Bac matematică M1 mate-info 2010, sesiunea a II-a varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Care dintre numerele 263\displaystyle 2\sqrt[3]{6} și 333\displaystyle 3\sqrt[3]{3} este mai mare?
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a compara numerele, le scriem sub același radical de ordin 3\displaystyle 3. Introducem factorul 2\displaystyle 2 sub radical: el devine 23=8\displaystyle 2^{3}=8.
    263=23⋅63\displaystyle 2\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{2^{3}\cdot 6}
  2. Calculăm produsul de sub radical: 8⋅6=48\displaystyle 8\cdot 6=48.
    263=483\displaystyle 2\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{48}
  3. Procedăm la fel cu al doilea număr: factorul 3\displaystyle 3 devine 33=27\displaystyle 3^{3}=27, iar 27⋅3=81\displaystyle 27\cdot 3=81.
    333=27⋅33=813\displaystyle 3\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=\sqrt[3]{81}
  4. Radicalii au același ordin, iar funcția radical de ordin 3\displaystyle 3 este strict crescătoare. Deoarece 48<81\displaystyle 48<81, avem 483<813\displaystyle \sqrt[3]{48}<\sqrt[3]{81}. Deci al doilea număr este mai mare.
    263<333\displaystyle 2\sqrt[3]{6}<3\sqrt[3]{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați mulțimea valorilor funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=∣x∣\displaystyle f(x)=|x|.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea valorilor este Imf={f(x)∣x∈R}\displaystyle \mathrm{Im} f=\{f(x)\mid x\in\mathbb{R}\}. O determinăm prin dublă incluziune: arătăm mai întâi că Imf⊂[0,+∞)\displaystyle \mathrm{Im} f\subset[0,+\infty), apoi că [0,+∞)⊂Imf\displaystyle [0,+\infty)\subset\mathrm{Im} f.
    Imf={∣x∣∣x∈R}\displaystyle \mathrm{Im} f=\{|x|\mid x\in\mathbb{R}\}
  2. Modulul unui număr real este mereu nenegativ, deci f(x)=∣x∣≥0\displaystyle f(x)=|x|\ge 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Așadar orice valoare a funcției se află în [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    ∣x∣≥0\displaystyle |x|\ge 0, ∀x∈R⇒Imf⊂[0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow \mathrm{Im} f\subset[0,+\infty)
  3. Pentru incluziunea inversă, fie x≥0\displaystyle x\ge 0 oarecare. Atunci ∣x∣=x\displaystyle |x|=x, deci f(x)=x\displaystyle f(x)=x. Orice număr din [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) este deci valoare a funcției, obținută chiar pentru x\displaystyle x egal cu el însuși.
    x≥0⇒x=f(x)⇒[0,+∞)⊂Imf\displaystyle x\ge 0\Rightarrow x=f(x)\Rightarrow[0,+\infty)\subset \mathrm{Im} f
  4. Din cele două incluziuni rezultă egalitatea: mulțimea valorilor funcției este [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    Imf=[0,+∞)\displaystyle \mathrm{Im} f=[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} pentru care ecuația x2−x+m2=0\displaystyle x^2-x+m^2=0 are două soluții reale egale.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația de gradul II are două soluții reale egale când discriminantul este zero. Identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=m2\displaystyle c=m^{2}.
    a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle \ b=-1, c=m2\displaystyle \ c=m^{2}
  2. Calculăm discriminantul după formula Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac. Obținem Δ=(−1)2−4⋅1⋅m2\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot m^{2}.
    Δ=1−4m2\displaystyle \Delta=1-4m^{2}
  3. Punem condiția ca soluțiile să fie egale: discriminantul egal cu zero.
    1−4m2=0\displaystyle 1-4m^{2}=0
  4. Rezolvăm ecuația în m\displaystyle m: 4m2=1\displaystyle 4m^{2}=1, deci m2=14\displaystyle m^{2}=\dfrac{1}{4}, de unde m=±12\displaystyle m=\pm\dfrac{1}{2}.
    m=±12\displaystyle m=\pm\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul termenilor raționali din dezvoltarea (1+24)41\displaystyle \left(1+\sqrt[4]{2}\right)^{41}.
Vezi rezolvarea
  1. Termenul general din dezvoltarea (a+b)41\displaystyle (a+b)^{41} este Tk+1=C41ka41−kbk\displaystyle T_{k+1}=C_{41}^{k}a^{41-k}b^{k}, cu k∈{0,1,…,41}\displaystyle k\in\{0,1,\dots,41\}. Aici a=1\displaystyle a=1 și b=24\displaystyle b=\sqrt[4]{2}.
    Tk+1=C41k⋅141−k⋅(24)k\displaystyle T_{k+1}=C_{41}^{k}\cdot 1^{41-k}\cdot\left(\sqrt[4]{2}\right)^{k}
  2. Cum 141−k=1\displaystyle 1^{41-k}=1 și (24)k=2k4=2k4\displaystyle \left(\sqrt[4]{2}\right)^{k}=\sqrt[4]{2^{k}}=2^{\frac{k}{4}}, obținem forma simplificată a termenului general.
