Bac matematică M4 pedagogic 2017, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 1,75+116−2201722016=0\displaystyle 1{,}75+\sqrt{\frac{1}{16}}-\frac{2^{2017}}{2^{2016}}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul zecimal ca fracție ordinară: 1,75=175100\displaystyle 1{,}75=\dfrac{175}{100}, iar prin simplificare cu 25\displaystyle 25 obținem 74\displaystyle \dfrac{7}{4}.
    1,75=74\displaystyle 1{,}75=\frac{7}{4}
  2. Calculăm radicalul: 116=116=14\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}.
    116=14\displaystyle \sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}
  3. Calculăm raportul de puteri cu aceeași bază: 2201722016=22017−2016=21=2\displaystyle \dfrac{2^{2017}}{2^{2016}}=2^{2017-2016}=2^{1}=2.
    2201722016=2\displaystyle \frac{2^{2017}}{2^{2016}}=2
  4. Înlocuim cele trei valori în expresie: 74+14−2\displaystyle \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}-2. Fracțiile au același numitor, deci le adunăm: 7+14=84=2\displaystyle \dfrac{7+1}{4}=\dfrac{8}{4}=2.
    74+14−2=2−2\displaystyle \frac{7}{4}+\frac{1}{4}-2=2-2
  5. Scăzând, obținem 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    74+14−2=2−2=0\displaystyle \frac{7}{4}+\frac{1}{4}-2=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x2+4\displaystyle f(x)=-x^2+4. Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care f(x)=3\displaystyle f(x)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția f(x)=3\displaystyle f(x)=3, adică înlocuim expresia funcției și o egalăm cu 3: −x2+4=3\displaystyle -x^{2}+4=3.
    −x2+4=3\displaystyle -x^{2}+4=3
  2. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri: −x2=3−4=−1\displaystyle -x^{2}=3-4=-1. Înmulțind cu −1\displaystyle -1 obținem ecuația x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    −x2+4=3⇔x2=1\displaystyle -x^{2}+4=3\Leftrightarrow x^{2}=1
  3. Scriem ecuația sub forma x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0, adică (x−1)(x+1)=0\displaystyle (x-1)(x+1)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul: x−1=0\displaystyle x-1=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0.
    (x−1)(x+1)=0\displaystyle (x-1)(x+1)=0
  4. Din x−1=0\displaystyle x-1=0 obținem x=1\displaystyle x=1, iar din x+1=0\displaystyle x+1=0 obținem x=−1\displaystyle x=-1. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x+1)=3\displaystyle \log_2(x+1)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x+1>0\displaystyle x+1>0, adică x>−1\displaystyle x>-1.
    x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty)
  2. Aplicăm definiția logaritmului: log⁡2(x+1)=3\displaystyle \log_2(x+1)=3 înseamnă că x+1=23\displaystyle x+1=2^{3}.
    x+1=23\displaystyle x+1=2^{3}
  3. Calculăm puterea: 23=8\displaystyle 2^{3}=8, deci obținem ecuația liniară x+1=8\displaystyle x+1=8.
    x+1=8\displaystyle x+1=8
  4. Scădem 1 din ambii membri și obținem x=7\displaystyle x=7. Verificăm: 7>−1\displaystyle 7>-1, iar log⁡28=3\displaystyle \log_2 8=3, deci soluția convine.
    x=7, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=7\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul pătratelor perfecte din mulțimea {1,2,3,…,2017}\displaystyle \{1,2,3,\ldots,2017\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un pătrat perfect din mulțime este de forma n2\displaystyle n^{2}, cu n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*}, iar condiția este n2≤2017\displaystyle n^{2}\le 2017. Deci trebuie găsit cel mai mare n\displaystyle n cu această proprietate.
    1≤n2≤2017\displaystyle 1\le n^{2}\le 2017
  2. Estimăm 2017\displaystyle \sqrt{2017}: 402=1600\displaystyle 40^{2}=1600, iar 502=2500\displaystyle 50^{2}=2500, deci n\displaystyle n este între 40\displaystyle 40 și 50\displaystyle 50. Calculăm pătratele apropiate: 442=1936\displaystyle 44^{2}=1936, iar 452=2025\displaystyle 45^{2}=2025.
    442=1936\displaystyle 44^{2}=1936,452=2025\displaystyle \quad 45^{2}=2025
  3. Comparăm cu 2017\displaystyle 2017: 1936<2017\displaystyle 1936<2017, iar 2017<2025\displaystyle 2017<2025. Deci 2017\displaystyle 2017 se află între două pătrate perfecte consecutive.
