Bac matematică M4 pedagogic 2014, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați rația progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=3\displaystyle a_1=3 și a8=38\displaystyle a_8=38.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r. Pentru n=8\displaystyle n=8 obținem a8=a1+7r\displaystyle a_8=a_1+7r.
    a8=a1+7r\displaystyle a_8=a_1+7r
  2. Înlocuim valorile date, a1=3\displaystyle a_1=3 și a8=38\displaystyle a_8=38, în egalitatea de mai sus.
    38=3+7r\displaystyle 38=3+7r
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: 7r=38−3=35\displaystyle 7r=38-3=35. Apoi împărțim la 7\displaystyle 7 și obținem rația.
    r=357=5\displaystyle r=\dfrac{35}{7}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−4\displaystyle f(x)=2x-4. Determinați numerele naturale x\displaystyle x pentru care f(x)<f(3)\displaystyle f(x)<f(3).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(3)\displaystyle f(3), înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula funcției: f(3)=2⋅3−4\displaystyle f(3)=2\cdot 3-4.
    f(3)=6−4=2\displaystyle f(3)=6-4=2
  2. Scriem inegalitatea f(x)<f(3)\displaystyle f(x)<f(3) cu expresiile obținute: 2x−4<2\displaystyle 2x-4<2.
    2x−4<2\displaystyle 2x-4<2
  3. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri: 2x<6\displaystyle 2x<6. Apoi împărțim la 2\displaystyle 2 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează).
    2x<6⇒x<3\displaystyle 2x<6 \Rightarrow x<3
  4. Căutăm numerele naturale x\displaystyle x cu x<3\displaystyle x<3: acestea sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Numărul 3\displaystyle 3 nu convine, deoarece inegalitatea este strictă.
    x∈N\displaystyle x\in\mathbb{N}, x<3⇒x=0 sau x=1 sau x=2\displaystyle \ x<3 \Rightarrow x=0\text{ sau }x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=x−3\displaystyle \sqrt{3x+1}=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 3x+1≥0\displaystyle \sqrt{3x+1}\ge 0, deci partea dreaptă trebuie să fie pozitivă sau zero: x−3≥0\displaystyle x-3\ge 0, adică x≥3\displaystyle x\ge 3. De asemenea, trebuie 3x+1≥0\displaystyle 3x+1\ge 0, condiție îndeplinită automat când x≥3\displaystyle x\ge 3.
    x≥3\displaystyle x\ge 3
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: în stânga rămâne 3x+1\displaystyle 3x+1, iar în dreapta (x−3)2=x2−6x+9\displaystyle (x-3)^2=x^2-6x+9.
    3x+1=x2−6x+9\displaystyle 3x+1=x^{2}-6x+9
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: x2−6x−3x+9−1=0\displaystyle x^{2}-6x-3x+9-1=0, deci ecuația de gradul al doilea este:
    x2−9x+8=0\displaystyle x^{2}-9x+8=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=81−32=49\displaystyle \Delta=81-32=49, deci x=9±72\displaystyle x=\dfrac{9\pm 7}{2}.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=8\displaystyle \ x_2=8
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=1\displaystyle x=1: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, deci egalitatea nu este adevărată (și nu respectă x≥3\displaystyle x\ge 3). Pentru x=8\displaystyle x=8: 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5 și 8−3=5\displaystyle 8-3=5, deci egalitatea este adevărată.
    x1=1 nu convine și x2=8 convine\displaystyle x_1=1\text{ nu convine și }x_2=8\text{ convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Dintre elevii unei clase, 20\displaystyle 20 sunt membri ai clubului de ecologie și 18\displaystyle 18 sunt membri ai clubului de științe. Știind că toți elevii clasei sunt membri ai cel puțin unuia dintre cele două cluburi și că 5\displaystyle 5 elevi ai clasei sunt membri ai ambelor cluburi, determinați numărul elevilor acestei clase.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu E\displaystyle E mulțimea elevilor din clubul de ecologie și cu S\displaystyle S mulțimea elevilor din clubul de științe. Datele problemei sunt: ∣E∣=20\displaystyle |E|=20, ∣S∣=18\displaystyle |S|=18 și ∣E∩S∣=5\displaystyle |E\cap S|=5. Toți elevii clasei sunt în cel puțin unul dintre cluburi, deci clasa este E∪S\displaystyle E\cup S.
