    f(−2)=9\displaystyle f(-2)=9, f(−1)=5\displaystyle \ f(-1)=5, f(0)=1\displaystyle \ f(0)=1, f(1)=−3\displaystyle \ f(1)=-3, f(2)=−7\displaystyle \ f(2)=-7
  2. Grupăm termenii simetrici față de zero: f(−2)+f(2)=9+(−7)=2\displaystyle f(-2)+f(2)=9+(-7)=2, f(−1)+f(1)=5+(−3)=2\displaystyle f(-1)+f(1)=5+(-3)=2, iar f(0)=1\displaystyle f(0)=1.
    f(−2)+f(2)=2\displaystyle f(-2)+f(2)=2, f(−1)+f(1)=2\displaystyle \ f(-1)+f(1)=2, f(0)=1\displaystyle \ f(0)=1
  3. Adunăm cele trei rezultate: f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)=2+2+1=5\displaystyle f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=2+2+1=5.
    f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)=2+2+1=5\displaystyle f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=2+2+1=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−5x+33=−1\displaystyle \sqrt[3]{x^2-5x+3}=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordinul 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm ambii membri ai ecuației x2−5x+33=−1\displaystyle \sqrt[3]{x^2-5x+3}=-1 la puterea a treia.
    x2−5x+3=(−1)3\displaystyle x^2-5x+3=(-1)^3
  2. Calculăm (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−5x+3=−1\displaystyle x^2-5x+3=-1
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și reducem termenii asemenea.
    x2−5x+4=0\displaystyle x^2-5x+4=0
  4. Calculăm discriminantul, cu a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=4\displaystyle c=4.
    Δ=(−5)2−4⋅1⋅4=25−16=9\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9
  5. Aflăm rădăcinile cu formula x1,2=−b±Δ2a=5±32\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm 3}{2}. Ridicarea la cub este reversibilă pe mulțimea numerelor reale, deci ambele soluții verifică ecuația inițială. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1−5+33=−13=−1\displaystyle \sqrt[3]{1-5+3}=\sqrt[3]{-1}=-1, iar pentru x=4\displaystyle x=4 avem 16−20+33=−13=−1\displaystyle \sqrt[3]{16-20+3}=\sqrt[3]{-1}=-1.
    x2−5x+4=0⇔x1=1 și x2=4, care verifica˘ ecuația\displaystyle x^2-5x+4=0\Leftrightarrow x_1=1\text{ și }x_2=4\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea {1,2,…,25}\displaystyle \{1,2,\ldots,25\}, acesta să fie număr par.
Vezi rezolvarea
  1. Cazurile posibile sunt toate numerele din mulțimea {1,2,…,25}\displaystyle \{1,2,\ldots,25\}. Sunt 25 de numere, deci 25 de cazuri posibile. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    nr. cazuri posibile=25\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=25
  2. Cazurile favorabile sunt numerele pare din mulțime: 2,4,6,…,24\displaystyle 2,4,6,\ldots,24. Ele au forma 2k\displaystyle 2k cu k∈{1,2,…,12}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,12\}, deoarece 2⋅12=24\displaystyle 2\cdot 12=24, iar 2⋅13=26>25\displaystyle 2\cdot 13=26>25. Deci sunt 12 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=12\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=12
  3. Înlocuim în formulă: p=1225\displaystyle p=\dfrac{12}{25}. Fracția nu se simplifică, deoarece 12\displaystyle 12 și 25\displaystyle 25 nu au alți divizori comuni în afară de 1\displaystyle 1.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1225\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{12}{25}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele d1:3x+(a+5)y−4=0\displaystyle d_1: 3x+(a+5)y-4=0 și d2:3x+2y−5=0\displaystyle d_2: 3x+2y-5=0 sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptele d1:A1x+B1y+C1=0\displaystyle d_1: A_1x+B_1y+C_1=0 și d2:A2x+B2y+C2=0\displaystyle d_2: A_2x+B_2y+C_2=0 sunt paralele când A1A2=B1B2\displaystyle \dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2} (iar termenii liberi nu respectă aceeași proporție). Aici A1=3\displaystyle A_1=3, B1=a+5\displaystyle B_1=a+5, A2=3\displaystyle A_2=3, B2=2\displaystyle B_2=2.