    442<2017<452\displaystyle 44^{2}<2017<45^{2}
  4. Rezultă că cel mai mare pătrat perfect din mulțime este 442\displaystyle 44^{2}. Pătratele perfecte din mulțime sunt 12,22,…,442\displaystyle 1^{2},2^{2},\ldots,44^{2}, adică n\displaystyle n ia valorile de la 1\displaystyle 1 la 44\displaystyle 44.
    n∈{1,2,…,44}\displaystyle n\in\{1,2,\ldots,44\}
  5. Numărăm valorile lui n\displaystyle n de la 1\displaystyle 1 la 44\displaystyle 44: sunt 44\displaystyle 44 de valori, deci sunt 44\displaystyle 44 de pătrate perfecte în mulțime.
    44 pa˘trate perfecte\displaystyle 44\text{ pătrate perfecte}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație 4x−3y+12=0\displaystyle 4x-3y+12=0. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(a,a)\displaystyle A(a,a) aparține dreptei d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține dreptei dacă coordonatele sale verifică ecuația dreptei. Punctul A(a,a)\displaystyle A(a,a) are abscisa a\displaystyle a și ordonata a\displaystyle a, deci înlocuim x\displaystyle x și y\displaystyle y cu a\displaystyle a în ecuația dreptei d\displaystyle d.
    4a−3a+12=0\displaystyle 4a-3a+12=0
  2. Reducem termenii asemenea: 4a−3a=a\displaystyle 4a-3a=a. Ecuația devine a+12=0\displaystyle a+12=0.
    a+12=0\displaystyle a+12=0
  3. Scădem 12\displaystyle 12 din ambii membri și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=−12\displaystyle a=-12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∢A)=90∘\displaystyle m(\sphericalangle A)=90^\circ, sin⁡B=35\displaystyle \sin B=\frac{3}{5} și BC=20\displaystyle BC=20.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul A\displaystyle A este drept, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AC\displaystyle AC este cateta opusă unghiului B\displaystyle B. Scriem sinusul lui B\displaystyle B ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză: sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}.
    sin⁡B=ACBC=AC20\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AC}{20}
  2. Înlocuim sin⁡B=35\displaystyle \sin B=\dfrac{3}{5} și obținem AC20=35\displaystyle \dfrac{AC}{20}=\dfrac{3}{5}, deci AC=3⋅205=12\displaystyle AC=\dfrac{3\cdot 20}{5}=12.
    AC20=35⇒AC=12\displaystyle \dfrac{AC}{20}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow AC=12
  3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC: AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}, deci AB2=202−122=400−144=256\displaystyle AB^{2}=20^{2}-12^{2}=400-144=256.
    AB2=400−144=256\displaystyle AB^{2}=400-144=256
  4. Cum AB>0\displaystyle AB>0, rezultă AB=256=16\displaystyle AB=\sqrt{256}=16.
    AB=256=16\displaystyle AB=\sqrt{256}=16
  5. Perimetrul este suma laturilor: PΔABC=AB+AC+BC=16+12+20=48\displaystyle P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=16+12+20=48.
    PΔABC=16+12+20=48\displaystyle P_{\Delta ABC}=16+12+20=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Calculați 0∗8\displaystyle 0*8.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=8\displaystyle y=8: 0∗8=0⋅8−7⋅0−7⋅8+56\displaystyle 0*8=0\cdot 8-7\cdot 0-7\cdot 8+56.
    0∗8=0⋅8−7⋅0−7⋅8+56\displaystyle 0*8=0\cdot 8-7\cdot 0-7\cdot 8+56
  2. Calculăm produsele: 0⋅8=0\displaystyle 0\cdot 8=0, 7⋅0=0\displaystyle 7\cdot 0=0 și 7⋅8=56\displaystyle 7\cdot 8=56. Obținem 0∗8=0−0−56+56\displaystyle 0*8=0-0-56+56.
