Bac matematică M4 pedagogic 2017, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați rația progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4=14

și

\displaystyle a_1=2

.

Vezi rezolvarea

Exprimăm primii patru termeni ai progresiei cu ajutorul primului termen $\displaystyle a_1$ și al rației $\displaystyle r$ : $\displaystyle a_2=a_1+r$ , $\displaystyle a_3=a_1+2r$ , $\displaystyle a_4=a_1+3r$ .
$\displaystyle a_2=a_1+r$ , $\displaystyle \ a_3=a_1+2r$ , $\displaystyle \ a_4=a_1+3r$
Înlocuim în suma dată: $\displaystyle a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+(a_1+3r)=14$ . Adunăm termenii asemenea și obținem $\displaystyle 4a_1+6r=14$ .
$\displaystyle a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+(a_1+3r)=14 \Leftrightarrow 4a_1+6r=14$
Înlocuim $\displaystyle a_1=2$ în ecuație: $\displaystyle 4\cdot 2+6r=14$ , adică $\displaystyle 8+6r=14$ .
$\displaystyle 8+6r=14$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle 6r=14-8=6$ , deci rația este $\displaystyle r=1$ .
$\displaystyle r=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-5x+4

. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție ale graficului cu axa $\displaystyle Ox$ au ordonata $\displaystyle 0$ , deci rezolvăm ecuația $\displaystyle f(x)=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-5x+4=0$ .
$\displaystyle x^{2}-5x+4=0$
Calculăm discriminantul pentru $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-5$ , $\displaystyle c=4$ : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25-16=9$ .
$\displaystyle \Delta=25-16=9$
Aflăm rădăcinile cu formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm 3}{2}$ . Obținem $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=4$ , deci punctele de intersecție sunt $\displaystyle A(1,0)$ și $\displaystyle B(4,0)$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=4$
Punctele sunt pe axa $\displaystyle Ox$ , deci distanța dintre ele este diferența dintre abscise: $\displaystyle AB=|4-1|=3$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=4\text{, distanța este egală cu }3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{x+2}+2^{x+1}+2^x=7

.

Vezi rezolvarea

Folosim proprietatea puterilor $\displaystyle a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ : $\displaystyle 2^{x+2}=2^x\cdot 2^2$ și $\displaystyle 2^{x+1}=2^x\cdot 2$ .
$\displaystyle 2^{x+2}=2^x\cdot 4$ , $\displaystyle \quad 2^{x+1}=2^x\cdot 2$
Ecuația devine $\displaystyle 2^x\cdot 4+2^x\cdot 2+2^x=7$ , deci dăm factor comun $\displaystyle 2^x$ .
$\displaystyle 2^x\left(2^2+2^1+1\right)=7$
Suma din paranteză este $\displaystyle 4+2+1=7$ , deci $\displaystyle 2^x\cdot 7=7$ . Împărțim ambii membri la $\displaystyle 7$ .
$\displaystyle 2^x=1$
Scriem $\displaystyle 1=2^0$ , deci $\displaystyle 2^x=2^0$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci exponenții sunt egali.
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După două creșteri succesive cu câte

\displaystyle 10\%

, un produs costă 242 de lei. Calculați prețul produsului înainte de cele două scumpiri.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle p$ prețul inițial al produsului, în lei.
$\displaystyle p=\text{prețul inițial}$
După prima creștere de $\displaystyle 10\%$ , prețul devine $\displaystyle p+\dfrac{10}{100}\cdot p=1{,}1\cdot p$ .
$\displaystyle p_1=p+\frac{10}{100}\cdot p=1{,}1\,p$
A doua creștere de $\displaystyle 10\%$ se aplică prețului nou $\displaystyle p_1$ , deci la acesta adăugăm $\displaystyle \dfrac{10}{100}$ din el. Prețul final este egal cu 242 de lei, de unde obținem ecuația.
$\displaystyle \left(p+\frac{10}{100}\cdot p\right)+\frac{10}{100}\cdot\left(p+\frac{10}{100}\cdot p\right)=242$
Simplificăm: după a doua creștere prețul este $\displaystyle 1{,}1\cdot 1{,}1\cdot p$ , adică $\displaystyle 1{,}21\cdot p$ . Ecuația devine $\displaystyle 1{,}21\cdot p=242$ .
$\displaystyle 1{,}21\cdot p=242$
Împărțim la $\displaystyle 1{,}21$ și obținem prețul inițial: $\displaystyle p=\dfrac{242}{1{,}21}=200$ . Deci produsul costa 200 de lei înainte de scumpiri.
$\displaystyle p=200\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care vectorii