    ∣E∣=20\displaystyle |E|=20, ∣S∣=18\displaystyle \ |S|=18, ∣E∩S∣=5\displaystyle \ |E\cap S|=5
  2. Dacă adunăm 20\displaystyle 20 și 18\displaystyle 18, elevii care sunt în ambele cluburi sunt număraţi de două ori. De aceea scădem o dată numărul lor, 5\displaystyle 5. Formula este ∣E∪S∣=∣E∣+∣S∣−∣E∩S∣\displaystyle |E\cup S|=|E|+|S|-|E\cap S|, deci numărul elevilor este 20+18−5\displaystyle 20+18-5.
    ∣E∪S∣=20+18−5\displaystyle |E\cup S|=20+18-5
  3. Calculăm: 20+18=38\displaystyle 20+18=38, iar 38−5=33\displaystyle 38-5=33. Clasa are 33\displaystyle 33 de elevi.
    33\displaystyle 33
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(4,5)\displaystyle B(4,5) și C(−2,1)\displaystyle C(-2,1). Determinați lungimea medianei din A\displaystyle A în triunghiul ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din A\displaystyle A unește vârful A\displaystyle A cu mijlocul M\displaystyle M al laturii BC\displaystyle BC, deci lungimea ei este distanța AM\displaystyle AM. Mai întâi aflăm coordonatele lui M\displaystyle M.
    AM=lungimea medianei din A\displaystyle AM=\text{lungimea medianei din }A
  2. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor B(4,5)\displaystyle B(4,5) și C(−2,1)\displaystyle C(-2,1). Pentru abscisă calculăm xM=4+(−2)2=22=1\displaystyle x_M=\dfrac{4+(-2)}{2}=\dfrac{2}{2}=1, iar pentru ordonată yM=5+12=62=3\displaystyle y_M=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
    xM=1 și yM=3\displaystyle x_M=1\text{ și }y_M=3
  3. Folosim formula distanței dintre punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3) și M(1,3)\displaystyle M(1,3): AM=(xA−xM)2+(yA−yM)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_A-x_M)^{2}+(y_A-y_M)^{2}}.
    AM=(2−1)2+(3−3)2\displaystyle AM=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-3)^{2}}
  4. Calculăm: diferența abscișelor este 1\displaystyle 1, iar diferența ordonatelor este 0\displaystyle 0, deci sub radical avem 12+02=1\displaystyle 1^{2}+0^{2}=1. Lungimea medianei este AM=1=1\displaystyle AM=\sqrt{1}=1.
    AM=1\displaystyle AM=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră dreptunghiul ABCD\displaystyle ABCD cu laturile AB=8\displaystyle AB=8, BC=6\displaystyle BC=6. Calculați cos⁡(∡ADB)\displaystyle \cos(\measuredangle ADB).
Vezi rezolvarea
  1. Într-un dreptunghi unghiul A\displaystyle A este drept, deci triunghiul ABD\displaystyle ABD este dreptunghic în A\displaystyle A. Latura AD\displaystyle AD este egală cu BC\displaystyle BC, adică 6\displaystyle 6, pentru că laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale.
    AD=BC=6\displaystyle AD=BC=6
  2. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, cu ipotenuza BD\displaystyle BD: BD2=AB2+AD2\displaystyle BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}.
    BD2=82+62=64+36=100\displaystyle BD^{2}=8^{2}+6^{2}=64+36=100
  3. Deoarece BD\displaystyle BD este o lungime, deci pozitivă, rezultă BD=100\displaystyle BD=\sqrt{100}.
    BD=10\displaystyle BD=10
  4. În triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, cu unghiul drept în A\displaystyle A, cosinusul unghiului ADB\displaystyle ADB este raportul dintre cateta alăturată, AD\displaystyle AD, și ipotenuza BD\displaystyle BD: cos⁡(∡ADB)=ADBD\displaystyle \cos(\measuredangle ADB)=\dfrac{AD}{BD}.
    cos⁡(∡ADB)=ADBD=610\displaystyle \cos(\measuredangle ADB)=\frac{AD}{BD}=\frac{6}{10}
  5. Simplificăm fracția 610\displaystyle \dfrac{6}{10} prin 2\displaystyle 2 și obținem răspunsul final.
    cos⁡(∡ADB)=35\displaystyle \cos(\measuredangle ADB)=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.

