Bac matematică M1 mate-info 2013, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați rația progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1} cu termeni reali, știind că b1=1\displaystyle b_1=1 și b4=27\displaystyle b_4=27.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al progresiei geometrice: bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=4\displaystyle n=4 obținem b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}.
    b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}
  2. Înlocuim b1=1\displaystyle b_1=1 și b4=27\displaystyle b_4=27 în formulă: 27=1⋅q3\displaystyle 27=1\cdot q^{3}, deci q3=27\displaystyle q^{3}=27.
    q3=27\displaystyle q^{3}=27
  3. Scriem 27=33\displaystyle 27=3^{3}, deci q3=33\displaystyle q^{3}=3^{3}. Cum q\displaystyle q este real și funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, rezultă q=3\displaystyle q=3.
    q=3\displaystyle q=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8\displaystyle f(x)=x^2-6x+8.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c: a=1\displaystyle a=1, b=−6\displaystyle b=-6, c=8\displaystyle c=8.
    a=1\displaystyle a=1, b=−6\displaystyle \ b=-6, c=8\displaystyle \ c=8
  2. Vârful parabolei are abscisa xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim: xV=−−62⋅1=62=3\displaystyle x_V=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=\dfrac{6}{2}=3.
    xV=3\displaystyle x_V=3
  3. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−6)2−4⋅1⋅8=36−32=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  4. Ordonata vârfului este yV=−Δ4a=−44=−1\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4}{4}=-1. Verificăm: f(3)=32−6⋅3+8=9−18+8=−1\displaystyle f(3)=3^{2}-6\cdot 3+8=9-18+8=-1. Vârful parabolei este V(3,−1)\displaystyle V(3,-1).
    yV=−1\displaystyle y_V=-1, V(3,−1)\displaystyle \ V(3,-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2=91−x\displaystyle 3^{x+2}=9^{1-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci putem scrie ambele părți ale ecuației cu baza 3\displaystyle 3.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  2. Înlocuim 9\displaystyle 9 cu 32\displaystyle 3^{2} în membrul drept și folosim regula (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}.
    3x+2=(32)1−x=32(1−x)\displaystyle 3^{x+2}=\left(3^{2}\right)^{1-x}=3^{2(1-x)}
  3. Bazele sunt egale, pozitive și diferite de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și putem egala exponenții.
    x+2=2(1−x)=2−2x\displaystyle x+2=2(1-x)=2-2x
  4. Aducem termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm 2x\displaystyle 2x la ambii membri și scădem 2\displaystyle 2.
    x+2x=2−2⇒3x=0\displaystyle x+2x=2-2\Rightarrow 3x=0
  5. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem soluția ecuației.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Căutăm pătratele perfecte de două cifre. Cum 32=9\displaystyle 3^{2}=9 are o singură cifră, iar 102=100\displaystyle 10^{2}=100 are trei cifre, trebuie să luăm pătratele numerelor 4,5,6,7,8,9\displaystyle 4,5,6,7,8,9. Obținem 42=16\displaystyle 4^{2}=16, 52=25\displaystyle 5^{2}=25, 62=36\displaystyle 6^{2}=36, 72=49\displaystyle 7^{2}=49, 82=64\displaystyle 8^{2}=64, 92=81\displaystyle 9^{2}=81. Sunt 6\displaystyle 6 cazuri favorabile.
    16\displaystyle 16,  25\displaystyle \;25,  36\displaystyle \;36,  49\displaystyle \;49,  64 și 81⇒6 cazuri favorabile\displaystyle \;64\text{ și }81\Rightarrow 6\text{ cazuri favorabile}
  3. Numărăm numerele de două cifre, de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99: sunt 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90 de numere, deci 90\displaystyle 90 de cazuri posibile.