\displaystyle \vec{v_1}=m\vec{i}+6\vec{j}

și

\displaystyle \vec{v_2}=2\vec{i}+3\vec{j}

sunt coliniari.

Vezi rezolvarea

Citim coordonatele vectorilor: $\displaystyle \vec{v_1}=m\vec{i}+6\vec{j}$ are coordonatele $\displaystyle (m,6)$ , iar $\displaystyle \vec{v_2}=2\vec{i}+3\vec{j}$ are coordonatele $\displaystyle (2,3)$ .
$\displaystyle \vec{v_1}(m,6)$ , $\displaystyle \ \vec{v_2}(2,3)$
Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale, deci $\displaystyle \dfrac{m}{2}=\dfrac{6}{3}$ .
$\displaystyle \frac{m}{2}=\frac{6}{3}$
Simplificăm fracția din dreapta: $\displaystyle \dfrac{6}{3}=2$ , deci $\displaystyle \dfrac{m}{2}=2$ . Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle m=2\cdot 2$ .
$\displaystyle m=2\cdot 2=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria dreptunghiului

\displaystyle ABCD

, știind că

\displaystyle AB=3

și

\displaystyle AC=5

.

Vezi rezolvarea

Într-un dreptunghi unghiul $\displaystyle B$ este drept, deci triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle B$ , cu catetele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle BC$ și ipotenuza $\displaystyle AC$ (diagonala dreptunghiului).
$\displaystyle \triangle ABC$ , $\displaystyle \ \angle B=90^\circ$
Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$ .
$\displaystyle AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$
Înlocuim $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle AC=5$ și obținem $\displaystyle BC^{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16$ . Cum $\displaystyle BC>0$ , rezultă $\displaystyle BC=4$ .
$\displaystyle BC=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$
Aria dreptunghiului este produsul dintre lungime și lățime, adică $\displaystyle AB\cdot BC=3\cdot 4=12$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=3\cdot 4=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=x+y-xy

.

Calculați

\displaystyle (-1)*1

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: $\displaystyle x*y=x+y-xy$ . Pentru $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle y=1$ înlocuim direct în formulă.
$\displaystyle (-1)*1=-1+1-(-1)\cdot 1$
Calculăm separat termenii: $\displaystyle -1+1=0$ , iar $\displaystyle (-1)\cdot 1=-1$ , deci $\displaystyle -(-1\cdot 1)=+1$ .
$\displaystyle 0+1$
Adunăm și obținem rezultatul final: $\displaystyle (-1)*1=1$ .
$\displaystyle (-1)*1=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=x+y-xy

.

Verificați dacă legea de compoziție „

\displaystyle *

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

Legea „ $\displaystyle *$ ” este comutativă dacă $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ . Pornim de la definiție: $\displaystyle x*y=x+y-xy$ .
$\displaystyle x*y=x+y-xy$
Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative: $\displaystyle x+y=y+x$ și $\displaystyle xy=yx$ . Rescriem expresia: $\displaystyle x+y-xy=y+x-yx$ .
$\displaystyle x*y=x+y-xy=y+x-yx$
Expresia $\displaystyle y+x-yx$ este chiar definiția lui $\displaystyle y*x$ , obținută din $\displaystyle x*y=x+y-xy$ prin schimbarea rolului lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle y$ . Deci $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ , adică legea „ $\displaystyle *$ ” este comutativă.
$\displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea „}*\text{” este comutativă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=x+y-xy

.