Calculați 2∗(−5)\displaystyle 2*(-5).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45 cu x=2\displaystyle x=2 și y=−5\displaystyle y=-5 și înlocuim în formulă.
    2∗(−5)=2⋅2⋅(−5)+10⋅2+10⋅(−5)+45\displaystyle 2*(-5)=2\cdot 2\cdot(-5)+10\cdot 2+10\cdot(-5)+45
  2. Calculăm fiecare termen separat: 2⋅2⋅(−5)=−20\displaystyle 2\cdot 2\cdot(-5)=-20, 10⋅2=20\displaystyle 10\cdot 2=20, iar 10⋅(−5)=−50\displaystyle 10\cdot(-5)=-50.
    2∗(−5)=−20+20−50+45\displaystyle 2*(-5)=-20+20-50+45
  3. Adunăm termenii: −20+20=0\displaystyle -20+20=0, apoi −50+45=−5\displaystyle -50+45=-5.
    2∗(−5)=−5\displaystyle 2*(-5)=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.

Arătați că x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.
    x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45
  2. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din primii trei termeni, scriind 10x=2⋅5x\displaystyle 10x=2\cdot 5x, 10y=2⋅5y\displaystyle 10y=2\cdot 5y și 45=50−5=2⋅25−5\displaystyle 45=50-5=2\cdot 25-5.
    x∗y=2(xy+5x+5y+25)−5\displaystyle x*y=2(xy+5x+5y+25)-5
  3. În paranteză grupăm termenii doi câte doi: xy+5x\displaystyle xy+5x și 5y+25\displaystyle 5y+25. Dăm factor comun pe x\displaystyle x, respectiv pe 5\displaystyle 5.
    2(x(y+5)+5(y+5))−5\displaystyle 2\left(x(y+5)+5(y+5)\right)-5
  4. Dăm factor comun y+5\displaystyle y+5 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2(x+5)(y+5)−5, pentru orice numere \displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la o formă factorizată. Desfacem parantezele în 2(x+5)(y+5)\displaystyle 2(x+5)(y+5) și obținem 2xy+10x+10y+50\displaystyle 2xy+10x+10y+50, deci x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5.
    x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5
  2. Din forma factorizată rezultă că (x∗y)+5=2(x+5)(y+5)\displaystyle (x*y)+5=2(x+5)(y+5). Această relație ne ajută să calculăm gruparea (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z.
    (x∗y)+5=2(x+5)(y+5)\displaystyle (x*y)+5=2(x+5)(y+5)
  3. Calculăm (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z aplicând forma factorizată pentru numerele x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z: (x∗y)∗z=2((x∗y)+5)(z+5)−5\displaystyle (x*y)*z=2\left((x*y)+5\right)(z+5)-5. Înlocuim (x∗y)+5=2(x+5)(y+5)\displaystyle (x*y)+5=2(x+5)(y+5) și obținem 4(x+5)(y+5)(z+5)−5\displaystyle 4(x+5)(y+5)(z+5)-5.
    (x∗y)∗z=2⋅2(x+5)(y+5)(z+5)−5=4(x+5)(y+5)(z+5)−5\displaystyle (x*y)*z=2\cdot 2(x+5)(y+5)(z+5)-5=4(x+5)(y+5)(z+5)-5
  4. Calculăm acum cealaltă grupare. Mai întâi, din forma factorizată, y∗z=2(y+5)(z+5)−5\displaystyle y*z=2(y+5)(z+5)-5, deci (y∗z)+5=2(y+5)(z+5)\displaystyle (y*z)+5=2(y+5)(z+5).
