Bac matematică M1 mate-info 2013, sesiunea a II-a rezervă varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, dacă a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=8\displaystyle a_3=8.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sumei primilor n\displaystyle n termeni ai unei progresii aritmetice în funcție de primul și ultimul termen: Sn=(a1+an)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}. Pentru n=3\displaystyle n=3, ultimul termen este a3\displaystyle a_3, deci S3=(a1+a3)⋅32\displaystyle S_3=\dfrac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}.
    S3=(a1+a3)⋅32\displaystyle S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}
  2. Înlocuim a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=8\displaystyle a_3=8 în formulă.
    S3=(2+8)⋅32\displaystyle S_3=\frac{(2+8)\cdot 3}{2}
  3. Calculăm suma din paranteză: 2+8=10\displaystyle 2+8=10. Apoi 10⋅3=30\displaystyle 10\cdot 3=30, iar 302=15\displaystyle \dfrac{30}{2}=15. Suma primilor trei termeni este 15.
    S3=10⋅32=302=15\displaystyle S_3=\frac{10\cdot 3}{2}=\frac{30}{2}=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+2\displaystyle f(x)=x^2-4x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c: a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=2\displaystyle c=2.
    a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle \ b=-4, c=2\displaystyle \ c=2
  2. Abscisa vârfului este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim: xV=−−42⋅1=42=2\displaystyle x_V=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=\dfrac{4}{2}=2.
    xV=2\displaystyle x_V=2
  3. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅2=16−8=8\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8.
    Δ=8\displaystyle \Delta=8
  4. Ordonata vârfului este yV=−Δ4a=−84=−2\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{8}{4}=-2. Verificăm: f(2)=22−4⋅2+2=4−8+2=−2\displaystyle f(2)=2^2-4\cdot 2+2=4-8+2=-2. Vârful parabolei este punctul V(2,−2)\displaystyle V(2,-2).
    yV=−2\displaystyle y_V=-2, V(2,−2)\displaystyle \ V(2,-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3x=log⁡3(4−x)\displaystyle \log_3 x=\log_3(4-x).
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x>0\displaystyle x>0 și 4−x>0\displaystyle 4-x>0. Rezultă x∈(0,4)\displaystyle x\in(0,4).
    x∈(0,4)\displaystyle x\in(0,4)
  2. Funcția logaritmică de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: x=4−x\displaystyle x=4-x.
    x=4−x\displaystyle x=4-x
  3. Rezolvăm ecuația de gradul I: 2x=4\displaystyle 2x=4, deci x=2\displaystyle x=2.
    2x=4⇒x=2\displaystyle 2x=4\Rightarrow x=2
  4. Verificăm soluția: 2∈(0,4)\displaystyle 2\in(0,4), iar în ecuația inițială ambele părți devin log⁡32\displaystyle \log_3 2. Deci soluția este x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \dots, 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90, deci avem 90\displaystyle 90 de cazuri posibile.
    90 de cazuri posibile\displaystyle 90\text{ de cazuri posibile}
  2. Notăm numărul cu ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a≠0\displaystyle a\neq 0. Condiția este a⋅b=4\displaystyle a\cdot b=4. Descompunerile lui 4\displaystyle 4 în produs de două cifre sunt 1⋅4\displaystyle 1\cdot 4, 2⋅2\displaystyle 2\cdot 2 și 4⋅1\displaystyle 4\cdot 1, deci perechile (a,b)\displaystyle (a,b) sunt (1,4)\displaystyle (1,4), (2,2)\displaystyle (2,2), (4,1)\displaystyle (4,1).