    0∗8=0−0−56+56\displaystyle 0*8=0-0-56+56
  3. Termenii −56\displaystyle -56 și +56\displaystyle +56 se reduc, deci 0∗8=0\displaystyle 0*8=0.
    0∗8=0\displaystyle 0*8=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Arătați că x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56. Vrem să ajungem la forma (x−7)(y−7)+7\displaystyle (x-7)(y-7)+7, așa că observăm că 56=49+7\displaystyle 56=49+7.
    x∗y=xy−7x−7y+49+7\displaystyle x*y=xy-7x-7y+49+7
  2. Grupăm xy−7x\displaystyle xy-7x și scoatem factor comun pe x\displaystyle x: xy−7x=x(y−7)\displaystyle xy-7x=x(y-7). Apoi grupăm −7y+49\displaystyle -7y+49 și scoatem factor comun pe −7\displaystyle -7: −7y+49=−7(y−7)\displaystyle -7y+49=-7(y-7).
    x∗y=x(y−7)−7(y−7)+7\displaystyle x*y=x(y-7)-7(y-7)+7
  3. Scoatem factor comun pe y−7\displaystyle y-7: x(y−7)−7(y−7)=(x−7)(y−7)\displaystyle x(y-7)-7(y-7)=(x-7)(y-7). Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Arătați că x∗7=7\displaystyle x*7=7, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub formă factorizată. Dezvoltăm produsul (x−7)(y−7)\displaystyle (x-7)(y-7) și obținem xy−7x−7y+49\displaystyle xy-7x-7y+49, deci xy−7x−7y+56\displaystyle xy-7x-7y+56 este egal cu (x−7)(y−7)+7\displaystyle (x-7)(y-7)+7.
    x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu 7\displaystyle 7 în forma factorizată.
    x∗7=(x−7)(7−7)+7\displaystyle x*7=(x-7)(7-7)+7
  3. Deoarece 7−7=0\displaystyle 7-7=0, produsul este zero pentru orice x\displaystyle x real, deci x∗7=0+7=7\displaystyle x*7=0+7=7.
    x∗7=0+7=7\displaystyle x*7=0+7=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Calculați 0∗1∗2∗…∗2017\displaystyle 0*1*2*\ldots*2017.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat: x∗y=xy−7x−7y+49+7=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=xy-7x-7y+49+7=(x-7)(y-7)+7.
    x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7
  2. Calculăm 7∗x\displaystyle 7*x folosind forma factorizată: primul factor este 7−7=0\displaystyle 7-7=0, deci 7∗x=0⋅(x−7)+7\displaystyle 7*x=0\cdot(x-7)+7 pentru orice x\displaystyle x real.
    7∗x=0⋅(x−7)+7=7\displaystyle 7*x=0\cdot(x-7)+7=7, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Analog, x∗7=(x−7)⋅0+7=7\displaystyle x*7=(x-7)\cdot 0+7=7, deci 7\displaystyle 7 este element absorbant. Numărul 7\displaystyle 7 apare în șirul 0,1,2,…,2017\displaystyle 0,1,2,\ldots,2017, între 6\displaystyle 6 și 8\displaystyle 8.
    x∗7=7\displaystyle x*7=7
  4. Folosind asociativitatea, grupăm primii termeni până la 7\displaystyle 7: (0∗1∗…∗6)∗7=7\displaystyle (0*1*\ldots*6)*7=7, deoarece orice număr compus cu 7\displaystyle 7 dă 7\displaystyle 7. Rămâne 7∗8∗9∗…∗2017\displaystyle 7*8*9*\ldots*2017, iar 7∗(8∗9∗…∗2017)=7\displaystyle 7*(8*9*\ldots*2017)=7.
    0∗1∗2∗…∗2017=((0∗1∗…∗6)∗7)∗8∗…∗2017=7∗(8∗9∗…∗2017)=7\displaystyle 0*1*2*\ldots*2017=((0*1*\ldots*6)*7)*8*\ldots*2017=7*(8*9*\ldots*2017)=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=8\displaystyle x*x=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă convenabilă, prin factorizare. Observăm că (x−7)(y−7)=xy−7x−7y+49\displaystyle (x-7)(y-7)=xy-7x-7y+49, deci x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7.
    x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7
  2. Particularizăm pentru y=x\displaystyle y=x și înlocuim în ecuația x∗x=8\displaystyle x*x=8. Obținem (x−7)(x−7)+7=8\displaystyle (x-7)(x-7)+7=8.