    y∗z=2(y+5)(z+5)−5\displaystyle y*z=2(y+5)(z+5)-5
  5. Aplicăm forma factorizată pentru x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z: x∗(y∗z)=2(x+5)((y∗z)+5)−5=2(x+5)⋅2(y+5)(z+5)−5=4(x+5)(y+5)(z+5)−5\displaystyle x*(y*z)=2(x+5)\left((y*z)+5\right)-5=2(x+5)\cdot 2(y+5)(z+5)-5=4(x+5)(y+5)(z+5)-5. Este aceeași expresie ca la (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, deci legea este asociativă pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z.
    x∗(y∗z)=4(x+5)(y+5)(z+5)−5=(x∗y)∗z, pentru orice numere \displaystyle x*(y*z)=4(x+5)(y+5)(z+5)-5=(x*y)*z\text{, pentru orice numere }reale x\displaystyle \text{reale }x,y și z\displaystyle y\text{ și }z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=27\displaystyle x*x=27.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în definiția legii: x∗x=2x2+10x+10x+45\displaystyle x*x=2x^{2}+10x+10x+45, adică x∗x=2x2+20x+45\displaystyle x*x=2x^{2}+20x+45.
    x∗x=2x2+20x+45\displaystyle x*x=2x^{2}+20x+45
  2. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 din primii doi termeni: 2x2+20x+45=2(x2+10x)+45\displaystyle 2x^{2}+20x+45=2(x^{2}+10x)+45. Completăm pătratul: x2+10x=(x+5)2−25\displaystyle x^{2}+10x=(x+5)^{2}-25, deci expresia devine 2(x+5)2−50+45\displaystyle 2(x+5)^{2}-50+45.
    x∗x=2(x+5)2−5\displaystyle x*x=2(x+5)^{2}-5
  3. Ecuația x∗x=27\displaystyle x*x=27 devine 2(x+5)2−5=27\displaystyle 2(x+5)^{2}-5=27. Atunci 2(x+5)2=32\displaystyle 2(x+5)^{2}=32, deci (x+5)2=16\displaystyle (x+5)^{2}=16.
    2(x+5)2−5=27⇒(x+5)2=16\displaystyle 2(x+5)^{2}-5=27\Rightarrow (x+5)^{2}=16
  4. Din (x+5)2=16\displaystyle (x+5)^{2}=16 rezultă x+5=4\displaystyle x+5=4 sau x+5=−4\displaystyle x+5=-4.
    x+5=4 sau x+5=−4\displaystyle x+5=4\text{ sau }x+5=-4
  5. Din x+5=4\displaystyle x+5=4 obținem x=−1\displaystyle x=-1, iar din x+5=−4\displaystyle x+5=-4 obținem x=−9\displaystyle x=-9. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x1=−9\displaystyle x_1=-9, x2=−1\displaystyle \ x_2=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.

Calculați (−2014)∗(−2013)∗…∗2013∗2014\displaystyle (-2014)*(-2013)*\ldots*2013*2014.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat: x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5. Verificăm dezvoltând: 2(xy+5x+5y+25)−5=2xy+10x+10y+45\displaystyle 2(xy+5x+5y+25)-5=2xy+10x+10y+45.
    x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5
  2. Calculăm x∗(−5)\displaystyle x*(-5) folosind forma factorizată: x∗(−5)=2(x+5)(−5+5)−5=−5\displaystyle x*(-5)=2(x+5)(-5+5)-5=-5. Legea este comutativă, deci și (−5)∗x=−5\displaystyle (-5)*x=-5, pentru orice x\displaystyle x real. Așadar −5\displaystyle -5 este element absorbant.
    x∗(−5)=(−5)∗x=−5 pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(-5)=(-5)*x=-5\text{ pentru orice număr real }x
  3. Legea este asociativă (se verifică din forma factorizată, deoarece x∗y+5=2(x+5)(y+5)\displaystyle x*y+5=2(x+5)(y+5), deci produsul se poate grupa oricum). Numărul −5\displaystyle -5 se află printre termenii de la −2014\displaystyle -2014 la 2014\displaystyle 2014, pentru că −2014≤−5≤2014\displaystyle -2014\le -5\le 2014. Grupăm termenii: cei de la −2014\displaystyle -2014 la −6\displaystyle -6, apoi −5\displaystyle -5, apoi cei de la −4\displaystyle -4 la 2014\displaystyle 2014.