    (a,b)∈{(1,4),(2,2),(4,1)}\displaystyle (a,b)\in\{(1,4),(2,2),(4,1)\}
  3. Numerele corespunzătoare sunt 14\displaystyle 14, 22\displaystyle 22 și 41\displaystyle 41, deci avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    14\displaystyle 14, 22\displaystyle \ 22, 41⇒3 cazuri favorabile\displaystyle \ 41\Rightarrow 3\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=390=130\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{3}{90}=\dfrac{1}{30}.
    p=390=130\displaystyle p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(4,1)\displaystyle B(4,1). Determinați coordonatele punctului M\displaystyle M știind că AM→=13AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele vectorului AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui B\displaystyle B: xB−xA=4−1=3\displaystyle x_B-x_A=4-1=3 și yB−yA=1−1=0\displaystyle y_B-y_A=1-1=0. Deci AB→=3i⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=3\vec{i}.
    AB→=3i⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=3\vec{i}
  2. Notăm M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) și scriem vectorul AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} în funcție de coordonatele lui M\displaystyle M și ale lui A\displaystyle A.
    AB→=3i⃗ și AM→=(xM−1)i⃗+(yM−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=3\vec{i}\text{ și }\overrightarrow{AM}=(x_M-1)\vec{i}+(y_M-1)\vec{j}
  3. Înlocuim în relația AM→=13AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. Membrul drept este 13⋅3i⃗=i⃗\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 3\vec{i}=\vec{i}.
    (xM−1)i⃗+(yM−1)j⃗=i⃗\displaystyle (x_M-1)\vec{i}+(y_M-1)\vec{j}=\vec{i}
  4. Egalăm componentele corespunzătoare: xM−1=1\displaystyle x_M-1=1, deci xM=2\displaystyle x_M=2, și yM−1=0\displaystyle y_M-1=0, deci yM=1\displaystyle y_M=1. Așadar M(2,1)\displaystyle M(2,1).
    xM=2\displaystyle x_M=2, yM=1\displaystyle \ y_M=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 4sin⁡π12cos⁡π12=1\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 4=2⋅2\displaystyle 4=2\cdot 2 și grupăm: 4sin⁡π12cos⁡π12=2⋅(2sin⁡π12cos⁡π12)\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=2\cdot\left(2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right). Expresia din paranteză are forma 2sin⁡xcos⁡x\displaystyle 2\sin x\cos x, cu x=π12\displaystyle x=\frac{\pi}{12}.
    4sin⁡π12cos⁡π12=2⋅(2sin⁡π12cos⁡π12)\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=2\cdot\left(2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right)
  2. Aplicăm formula sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x pentru x=π12\displaystyle x=\frac{\pi}{12}, deci 2sin⁡π12cos⁡π12=sin⁡π6\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{6}. Obținem 4sin⁡π12cos⁡π12=2sin⁡π6\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=2\sin\frac{\pi}{6}.
    4sin⁡π12cos⁡π12=2sin⁡π6\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=2\sin\frac{\pi}{6}
  3. Folosim valoarea cunoscută sin⁡π6=12\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}. Atunci 2sin⁡π6=2⋅12=1\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{1}{2}=1, deci 4sin⁡π12cos⁡π12=1\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=1, ceea ce trebuia arătat.
    2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(22m+12m+12m+122).A(m)=\begin{pmatrix}2&2&m+1\\2&m+1&2\\m+1&2&2\end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A(−1))\displaystyle \det(A(-1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=−1\displaystyle m=-1 în matricea A(m)\displaystyle A(m): termenul m+1\displaystyle m+1 devine 0\displaystyle 0, deci obținem matricea de mai jos și scriem determinantul ei.
    A(−1)=(220202022)⇒det⁡(A(−1))=∣220202022∣\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}2&2&0\\2&0&2\\0&2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(-1))=\begin{vmatrix}2&2&0\\2&0&2\\0&2&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 2⋅0⋅2\displaystyle 2\cdot 0\cdot 2, 2⋅2⋅0\displaystyle 2\cdot 2\cdot 0 și 0⋅2⋅2\displaystyle 0\cdot 2\cdot 2, toate egale cu 0\displaystyle 0.