    (x−7)(x−7)+7=8\displaystyle (x-7)(x-7)+7=8
  3. Scădem 7\displaystyle 7 din ambii membri și scriem produsul ca pătrat: (x−7)2=8−7\displaystyle (x-7)^{2}=8-7.
    (x−7)2=1\displaystyle (x-7)^{2}=1
  4. Un pătrat este egal cu 1\displaystyle 1 când baza este 1\displaystyle 1 sau −1\displaystyle -1, deci x−7=1\displaystyle x-7=1 sau x−7=−1\displaystyle x-7=-1.
    x−7=1 sau x−7=−1\displaystyle x-7=1\text{ sau }x-7=-1
  5. Rezolvăm cele două ecuații adunând 7\displaystyle 7 în ambii membri. Soluțiile sunt x=8\displaystyle x=8 și x=6\displaystyle x=6.
    x=6 sau x=8\displaystyle x=6\text{ sau }x=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care m∗n=6\displaystyle m*n=6.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că xy−7x−7y+49=(x−7)(y−7)\displaystyle xy-7x-7y+49=(x-7)(y-7), deci legea se scrie x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7.
    x∗y=(x−7)(y−7)+7\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7
  2. Punem condiția m∗n=6\displaystyle m*n=6 și obținem (m−7)(n−7)+7=6\displaystyle (m-7)(n-7)+7=6.
    (m−7)(n−7)+7=6\displaystyle (m-7)(n-7)+7=6
  3. Scădem 7\displaystyle 7 din ambii membri și obținem (m−7)(n−7)=−1\displaystyle (m-7)(n-7)=-1.
    (m−7)(n−7)=−1\displaystyle (m-7)(n-7)=-1
  4. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale, m−7\displaystyle m-7 și n−7\displaystyle n-7 sunt numere întregi cu produsul −1\displaystyle -1. Deci cei doi factori sunt 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, în ordine oarecare.
    {m−7, n−7}={1, −1}\displaystyle \left\{m-7,\ n-7\right\}=\{1,\,-1\}
  5. Primul caz: m−7=1\displaystyle m-7=1 și n−7=−1\displaystyle n-7=-1, deci m=8\displaystyle m=8 și n=6\displaystyle n=6. Al doilea caz: m−7=−1\displaystyle m-7=-1 și n−7=1\displaystyle n-7=1, deci m=6\displaystyle m=6 și n=8\displaystyle n=8. Ambele perechi sunt formate din numere naturale.
    m=8\displaystyle m=8, n=6 sau m=6\displaystyle \ n=6\text{ sau }m=6, n=8\displaystyle \ n=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră Z4={0^,1^,2^,3^}\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 4.

Calculați 0^+1^+2^+3^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3} în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm primele două clase: 0^+1^=1^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}=\hat{1}, deoarece 0+1=1\displaystyle 0+1=1, iar 1\displaystyle 1 este deja un rest modulo 4\displaystyle 4. Suma devine 1^+2^+3^\displaystyle \hat{1}+\hat{2}+\hat{3}.
    0^+1^+2^+3^=(0^+1^)+2^+3^=1^+2^+3^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}=(\hat{0}+\hat{1})+\hat{2}+\hat{3}=\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}
  2. Adunăm următoarele două clase: 1^+2^=3^\displaystyle \hat{1}+\hat{2}=\hat{3}, deoarece 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar 3<4\displaystyle 3<4.
    (1^+2^)+3^=3^+3^\displaystyle (\hat{1}+\hat{2})+\hat{3}=\hat{3}+\hat{3}
  3. Calculăm 3^+3^\displaystyle \hat{3}+\hat{3}: avem 3+3=6\displaystyle 3+3=6, iar 6=4⋅1+2\displaystyle 6=4\cdot 1+2, deci restul la împărțirea la 4\displaystyle 4 este 2\displaystyle 2. Deci suma este 2^\displaystyle \hat{2}.
    0^+1^+2^+3^=3^+3^=6^=2^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{3}=\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră Z4={0^,1^,2^,3^}\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 4.

Calculați 2^⋅3^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{3} în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4.
Vezi rezolvarea
  1. În Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 înmulțirea claselor se face înmulțind reprezentanții, apoi rezultatul se reduce modulo 4\displaystyle 4. Înmulțim reprezentanții 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
  2. Împărțim 6\displaystyle 6 la 4\displaystyle 4: 6=4⋅1+2\displaystyle 6=4\cdot 1+2, deci restul este 2\displaystyle 2. Prin urmare 6\displaystyle 6 și 2\displaystyle 2 dau același rest la împărțirea cu 4\displaystyle 4, adică 6^=2^\displaystyle \hat{6}=\hat{2}.