    ((−2014)∗(−2013)∗…∗(−6))∗(−5)∗((−4)∗…∗2013∗2014)\displaystyle ((-2014)*(-2013)*\ldots*(-6))*(-5)*((-4)*\ldots*2013*2014)
  4. Notăm cu a\displaystyle a rezultatul primului grup. Conform absorbției, a∗(−5)=−5\displaystyle a*(-5)=-5. Apoi notăm cu b\displaystyle b rezultatul ultimului grup: (−5)∗b=−5\displaystyle (-5)*b=-5. Rezultatul este −5\displaystyle -5.
    (−2014)∗(−2013)∗…∗2014=−5\displaystyle (-2014)*(-2013)*\ldots*2014=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy+10x+10y+45\displaystyle x*y=2xy+10x+10y+45.

Dați un exemplu de numere iraționale a\displaystyle a și b\displaystyle b astfel încât a∗b=7\displaystyle a*b=7.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea de compoziție se poate scrie cu ajutorul produsului (x+5)(y+5)\displaystyle (x+5)(y+5). Desfacem: (x+5)(y+5)=xy+5x+5y+25\displaystyle (x+5)(y+5)=xy+5x+5y+25, deci 2(x+5)(y+5)=2xy+10x+10y+50\displaystyle 2(x+5)(y+5)=2xy+10x+10y+50. Prin urmare x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5.
    x∗y=2(x+5)(y+5)−5\displaystyle x*y=2(x+5)(y+5)-5
  2. Punem condiția a∗b=7\displaystyle a*b=7: 2(a+5)(b+5)−5=7\displaystyle 2(a+5)(b+5)-5=7, deci 2(a+5)(b+5)=12\displaystyle 2(a+5)(b+5)=12, de unde (a+5)(b+5)=6\displaystyle (a+5)(b+5)=6.
    2(a+5)(b+5)−5=7⇒(a+5)(b+5)=6\displaystyle 2(a+5)(b+5)-5=7\Rightarrow (a+5)(b+5)=6
  3. Căutăm numere iraționale a\displaystyle a și b\displaystyle b. Alegem a+5=2\displaystyle a+5=\sqrt{2}, deci a=2−5\displaystyle a=\sqrt{2}-5, care este irațional. Atunci b+5=62=32\displaystyle b+5=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}, deci b=32−5\displaystyle b=3\sqrt{2}-5, care este tot irațional.
    a+5=2\displaystyle a+5=\sqrt{2},b+5=62=32\displaystyle \quad b+5=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}
  4. Verificare: (a+5)(b+5)=2⋅32=6\displaystyle (a+5)(b+5)=\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=6, deci a∗b=2⋅6−5=7\displaystyle a*b=2\cdot 6-5=7. Un exemplu convenabil este a=2−5\displaystyle a=\sqrt{2}-5 și b=32−5\displaystyle b=3\sqrt{2}-5.
    a=2−5 și b=32−5\displaystyle a=\sqrt{2}-5\text{ și }b=3\sqrt{2}-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 6\displaystyle 6.

Calculați 0^+1^+2^+3^+4^+5^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}+\hat{4}+\hat{5} în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm primele patru clase: 0^+1^+2^+3^=6^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}=\widehat{6}. Cum 6=6⋅1+0\displaystyle 6=6\cdot 1+0, avem 6^=0^\displaystyle \widehat{6}=\hat{0} în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6.
    0^+1^+2^+3^=6^=0^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}=\widehat{6}=\hat{0}
  2. Grupăm primii patru termeni și înlocuim grupul cu 0^\displaystyle \hat{0}, deci suma devine 0^+4^+5^\displaystyle \hat{0}+\hat{4}+\hat{5}.