    33=a+52\displaystyle \frac{3}{3}=\frac{a+5}{2}
  2. Simplificăm fracția din stânga: 33=1\displaystyle \dfrac{3}{3}=1, deci obținem ecuația 1=a+52\displaystyle 1=\dfrac{a+5}{2}.
    1=a+52\displaystyle 1=\frac{a+5}{2}
  3. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem a+5=2\displaystyle a+5=2, apoi scădem 5\displaystyle 5 din ambii membri: a=2−5\displaystyle a=2-5.
    a=−3\displaystyle a=-3
  4. Verificăm: pentru a=−3\displaystyle a=-3, d1:3x+2y−4=0\displaystyle d_1: 3x+2y-4=0, iar d2:3x+2y−5=0\displaystyle d_2: 3x+2y-5=0. Termenii liberi diferă (−4≠−5\displaystyle -4\neq -5), deci dreptele nu coincid, ci sunt paralele. Răspuns final: a=−3\displaystyle a=-3.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria unui pătrat, știind că lungimea uneia dintre diagonale este egală cu 6 dm\displaystyle 6\,\text{dm}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu l\displaystyle l latura pătratului. Diagonala pătratului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale cu l\displaystyle l, deci după teorema lui Pitagora d2=l2+l2\displaystyle d^{2}=l^{2}+l^{2}, adică d=l2\displaystyle d=l\sqrt{2}.
    d=l2\displaystyle d=l\sqrt{2}
  2. Înlocuim diagonala cu 6 dm\displaystyle 6\,\text{dm} și obținem ecuația l2=6\displaystyle l\sqrt{2}=6.
    l2=6\displaystyle l\sqrt{2}=6
  3. Aflăm latura: împărțim la 2\displaystyle \sqrt{2} și raționalizăm, amplificând cu 2\displaystyle \sqrt{2}. Obținem l=62=622=32 dm\displaystyle l=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\,\text{dm}.
    l=32 dm\displaystyle l=3\sqrt{2}\text{ dm}
  4. Aria pătratului este latura la pătrat: A=l2=(32)2=32⋅(2)2=9⋅2=18 dm2\displaystyle \mathcal{A}=l^{2}=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}=3^{2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}=9\cdot 2=18\,\text{dm}^{2}.
    Apa˘trat=(32)2=18 dm2\displaystyle \mathcal{A}_{\text{pătrat}}=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}=18\text{ dm}^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Calculați 0∗2\displaystyle 0*2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12, și înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2.
    0∗2=0⋅2−3⋅0−3⋅2+12\displaystyle 0*2=0\cdot 2-3\cdot 0-3\cdot 2+12
  2. Calculăm pe rând produsele: 0⋅2=0\displaystyle 0\cdot 2=0, 3⋅0=0\displaystyle 3\cdot 0=0, iar 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6.
    0∗2=0−0−6+12\displaystyle 0*2=0-0-6+12
  3. Efectuăm scăderea și adunarea: −6+12=6\displaystyle -6+12=6. Deci 0∗2=6\displaystyle 0*2=6.
    0∗2=6\displaystyle 0*2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Arătați că x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.
    x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12
  2. Scriem termenul liber 12\displaystyle 12 ca 9+3\displaystyle 9+3, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=xy−3x−3y+9+3\displaystyle x*y=xy-3x-3y+9+3
  3. Grupăm termenii: xy−3x\displaystyle xy-3x și −3y+9\displaystyle -3y+9. Dăm factor comun pe x\displaystyle x în primul grup și pe −3\displaystyle -3 în al doilea grup.