    99−10+1=90 cazuri posibile\displaystyle 99-10+1=90\text{ cazuri posibile}
  4. Înlocuim în formulă: p=690\displaystyle p=\dfrac{6}{90}. Simplificăm fracția cu 6\displaystyle 6 și obținem p=115\displaystyle p=\dfrac{1}{15}.
    p=690=115\displaystyle p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C astfel încât AB→=4i⃗−3j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j} și BC→=2i⃗−5j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\vec{i}-5\vec{j}. Determinați lungimea vectorului AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regula triunghiului: AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
    AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
  2. Înlocuim AB→=4i⃗−3j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j} și BC→=2i⃗−5j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\vec{i}-5\vec{j}.
    AC→=(4i⃗−3j⃗)+(2i⃗−5j⃗)\displaystyle \overrightarrow{AC}=(4\vec{i}-3\vec{j})+(2\vec{i}-5\vec{j})
  3. Adunăm separat coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și ai lui j⃗\displaystyle \vec{j}: 4+2=6\displaystyle 4+2=6 și −3−5=−8\displaystyle -3-5=-8.
    AC→=6i⃗−8j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=6\vec{i}-8\vec{j}
  4. Lungimea vectorului ai⃗+bj⃗\displaystyle a\vec{i}+b\vec{j} este a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aici a=6\displaystyle a=6 și b=−8\displaystyle b=-8.
    AC=62+(−8)2=36+64\displaystyle AC=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}
  5. Calculăm: 36+64=100\displaystyle 36+64=100, iar 100=10\displaystyle \sqrt{100}=10.
    AC=100=10\displaystyle AC=\sqrt{100}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sinusul unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=4\displaystyle AB=4, BC=5\displaystyle BC=5 și sin⁡C=45\displaystyle \sin C=\frac{4}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm laturile opuse unghiurilor: latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A.
    AB=4 și BC=5\displaystyle AB=4\text{ și }BC=5
  2. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru perechile de laturi și unghiuri opuse: ABsin⁡C=BCsin⁡A\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A}.
    ABsin⁡C=BCsin⁡A\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}
  3. Înlocuim valorile date: AB=4\displaystyle AB=4, BC=5\displaystyle BC=5 și sin⁡C=45\displaystyle \sin C=\dfrac{4}{5}.
    445=5sin⁡A\displaystyle \frac{4}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{\sin A}
  4. Calculăm membrul stâng: împărțirea la 45\displaystyle \dfrac{4}{5} înseamnă înmulțire cu 54\displaystyle \dfrac{5}{4}, deci 4⋅54=5\displaystyle 4\cdot\dfrac{5}{4}=5.
    5=5sin⁡A\displaystyle 5=\frac{5}{\sin A}
  5. Din egalitatea 5=5sin⁡A\displaystyle 5=\dfrac{5}{\sin A} rezultă sin⁡A=1\displaystyle \sin A=1. Răspuns final: sinusul unghiului A\displaystyle A este 1\displaystyle 1.
    sin⁡A=1\displaystyle \sin A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(111m00m0m).A(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ m&0&0\\ m&0&m\end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(111100101)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după linia a doua, care are doi de 0\displaystyle 0. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1), cu semnul (−1)2+1=−1\displaystyle (-1)^{2+1}=-1.
    det⁡(A(1))=1⋅(−1)2+1⋅∣1101∣\displaystyle \det(A(1))=1\cdot(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm minorul de ordinul 2\displaystyle 2: ∣1101∣=1⋅1−1⋅0=1\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1. Rezultă det⁡(A(1))=−1⋅1\displaystyle \det(A(1))=-1\cdot1.
    det⁡(A(1))=−1\displaystyle \det(A(1))=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(111m00m0m).A(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ m&0&0\\ m&0&m\end{pmatrix}. Determinați numerele reale m\displaystyle m știind că A(m)⋅A(−m)=(−110111010)\displaystyle A(m)\cdot A(-m)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−m)\displaystyle A(-m), înlocuind m\displaystyle m cu −m\displaystyle -m în A(m)\displaystyle A(m): elementele care conțin m\displaystyle m își schimbă semnul.