    (0^+1^+2^+3^)+4^+5^=0^+4^+5^\displaystyle (\hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3})+\hat{4}+\hat{5}=\hat{0}+\hat{4}+\hat{5}
  3. Adunăm clasele rămase: 0^+4^+5^=0+4+5^=9^\displaystyle \hat{0}+\hat{4}+\hat{5}=\widehat{0+4+5}=\widehat{9}.
    0^+4^+5^=9^\displaystyle \hat{0}+\hat{4}+\hat{5}=\widehat{9}
  4. Reducem modulo 6\displaystyle 6: 9=6⋅1+3\displaystyle 9=6\cdot 1+3, deci 9^=3^\displaystyle \widehat{9}=\hat{3}. Așadar suma cerută este 3^\displaystyle \hat{3}.
    0^+1^+2^+3^+4^+5^=3^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}+\hat{4}+\hat{5}=\hat{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 6\displaystyle 6.\n\nCalculați 5^⋅5^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{5} în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6.
Vezi rezolvarea
  1. În Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 produsul a două clase se obține înmulțind reprezentanții întregi și apoi reducând rezultatul modulo 6\displaystyle 6. Înmulțim mai întâi numerele 5\displaystyle 5 și 5\displaystyle 5.
    5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25
  2. Împărțim 25\displaystyle 25 la 6\displaystyle 6: 25=4⋅6+1\displaystyle 25=4\cdot 6+1, deci restul este 1\displaystyle 1.
    25=4⋅6+1\displaystyle 25=4\cdot 6+1
  3. Clasa lui 25\displaystyle 25 modulo 6\displaystyle 6 este aceeași cu clasa restului 1\displaystyle 1, deci produsul claselor este clasa lui 1\displaystyle 1.
    5^⋅5^=25^=1^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{5}=\hat{25}=\hat{1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 6\displaystyle 6.

Determinați simetricul elementului 2^\displaystyle \hat{2} în raport cu operația de adunare în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru față de adunare în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 este 0^\displaystyle \hat{0}. Simetricul lui 2^\displaystyle \hat{2} este clasa x^\displaystyle \hat{x} pentru care 2^+x^=0^\displaystyle \hat{2}+\hat{x}=\hat{0}, adică 6∣2+x\displaystyle 6\mid 2+x.
    2^+x^=0^\displaystyle \hat{2}+\hat{x}=\hat{0}
  2. Căutăm x∈{0,1,2,3,4,5}\displaystyle x\in\{0,1,2,3,4,5\} astfel încât 2+x\displaystyle 2+x să fie multiplu de 6\displaystyle 6. Cum 2+4=6\displaystyle 2+4=6, alegem x=4\displaystyle x=4. Deci 2^+4^=6^=0^\displaystyle \hat{2}+\hat{4}=\hat{6}=\hat{0}.
    2^+4^=6^=0^\displaystyle \hat{2}+\hat{4}=\hat{6}=\hat{0}
  3. Adunarea în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 este comutativă, deci și 4^+2^=0^\displaystyle \hat{4}+\hat{2}=\hat{0}. Prin urmare 4^\displaystyle \hat{4} este simetricul lui 2^\displaystyle \hat{2} față de adunare în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6.
    4^+2^=0^⇒4^ este simetricul \displaystyle \hat{4}+\hat{2}=\hat{0}\Rightarrow \hat{4}\text{ este simetricul }elementului 2^ ıˆn raport cu adunarea ıˆn Z6\displaystyle \text{elementului }\hat{2}\text{ în raport cu adunarea în }\mathbb{Z}_6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 6\displaystyle 6.

Rezolvați în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 ecuația 5^⋅x+2^=0^\displaystyle \hat{5}\cdot x+\hat{2}=\hat{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Trecem termenul liber în partea dreaptă. În Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6, opusul lui 2^\displaystyle \hat{2} este 4^\displaystyle \hat{4}, deoarece 2^+4^=0^\displaystyle \hat{2}+\hat{4}=\hat{0}. Obținem 5^⋅x=−2^=4^\displaystyle \hat{5}\cdot x=-\hat{2}=\hat{4}.
    5^⋅x=4^\displaystyle \hat{5}\cdot x=\hat{4}
  2. Verificăm pe rând elementele din Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6. Pentru x=0^,1^,2^,3^,4^,5^\displaystyle x=\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5} obținem 5^⋅x\displaystyle \hat{5}\cdot x egal cu 0^,5^,4^,3^,2^,1^\displaystyle \hat{0},\hat{5},\hat{4},\hat{3},\hat{2},\hat{1}. Doar pentru x=2^\displaystyle x=\hat{2} avem 5^⋅2^=10^=4^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{2}=\hat{10}=\hat{4}.