    6=4⋅1+2⇒6^=2^\displaystyle 6=4\cdot 1+2\Rightarrow \hat{6}=\hat{2}
  3. Concluzie: produsul claselor 2^\displaystyle \hat{2} și 3^\displaystyle \hat{3} în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 este 2^\displaystyle \hat{2}.
    2^⋅3^=6^=2^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{6}=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră Z4={0^,1^,2^,3^}\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 4.

Rezolvați în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 ecuația 2^⋅x=0^\displaystyle \hat{2}\cdot x=\hat{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația se rezolvă prin verificare directă: Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 are doar patru elemente, deci calculăm 2^⋅x\displaystyle \hat{2}\cdot x pentru fiecare x∈Z4\displaystyle x\in\mathbb{Z}_4 și vedem când obținem 0^\displaystyle \hat{0}.
    x∈{0^,1^,2^,3^}\displaystyle x\in\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}
  2. Pentru x=0^\displaystyle x=\hat{0}: 2^⋅0^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{0}=\hat{0}, deci 0^\displaystyle \hat{0} este soluție.
    2^⋅0^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{0}=\hat{0}
  3. Pentru x=2^\displaystyle x=\hat{2}: 2^⋅2^=4^=0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{2}=\hat{4}=\hat{0}, pentru că 4\displaystyle 4 dă restul 0\displaystyle 0 la împărțirea cu 4\displaystyle 4. Deci 2^\displaystyle \hat{2} este soluție. Am găsit că 0^\displaystyle \hat{0} și 2^\displaystyle \hat{2} sunt soluții.
    0^ și 2^ sunt soluții ale ecuației\displaystyle \hat{0}\text{ și }\hat{2}\text{ sunt soluții ale ecuației}
  4. Pentru x=1^\displaystyle x=\hat{1}: 2^⋅1^=2^≠0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{1}=\hat{2}\neq\hat{0}. Pentru x=3^\displaystyle x=\hat{3}: 2^⋅3^=6^=2^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{6}=\hat{2}, pentru că 6\displaystyle 6 dă restul 2\displaystyle 2 la împărțirea cu 4\displaystyle 4, deci tot diferit de 0^\displaystyle \hat{0}. Prin urmare 1^\displaystyle \hat{1} și 3^\displaystyle \hat{3} nu sunt soluții.
    2^⋅1^=2^≠0^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{1}=\hat{2}\neq\hat{0},2^⋅3^=2^≠0^\displaystyle \quad \hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{2}\neq\hat{0}
  5. Celelalte elemente ale lui Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 nu sunt soluții, deci mulțimea soluțiilor este {0^,2^}\displaystyle \{\hat{0},\hat{2}\}.
    Celelalte elemente ale \displaystyle \text{Celelalte elemente ale }lui Z4 nu sunt soluții; S={0^,2^}\displaystyle \text{lui }\mathbb{Z}_4\text{ nu sunt soluții; } S=\{\hat{0},\hat{2}\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră Z4={0^,1^,2^,3^}\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 4.

Determinați simetricul elementului 1^\displaystyle \hat{1} în raport cu operația de adunare în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru față de adunare în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 este clasa 0^\displaystyle \hat{0}. Simetricul lui 1^\displaystyle \hat{1} este clasa x^\displaystyle \hat{x} pentru care 1^+x^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{x}=\hat{0} (și x^+1^=0^\displaystyle \hat{x}+\hat{1}=\hat{0}, adunarea fiind comutativă).
    1^+x^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{x}=\hat{0}
  2. Verificăm pe rând clasele: 1^+0^=1^\displaystyle \hat{1}+\hat{0}=\hat{1}, 1^+1^=2^\displaystyle \hat{1}+\hat{1}=\hat{2}, 1^+2^=3^\displaystyle \hat{1}+\hat{2}=\hat{3}, 1^+3^=4^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{3}=\hat{4}=\hat{0}, pentru că 4\displaystyle 4 se împarte exact la 4\displaystyle 4.
    1^+3^=4^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{3}=\hat{4}=\hat{0}
  3. Adunarea este comutativă, deci și 3^+1^=0^\displaystyle \hat{3}+\hat{1}=\hat{0}. Prin urmare 3^\displaystyle \hat{3} este simetricul lui 1^\displaystyle \hat{1} față de adunare.