    A(−m)=(111−m00−m0−m)\displaystyle A(-m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -m&0&0\\ -m&0&-m\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului: înmulțim linia (1, 1, 1)\displaystyle (1,\ 1,\ 1) a lui A(m)\displaystyle A(m) cu fiecare coloană a lui A(−m)\displaystyle A(-m). Obținem 1−m−m=1−2m\displaystyle 1-m-m=1-2m, 1+0+0=1\displaystyle 1+0+0=1 și 1+0−m=1−m\displaystyle 1+0-m=1-m.
    (1−2m11−m)\displaystyle \begin{pmatrix}1-2m&1&1-m\end{pmatrix}
  3. Calculăm liniile a doua și a treia. Linia (m, 0, 0)\displaystyle (m,\ 0,\ 0) dă (m, m, m)\displaystyle (m,\ m,\ m). Linia (m, 0, m)\displaystyle (m,\ 0,\ m) dă (m−m2, m, m−m2)\displaystyle (m-m^{2},\ m,\ m-m^{2}), deoarece m⋅1+m⋅(−m)=m−m2\displaystyle m\cdot 1+m\cdot(-m)=m-m^{2}. Asamblăm produsul complet.
    A(m)⋅A(−m)=(1−2m11−mmmmm−m2mm−m2)\displaystyle A(m)\cdot A(-m)=\begin{pmatrix}1-2m&1&1-m\\ m&m&m\\ m-m^{2}&m&m-m^{2}\end{pmatrix}
  4. Egalăm produsul cu matricea dată, element cu element. Din prima linie obținem 1−2m=−1\displaystyle 1-2m=-1 și 1−m=0\displaystyle 1-m=0. Din a doua linie obținem m=1\displaystyle m=1. Din a treia linie obținem m−m2=0\displaystyle m-m^{2}=0 și m=1\displaystyle m=1.
    1−2m=−1, 1−m=0, m=1, m−m2=0\displaystyle 1-2m=-1\text{, }1-m=0\text{, }m=1\text{, }m-m^{2}=0
  5. Din 1−2m=−1\displaystyle 1-2m=-1 rezultă m=1\displaystyle m=1. Valoarea m=1\displaystyle m=1 verifică și celelalte egalități: 1−m=0\displaystyle 1-m=0, m=1\displaystyle m=1 și m−m2=0\displaystyle m-m^{2}=0. Deci singura valoare posibilă este m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(111m00m0m).A(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ m&0&0\\ m&0&m\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A(1)+A(2)+…+A(101))=−512⋅1013\displaystyle \det(A(1)+A(2)+\ldots+A(101))=-51^2\cdot 101^3.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele element cu element. Prima linie are în fiecare matrice elementele 1,1,1\displaystyle 1,1,1, deci după însumarea a 101\displaystyle 101 matrice obținem 101,101,101\displaystyle 101,101,101.
    (101101101)\displaystyle \begin{pmatrix}101&101&101\end{pmatrix}
  2. Pe liniile a doua și a treia, elementele care depind de m\displaystyle m se adună într-o sumă 1+2+…+101\displaystyle 1+2+\ldots+101. Folosim formula sumei lui Gauss: 1+2+…+101=101⋅1022=101⋅51\displaystyle 1+2+\ldots+101=\dfrac{101\cdot 102}{2}=101\cdot 51.
    1+2+…+101=101⋅1022=101⋅51\displaystyle 1+2+\ldots+101=\dfrac{101\cdot 102}{2}=101\cdot 51
  3. Scriem matricea sumă; zerourile rămân zerouri. Linia a doua este (101⋅51, 0, 0)\displaystyle (101\cdot 51,\,0,\,0), iar linia a treia este (101⋅51, 0, 101⋅51)\displaystyle (101\cdot 51,\,0,\,101\cdot 51).