Arătați că

\displaystyle x*y=-(x-1)(y-1)+1

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii, $\displaystyle x*y=x+y-xy$ , și ordonăm termenii: $\displaystyle -xy+x+y$ . Adăugăm și scădem $\displaystyle 1$ , ca să apară constanta necesară pentru factorul comun.
$\displaystyle x*y=-xy+x+y-1+1$
Grupăm termenii $\displaystyle -xy+x$ și scoatem factorul comun $\displaystyle x$ , obținând $\displaystyle -x(y-1)$ . Termenii $\displaystyle y-1$ rămân neschimbați, iar $\displaystyle +1$ la sfârșit rămâne la fel.
$\displaystyle -x(y-1)+(y-1)+1$
Acum $\displaystyle y-1$ apare în ambii termeni, deci îl dăm factor comun: $\displaystyle -x(y-1)+(y-1)=(y-1)(-x+1)=-(x-1)(y-1)$ . Adăugând $\displaystyle +1$ , obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x*y=-(x-1)(y-1)+1\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=x+y-xy

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, pentru care

\displaystyle x*x=0

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm $\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1$ , deci $\displaystyle -(x-1)(y-1)+1=x+y-xy$ . Așadar legea se scrie $\displaystyle x*y=-(x-1)(y-1)+1$ .
$\displaystyle x*y=-(x-1)(y-1)+1$
Pentru $\displaystyle y=x$ obținem $\displaystyle x*x=-(x-1)(x-1)+1$ , deci ecuația $\displaystyle x*x=0$ devine $\displaystyle -(x-1)^2+1=0$ .
$\displaystyle -(x-1)^{2}+1=0$
Trecem $\displaystyle (x-1)^2$ în partea dreaptă și obținem ecuația echivalentă $\displaystyle (x-1)^2=1$ .
$\displaystyle (x-1)^{2}=1$
Din $\displaystyle (x-1)^2=1$ rezultă $\displaystyle x-1=1$ sau $\displaystyle x-1=-1$ .
$\displaystyle x-1=1\text{ sau }x-1=-1$
Din $\displaystyle x-1=1$ obținem $\displaystyle x=2$ , iar din $\displaystyle x-1=-1$ obținem $\displaystyle x=0$ . Verificare: $\displaystyle 0*0=0+0-0=0$ și $\displaystyle 2*2=2+2-4=0$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=x+y-xy

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, pentru care

\displaystyle a*a\geq 1

.

Vezi rezolvarea

Din definiția legii, pentru $\displaystyle x=y=a$ obținem $\displaystyle a*a=a+a-a\cdot a$ .
$\displaystyle a*a=2a-a^{2}$
Observăm că $\displaystyle 2a-a^{2}=-(a^{2}-2a+1)+1=-(a-1)^{2}+1$ , deci $\displaystyle a*a=-(a-1)^{2}+1$ .
$\displaystyle a*a=-(a-1)(a-1)+1=-(a-1)^{2}+1$
Condiția $\displaystyle a*a\geq 1$ devine $\displaystyle -(a-1)^{2}+1\geq 1$ . Scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri și înmulțim cu $\displaystyle -1$ , ceea ce schimbă sensul inegalității: $\displaystyle (a-1)^{2}\leq 0$ .
$\displaystyle -(a-1)^{2}+1\geq 1\Leftrightarrow (a-1)^{2}\leq 0$
Cum $\displaystyle (a-1)^{2}\geq 0$ pentru orice număr real $\displaystyle a$ , inegalitatea $\displaystyle (a-1)^{2}\leq 0$ se îndeplinește doar când $\displaystyle (a-1)^{2}=0$ , adică $\displaystyle a-1=0$ .
$\displaystyle (a-1)^{2}=0\Rightarrow a-1=0$
Din $\displaystyle a-1=0$ obținem $\displaystyle a=1$ , singura valoare reală pentru care $\displaystyle a*a\geq 1$ .
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=x+y-xy

.