    Tk+1=C41k2k4=C41k 2k4\displaystyle T_{k+1}=C_{41}^{k}\sqrt[4]{2^{k}}=C_{41}^{k}\,2^{\frac{k}{4}}
  3. Coeficientul C41k\displaystyle C_{41}^{k} este număr natural nenul, deci rațional. Așadar Tk+1\displaystyle T_{k+1} este rațional exact când 2k4\displaystyle 2^{\frac{k}{4}} este rațional. Pentru k\displaystyle k natural, 2k4\displaystyle 2^{\frac{k}{4}} este rațional doar dacă k4\displaystyle \dfrac{k}{4} este număr întreg (altfel este un radical irațional de ordin 2 sau 4 din puteri ale lui 2). Deci 4\displaystyle 4 divide k\displaystyle k.
    Tk+1∈Q⇔4∣k\displaystyle T_{k+1}\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow 4\mid k
  4. Punem k=4m\displaystyle k=4m, cu 0≤4m≤41\displaystyle 0\le 4m\le 41, adică 0≤m≤414=10,25\displaystyle 0\le m\le \dfrac{41}{4}=10{,}25. Cum m\displaystyle m este natural, m∈{0,1,2,…,10}\displaystyle m\in\{0,1,2,\dots,10\}, deci k∈{0,4,8,…,40}\displaystyle k\in\{0,4,8,\dots,40\}.
    k∈{0,4,8,…,40}\displaystyle k\in\{0,4,8,\dots,40\}
  5. Numărul valorilor lui m\displaystyle m de la 0\displaystyle 0 la 10\displaystyle 10 este 10−0+1=11\displaystyle 10-0+1=11. Deci în dezvoltare sunt 11\displaystyle 11 termeni raționali.
    11 termeni raționali\displaystyle 11\text{ termeni raționali}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul de coordonate xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1), B(−2,3)\displaystyle B(-2,3), C(1,−3)\displaystyle C(1,-3) și D(4,a)\displaystyle D(4,a), unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}. Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} astfel încât dreptele AB\displaystyle AB și CD\displaystyle CD să fie paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Două drepte neverticale sunt paralele exact când au pante egale. Dreptele AB\displaystyle AB și CD\displaystyle CD nu sunt verticale, deoarece abscisele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt diferite (2\displaystyle 2 și −2\displaystyle -2), iar cele ale punctelor C\displaystyle C și D\displaystyle D sunt diferite (1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4). Deci punem condiția ca pantele să fie egale.
    mAB=mCD\displaystyle m_{AB}=m_{CD}
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula m=yB−yAxB−xA\displaystyle m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, folosind A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(−2,3)\displaystyle B(-2,3): mAB=3−1−2−2=2−4\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3-1}{-2-2}=\dfrac{2}{-4}.
    mAB=−12\displaystyle m_{AB}=-\frac{1}{2}
  3. Calculăm panta dreptei CD\displaystyle CD folosind C(1,−3)\displaystyle C(1,-3) și D(4,a)\displaystyle D(4,a): mCD=a−(−3)4−1\displaystyle m_{CD}=\dfrac{a-(-3)}{4-1}.
    mCD=a+33\displaystyle m_{CD}=\frac{a+3}{3}
  4. Egalăm pantele: a+33=−12\displaystyle \dfrac{a+3}{3}=-\dfrac{1}{2}. Înmulțim cu 6\displaystyle 6 și obținem 2(a+3)=−3\displaystyle 2(a+3)=-3, deci 2a+6=−3\displaystyle 2a+6=-3, de unde 2a=−9\displaystyle 2a=-9.
    a=−92\displaystyle a=-\frac{9}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Fie mulțimea A={0;π6;π2;π;3π2}\displaystyle A=\left\{0;\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2};\pi;\frac{3\pi}{2}\right\}. Care este probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea A\displaystyle A, acesta să fie soluție a ecuației sin⁡3x+cos⁡3x=1\displaystyle \sin^3 x+\cos^3 x=1?
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A are 5\displaystyle 5 elemente, deci există 5\displaystyle 5 cazuri posibile. Verificăm ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\displaystyle \sin^3 x+\cos^3 x=1 pe fiecare element, pe rând.
    cazuri posibile=5\displaystyle \text{cazuri posibile}=5
  2. Pentru x=0\displaystyle x=0: sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0 și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1, deci 03+13=1\displaystyle 0^3+1^3=1. Elementul 0\displaystyle 0 este soluție.
    03+13=1, deci x=0 este soluție\displaystyle 0^3+1^3=1\text{, deci }x=0\text{ este soluție}
  3. Pentru x=π6\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}: sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} și cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Suma cuburilor este 18+338\displaystyle \dfrac{1}{8}+\dfrac{3\sqrt{3}}{8}, care este diferită de 1\displaystyle 1, deoarece 33≠7\displaystyle 3\sqrt{3}\neq 7. Elementul π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6} nu este soluție.
    18+338≠1, deci x=π6 nu este soluție\displaystyle \dfrac{1}{8}+\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\neq 1\text{, deci }x=\dfrac{\pi}{6}\text{ nu este soluție}
  4. Pentru x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}: sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0, deci 13+03=1\displaystyle 1^3+0^3=1. Elementul π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} este soluție.