    3^+1^=0^, deci 3^ este simetricul \displaystyle \hat{3}+\hat{1}=\hat{0}\text{, deci }\hat{3}\text{ este simetricul }elementului 1^\displaystyle \text{elementului }\hat{1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră Z4={0^,1^,2^,3^}\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 4.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu operația de înmulțire în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem criteriul: o clasă a^∈Z4\displaystyle \hat{a}\in\mathbb{Z}_4 este simetrizabilă față de înmulțire exact când există b^\displaystyle \hat{b} cu a^⋅b^=1^\displaystyle \hat{a}\cdot\hat{b}=\hat{1}, adică exact când a\displaystyle a este prim cu 4\displaystyle 4.
    a^ este simetrizabil⇔(a,4)=1\displaystyle \hat{a}\text{ este simetrizabil}\Leftrightarrow (a,4)=1
  2. Calculăm cel mai mare divizor comun al fiecărui reprezentant cu 4\displaystyle 4: (0,4)=4\displaystyle (0,4)=4, (1,4)=1\displaystyle (1,4)=1, (2,4)=2\displaystyle (2,4)=2, (3,4)=1\displaystyle (3,4)=1.
    (0,4)=4\displaystyle (0,4)=4, (1,4)=1\displaystyle \ (1,4)=1, (2,4)=2\displaystyle \ (2,4)=2, (3,4)=1\displaystyle \ (3,4)=1
  3. Verificăm direct: 1^⋅1^=1^\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{1}=\hat{1} și 3^⋅3^=9^=1^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{9}=\hat{1}, deci 1^\displaystyle \hat{1} și 3^\displaystyle \hat{3} sunt propriile inverse. Pentru 0^\displaystyle \hat{0} și 2^\displaystyle \hat{2} nu există invers: 0^⋅x^=0^\displaystyle \hat{0}\cdot\hat{x}=\hat{0}, iar 2^⋅x^∈{0^,2^}\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{x}\in\{\hat{0},\hat{2}\}, niciodată 1^\displaystyle \hat{1}.
    1^−1=1^\displaystyle \hat{1}^{-1}=\hat{1}, 3^−1=3^\displaystyle \ \hat{3}^{-1}=\hat{3}
  4. Elementele simetrizabile față de înmulțire în Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4 sunt 1^\displaystyle \hat{1} și 3^\displaystyle \hat{3}.
    1^ și 3^\displaystyle \hat{1}\text{ și }\hat{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră Z4={0^,1^,2^,3^}\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}, mulțimea claselor de resturi modulo 4.

Determinați mulțimea H={x∈Z4∣x2=x}\displaystyle H=\{x\in\mathbb{Z}_4\mid x^2=x\}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a determina mulțimea H\displaystyle H, verificăm pe rând fiecare element al lui Z4\displaystyle \mathbb{Z}_4: calculăm pătratul lui și îl comparăm cu elementul însuși.
    x2=x de verificat pentru x∈{0^,1^,2^,3^}\displaystyle x^2=x\text{ de verificat pentru }x\in\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}
  2. Pentru 0^\displaystyle \hat{0} și 1^\displaystyle \hat{1} pătratul se calculează direct: 0^2=0^⋅0^=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}\cdot\hat{0}=\hat{0}, iar 1^2=1^⋅1^=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}\cdot\hat{1}=\hat{1}.
    0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}
  3. Pentru 2^\displaystyle \hat{2}: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 4\displaystyle 4 este congruent cu 0\displaystyle 0 modulo 4\displaystyle 4, deci 2^2=0^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{0}. Pentru 3^\displaystyle \hat{3}: 3⋅3=9=2⋅4+1\displaystyle 3\cdot 3=9=2\cdot 4+1, deci 3^2=1^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{1}.
    0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=0^\displaystyle \ \hat{2}^2=\hat{0}, 3^2=1^\displaystyle \ \hat{3}^2=\hat{1}
  4. Comparăm fiecare pătrat cu elementul inițial: 0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0} convine, 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1} convine, 2^2=0^≠2^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{0}\neq\hat{2} nu convine, 3^2=1^≠3^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{1}\neq\hat{3} nu convine.
    0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2≠2^\displaystyle \ \hat{2}^2\neq\hat{2}, 3^2≠3^\displaystyle \ \hat{3}^2\neq\hat{3}
  5. Doar clasele 0^\displaystyle \hat{0} și 1^\displaystyle \hat{1} verifică egalitatea x2=x\displaystyle x^2=x, deci acestea sunt elementele mulțimii H\displaystyle H.
    H={0^,1^}\displaystyle H=\{\hat{0},\hat{1}\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.