    x∗y=x(y−3)−3(y−3)+3\displaystyle x*y=x(y-3)-3(y-3)+3
  4. Dăm factor comun paranteza (y−3)\displaystyle (y-3) și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Verificați dacă e=4\displaystyle e=4 este element neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Verificăm ambele egalități pentru e=4\displaystyle e=4.
    x∗4=x și 4∗x=x\displaystyle x*4=x\text{ și }4*x=x
  2. Scriem legea sub formă factorizată: (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9, deci x∗y=xy−3x−3y+9+3\displaystyle x*y=xy-3x-3y+9+3.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3
  3. Calculăm x∗4=(x−3)(4−3)+3=(x−3)⋅1+3\displaystyle x*4=(x-3)(4-3)+3=(x-3)\cdot 1+3, deci x∗4=x\displaystyle x*4=x.
    x∗4=(x−3)(4−3)+3=x\displaystyle x*4=(x-3)(4-3)+3=x
  4. Calculăm 4∗x=(4−3)(x−3)+3=1⋅(x−3)+3=x\displaystyle 4*x=(4-3)(x-3)+3=1\cdot(x-3)+3=x, pentru orice x\displaystyle x real. Deci e=4\displaystyle e=4 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    4∗x=(4−3)(x−3)+3=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 4*x=(4-3)(x-3)+3=x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (2x)∗x=3\displaystyle (2x)*x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: x∗y=xy−3x−3y+12=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12=(x-3)(y-3)+3, pentru că (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3
  2. Înlocuim primul element cu 2x\displaystyle 2x și al doilea cu x\displaystyle x în forma factorizată.
    (2x)∗x=(2x−3)(x−3)+3\displaystyle (2x)*x=(2x-3)(x-3)+3
  3. Egalăm cu 3\displaystyle 3 și scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: (2x−3)(x−3)+3=3\displaystyle (2x-3)(x-3)+3=3, deci produsul a doi factori este zero.
    (2x−3)(x−3)+3=3⇔(2x−3)(x−3)=0\displaystyle (2x-3)(x-3)+3=3\Leftrightarrow(2x-3)(x-3)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Din 2x−3=0\displaystyle 2x-3=0 obținem x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}, iar din x−3=0\displaystyle x-3=0 obținem x=3\displaystyle x=3. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x1=32 și x2=3\displaystyle x_1=\frac{3}{2}\text{ și }x_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Arătați că x∗(−x)≤12\displaystyle x*(-x)\le 12, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: xy−3x−3y+9=(x−3)(y−3)\displaystyle xy-3x-3y+9=(x-3)(y-3), deci x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu −x\displaystyle -x în forma factorizată: x∗(−x)=(x−3)(−x−3)+3\displaystyle x*(-x)=(x-3)(-x-3)+3.
    x∗(−x)=(x−3)(−x−3)+3\displaystyle x*(-x)=(x-3)(-x-3)+3
  3. Calculăm produsul: (x−3)(−x−3)=−(x−3)(x+3)=−(x2−9)=9−x2\displaystyle (x-3)(-x-3)=-(x-3)(x+3)=-(x^{2}-9)=9-x^{2}. Adăugând 3\displaystyle 3, obținem x∗(−x)=12−x2\displaystyle x*(-x)=12-x^{2}.
    x∗(−x)=9−x2+3=12−x2\displaystyle x*(-x)=9-x^{2}+3=12-x^{2}
  4. Cum x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0 pentru orice număr real x\displaystyle x, rezultă 12−x2≤12\displaystyle 12-x^{2}\le 12. Deci x∗(−x)≤12\displaystyle x*(-x)\le 12 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗(−x)=12−x2≤12, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(-x)=12-x^{2}\le 12\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Arătați că dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere întregi, multipli de 3, atunci numărul x∗y\displaystyle x*y este întreg, multiplu de 3.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt întregi multipli de 3\displaystyle 3, le scriem sub forma x=3m\displaystyle x=3m și y=3n\displaystyle y=3n, cu m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}.