    13+03=1, deci x=π2 este soluție\displaystyle 1^3+0^3=1\text{, deci }x=\dfrac{\pi}{2}\text{ este soluție}
  5. Pentru x=π\displaystyle x=\pi: sin⁡π=0\displaystyle \sin\pi=0 și cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1, deci 03+(−1)3=−1≠1\displaystyle 0^3+(-1)^3=-1\neq 1. Pentru x=3π2\displaystyle x=\dfrac{3\pi}{2}: sin⁡3π2=−1\displaystyle \sin\dfrac{3\pi}{2}=-1 și cos⁡3π2=0\displaystyle \cos\dfrac{3\pi}{2}=0, deci (−1)3+03=−1≠1\displaystyle (-1)^3+0^3=-1\neq 1. Aceste două elemente nu sunt soluții.
    −1≠1 ıˆn ambele cazuri\displaystyle -1\neq 1\text{ în ambele cazuri}
  6. Elementele din A\displaystyle A care sunt soluții ale ecuației sunt 0\displaystyle 0 și π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2}, deci există 2\displaystyle 2 cazuri favorabile.
    x∈{0;π2}\displaystyle x\in\left\{0;\dfrac{\pi}{2}\right\}
  7. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: P=25\displaystyle P=\dfrac{2}{5}.
    P=25\displaystyle P=\dfrac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Fie matricea A=(010001a00)∈M3(R)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\a&0&0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}). Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, notăm Bn=An+An+1+An+2\displaystyle B_n=A^n+A^{n+1}+A^{n+2}.

Arătați că A2010=a670⋅I3\displaystyle A^{2010}=a^{670}\cdot I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Prima linie a lui A\displaystyle A este (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), deci prima linie din A2\displaystyle A^{2} este a doua linie a lui A\displaystyle A, adică (0,0,1)\displaystyle (0,0,1). A doua linie (0,0,1)\displaystyle (0,0,1) dă a treia linie a lui A\displaystyle A, adică (a,0,0)\displaystyle (a,0,0). A treia linie (a,0,0)\displaystyle (a,0,0) dă a\displaystyle a ori prima linie a lui A\displaystyle A, adică (0,a,0)\displaystyle (0,a,0).
    A2=(001a000a0)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&0&0\\0&a&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^{3}=A^{2}\cdot A. Prima linie (0,0,1)\displaystyle (0,0,1) din A2\displaystyle A^{2} dă a treia linie a lui A\displaystyle A, adică (a,0,0)\displaystyle (a,0,0). A doua linie (a,0,0)\displaystyle (a,0,0) dă a\displaystyle a ori prima linie a lui A\displaystyle A, adică (0,a,0)\displaystyle (0,a,0). A treia linie (0,a,0)\displaystyle (0,a,0) dă a\displaystyle a ori a doua linie a lui A\displaystyle A, adică (0,0,a)\displaystyle (0,0,a).
    A3=(a000a000a)\displaystyle A^{3}=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută are a\displaystyle a pe diagonala principală și zero în rest, deci este a\displaystyle a ori matricea unitate I3\displaystyle I_3.
    A3=aI3\displaystyle A^{3}=aI_3
  4. Observăm că 2010=3⋅670\displaystyle 2010=3\cdot 670, deci putem scrie A2010\displaystyle A^{2010} ca putere a lui A3\displaystyle A^{3}.
    A2010=(A3)670\displaystyle A^{2010}=\left(A^{3}\right)^{670}
  5. Înlocuim A3=aI3\displaystyle A^{3}=aI_3. Deoarece I3k=I3\displaystyle I_3^{k}=I_3 pentru orice k\displaystyle k, iar scalarul a\displaystyle a se scoate în fața matricei, obținem (aI3)670=a670I3670=a670I3\displaystyle \left(aI_3\right)^{670}=a^{670}I_3^{670}=a^{670}I_3. Așadar A2010=a670⋅I3\displaystyle A^{2010}=a^{670}\cdot I_3, ceea ce trebuia arătat.
    A2010=(aI3)670=a670I3\displaystyle A^{2010}=\left(aI_3\right)^{670}=a^{670}I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Fie matricea A=(010001a00)∈M3(R)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\a&0&0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}). Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, notăm Bn=An+An+1+An+2\displaystyle B_n=A^n+A^{n+1}+A^{n+2}.

Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care det⁡(B1)=0\displaystyle \det(B_1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A. Linia 1 a lui A\displaystyle A este (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), deci prima linie a produsului este linia 2 a lui A\displaystyle A. Linia 2 este (0,0,1)\displaystyle (0,0,1), deci a doua linie a produsului este linia 3 a lui A\displaystyle A. Linia 3 este (a,0,0)\displaystyle (a,0,0), deci a treia linie a produsului este a\displaystyle a ori linia 1 a lui A\displaystyle A.
    A2=(001a000a0)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&0&0\\0&a&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^{3}=A^{2}\cdot A, folosind aceeași regulă pe linii. Se obține a\displaystyle a ori matricea unitate.
    A3=(a000a000a)=aI3\displaystyle A^{3}=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}=aI_3
  3. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem B1=A+A2+A3\displaystyle B_1=A+A^{2}+A^{3}. Adunăm cele trei matrice element cu element.