    5^⋅2^=10^=4^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{2}=\hat{10}=\hat{4}
  3. Singura soluție a ecuației este x=2^\displaystyle x=\hat{2}. Verificare: 5^⋅2^+2^=4^+2^=6^=0^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}.
    x=2^\displaystyle x=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 6\displaystyle 6.

Determinați toate elementele simetrizabile în raport cu înmulțirea în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția: o clasă a^\displaystyle \hat{a} este simetrizabilă la înmulțire în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 dacă există b^∈Z6\displaystyle \hat{b}\in\mathbb{Z}_6 cu a^⋅b^=1^\displaystyle \hat{a}\cdot\hat{b}=\hat{1}. Acest lucru se întâmplă exact atunci când a\displaystyle a este prim cu 6\displaystyle 6.
    a^ simetrizabil ⇔(a,6)=1\displaystyle \hat{a}\text{ simetrizabil }\Leftrightarrow (a,6)=1
  2. Calculăm cel mai mare divizor comun al fiecărui reprezentant a∈{0,1,2,3,4,5}\displaystyle a\in\{0,1,2,3,4,5\} cu 6\displaystyle 6.
    (0,6)=6\displaystyle (0,6)=6, (1,6)=1\displaystyle \ (1,6)=1, (2,6)=2\displaystyle \ (2,6)=2, (3,6)=3\displaystyle \ (3,6)=3, (4,6)=2\displaystyle \ (4,6)=2, (5,6)=1\displaystyle \ (5,6)=1
  3. Doar 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5 sunt prime cu 6\displaystyle 6. Verificare: 1^⋅1^=1^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{1}=\hat{1} și 5^⋅5^=25^=1^\displaystyle \hat{5}\cdot\hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}, deci fiecare dintre ele este propriul simetric. Celelalte clase nu au invers, de exemplu 2^⋅3^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{0}.
    1^ și 5^\displaystyle \hat{1}\text{ și }\hat{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 6\displaystyle 6.

Calculați în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 suma elementelor mulțimii H={x2∣x∈Z6}\displaystyle H=\{x^2\mid x\in\mathbb{Z}_6\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea H\displaystyle H conține pătratele tuturor claselor din Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6. Calculăm pătratele primelor clase: 0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}.
    0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \ \hat{2}^2=\hat{4}
  2. Calculăm pătratele celorlalte clase: 3^2=9^=3^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{9}=\hat{3}, deoarece 9=6+3\displaystyle 9=6+3; 4^2=16^=4^\displaystyle \hat{4}^2=\hat{16}=\hat{4}, deoarece 16=2⋅6+4\displaystyle 16=2\cdot 6+4; 5^2=25^=1^\displaystyle \hat{5}^2=\hat{25}=\hat{1}, deoarece 25=4⋅6+1\displaystyle 25=4\cdot 6+1.
    0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \ \hat{2}^2=\hat{4}, 3^2=3^\displaystyle \ \hat{3}^2=\hat{3}, 4^2=4^ și 5^2=1^\displaystyle \ \hat{4}^2=\hat{4}\text{ și }\hat{5}^2=\hat{1}
  3. Mulțimea H\displaystyle H are ca elemente valorile obținute, fiecare luată o singură dată, deoarece într-o mulțime elementele care se repetă se numără o singură dată. Valorile 1^\displaystyle \hat{1} și 4^\displaystyle \hat{4} apar de câte două ori.
    H={0^,1^,3^,4^}\displaystyle H=\{\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}\}
  4. Adunăm elementele lui H\displaystyle H: 0^+1^+3^+4^=8^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{3}+\hat{4}=\hat{8}. Cum 8=6+2\displaystyle 8=6+2, obținem 8^=2^\displaystyle \hat{8}=\hat{2}.
    0^+1^+3^+4^=8^=2^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{3}+\hat{4}=\hat{8}=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.