    2⋅0⋅2+2⋅2⋅0+0⋅2⋅2=0+0+0=0\displaystyle 2\cdot0\cdot2+2\cdot2\cdot0+0\cdot2\cdot2=0+0+0=0
  3. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0, 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2 și 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2, adică 0\displaystyle 0, 8\displaystyle 8 și 8\displaystyle 8. Acestea se scad.
    0⋅0⋅0+2⋅2⋅2+2⋅2⋅2=0+8+8=16\displaystyle 0\cdot0\cdot0+2\cdot2\cdot2+2\cdot2\cdot2=0+8+8=16
  4. Determinantul este diferența dintre suma primelor trei produse și suma celorlalte trei: 0+0+0−0−8−8=−16\displaystyle 0+0+0-0-8-8=-16.
    det⁡(A(−1))=0+0+0−0−8−8=−16\displaystyle \det(A(-1))=0+0+0-0-8-8=-16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(22m+12m+12m+122).A(m)=\begin{pmatrix}2&2&m+1\\2&m+1&2\\m+1&2&2\end{pmatrix}.

Verificați dacă A(0)⋅A(1)=5A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=5A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=0\displaystyle m=0 avem m+1=1\displaystyle m+1=1, deci matricea A(0)\displaystyle A(0) are pe fiecare linie elementele 2, 2 și 1, în ordinea din enunț comun.
    A(0)=(221212122)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&2&1\\2&1&2\\1&2&2\end{pmatrix}
  2. Pentru m=1\displaystyle m=1 avem m+1=2\displaystyle m+1=2, deci toate elementele matricei A(1)\displaystyle A(1) sunt egale cu 2. Scriem produsul A(0)⋅A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1).
    A(0)⋅A(1)=(221212122)(222222222)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}2&2&1\\2&1&2\\1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 2⋅2+2⋅2+1⋅2=10\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 2=10. Fiecare linie din A(0)\displaystyle A(0) are suma elementelor 5\displaystyle 5, iar toate coloanele din A(1)\displaystyle A(1) sunt formate din 2, deci fiecare element al produsului este 5⋅2=10\displaystyle 5\cdot 2=10.
    2⋅2+2⋅2+1⋅2=10\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 2=10
  4. Produsul are toate elementele egale cu 10\displaystyle 10. Pe de altă parte, 5A(1)\displaystyle 5A(1) are toate elementele 5⋅2=10\displaystyle 5\cdot 2=10. Deci egalitatea A(0)⋅A(1)=5A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=5A(1) este adevărată.
    A(0)⋅A(1)=(101010101010101010)=5A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}10&10&10\\10&10&10\\10&10&10\end{pmatrix}=5A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(22m+12m+12m+122).A(m)=\begin{pmatrix}2&2&m+1\\2&m+1&2\\m+1&2&2\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m))=0\displaystyle \det(A(m))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm a=m+1\displaystyle a=m+1, deci matricea are pe linii (2,2,a)\displaystyle (2,2,a), (2,a,2)\displaystyle (2,a,2), (a,2,2)\displaystyle (a,2,2). Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt 2⋅a⋅2\displaystyle 2\cdot a\cdot 2, 2⋅2⋅a\displaystyle 2\cdot 2\cdot a și a⋅2⋅2\displaystyle a\cdot 2\cdot 2. Termenii cu minus sunt a⋅a⋅a\displaystyle a\cdot a\cdot a, 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2 și 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2.
    det⁡(A(m))=4a+4a+4a−a3−8−8\displaystyle \det(A(m))=4a+4a+4a-a^{3}-8-8
  2. Reducem termenii asemenea și obținem un polinom de gradul 3 în a\displaystyle a.
    det⁡(A(m))=−a3+12a−16\displaystyle \det(A(m))=-a^{3}+12a-16
  3. Factorizăm polinomul. Observăm că a=2\displaystyle a=2 este rădăcină: −8+24−16=0\displaystyle -8+24-16=0. Împărțind la a−2\displaystyle a-2, vedem că a=2\displaystyle a=2 este rădăcină dublă, iar cealaltă rădăcină este a=−4\displaystyle a=-4. Verificare: (a−2)2(a+4)=a3−12a+16\displaystyle (a-2)^{2}(a+4)=a^{3}-12a+16. Deci determinantul este minus acest produs.