    B1=(a11aa1aaa)\displaystyle B_1=\begin{pmatrix}a&1&1\\a&a&1\\a&a&a\end{pmatrix}
  4. Pentru determinant, scădem linia 2 din linia 3 și linia 1 din linia 2: L3→L3−L2\displaystyle L_3\to L_3-L_2, L2→L2−L1\displaystyle L_2\to L_2-L_1. Aceste operații nu schimbă determinantul. Obținem o matrice superior triunghiulară.
    det⁡(B1)=∣a110a−1000a−1∣\displaystyle \det(B_1)=\begin{vmatrix}a&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{vmatrix}
  5. Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală.
    det⁡(B1)=a(a−1)2\displaystyle \det(B_1)=a(a-1)^{2}
  6. Un produs este nul când un factor este nul. Din a=0\displaystyle a=0 sau (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0, adică a=1\displaystyle a=1, obținem valorile căutate.
    det⁡(B1)=0⇔a=0 sau a=1\displaystyle \det(B_1)=0\Leftrightarrow a=0\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Fie matricea A=(010001a00)∈M3(R)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\a&0&0\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}). Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, notăm Bn=An+An+1+An+2\displaystyle B_n=A^n+A^{n+1}+A^{n+2}.

Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care toate matricele Bn\displaystyle B_n, n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* sunt inversabile.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem în față puterea comună a lui A\displaystyle A din fiecare termen: An+An+1+An+2=An−1(A+A2+A3)\displaystyle A^{n}+A^{n+1}+A^{n+2}=A^{n-1}\left(A+A^{2}+A^{3}\right). Cum B1=A+A2+A3\displaystyle B_1=A+A^{2}+A^{3}, obținem Bn=An−1B1\displaystyle B_n=A^{n-1}B_1.
    Bn=An−1B1\displaystyle B_n=A^{n-1}B_1
  2. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci Bn\displaystyle B_n este inversabilă exact când det⁡(Bn)≠0\displaystyle \det(B_n)\neq 0.
    Bn inversabila˘⇔det⁡(Bn)≠0\displaystyle B_n\text{ inversabilă}\Leftrightarrow\det(B_n)\ne 0
  3. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A și obținem matricea de mai jos.
    A2=(001a000a0)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&0&0\\0&a&0\end{pmatrix}
  4. Din A2⋅A\displaystyle A^{2}\cdot A rezultă A3=aI3\displaystyle A^{3}=aI_3. Atunci B1=A+A2+aI3\displaystyle B_1=A+A^{2}+aI_3, adică:
    B1=(a11aa1aaa)\displaystyle B_1=\begin{pmatrix}a&1&1\\a&a&1\\a&a&a\end{pmatrix}
  5. Calculăm det⁡B1\displaystyle \det B_1. Scoatem factorul a\displaystyle a din prima coloană, apoi scădem prima linie din liniile a doua și a treia: det⁡B1=a∣1110a−100a−1a−1∣=a(a−1)2\displaystyle \det B_1=a\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&a-1&a-1\end{vmatrix}=a(a-1)^{2}.
    det⁡B1=a(a−1)2\displaystyle \det B_1=a(a-1)^{2}
  6. Avem det⁡A=a\displaystyle \det A=a, deoarece elementele nenule 1,1,a\displaystyle 1,1,a se află pe o permutare circulară (pară). Din multiplicativitatea determinantului: det⁡Bn=(det⁡A)n−1det⁡B1=an−1⋅a(a−1)2\displaystyle \det B_n=(\det A)^{n-1}\det B_1=a^{n-1}\cdot a(a-1)^{2}.
    det⁡Bn=an(a−1)2\displaystyle \det B_n=a^{n}(a-1)^{2}
  7. Toate matricele Bn\displaystyle B_n sunt inversabile dacă și numai dacă an(a−1)2≠0\displaystyle a^{n}(a-1)^{2}\neq 0 pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*. Aceasta înseamnă a≠0\displaystyle a\neq 0 și a≠1\displaystyle a\neq 1. Deci a∈R∖{0;1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0;1\}.
    a∈R∖{0;1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0;1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea x∗y=2xy−3x−3y+m\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}. Fie mulțimea M=R∖{32}\displaystyle M=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}.

Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} astfel încât x∗y∈M\displaystyle x*y\in M, pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă canonică, grupând termenii: 2xy−3x−3y=2(x−32)(y−32)−92\displaystyle 2xy-3x-3y=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{9}{2}. Deci x∗y=2(x−32)(y−32)+32+m−6\displaystyle x*y=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}+m-6.
    x∗y=2(x−32)(y−32)+32+m−6\displaystyle x*y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}+m-6
  2. Pentru x,y∈M\displaystyle x,y\in M avem x∗y∈M\displaystyle x*y\in M dacă și numai dacă x∗y≠32\displaystyle x*y\ne\dfrac{3}{2}. Din forma canonică, egalitatea x∗y=32\displaystyle x*y=\dfrac{3}{2} revine la 2(x−32)(y−32)=6−m\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=6-m. Analizăm separat cazurile m=6\displaystyle m=6 și m≠6\displaystyle m\ne 6.
    x∗y=32  ⟺  2(x−32)(y−32)=6−m\displaystyle x*y=\frac{3}{2}\iff 2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)=6-m
  3. Cazul m=6\displaystyle m=6: egalitatea devine 2(x−32)(y−32)=0\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=0, deci x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2} sau y=32\displaystyle y=\dfrac{3}{2}. Dar x,y∈M\displaystyle x,y\in M, deci sunt diferite de 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, iar produsul este nenul. Rezultă că x∗y≠32\displaystyle x*y\ne\dfrac{3}{2}, adică x∗y∈M\displaystyle x*y\in M. Valoarea m=6\displaystyle m=6 convine.