    x=3m\displaystyle x=3m, y=3n\displaystyle \ y=3n, m\displaystyle \ m,n∈Z\displaystyle n\in\mathbb{Z}
  2. Observăm că legea se poate scrie sub forma x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3, deoarece (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9, iar adăugând 3\displaystyle 3 obținem xy−3x−3y+12\displaystyle xy-3x-3y+12.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3
  3. Înlocuim x=3m\displaystyle x=3m și y=3n\displaystyle y=3n în această formă a legii.
    x∗y=(3m−3)(3n−3)+3\displaystyle x*y=(3m-3)(3n-3)+3
  4. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3 din prima paranteză: 3m−3=3(m−1)\displaystyle 3m-3=3(m-1).
    x∗y=3(m−1)(3n−3)+3\displaystyle x*y=3(m-1)(3n-3)+3
  5. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3 din întreaga expresie. Numărul (m−1)(3n−3)+1\displaystyle (m-1)(3n-3)+1 este întreg, deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, deci x∗y\displaystyle x*y este un întreg multiplu de 3\displaystyle 3.
    x∗y=3((m−1)(3n−3)+1) este ıˆntreg, multiplu de 3\displaystyle x*y=3\left((m-1)(3n-3)+1\right)\text{ este întreg, multiplu de }3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 8.

Calculați 1^⋅2^⋅3^⋅4^⋅5^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{2}\cdot\hat{3}\cdot\hat{4}\cdot\hat{5} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat produsul 1^⋅2^⋅3^⋅4^⋅5^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{2}\cdot\hat{3}\cdot\hat{4}\cdot\hat{5} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8. Observăm că printre factori apar clasele 2^\displaystyle \hat{2} și 4^\displaystyle \hat{4}.
    1^⋅2^⋅3^⋅4^⋅5^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{2}\cdot\hat{3}\cdot\hat{4}\cdot\hat{5}
  2. Calculăm 2^⋅4^=8^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{4}=\hat{8}. Cum 8\displaystyle 8 se împarte exact la 8\displaystyle 8, restul este 0\displaystyle 0, deci 8^=0^\displaystyle \hat{8}=\hat{0} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
    2^⋅4^=8^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{4}=\hat{8}=\hat{0}
  3. Folosind comutativitatea și asociativitatea înmulțirii, grupăm factorii 2^\displaystyle \hat{2} și 4^\displaystyle \hat{4} și înlocuim produsul lor cu 0^\displaystyle \hat{0}.
    1^⋅3^⋅5^⋅(2^⋅4^)=1^⋅3^⋅5^⋅0^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{3}\cdot\hat{5}\cdot(\hat{2}\cdot\hat{4})=\hat{1}\cdot\hat{3}\cdot\hat{5}\cdot\hat{0}
  4. Orice clasă înmulțită cu 0^\displaystyle \hat{0} dă 0^\displaystyle \hat{0}, deci produsul cerut este 0^\displaystyle \hat{0}.
    1^⋅2^⋅3^⋅4^⋅5^=0^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{2}\cdot\hat{3}\cdot\hat{4}\cdot\hat{5}=\hat{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 8.

Arătați că 4^⋅(3^+5^)=4^⋅3^+4^⋅5^\displaystyle \hat{4}\cdot(\hat{3}+\hat{5})=\hat{4}\cdot\hat{3}+\hat{4}\cdot\hat{5} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma din paranteză în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8: 3^+5^=8^\displaystyle \hat{3}+\hat{5}=\hat{8}, iar 8^=0^\displaystyle \hat{8}=\hat{0}, pentru că 8\displaystyle 8 se împarte exact la 8\displaystyle 8.
    3^+5^=8^=0^\displaystyle \hat{3}+\hat{5}=\hat{8}=\hat{0}
  2. Înmulțim cu 4^\displaystyle \hat{4} și obținem membrul stâng: 4^⋅0^=0^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{0}=\hat{0}.