    det⁡(A(m))=−(a−2)2(a+4)\displaystyle \det(A(m))=-(a-2)^{2}(a+4)
  4. Revenim la m\displaystyle m, înlocuind a=m+1\displaystyle a=m+1: a−2=m−1\displaystyle a-2=m-1 și a+4=m+5\displaystyle a+4=m+5.
    det⁡(A(m))=−(m+5)(m−1)2\displaystyle \det(A(m))=-(m+5)(m-1)^{2}
  5. Egalăm cu zero: −(m+5)(m−1)2=0\displaystyle -(m+5)(m-1)^{2}=0. Un produs este nul dacă un factor este nul: m+5=0\displaystyle m+5=0 sau (m−1)2=0\displaystyle (m-1)^{2}=0. Deci m=−5\displaystyle m=-5 sau m=1\displaystyle m=1.
    det⁡(A(m))=0⇔m=−5 sau m=1\displaystyle \det(A(m))=0\Leftrightarrow m=-5\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Verificați dacă x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6 și grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: xy−2x=x(y−2)\displaystyle xy-2x=x(y-2). Pentru ceilalți termeni scriem −2y+6=−2(y−2)+2\displaystyle -2y+6=-2(y-2)+2, deoarece −2(y−2)=−2y+4\displaystyle -2(y-2)=-2y+4.
    xy−2x−2y+6=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle xy-2x-2y+6=x(y-2)-2(y-2)+2
  2. Dăm factor comun pe y−2\displaystyle y-2 între primii doi termeni: x(y−2)−2(y−2)=(x−2)(y−2)\displaystyle x(y-2)-2(y-2)=(x-2)(y-2).
    x(y−2)−2(y−2)=(x−2)(y−2)\displaystyle x(y-2)-2(y-2)=(x-2)(y-2)
  3. Adăugăm termenul rămas, 2\displaystyle 2, și obținem forma cerută. Deci egalitatea este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Arătați că x∘2=2∘x=2\displaystyle x\circ 2=2\circ x=2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Observăm că xy−2x−2y+4=(x−2)(y−2)\displaystyle xy-2x-2y+4=(x-2)(y-2), deci x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2.
    x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2
  2. Calculăm x∘2\displaystyle x\circ 2 înlocuind y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în forma factorizată. Factorul 2−2\displaystyle 2-2 este zero, deci produsul se anulează.
    x∘2=(x−2)(2−2)+2=(x−2)⋅0+2=2\displaystyle x\circ 2=(x-2)(2-2)+2=(x-2)\cdot 0+2=2
  3. Calculăm 2∘x\displaystyle 2\circ x înlocuind primul termen cu 2\displaystyle 2 în forma factorizată. Din nou factorul 2−2\displaystyle 2-2 este zero. Rezultă că x∘2=2∘x=2\displaystyle x\circ 2=2\circ x=2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    2∘x=(2−2)(x−2)+2=2⇒x∘2=2∘x=2\displaystyle 2\circ x=(2-2)(x-2)+2=2\Rightarrow x\circ 2=2\circ x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6.

Calculați 1∘2∘3∘…∘2012∘2013\displaystyle 1\circ 2\circ 3\circ\ldots\circ 2012\circ 2013.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se scrie factorizat: (x−2)(y−2)+2=xy−2x−2y+4+2=xy−2x−2y+6\displaystyle (x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6, deci x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2.
    x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2
  2. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∘2=(x−2)⋅0+2=2\displaystyle x\circ 2=(x-2)\cdot 0+2=2 și, analog, 2∘x=2\displaystyle 2\circ x=2. Deci 2\displaystyle 2 este element absorbant.
    x∘2=2∘x=2\displaystyle x\circ 2=2\circ x=2, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Calculăm primii doi termeni: 1∘2=1⋅2−2⋅1−2⋅2+6=2\displaystyle 1\circ 2=1\cdot 2-2\cdot 1-2\cdot 2+6=2. Folosind asociativitatea, grupăm primii doi termeni.