    m=6⇒x∗y≠32, adica˘ x∗y∈M\displaystyle m=6\Rightarrow x*y\ne\frac{3}{2}\text{, adică }x*y\in M
  4. Cazul m≠6\displaystyle m\ne 6: căutăm x,y∈M\displaystyle x,y\in M cu x∗y=32\displaystyle x*y=\dfrac{3}{2}. Alegem x=0\displaystyle x=0, care este în M\displaystyle M, și y=2m−36\displaystyle y=\dfrac{2m-3}{6}. Acest y\displaystyle y este diferit de 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, pentru că y=32\displaystyle y=\dfrac{3}{2} ar da 2m−3=9\displaystyle 2m-3=9, adică m=6\displaystyle m=6. Deci y∈M\displaystyle y\in M. Calculăm 0∗y=−3y+m=−2m−32+m=32\displaystyle 0*y=-3y+m=-\dfrac{2m-3}{2}+m=\dfrac{3}{2}. Așadar 0∗y∉M\displaystyle 0*y\notin M, deci m≠6\displaystyle m\ne 6 nu convine.
    0∗2m−36=32∉M\displaystyle 0*\frac{2m-3}{6}=\frac{3}{2}\notin M
  5. Singura valoare pentru care x∗y∈M\displaystyle x*y\in M pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M este m=6\displaystyle m=6.
    m=6\displaystyle m=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea x∗y=2xy−3x−3y+m\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}. Fie mulțimea M=R∖{32}\displaystyle M=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}.

Pentru m=6\displaystyle m=6 arătați că (M,∗)\displaystyle (M,*) este grup.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=6\displaystyle m=6 legea este x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6. O scriem într-o formă mai comodă, grupând termenii: x∗y=2(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}. Verificare: 2(x−32)(y−32)=2xy−3x−3y+92\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=2xy-3x-3y+\dfrac{9}{2}, iar adăugând 32\displaystyle \dfrac{3}{2} obținem 2xy−3x−3y+6\displaystyle 2xy-3x-3y+6.
    x∗y=2(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}
  2. Arătăm că M\displaystyle M este parte stabilă. Fie x,y∈M\displaystyle x,y\in M, deci x−32≠0\displaystyle x-\dfrac{3}{2}\neq 0 și y−32≠0\displaystyle y-\dfrac{3}{2}\neq 0. Atunci x∗y−32=2(x−32)(y−32)≠0\displaystyle x*y-\dfrac{3}{2}=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)\neq 0, deci x∗y≠32\displaystyle x*y\neq\dfrac{3}{2}, adică x∗y∈M\displaystyle x*y\in M.
    x∗y−32=2(x−32)(y−32)≠0⇒x∗y∈M\displaystyle x*y-\dfrac{3}{2}=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)\neq 0\Rightarrow x*y\in M
  3. Asociativitatea. Calculăm (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z folosind forma de mai sus: (x∗y)∗z−32=2(x∗y−32)(z−32)=4(x−32)(y−32)(z−32)\displaystyle (x*y)*z-\dfrac{3}{2}=2\left(x*y-\dfrac{3}{2}\right)\left(z-\dfrac{3}{2}\right)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)\left(z-\dfrac{3}{2}\right). La fel, x∗(y∗z)−32=2(x−32)(y∗z−32)=4(x−32)(y−32)(z−32)\displaystyle x*(y*z)-\dfrac{3}{2}=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y*z-\dfrac{3}{2}\right)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)\left(z-\dfrac{3}{2}\right). Cele două expresii coincid, deci legea este asociativă.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)=4(x−32)(y−32)(z−32)+32\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)\left(z-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}
  4. Elementul neutru. Legea este comutativă, pentru că expresia 2(x−32)(y−32)+32\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2} este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci este suficient să verificăm x∗e=x\displaystyle x*e=x. Condiția devine 2(x−32)(e−32)+32=x\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(e-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}=x, adică 2(x−32)(e−32)=x−32\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(e-\dfrac{3}{2}\right)=x-\dfrac{3}{2}. Pentru x≠32\displaystyle x\neq\dfrac{3}{2} împărțim la x−32\displaystyle x-\dfrac{3}{2} și obținem 2(e−32)=1\displaystyle 2\left(e-\dfrac{3}{2}\right)=1, deci e−32=12\displaystyle e-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2} și e=2\displaystyle e=2. Cum 2≠32\displaystyle 2\neq\dfrac{3}{2}, avem e=2∈M\displaystyle e=2\in M.
    e=2∈M\displaystyle e=2\in M, x∗2=2∗x=x\displaystyle \ x*2=2*x=x
  5. Simetricul. Pentru x∈M\displaystyle x\in M căutăm x′\displaystyle x' cu x∗x′=2\displaystyle x*x'=2. Folosind forma legii, condiția este 2(x−32)(x′−32)+32=2\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x'-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}=2, adică 2(x−32)(x′−32)=12\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x'-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}. Rezultă x′−32=14(x−32)=12(2x−3)\displaystyle x'-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{4\left(x-\frac{3}{2}\right)}=\dfrac{1}{2(2x-3)}.