    4^⋅(3^+5^)=4^⋅0^=0^\displaystyle \hat{4}\cdot(\hat{3}+\hat{5})=\hat{4}\cdot\hat{0}=\hat{0}
  3. Calculăm separat produsele din membrul drept. 4^⋅3^=12^=4^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{3}=\hat{12}=\hat{4}, pentru că 12=8⋅1+4\displaystyle 12=8\cdot 1+4. De asemenea, 4^⋅5^=20^=4^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{5}=\hat{20}=\hat{4}, pentru că 20=8⋅2+4\displaystyle 20=8\cdot 2+4.
    4^⋅3^=4^ și 4^⋅5^=4^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{3}=\hat{4}\text{ și }\hat{4}\cdot\hat{5}=\hat{4}
  4. Adunăm cele două rezultate: 4^+4^=8^=0^\displaystyle \hat{4}+\hat{4}=\hat{8}=\hat{0}. Ambii membri sunt egali cu 0^\displaystyle \hat{0}, deci egalitatea este adevărată în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
    4^⋅3^+4^⋅5^=4^+4^=0^⇒4^⋅(3^+5^)=4^⋅3^+4^⋅5^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{3}+\hat{4}\cdot\hat{5}=\hat{4}+\hat{4}=\hat{0}\Rightarrow\hat{4}\cdot(\hat{3}+\hat{5})=\hat{4}\cdot\hat{3}+\hat{4}\cdot\hat{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 8.

Rezolvați în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8 ecuația 2^x+2^=0^\displaystyle \hat{2}x+\hat{2}=\hat{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația 2^x+2^=0^\displaystyle \hat{2}x+\hat{2}=\hat{0} se scrie echivalent 2^x=6^\displaystyle \hat{2}x=\hat{6} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8. Verificăm pe rând elementele lui Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, calculând 2^x+2^\displaystyle \hat{2}x+\hat{2}.
    2^x=6^\displaystyle \hat{2}x=\hat{6}
  2. Pentru x=0^,1^,2^,3^\displaystyle x=\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3} calculăm 2^x+2^\displaystyle \hat{2}x+\hat{2} și obținem 2^,4^,6^\displaystyle \hat{2},\hat{4},\hat{6} și 8^=0^\displaystyle \hat{8}=\hat{0}. Deci doar x=3^\displaystyle x=\hat{3} este soluție dintre acestea.
    2^⋅3^+2^=8^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{3}+\hat{2}=\hat{8}=\hat{0}
  3. Pentru x=4^,5^,6^,7^\displaystyle x=\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7} obținem 10^=2^\displaystyle \hat{10}=\hat{2}, 12^=4^\displaystyle \hat{12}=\hat{4}, 14^=6^\displaystyle \hat{14}=\hat{6} și 16^=0^\displaystyle \hat{16}=\hat{0}. Deci x=7^\displaystyle x=\hat{7} este soluție, iar 4^,5^,6^\displaystyle \hat{4},\hat{5},\hat{6} nu sunt. Astfel 3^\displaystyle \hat{3} și 7^\displaystyle \hat{7} sunt soluții.
    3^ și 7^ sunt soluții ale ecuației\displaystyle \hat{3}\text{ și }\hat{7}\text{ sunt soluții ale ecuației}
  4. Pentru x∈{0^,1^,2^,4^,5^,6^}\displaystyle x\in\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\} valoarea lui 2^x+2^\displaystyle \hat{2}x+\hat{2} este 2^,4^,6^,2^,4^,6^\displaystyle \hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{2},\hat{4},\hat{6}, deci diferită de 0^\displaystyle \hat{0}. Aceste elemente nu sunt soluții. Mulțimea soluțiilor este {3^,7^}\displaystyle \{\hat{3},\hat{7}\}.
    Celelalte elemente ale \displaystyle \text{Celelalte elemente ale }lui Z8 nu sunt soluții; S={3^,7^}\displaystyle \text{lui }\mathbb{Z}_8\text{ nu sunt soluții; } S=\{\hat{3},\hat{7}\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 8.