Calculați

\displaystyle \frac{1}{2016}*\frac{2}{2016}*\frac{3}{2016}*\ldots*\frac{2017}{2016}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle x*y=x+y-xy$ se poate scrie $\displaystyle x*y=1-(1-x)(1-y)$ , deoarece $\displaystyle (1-x)(1-y)=1-x-y+xy$ .
$\displaystyle x*y=1-(1-x)(1-y)$
Calculăm $\displaystyle x*1=x+1-x\cdot 1=1$ și, analog, $\displaystyle 1*y=1+y-y=1$ , pentru orice $\displaystyle x,y$ numere reale.
$\displaystyle x*1=1*y=1\text{, pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}$
Printre termenii șirului $\displaystyle \frac{1}{2016},\frac{2}{2016},\ldots,\frac{2017}{2016}$ apare $\displaystyle \frac{2016}{2016}=1$ .
$\displaystyle \frac{2016}{2016}=1$
Legea fiind asociativă, grupăm: $\displaystyle \left(\frac{1}{2016}*\ldots*\frac{2015}{2016}\right)*\frac{2016}{2016}$ . Cum $\displaystyle \frac{2016}{2016}=1$ iar $\displaystyle x*1=1$ , această paranteză este egală cu $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \left(\frac{1}{2016}*\frac{2}{2016}*\ldots*\frac{2015}{2016}\right)*\frac{2016}{2016}=1$
Compunem cu ultimul termen: $\displaystyle 1*\frac{2017}{2016}=1+\frac{2017}{2016}-\frac{2017}{2016}=1$ . Deci produsul cerut este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \left(\left(\frac{1}{2016}*\ldots*\frac{2015}{2016}\right)*\frac{2016}{2016}\right)*\frac{2017}{2016}=1*\frac{2017}{2016}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle n

este număr întreg.

Calculați

\displaystyle \det(A(2017))

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle n$ cu $\displaystyle 2017$ în matricea $\displaystyle A(n)$ și obținem matricea $\displaystyle A(2017)$ , cu $\displaystyle 1$ pe diagonală, $\displaystyle 2017$ deasupra diagonalei și $\displaystyle 0$ sub diagonală.
$\displaystyle A(2017)=\begin{pmatrix}1 & 2017\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(2017)$ și folosim formula determinantului de ordin $\displaystyle 2$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc$ .
$\displaystyle \det(A(2017))=\begin{vmatrix}1 & 2017\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-2017\cdot 0$
Calculăm: produsul de pe diagonala principală este $\displaystyle 1\cdot 1=1$ , iar cel de pe diagonala secundară este $\displaystyle 2017\cdot 0=0$ , deci determinantul este $\displaystyle 1-0=1$ .
$\displaystyle \det(A(2017))=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle n

este număr întreg.

Arătați că

\displaystyle A(-2017)+A(2017)=2I_2

, unde

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle n=-2017$ și $\displaystyle n=2017$ în $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și obținem cele două matrice.
$\displaystyle A(-2017)=\begin{pmatrix}1 & -2017\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(2017)=\begin{pmatrix}1 & 2017\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle 1+1=2$ , $\displaystyle -2017+2017=0$ , $\displaystyle 0+0=0$ , $\displaystyle 1+1=2$ .
$\displaystyle A(-2017)+A(2017)=\begin{pmatrix}1 & -2017\\ 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 2017\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$
Scoatem factor comun pe $\displaystyle 2$ și recunoaștem matricea unitate $\displaystyle I_2$ , deci egalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle n

este număr întreg.