    x′−32=12(2x−3)\displaystyle x'-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2(2x-3)}
  6. Aducem la același numitor: x′=32+12(2x−3)=3(2x−3)+12(2x−3)=6x−82(2x−3)=3x−42x−3\displaystyle x'=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2(2x-3)}=\dfrac{3(2x-3)+1}{2(2x-3)}=\dfrac{6x-8}{2(2x-3)}=\dfrac{3x-4}{2x-3}. Diferența x′−32=12(2x−3)\displaystyle x'-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2(2x-3)} este nenulă, deci x′≠32\displaystyle x'\neq\dfrac{3}{2}, adică x′∈M\displaystyle x'\in M. Din comutativitate, x∗x′=x′∗x=2\displaystyle x*x'=x'*x=2. Așadar fiecare element din M\displaystyle M este simetrizabil, iar împreună cu asociativitatea și elementul neutru rezultă că (M,∗)\displaystyle (M,*) este grup.
    x′=3x−42x−3∈M\displaystyle x'=\dfrac{3x-4}{2x-3}\in M, x∗x′=x′∗x=2\displaystyle \ x*x'=x'*x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea x∗y=2xy−3x−3y+m\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}. Fie mulțimea M=R∖{32}\displaystyle M=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}.

Pentru m=6\displaystyle m=6, demonstrați că funcția f:M→R∗\displaystyle f:M\to\mathbb{R}^*, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3 este un izomorfism între grupurile (M,∗)\displaystyle (M,*) și (R∗,⋅)\displaystyle (\mathbb{R}^*,\cdot).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=6\displaystyle m=6 legea devine x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6. Calculăm f(x∗y)=2(x∗y)−3\displaystyle f(x*y)=2(x*y)-3.
    f(x∗y)=2(2xy−3x−3y+6)−3=4xy−6x−6y+9\displaystyle f(x*y)=2(2xy-3x-3y+6)-3=4xy-6x-6y+9
  2. Calculăm produsul f(x)⋅f(y)=(2x−3)(2y−3)\displaystyle f(x)\cdot f(y)=(2x-3)(2y-3) și îl dezvoltăm.
    f(x)⋅f(y)=(2x−3)(2y−3)=4xy−6x−6y+9\displaystyle f(x)\cdot f(y)=(2x-3)(2y-3)=4xy-6x-6y+9
  3. Cele două expresii coincid, deci f\displaystyle f este morfism de grupuri. Se observă și că f(x)≠0\displaystyle f(x)\neq 0 pentru x∈M\displaystyle x\in M, deoarece 2x−3=0\displaystyle 2x-3=0 doar pentru x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}, care nu aparține lui M\displaystyle M.
    f(x∗y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)\cdot f(y), ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈M\displaystyle y\in M
  4. Injectivitate: presupunem f(x1)=f(x2)\displaystyle f(x_1)=f(x_2), adică 2x1−3=2x2−3\displaystyle 2x_1-3=2x_2-3, de unde x1=x2\displaystyle x_1=x_2.
    f(x1)=f(x2)⇒x1=x2\displaystyle f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2
  5. Surjectivitate: fie y∈R∗\displaystyle y\in\mathbb{R}^*. Rezolvăm ecuația 2x−3=y\displaystyle 2x-3=y și obținem x=y+32\displaystyle x=\dfrac{y+3}{2}. Acest x\displaystyle x este în M\displaystyle M, deoarece x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2} ar conduce la y=0\displaystyle y=0, imposibil.
    x=y+32∈M\displaystyle x=\dfrac{y+3}{2}\in M, f(x)=y\displaystyle \ f(x)=y
  6. Funcția f\displaystyle f este injectivă și surjectivă, deci bijectivă. Fiind și morfism, f\displaystyle f este izomorfism între grupurile (M,∗)\displaystyle (M,*) și (R∗,⋅)\displaystyle (\mathbb{R}^*,\cdot).
    f bijectiva˘\displaystyle f\text{ bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−13−2x+13\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{2x+1}.

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0 este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0). Avem nevoie de f(0)\displaystyle f(0) și de f′(0)\displaystyle f'(0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Scriem f(x)=(2x−1)13−(2x+1)13\displaystyle f(x)=(2x-1)^{\frac{1}{3}}-(2x+1)^{\frac{1}{3}} și derivăm cu formula (u13)′=13u−23⋅u′\displaystyle \left(u^{\frac{1}{3}}\right)'=\dfrac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}\cdot u', unde u=2x−1\displaystyle u=2x-1, respectiv u=2x+1\displaystyle u=2x+1, iar u′=2\displaystyle u'=2.
    f′(x)=13(2x−1)−23⋅2−13(2x+1)−23⋅2\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2-\frac{1}{3}(2x+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2
  3. Revenim la radicali: (2x∓1)−23=1(2x∓1)23\displaystyle (2x\mp 1)^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x\mp 1)^2}}. Numitorii sunt nenuli pentru x≠±12\displaystyle x\ne\pm\dfrac{1}{2}.
    f′(x)=23(2x−1)23−23(2x+1)23\displaystyle f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}, x≠±12\displaystyle \ x\ne\pm\frac{1}{2}
  4. Calculăm f(0)=−13−13=−1−1\displaystyle f(0)=\sqrt[3]{-1}-\sqrt[3]{1}=-1-1.
    f(0)=−2\displaystyle f(0)=-2
  5. Calculăm f′(0)=23(−1)23−23123=23−23\displaystyle f'(0)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{(-1)^2}}-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{1^2}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}.