Determinați simetricul elementului 3^\displaystyle \hat{3} în raport cu operația de înmulțire din Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
Vezi rezolvarea
  1. Simetricul lui 3^\displaystyle \hat{3} față de înmulțire este clasa x^∈Z8\displaystyle \hat{x}\in\mathbb{Z}_8 pentru care produsul cu 3^\displaystyle \hat{3} este elementul neutru 1^\displaystyle \hat{1}, adică 3^⋅x^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{x}=\hat{1}.
    3^⋅x^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{x}=\hat{1}
  2. Verificăm clasele pe rând: 3^⋅1^=3^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{1}=\hat{3}, 3^⋅2^=6^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{2}=\hat{6}, iar 3^⋅3^=9^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{9}. Cum 9=8+1\displaystyle 9=8+1, obținem 9^=1^\displaystyle \hat{9}=\hat{1}.
    3^⋅3^=9^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{9}=\hat{1}
  3. Deoarece 3^⋅3^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{1}, iar înmulțirea este comutativă, clasa 3^\displaystyle \hat{3} este simetricul lui 3^\displaystyle \hat{3}.
    3^\displaystyle \hat{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 8.

Determinați mulțimea A={x∈Z8∣x3=x}\displaystyle A=\{x\in\mathbb{Z}_8\mid x^3=x\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A conține clasele x∈Z8\displaystyle x\in\mathbb{Z}_8 pentru care x3=x\displaystyle x^3=x. Verificăm fiecare dintre cele 8 clase, calculând cubul modulo 8.
    x3=x de verificat pentru x∈{0^,1^,…,7^}\displaystyle x^3=x\text{ de verificat pentru }x\in\{\hat{0},\hat{1},\ldots,\hat{7}\}
  2. Pentru 0^\displaystyle \hat{0} și 1^\displaystyle \hat{1}: 03=0\displaystyle 0^3=0 și 13=1\displaystyle 1^3=1.
    0^3=0^\displaystyle \hat{0}^3=\hat{0}, 1^3=1^\displaystyle \ \hat{1}^3=\hat{1}
  3. Pentru clasele pare: 23=8=0^\displaystyle 2^3=8=\hat{0}, 43=64=8⋅8=0^\displaystyle 4^3=64=8\cdot 8=\hat{0}, 63=216=8⋅27=0^\displaystyle 6^3=216=8\cdot 27=\hat{0} în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8.
    2^3=0^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{0}, 4^3=0^\displaystyle \ \hat{4}^3=\hat{0}, 6^3=0^\displaystyle \ \hat{6}^3=\hat{0}
  4. Pentru clasele impare: 33=27=3⋅8+3\displaystyle 3^3=27=3\cdot 8+3, deci 3^3=3^\displaystyle \hat{3}^3=\hat{3}; 53=125=15⋅8+5\displaystyle 5^3=125=15\cdot 8+5, deci 5^3=5^\displaystyle \hat{5}^3=\hat{5}; 73=343=42⋅8+7\displaystyle 7^3=343=42\cdot 8+7, deci 7^3=7^\displaystyle \hat{7}^3=\hat{7}.
    3^3=3^\displaystyle \hat{3}^3=\hat{3}, 5^3=5^\displaystyle \ \hat{5}^3=\hat{5}, 7^3=7^\displaystyle \ \hat{7}^3=\hat{7}
  5. Adunăm rezultatele obținute pentru toate cele 8 clase.
    0^3=0^\displaystyle \hat{0}^3=\hat{0}, 1^3=1^\displaystyle \ \hat{1}^3=\hat{1}, 2^3=0^\displaystyle \ \hat{2}^3=\hat{0}, 3^3=3^\displaystyle \ \hat{3}^3=\hat{3}, 4^3=0^\displaystyle \ \hat{4}^3=\hat{0}, 5^3=5^\displaystyle \ \hat{5}^3=\hat{5}, 6^3=0^ și 7^3=7^\displaystyle \ \hat{6}^3=\hat{0}\text{ și }\hat{7}^3=\hat{7}
  6. Egalitatea x3=x\displaystyle x^3=x se verifică pentru 0^,1^,3^,5^,7^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}. Pentru 2^,4^,6^\displaystyle \hat{2},\hat{4},\hat{6} cubul este 0^\displaystyle \hat{0}, diferit de clasa respectivă, deci acestea nu aparțin lui A\displaystyle A.