    A(1)+A(2)+…+A(101)=(101101101101⋅5100101⋅510101⋅51)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(101)=\begin{pmatrix}101&101&101\\101\cdot 51&0&0\\101\cdot 51&0&101\cdot 51\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 101\displaystyle 101 de pe fiecare linie. Din fiecare dintre cele trei linii iese câte un factor 101\displaystyle 101, deci obținem factorul 1013\displaystyle 101^{3}. Rămâne un determinant cu prima linie (1,1,1)\displaystyle (1,1,1), a doua (51,0,0)\displaystyle (51,0,0) și a treia (51,0,51)\displaystyle (51,0,51).
    1013⋅∣111510051051∣\displaystyle 101^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\51&0&0\\51&0&51\end{vmatrix}
  5. Dezvoltăm determinantul după coloana a doua, care are un singur element nenul, 1\displaystyle 1, pe prima linie. Semnul poziției (1,2)\displaystyle (1,2) este −\displaystyle -, iar minorul este ∣5105151∣=51⋅51−0⋅51=512\displaystyle \begin{vmatrix}51&0\\51&51\end{vmatrix}=51\cdot 51-0\cdot 51=51^{2}.
    ∣111510051051∣=−1⋅∣5105151∣=−512\displaystyle \begin{vmatrix}1&1&1\\51&0&0\\51&0&51\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}51&0\\51&51\end{vmatrix}=-51^{2}
  6. Înmulțim rezultatele: factorul 1013\displaystyle 101^{3} cu valoarea −512\displaystyle -51^{2}. Obținem egalitatea cerută.
    det⁡(A(1)+A(2)+…+A(101))=−512⋅1013\displaystyle \det(A(1)+A(2)+\ldots+A(101))=-51^{2}\cdot 101^{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−4x−4y+20\displaystyle x\circ y=xy-4x-4y+20.

Calculați 3∘4\displaystyle 3\circ 4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy−4x−4y+20\displaystyle x\circ y=xy-4x-4y+20 și înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=4\displaystyle y=4.
    3∘4=3⋅4−4⋅3−4⋅4+20\displaystyle 3\circ 4=3\cdot 4-4\cdot 3-4\cdot 4+20
  2. Calculăm produsele: 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12, 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12 și 4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16.
    3∘4=12−12−16+20\displaystyle 3\circ 4=12-12-16+20
  3. Efectuăm operațiile: 12−12=0\displaystyle 12-12=0, apoi 0−16+20=4\displaystyle 0-16+20=4.
    3∘4=4\displaystyle 3\circ 4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−4x−4y+20\displaystyle x\circ y=xy-4x-4y+20.

Arătați că x∘y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−4x−4y+20\displaystyle x\circ y=xy-4x-4y+20. Scriem 20=16+4\displaystyle 20=16+4, ca să separăm termenul 4\displaystyle 4 din expresie.
    x∘y=xy−4x−4y+16+4\displaystyle x\circ y=xy-4x-4y+16+4
  2. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun pe x\displaystyle x: xy−4x=x(y−4)\displaystyle xy-4x=x(y-4). Apoi grupăm −4y+16=−4(y−4)\displaystyle -4y+16=-4(y-4). Se obține aceeași paranteză (y−4)\displaystyle (y-4) în ambele grupuri.
    x∘y=x(y−4)−4(y−4)+4\displaystyle x\circ y=x(y-4)-4(y-4)+4
  3. Dăm factor comun paranteza (y−4)\displaystyle (y-4) din primii doi termeni: x(y−4)−4(y−4)=(x−4)(y−4)\displaystyle x(y-4)-4(y-4)=(x-4)(y-4). Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x și y\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−4x−4y+20\displaystyle x\circ y=xy-4x-4y+20.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘…∘x⏟x de 2013 ori=5\displaystyle \underbrace{x\circ x\circ\ldots\circ x}_{x\text{ de }2013\text{ ori}}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție într-o formă convenabilă. Observăm că xy−4x−4y+16=(x−4)(y−4)\displaystyle xy-4x-4y+16=(x-4)(y-4), deci x∘y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=(x-4)(y-4)+4.
    x∘y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma de mai sus.
    x∘x=(x−4)2+4\displaystyle x\circ x=(x-4)^{2}+4
  3. Calculăm x∘x∘x=(x∘x)∘x\displaystyle x\circ x\circ x=(x\circ x)\circ x. Scădem 4 din (x−4)2+4\displaystyle (x-4)^{2}+4 și obținem (x−4)2\displaystyle (x-4)^{2}, apoi îl înmulțim cu x−4\displaystyle x-4 și adunăm 4\displaystyle 4.
    x∘x∘x=(x−4)3+4\displaystyle x\circ x\circ x=(x-4)^{3}+4
  4. Legea este asociativă, iar la fiecare compunere cu x\displaystyle x puterea lui x−4\displaystyle x-4 crește cu 1\displaystyle 1. Prin inducție, pentru n\displaystyle n apariții ale lui x\displaystyle x obținem (x−4)n+4\displaystyle (x-4)^{n}+4. Pentru n=2013\displaystyle n=2013 rezultă formula de mai jos.
    x∘x∘…∘x⏟2013 ori=(x−4)2013+4\displaystyle \underbrace{x\circ x\circ\ldots\circ x}_{2013\text{ ori}}=(x-4)^{2013}+4
  5. Egalăm cu 5\displaystyle 5 și scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri: (x−4)2013+4=5\displaystyle (x-4)^{2013}+4=5, deci (x−4)2013=1\displaystyle (x-4)^{2013}=1.
    (x−4)2013=1\displaystyle (x-4)^{2013}=1
  6. Exponentul 2013\displaystyle 2013 este impar, deci funcția t↦t2013\displaystyle t\mapsto t^{2013} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar singura soluție a ecuației t2013=1\displaystyle t^{2013}=1 este t=1\displaystyle t=1. Rezultă x−4=1\displaystyle x-4=1, adică x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+ex\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+e^x}.

Arătați că f′(x)=(x−1)ex(x+ex)2\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{(x+e^x)^2}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile, u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^{x} și v(x)=x+ex\displaystyle v(x)=x+e^{x}, iar v(x)>0\displaystyle v(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(ex)′(x+ex)−ex(x+ex)′(x+ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^{x})'(x+e^{x})-e^{x}(x+e^{x})'}{(x+e^{x})^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x} și (x+ex)′=1+ex\displaystyle (x+e^{x})'=1+e^{x}. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=ex(x+ex)−ex(1+ex)(x+ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x+e^{x})-e^{x}(1+e^{x})}{(x+e^{x})^{2}}
  3. Desfacem parantezele de la numărător: xex+e2x−ex−e2x\displaystyle xe^{x}+e^{2x}-e^{x}-e^{2x}. Termenii e2x\displaystyle e^{2x} se reduc.
    xex+e2x−ex−e2x=xex−ex\displaystyle xe^{x}+e^{2x}-e^{x}-e^{2x}=xe^{x}-e^{x}
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător: xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^{x}-e^{x}=(x-1)e^{x}. Obținem expresia cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=(x−1)ex(x+ex)2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)e^{x}}{(x+e^{x})^{2}}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+ex\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+e^x}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a găsi asimptota spre +∞\displaystyle +\infty, calculăm limita funcției f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty. Dacă limita este un număr real ℓ\displaystyle \ell, ea dă asimptota orizontală y=ℓ\displaystyle y=\ell.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞exx+ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x+e^x}
  2. Avem nedeterminare de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x la numitor și simplificăm fracția.
    exx+ex=exex(xex+1)=1xex+1\displaystyle \frac{e^x}{x+e^x}=\frac{e^x}{e^x\left(\dfrac{x}{e^x}+1\right)}=\frac{1}{\dfrac{x}{e^x}+1}
  3. Exponențiala crește mai repede decât funcția x\displaystyle x, deci xex→0\displaystyle \dfrac{x}{e^x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Înlocuim în limită.
    lim⁡x→+∞f(x)=10+1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{0+1}=1
  4. Limita este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+ex\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+e^x}.

Demonstrați că f(x)≥ee+1\displaystyle f(x)\geq\frac{e}{e+1}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=ex\displaystyle u=e^{x} și v=x+ex\displaystyle v=x+e^{x}, deci u′=ex\displaystyle u'=e^{x} și v′=1+ex\displaystyle v'=1+e^{x}.
    f′(x)=ex(x+ex)−ex(1+ex)(x+ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x+e^{x})-e^{x}(1+e^{x})}{(x+e^{x})^{2}}
  2. Desfacem parantezele la numărător: ex⋅x+e2x−ex−e2x\displaystyle e^{x}\cdot x+e^{2x}-e^{x}-e^{2x}. Termenii e2x\displaystyle e^{2x} se reduc, iar rămâne ex(x−1)\displaystyle e^{x}(x-1).
    f′(x)=ex(x−1)(x+ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)}{(x+e^{x})^{2}}
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem ex>0\displaystyle e^{x}>0 și (x+ex)2>0\displaystyle (x+e^{x})^{2}>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de factorul x−1\displaystyle x-1. Obținem f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0, f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0 pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty). Deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), iar x=1\displaystyle x=1 este punct de minim.
    f′(1)=0; f′(x)≤0, pentru x∈(0,1] și f′(x)≥0, pentru x∈[1,+∞)\displaystyle f'(1)=0;\ f'(x)\leq 0\text{, pentru }x\in(0,1]\text{ și }f'(x)\geq 0\text{, pentru }x\in[1,+\infty)
  4. Calculăm valoarea minimului, f(1)=e11+e1\displaystyle f(1)=\dfrac{e^{1}}{1+e^{1}}.
    f(1)=ee+1\displaystyle f(1)=\dfrac{e}{e+1}
  5. Deoarece f\displaystyle f are minimul în x=1\displaystyle x=1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1), adică f(x)≥ee+1\displaystyle f(x)\geq\dfrac{e}{e+1}, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(x)≥f(1)⇒f(x)≥ee+1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)\geq f(1)\Rightarrow f(x)\geq\dfrac{e}{e+1}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xe−nx2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 xe^{-nx^2}\,dx.

Calculați I0\displaystyle I_0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=0\displaystyle n=0 în definiția lui In\displaystyle I_n. Exponentul devine −0⋅x2=0\displaystyle -0\cdot x^{2}=0, deci e0=1\displaystyle e^{0}=1.
    I0=∫01x⋅e0 dx\displaystyle I_0=\int_0^1 x\cdot e^{0}\,dx
  2. Cum e0=1\displaystyle e^{0}=1, integrandul se reduce la x\displaystyle x.
    I0=∫01x dx\displaystyle I_0=\int_0^1 x\,dx
  3. Calculăm integrala folosind primitiva lui x\displaystyle x, adică x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, și formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0.
    I0=x22∣01=122−022\displaystyle I_0=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_0^1=\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}
  4. Efectuăm calculul: 12−0=12\displaystyle \dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}. Deci I0=12\displaystyle I_0=\dfrac{1}{2}.
    I0=12\displaystyle I_0=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xe−nx2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 xe^{-nx^2}\,dx.

Arătați că In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\leq I_n, pentru orice număr natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența In+1−In\displaystyle I_{n+1}-I_n ca o singură integrală pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]: In+1−In=∫01xe−(n+1)x2 dx−∫01xe−nx2 dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1 xe^{-(n+1)x^2}\,dx-\int_0^1 xe^{-nx^2}\,dx.
    In+1−In=∫01(xe−(n+1)x2−xe−nx2)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1 \left(xe^{-(n+1)x^2}-xe^{-nx^2}\right)dx
  2. Folosim e−(n+1)x2=e−nx2⋅e−x2\displaystyle e^{-(n+1)x^2}=e^{-nx^2}\cdot e^{-x^2} și dăm factor comun xe−nx2\displaystyle xe^{-nx^2} sub integrală.
    In+1−In=∫01xe−nx2(e−x2−1)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1 xe^{-nx^2}\left(e^{-x^2}-1\right)dx
  3. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≥0\displaystyle x\geq 0 și e−nx2>0\displaystyle e^{-nx^2}>0. Cum −x2≤0\displaystyle -x^2\leq 0 și funcția exponențială este crescătoare, rezultă e−x2≤e0=1\displaystyle e^{-x^2}\leq e^0=1, deci e−x2−1≤0\displaystyle e^{-x^2}-1\leq 0.
    x≥0\displaystyle x\geq 0,e−nx2>0\displaystyle \quad e^{-nx^2}>0,e−x2−1≤0\displaystyle \quad e^{-x^2}-1\leq 0
  4. Integrandul xe−nx2(e−x2−1)\displaystyle xe^{-nx^2}\left(e^{-x^2}-1\right) este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci integrala sa este mai mică sau egală cu 0\displaystyle 0. Prin urmare In+1−In≤0\displaystyle I_{n+1}-I_n\leq 0, adică In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\leq I_n pentru orice n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}.
    In+1−In≤0⇒In+1≤In\displaystyle I_{n+1}-I_n\leq 0\Rightarrow I_{n+1}\leq I_n, ∀n∈N\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xe−nx2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 xe^{-nx^2}\,dx.

Demonstrați că In=12n(1−1en)\displaystyle I_n=\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{e^n}\right), pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la In=∫01xe−nx2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 xe^{-nx^2}\,dx, cu n≥1\displaystyle n\ge 1. Calculăm derivata funcției e−nx2\displaystyle e^{-nx^2} folosind derivata unei funcții compuse: (e−nx2)′=e−nx2⋅(−nx2)′=−2nx e−nx2\displaystyle \left(e^{-nx^2}\right)'=e^{-nx^2}\cdot(-nx^2)'=-2nx\,e^{-nx^2}.
    (e−nx2)′=−2nx e−nx2\displaystyle \left(e^{-nx^2}\right)'=-2nx\,e^{-nx^2}
  2. Din relația precedentă, împărțind la −2n\displaystyle -2n (posibil deoarece n≠0\displaystyle n\neq 0), obținem xe−nx2=−12n(e−nx2)′\displaystyle xe^{-nx^2}=-\dfrac{1}{2n}\left(e^{-nx^2}\right)'. Înlocuim în integrală și scoatem constanta în fața integralei: In=−12n∫01(e−nx2)′dx\displaystyle I_n=-\dfrac{1}{2n}\int_0^1\left(e^{-nx^2}\right)'dx.
    In=−12n∫01(e−nx2)′dx\displaystyle I_n=-\frac{1}{2n}\int_0^1\left(e^{-nx^2}\right)'dx
  3. Integrala derivatei unei funcții este funcția însăși, deci după formula Leibniz-Newton: In=−12n e−nx2∣01=−12n(e−n⋅12−e−n⋅02)\displaystyle I_n=-\dfrac{1}{2n}\,e^{-nx^2}\Big|_0^1=-\dfrac{1}{2n}\left(e^{-n\cdot 1^2}-e^{-n\cdot 0^2}\right).
    In=−12n(e−n−e0)=−12n(e−n−1)\displaystyle I_n=-\frac{1}{2n}\left(e^{-n}-e^{0}\right)=-\frac{1}{2n}\left(e^{-n}-1\right)
  4. Folosim e0=1\displaystyle e^0=1 și e−n=1en\displaystyle e^{-n}=\dfrac{1}{e^n}. Semnul minus din față schimbă ordinea termenilor din paranteză, deci In=12n(1−1en)\displaystyle I_n=\dfrac{1}{2n}\left(1-\dfrac{1}{e^n}\right), pentru orice n≥1\displaystyle n\ge 1, ceea ce trebuia demonstrat.
    In=12n(1−1en)\displaystyle I_n=\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{e^n}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.