    f(0)=−2 și f′(0)=0\displaystyle f(0)=-2\text{ și }f'(0)=0
  6. Înlocuim în formula tangentei: y−(−2)=0⋅(x−0)\displaystyle y-(-2)=0\cdot(x-0), deci y+2=0\displaystyle y+2=0.
    y+2=0\displaystyle y+2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−13−2x+13\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{2x+1}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției f\displaystyle f spre +∞\displaystyle +\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este finită, iar ecuația ei este y=ℓ\displaystyle y=\ell, unde ℓ\displaystyle \ell este această limită. Avem nedeterminarea ∞−∞\displaystyle \infty-\infty.
    lim⁡x→+∞(2x−13−2x+13) (nedeterminare ∞−∞)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{2x+1}\right)\ \text{(nedeterminare }\infty-\infty\text{)}
  2. Notăm a=2x−13\displaystyle a=\sqrt[3]{2x-1} și b=2x+13\displaystyle b=\sqrt[3]{2x+1}. Din a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) obținem a−b=a3−b3a2+ab+b2\displaystyle a-b=\dfrac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}, unde a3−b3=(2x−1)−(2x+1)=−2\displaystyle a^{3}-b^{3}=(2x-1)-(2x+1)=-2.
    f(x)=−2(2x−1)23+(2x−1)(2x+1)3+(2x+1)23\displaystyle f(x)=\dfrac{-2}{\sqrt[3]{(2x-1)^{2}}+\sqrt[3]{(2x-1)(2x+1)}+\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fiecare dintre cei trei termeni de la numitor tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, iar numărătorul este constant, egal cu −2\displaystyle -2. Rezultă limita:
    lim⁡x→+∞f(x)=−2+∞=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{-2}{+\infty}=0
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−13−2x+13\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{2x+1}.

Calculați lim⁡n→+∞(f(1)+f(2)+…+f(n)−2n+13)2n3\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(1)+f(2)+\ldots+f(n)}{-\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{\sqrt[3]{2n}}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem termenii sumei: f(k)=2k−13−2k+13\displaystyle f(k)=\sqrt[3]{2k-1}-\sqrt[3]{2k+1}. Observăm că −2k+13\displaystyle -\sqrt[3]{2k+1} din f(k)\displaystyle f(k) se reduce cu 2(k+1)−13=2k+13\displaystyle \sqrt[3]{2(k+1)-1}=\sqrt[3]{2k+1} din f(k+1)\displaystyle f(k+1).
    f(1)=13−33\displaystyle f(1)=\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{3}, f(2)=33−53\displaystyle \ f(2)=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}, …\displaystyle \ \ldots, f(n)=2n−13−2n+13\displaystyle \ f(n)=\sqrt[3]{2n-1}-\sqrt[3]{2n+1}
  2. Adunăm cei n\displaystyle n termeni: toți radicalii intermediari se reduc, rămân doar primul și ultimul. Cum 13=1\displaystyle \sqrt[3]{1}=1, obținem suma.
    f(1)+f(2)+…+f(n)=1−2n+13\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(n)=1-\sqrt[3]{2n+1}
  3. Înlocuim suma în fracția din limită: 1−2n+13−2n+13=1−12n+13⋅(−1)⋅(−1)\displaystyle \dfrac{1-\sqrt[3]{2n+1}}{-\sqrt[3]{2n+1}}=1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\cdot(-1)\cdot(-1), adică baza este 1−12n+13\displaystyle 1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}. Ea are forma 1+an\displaystyle 1+a_n cu an=−12n+13→0\displaystyle a_n=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\to 0, deci este potrivită pentru limita remarcabilă cu e\displaystyle e.
    1−2n+13−2n+13=2n+13−12n+13=1−12n+13\displaystyle \frac{1-\sqrt[3]{2n+1}}{-\sqrt[3]{2n+1}}=\frac{\sqrt[3]{2n+1}-1}{\sqrt[3]{2n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}
  4. Scriem expresia astfel încât baza să fie ridicată la puterea −2n+13\displaystyle -\sqrt[3]{2n+1}, inversul lui an\displaystyle a_n. Pentru aceasta scriem exponentul 2n3=(−2n+13)⋅2n3−2n+13\displaystyle \sqrt[3]{2n}=(-\sqrt[3]{2n+1})\cdot\dfrac{\sqrt[3]{2n}}{-\sqrt[3]{2n+1}}.
    lim⁡n→∞[(1−12n+13)−2n+13]2n3−2n+13\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{-\sqrt[3]{2n+1}}\right]^{\frac{\sqrt[3]{2n}}{-\sqrt[3]{2n+1}}}
  5. Când n→∞\displaystyle n\to\infty, 2n+13→∞\displaystyle \sqrt[3]{2n+1}\to\infty, deci (1−12n+13)−2n+13→e\displaystyle \left(1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{-\sqrt[3]{2n+1}}\to e. Limita devine e\displaystyle e la puterea limitei exponentului.
    elim⁡n→∞(−2n32n+13)\displaystyle e^{\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{\sqrt[3]{2n}}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)}
  6. Calculăm limita exponentului: 2n32n+13=2n2n+13\displaystyle \dfrac{\sqrt[3]{2n}}{\sqrt[3]{2n+1}}=\sqrt[3]{\dfrac{2n}{2n+1}}, iar 2n2n+1→1\displaystyle \dfrac{2n}{2n+1}\to 1, deci raportul tinde la 1\displaystyle 1. Exponentul tinde la −1\displaystyle -1, iar limita cerută este e−1\displaystyle e^{-1}.
    e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1}, In=∫01xnx2+x+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+x+1}\,dx.