    A={0^,1^,3^,5^,7^}\displaystyle A=\{\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră Z8={0^,1^,2^,3^,4^,5^,6^,7^}\displaystyle \mathbb{Z}_8=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{7}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 8.

Rezolvați în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8 sistemul {2^x+y=5^3^x+7^y=1^\displaystyle \begin{cases}\hat{2}x+y=\hat{5}\\ \hat{3}x+\hat{7}y=\hat{1}\end{cases}.
Vezi rezolvarea
  1. Din prima ecuație exprimăm y\displaystyle y în funcție de x\displaystyle x: y=5^−2^x\displaystyle y=\hat{5}-\hat{2}x. În Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8 opusul lui 2^\displaystyle \hat{2} este 6^\displaystyle \hat{6}, deci y=5^+6^x\displaystyle y=\hat{5}+\hat{6}x.
    y=5^+6^x\displaystyle y=\hat{5}+\hat{6}x
  2. Înlocuim y\displaystyle y în a doua ecuație: 3^x+7^(5^+6^x)=1^\displaystyle \hat{3}x+\hat{7}(\hat{5}+\hat{6}x)=\hat{1}. Desfacem parantezele: 3^x+35^+42^x=1^\displaystyle \hat{3}x+\hat{35}+\hat{42}x=\hat{1}, adică 45^x+35^=1^\displaystyle \hat{45}x+\hat{35}=\hat{1}.
    45^x+35^=1^\displaystyle \hat{45}x+\hat{35}=\hat{1}
  3. Reducem modulo 8: 45^=5^\displaystyle \hat{45}=\hat{5} și 35^=3^\displaystyle \hat{35}=\hat{3}. Rezultă 5^x+3^=1^\displaystyle \hat{5}x+\hat{3}=\hat{1}, deci 5^x=1^−3^=−2^=6^\displaystyle \hat{5}x=\hat{1}-\hat{3}=-\hat{2}=\hat{6}.
    5^x=6^\displaystyle \hat{5}x=\hat{6}
  4. Clasa 5^\displaystyle \hat{5} este inversabilă în Z8\displaystyle \mathbb{Z}_8, deoarece 5^⋅5^=25^=1^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{5}=\hat{25}=\hat{1}. Înmulțim ecuația cu 5^\displaystyle \hat{5}: x=5^⋅6^=30^=6^\displaystyle x=\hat{5}\cdot\hat{6}=\hat{30}=\hat{6}.
    x=6^\displaystyle x=\hat{6}
  5. Calculăm y\displaystyle y din y=5^−2^x\displaystyle y=\hat{5}-\hat{2}x: y=5^−12^=−7^=1^\displaystyle y=\hat{5}-\hat{12}=-\hat{7}=\hat{1}.
    y=1^\displaystyle y=\hat{1}
  6. Verificăm: 2^⋅6^+1^=13^=5^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{6}+\hat{1}=\hat{13}=\hat{5} și 3^⋅6^+7^⋅1^=25^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{6}+\hat{7}\cdot\hat{1}=\hat{25}=\hat{1}, deci ambele ecuații sunt verificate. Soluția este x=6^\displaystyle x=\hat{6}, y=1^\displaystyle y=\hat{1}.
    x=6^\displaystyle x=\hat{6}, y=1^, care verifica˘ ecuațiile \displaystyle \ y=\hat{1}\text{, care verifică ecuațiile }sistemului\displaystyle \text{sistemului}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.