    1∘2∘3∘…∘2013=(1∘2)∘3∘…∘2013\displaystyle 1\circ 2\circ 3\circ\ldots\circ 2013=(1\circ 2)\circ 3\circ\ldots\circ 2013
  4. Cum 1∘2=2\displaystyle 1\circ 2=2, expresia devine 2∘(3∘…∘2012∘2013)\displaystyle 2\circ(3\circ\ldots\circ 2012\circ 2013). Deoarece 2\displaystyle 2 este element absorbant, rezultatul este 2\displaystyle 2.
    2∘(3∘…∘2012∘2013)=2\displaystyle 2\circ(3\circ\ldots\circ 2012\circ 2013)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=x4+3x2+2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^4+3x^2+2x}{(x^2+1)^2}, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 nu se anulează niciodată. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x3−1\displaystyle u=x^{3}-1 și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1.
    f′(x)=(x3−1)′(x2+1)−(x3−1)(x2+1)′(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{3}-1)'(x^{2}+1)-(x^{3}-1)(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x3−1)′=3x2\displaystyle (x^{3}-1)'=3x^{2} și (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x.
    (x3−1)′=3x2\displaystyle (x^{3}-1)'=3x^{2},(x2+1)′=2x\displaystyle \quad (x^{2}+1)'=2x
  3. Înlocuim derivatele în formula câtului.
    f′(x)=3x2(x2+1)−2x(x3−1)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}(x^{2}+1)-2x(x^{3}-1)}{(x^{2}+1)^{2}}
  4. Desfacem parantezele la numărător: 3x2(x2+1)=3x4+3x2\displaystyle 3x^{2}(x^{2}+1)=3x^{4}+3x^{2} și 2x(x3−1)=2x4−2x\displaystyle 2x(x^{3}-1)=2x^{4}-2x.
    3x4+3x2−(2x4−2x)\displaystyle 3x^{4}+3x^{2}-\left(2x^{4}-2x\right)
  5. Reducem termenii asemenea: 3x4−2x4=x4\displaystyle 3x^{4}-2x^{4}=x^{4}, iar −(−2x)=+2x\displaystyle -(-2x)=+2x. Numărătorul este x4+3x2+2x\displaystyle x^{4}+3x^{2}+2x, deci obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x4+3x2+2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→0f(x)−f(0)x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): la numărător avem 03−1=−1\displaystyle 0^{3}-1=-1, iar la numitor 02+1=1\displaystyle 0^{2}+1=1. Deci f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1.
    f(0)=03−102+1=−1\displaystyle f(0)=\dfrac{0^{3}-1}{0^{2}+1}=-1
  2. Observăm că lim⁡x→0f(x)−f(0)x\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 0\displaystyle 0. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind un raport de polinoame cu numitorul x2+1≠0\displaystyle x^{2}+1\neq 0.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)
  3. Derivăm f\displaystyle f cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x3−1\displaystyle u=x^{3}-1 și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1. Avem u′=3x2\displaystyle u'=3x^{2} și v′=2x\displaystyle v'=2x.
    f′(x)=3x2(x2+1)−(x3−1)⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}(x^{2}+1)-(x^{3}-1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}
  4. Efectuăm calculele de la numărător: 3x4+3x2−2x4+2x=x4+3x2+2x\displaystyle 3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}+2x=x^{4}+3x^{2}+2x.
    f′(x)=x4+3x2+2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}
  5. Înlocuim x=0\displaystyle x=0: numărătorul devine 04+3⋅02+2⋅0=0\displaystyle 0^{4}+3\cdot 0^{2}+2\cdot 0=0, iar numitorul devine (02+1)2=1\displaystyle (0^{2}+1)^{2}=1. Deci f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0, iar limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)=01=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=\dfrac{0}{1}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→+∞(x+1x−1)f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm limita bazei: lim⁡x→+∞x+1x−1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1. Exponentul f(x)=x3−1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2+1} tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci avem nedeterminare de tipul 1∞\displaystyle 1^{\infty}.
    lim⁡x→+∞x+1x−1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x-1}=1
  2. Scriem baza astfel: x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1\displaystyle \dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}, iar 2x−1→0\displaystyle \dfrac{2}{x-1}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    x+1x−1=1+2x−1\displaystyle \frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}
  3. Rescriem expresia: (1+2x−1)f(x)=((1+2x−1)x−12)2x−1⋅x3−1x2+1\displaystyle \left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)^{f(x)}=\left(\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}\right)^{\frac{2}{x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x^2+1}}.
    ((1+2x−1)x−12)2x−1⋅x3−1x2+1\displaystyle \left(\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}\right)^{\frac{2}{x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x^2+1}}
  4. Cum 2x−1→0\displaystyle \dfrac{2}{x-1}\to 0, din limita remarcabilă lim⁡u→0(1+u)1u=e\displaystyle \lim_{u\to 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e obținem lim⁡x→+∞(1+2x−1)x−12=e\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}=e.
    lim⁡x→+∞(1+2x−1)x−12=e\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}=e
  5. Calculăm limita exponentului: 2x−1⋅x3−1x2+1=2(x3−1)(x−1)(x2+1)=2(x3−1)x3−x2+x−1\displaystyle \dfrac{2}{x-1}\cdot\dfrac{x^3-1}{x^2+1}=\dfrac{2(x^3-1)}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{2(x^3-1)}{x^3-x^2+x-1}. Polinoamele de la numărător și numitor au gradul 3, iar coeficienții dominanți sunt 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1, deci limita este 2\displaystyle 2.
    lim⁡x→+∞2(x3−1)x3−x2+x−1=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2(x^3-1)}{x^3-x^2+x-1}=2
  6. Baza interioară tinde la e\displaystyle e, iar exponentul tinde la 2\displaystyle 2, deci limita cerută este e2\displaystyle e^{2}.
    e2\displaystyle e^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xne−x dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx.

Arătați că I1=e−2e\displaystyle I_1=\frac{e-2}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem integrala I1=∫01xe−x dx\displaystyle I_1=\int_0^1 x e^{-x}\,dx.
    I1=∫01xe−x dx\displaystyle I_1=\int_0^1 xe^{-x}\,dx
  2. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=e−xdx\displaystyle dv=e^{-x}dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx, iar v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}, deoarece (−e−x)′=e−x\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}.
    u=x\displaystyle u=x, dv=e−xdx\displaystyle \ dv=e^{-x}dx, du=dx\displaystyle \ du=dx, v=−e−x\displaystyle \ v=-e^{-x}
  3. Aplicăm formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du și obținem integrala de mai jos, în care semnul minus din fața integralei se combină cu semnul lui v\displaystyle v.
    I1=−xe−x∣01+∫01e−x dx\displaystyle I_1=-xe^{-x}\Big|_0^1+\int_0^1 e^{-x}\,dx
  4. Calculăm termenul evaluat: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem −1e\displaystyle -\dfrac{1}{e}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Deci −xe−x∣01=−1e\displaystyle -xe^{-x}\Big|_0^1=-\dfrac{1}{e}.
    −xe−x∣01=−1e−0=−1e\displaystyle -xe^{-x}\Big|_0^1=-\frac{1}{e}-0=-\frac{1}{e}
  5. O primitivă a lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}. Atunci ∫01e−x dx=−e−x∣01=−1e+1\displaystyle \int_0^1 e^{-x}\,dx=-e^{-x}\Big|_0^1=-\dfrac{1}{e}+1.
    ∫01e−x dx=−e−x∣01=1−1e\displaystyle \int_0^1 e^{-x}\,dx=-e^{-x}\Big|_0^1=1-\frac{1}{e}
  6. Adunăm: I1=−1e+1−1e=1−2e\displaystyle I_1=-\dfrac{1}{e}+1-\dfrac{1}{e}=1-\dfrac{2}{e}. Aducem la același numitor și obținem e−2e\displaystyle \dfrac{e-2}{e}, adică ceea ce trebuia arătat.
    I1=−1e+1−1e=e−2e\displaystyle I_1=-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}=\frac{e-2}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xne−x dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx.

Verificați dacă In+1=(n+1)In−1e\displaystyle I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem In+1\displaystyle I_{n+1} conform definiției: In+1=∫01xn+1e−x dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^{-x}\,dx.
    In+1=∫01xn+1e−x dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^{-x}\,dx
  2. Integrăm prin părți: derivăm puterea lui x\displaystyle x și integrăm exponențiala. Alegem u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1} și dv=e−x dx\displaystyle dv=e^{-x}\,dx. Atunci du=(n+1)xn dx\displaystyle du=(n+1)x^{n}\,dx și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}.
    u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1}, dv=e−xdx\displaystyle \ dv=e^{-x}dx, du=(n+1)xndx\displaystyle \ du=(n+1)x^{n}dx, v=−e−x\displaystyle \ v=-e^{-x}
  3. Aplicăm formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du. Obținem In+1=−xn+1e−x∣01+(n+1)∫01xne−x dx\displaystyle I_{n+1}=-x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1+(n+1)\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx.
    In+1=−xn+1e−x∣01+(n+1)∫01xne−x dx\displaystyle I_{n+1}=-x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1+(n+1)\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx
  4. Calculăm termenul integrat: −xn+1e−x∣01=−1n+1e−1−(−0n+1e0)=−1e−0\displaystyle -x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1=-1^{n+1}e^{-1}-\left(-0^{n+1}e^{0}\right)=-\dfrac{1}{e}-0, deoarece n+1>0\displaystyle n+1>0.
    −xn+1e−x∣01=−1e\displaystyle -x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1=-\frac{1}{e}
  5. Integrala rămasă este chiar In=∫01xne−x dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx. Deci In+1=(n+1)In−1e\displaystyle I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac{1}{e}, adică egalitatea este adevărată pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    In+1=−1e+(n+1)In=(n+1)In−1e\displaystyle I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n=(n+1)I_n-\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xne−x dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx.

Arătați că 0≤In≤1n+1\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{n+1}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem −1≤−x≤0\displaystyle -1\le -x\le 0, iar funcția exponențială este crescătoare, deci e−1≤e−x≤e0=1\displaystyle e^{-1}\le e^{-x}\le e^{0}=1. Cum e−1>0\displaystyle e^{-1}>0, obținem e−x>0\displaystyle e^{-x}>0 și e−x≤1\displaystyle e^{-x}\le 1.
    0<e−x≤1\displaystyle 0<e^{-x}\le 1, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem xn≥0\displaystyle x^n\ge 0. Înmulțim dubla inegalitate 0<e−x≤1\displaystyle 0<e^{-x}\le 1 cu xn\displaystyle x^n și sensul se păstrează.
    0≤xne−x≤xn\displaystyle 0\le x^n e^{-x}\le x^n, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  3. Integrăm inegalitatea de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1, folosind monotonia integralei.
    0≤∫01xne−x dx≤∫01xn dx\displaystyle 0\le\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx\le\int_0^1 x^n\,dx
  4. Calculăm integrala din dreapta: ∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1\displaystyle \int_0^1 x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+1}.
    ∫01xn dx=1n+1\displaystyle \int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}
  5. Integrala din mijloc este In\displaystyle I_n, deci inegalitatea cerută este demonstrată pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    0≤In≤1n+1\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{n+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.