Calculați I1+I2+I3\displaystyle I_1+I_2+I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare integrală din sumă folosind definiția șirului, pentru n=1\displaystyle n=1, n=2\displaystyle n=2 și n=3\displaystyle n=3.
    I1+I2+I3=∫01xx2+x+1 dx+∫01x2x2+x+1 dx+∫01x3x2+x+1 dx\displaystyle I_1+I_2+I_3=\int_0^1\frac{x}{x^2+x+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^2}{x^2+x+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^3}{x^2+x+1}\,dx
  2. Cele trei integrale au același numitor x2+x+1\displaystyle x^2+x+1 și aceleași limite de integrare, deci le adunăm sub o singură integrală, cu numărătorii adunați.
    I1+I2+I3=∫01x3+x2+xx2+x+1 dx\displaystyle I_1+I_2+I_3=\int_0^1\frac{x^3+x^2+x}{x^2+x+1}\,dx
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x la numărător: x3+x2+x=x(x2+x+1)\displaystyle x^3+x^2+x=x\left(x^2+x+1\right).
    x3+x2+xx2+x+1=x(x2+x+1)x2+x+1\displaystyle \frac{x^3+x^2+x}{x^2+x+1}=\frac{x\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}
  4. Simplificăm fracția cu x2+x+1\displaystyle x^2+x+1, care este nenul pentru orice x\displaystyle x real (discriminantul este negativ), deci rămâne doar x\displaystyle x.
    ∫01x3+x2+xx2+x+1 dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^3+x^2+x}{x^2+x+1}\,dx=\int_0^1 x\,dx
  5. Integrăm: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton cu limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01x dx=x22∣01=12−0=12\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1}, In=∫01xnx2+x+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+x+1}\,dx.

Arătați că șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este descrescător.
Vezi rezolvarea
  1. Șirul este descrescător dacă In≥In+1\displaystyle I_n\ge I_{n+1} pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*. Comparăm integranzii pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    In≥In+1\displaystyle I_n\ge I_{n+1}, ∀n∈N∗\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}^*
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le1. Înmulțind inegalitatea x≤1\displaystyle x\le1 cu xn≥0\displaystyle x^n\ge0, obținem xn+1≤xn\displaystyle x^{n+1}\le x^n.
    xn≥xn+1\displaystyle x^n\ge x^{n+1}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  3. Numitorul x2+x+1\displaystyle x^2+x+1 are discriminantul Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+x+1>0\displaystyle x^2+x+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Împărțim inegalitatea xn≥xn+1\displaystyle x^n\ge x^{n+1} la x2+x+1>0\displaystyle x^2+x+1>0; sensul se păstrează, deci integranzii se compară pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    xnx2+x+1≥xn+1x2+x+1\displaystyle \frac{x^n}{x^2+x+1}\ge\frac{x^{n+1}}{x^2+x+1}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  5. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1]; integrala păstrează inegalitățile dintre funcții continue, deci In≥In+1\displaystyle I_n\ge I_{n+1} pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*. Prin urmare, șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este descrescător.
    ∫01xnx2+x+1 dx≥∫01xn+1x2+x+1 dx⇒In≥In+1\displaystyle \int_0^1\frac{x^n}{x^2+x+1}\,dx\ge\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+x+1}\,dx\Rightarrow I_n\ge I_{n+1}, ∀n∈N∗\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1}, In=∫01xnx2+x+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+x+1}\,dx.

Calculați lim⁡n→+∞In\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x≥0\displaystyle x\ge0 avem x2≥0\displaystyle x^{2}\ge0 și x≥0\displaystyle x\ge0, deci x2+x+1≥1\displaystyle x^{2}+x+1\ge1.
    x2+x+1≥1\displaystyle x^{2}+x+1\ge1, ∀x≥0\displaystyle \ \forall x\ge0
  2. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] numărătorul xn\displaystyle x^{n} este nenegativ. Împărțind la un numitor ≥1\displaystyle \ge1, fracția nu depășește xn\displaystyle x^{n}, deci obținem dublă inegalitate.
    0≤xnx2+x+1≤xn\displaystyle 0\le\frac{x^{n}}{x^{2}+x+1}\le x^{n}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  3. Integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1], păstrând sensul inegalităților. Calculăm ∫01xn dx=xn+1n+1∣01\displaystyle \int_0^1x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1.
    0≤In≤∫01xn dx=1n+1\displaystyle 0\le I_n\le\int_0^1x^{n}\,dx=\frac{1}{n+1}
  4. Deoarece lim⁡n→∞0=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}0=0 și lim⁡n→∞1n+1=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=0, din criteriul cleștelui rezultă limita lui In\displaystyle I_n.
    lim⁡n→∞In=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.