Arătați că

\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(m+n)

, pentru orice numere întregi

\displaystyle m

și

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele după definiție: $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ . Produsul cerut este $\displaystyle A(m)\cdot A(n)$ .
$\displaystyle A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Calculăm fiecare element al produsului, linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1: $\displaystyle 1\cdot 1+m\cdot 0=1$ . Linia 1, coloana 2: $\displaystyle 1\cdot n+m\cdot 1=n+m$ . Linia 2, coloana 1: $\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0$ . Linia 2, coloana 2: $\displaystyle 0\cdot n+1\cdot 1=1$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & n+m\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Adunarea numerelor întregi este comutativă, deci $\displaystyle n+m=m+n$ . Matricea obținută are exact forma $\displaystyle A(m+n)$ , iar $\displaystyle m+n$ este număr întreg, deci egalitatea este demonstrată pentru orice $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ întregi.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & m+n\\ 0 & 1\end{pmatrix}=A(m+n)\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{întregi }m\text{ și }n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle n

este număr întreg.

Se consideră matricea

\displaystyle B=A(0)+A(1)+A(2)+A(3)+A(4)+A(5)+A(6)

. Arătați că suma elementelor matricei

\displaystyle B

este divizibilă cu 7.

Vezi rezolvarea

Adunăm cele șapte matrice element cu element. Pe diagonala principală apare de șapte ori numărul $\displaystyle 1$ , adică $\displaystyle 7$ , iar sub diagonală apar zerouri. Elementul din dreapta sus este suma $\displaystyle 0+1+2+3+4+5+6$ .
$\displaystyle B=\begin{pmatrix}7 & 0+1+2+\ldots+6\\ 0 & 7\end{pmatrix}$
Calculăm suma $\displaystyle 0+1+2+3+4+5+6=21$ și scriem matricea $\displaystyle B$ .
$\displaystyle B=\begin{pmatrix}7 & 21\\ 0 & 7\end{pmatrix}$
Adunăm elementele matricei $\displaystyle B$ : $\displaystyle 7+21+0+7=35$ . Cum $\displaystyle 35=5\cdot 7$ , suma elementelor este divizibilă cu $\displaystyle 7$ .
$\displaystyle 35\text{, care este un număr }$ $\displaystyle \text{divizibil cu }7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle n

este număr întreg.

Arătați că matricea

\displaystyle A(n)

este inversabilă pentru orice număr întreg

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Amintim criteriul: o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci calculăm $\displaystyle \det(A(n))$ , cu $\displaystyle n$ întreg oarecare.
$\displaystyle A(n)\text{ inversabilă}\iff \det(A(n))\neq 0$
Pentru o matrice de ordinul doi, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: $\displaystyle 1\cdot 1-n\cdot 0$ .
$\displaystyle \det(A(n))=\begin{vmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-n\cdot 0=1$
Determinantul este $\displaystyle 1$ , deci este diferit de zero, indiferent de valoarea lui $\displaystyle n$ . Prin urmare, matricea $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $\displaystyle n$ .
$\displaystyle \det(A(n))=1\neq 0\text{, deci }A(n)\text{ este inversabilă pentru }$ $\displaystyle \text{orice număr întreg }n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle n

este număr întreg.

Determinați matricea

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})

pentru care

\displaystyle A(2017)\cdot X=A(2018)

.

Vezi rezolvarea

Verificăm proprietatea de înmulțire: $\displaystyle A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & m+n\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ , deci $\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$ .
$\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$
Pentru $\displaystyle m=2017$ și $\displaystyle n=-2017$ obținem $\displaystyle A(2017)\cdot A(-2017)=A(0)=I_2$ . Deci $\displaystyle A(2017)$ este inversabilă, iar inversa ei este $\displaystyle A(-2017)$ .
$\displaystyle A(2017)\cdot A(-2017)=A(0)=I_2\text{, deci }(A(2017))^{-1}=A(-2017)$
Înmulțim egalitatea $\displaystyle A(2017)\cdot X=A(2018)$ la stânga cu $\displaystyle A(-2017)$ . Cum $\displaystyle A(-2017)\cdot A(2017)=I_2$ , obținem $\displaystyle X=A(-2017)\cdot A(2018)$ .
$\displaystyle X=A(-2017)\cdot A(2018)$
Aplicăm din nou proprietatea: $\displaystyle X=A(-2017+2018)=A(1)$ . Deci $\displaystyle X=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle X=A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2017, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani