Bac matematică M1 mate-info 2022, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2i(3−i)−6i=2\displaystyle 2i(3-i)-6i=2, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la membrul stâng al egalității și distribuim factorul 2i\displaystyle 2i în paranteză: 2i⋅3=6i\displaystyle 2i\cdot 3=6i, iar 2i⋅(−i)=−2i2\displaystyle 2i\cdot(-i)=-2i^{2}.
    2i(3−i)−6i=6i−2i2−6i\displaystyle 2i(3-i)-6i=6i-2i^{2}-6i
  2. Reducem termenii 6i\displaystyle 6i și −6i\displaystyle -6i, care se anulează, și rămâne doar −2i2\displaystyle -2i^{2}.
    6i−2i2−6i=−2i2\displaystyle 6i-2i^{2}-6i=-2i^{2}
  3. Folosim faptul că i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și calculăm: −2⋅(−1)=2\displaystyle -2\cdot(-1)=2. Așadar membrul stâng este egal cu membrul drept, deci egalitatea este demonstrată.
    −2⋅(−1)=2\displaystyle -2\cdot(-1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx\displaystyle f(x)=x^2-mx, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(−1)=f(1)\displaystyle f(-1)=f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în f(x)=x2−mx\displaystyle f(x)=x^2-mx: f(−1)=(−1)2−m⋅(−1)\displaystyle f(-1)=(-1)^2-m\cdot(-1).
    f(−1)=1+m\displaystyle f(-1)=1+m
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: f(1)=12−m⋅1\displaystyle f(1)=1^2-m\cdot 1.
    f(1)=1−m\displaystyle f(1)=1-m
  3. Din condiția f(−1)=f(1)\displaystyle f(-1)=f(1) obținem ecuația 1+m=1−m\displaystyle 1+m=1-m.
    1+m=1−m\displaystyle 1+m=1-m
  4. Trecem termenii cu m\displaystyle m în stânga și scăpăm de 1\displaystyle 1: m+m=1−1\displaystyle m+m=1-1, deci 2m=0\displaystyle 2m=0, de unde m=0\displaystyle m=0.
    m=0\displaystyle m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27x−1=9x\displaystyle 27^{x-1}=9^x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 27=33\displaystyle 27=3^{3} și 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Rescriem ecuația cu baza 3\displaystyle 3: (33)x−1=(32)x\displaystyle \left(3^{3}\right)^{x-1}=\left(3^{2}\right)^{x}.
    (33)x−1=(32)x\displaystyle \left(3^{3}\right)^{x-1}=\left(3^{2}\right)^{x}
  2. Folosim regula (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}. Înmulțim exponenții: 33(x−1)=32x\displaystyle 3^{3(x-1)}=3^{2x}, adică 33x−3=32x\displaystyle 3^{3x-3}=3^{2x}.
    33x−3=32x\displaystyle 3^{3x-3}=3^{2x}
  3. Funcția t↦3t\displaystyle t\mapsto 3^{t} este injectivă, deci din egalitatea puterilor cu aceeași bază rezultă egalitatea exponenților: 3x−3=2x\displaystyle 3x-3=2x.
    3x−3=2x\displaystyle 3x-3=2x
  4. Trecem termenii cu x\displaystyle x într-un membru: 3x−2x=3\displaystyle 3x-2x=3, deci x=3\displaystyle x=3. Verificare: 272=729\displaystyle 27^{2}=729 și 93=729\displaystyle 9^{3}=729.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Cifra zecilor trebuie să fie nenulă și cel mult 3\displaystyle 3, deci are 3\displaystyle 3 variante: 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 sau 3\displaystyle 3.
    a∈{1,2,3}, adica˘ 3 variante\displaystyle a\in\{1,2,3\}\text{, adică }3\text{ variante}
  3. Cifra unităților poate fi 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 sau 3\displaystyle 3, deci are 4\displaystyle 4 variante.
    b∈{0,1,2,3}, adica˘ 4 variante\displaystyle b\in\{0,1,2,3\}\text{, adică }4\text{ variante}
  4. Numărul cazurilor favorabile este produsul numărului de variante pentru cele două cifre: 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile, apoi simplificăm fracția cu 6\displaystyle 6.
    3⋅4=12, p=1290=215\displaystyle 3\cdot 4=12\text{, } p=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,2)\displaystyle A(3,2) și B(1,−1)\displaystyle B(1,-1). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care AC→=2BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} cu ajutorul punctului B\displaystyle B: AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}. Din condiția dată, AC→=2BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}, deci AB→+BC→=2BC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}.
    AB→+BC→=2BC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}
  2. Din egalitatea de la pasul anterior rezultă AB→=BC→\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}. Vectorii au același sens și aceeași lungime, iar punctul B\displaystyle B este comun, deci A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare și B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
    B este mijlocul segmentului AC\displaystyle B\text{ este mijlocul segmentului }AC
  3. Notăm C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C) și scriem formulele mijlocului pentru segmentul AC\displaystyle AC, știind că mijlocul este B(1,−1)\displaystyle B(1,-1) și că A(3,2)\displaystyle A(3,2).
    xC+32=1 și yC+22=−1\displaystyle \frac{x_C+3}{2}=1\text{ și }\frac{y_C+2}{2}=-1
  4. Rezolvăm cele două ecuații: înmulțim cu 2\displaystyle 2, apoi scădem 3\displaystyle 3 din prima ecuație și 2\displaystyle 2 din a doua. Obținem xC+3=2\displaystyle x_C+3=2, deci xC=−1\displaystyle x_C=-1, și yC+2=−2\displaystyle y_C+2=-2, deci yC=−4\displaystyle y_C=-4. Așadar C(−1,−4)\displaystyle C(-1,-4).
    xC=−1 și yC=−4, adica˘ C(−1,−4)\displaystyle x_C=-1\text{ și }y_C=-4\text{, adică }C(-1,-4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡2x−2 tg x⋅sin⁡2x3\displaystyle E(x)=\sin 2x-2\,\mathrm{tg}\,x\cdot\sin\frac{2x}{3}, unde x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π4)=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4} în expresia dată. Obținem o expresie cu valori trigonometrice ale unor unghiuri cunoscute.
    E(π4)=sin⁡(2⋅π4)−2 tgπ4⋅sin⁡2⋅π43\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)-2\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{2\cdot\frac{\pi}{4}}{3}
  2. Simplificăm argumentele: 2⋅π4=π2\displaystyle 2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}, iar 2⋅π43=π2:3=π6\displaystyle \dfrac{2\cdot\frac{\pi}{4}}{3}=\dfrac{\pi}{2}:3=\dfrac{\pi}{6}.
    E(π4)=sin⁡π2−2 tgπ4⋅sin⁡π6\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}-2\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{6}
  3. Folosim valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice: sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1, tgπ4=1\displaystyle \mathrm{tg}\dfrac{\pi}{4}=1, sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡π2=1\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1, tgπ4=1\displaystyle \ \mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1, sin⁡π6=12\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
  4. Înlocuim valorile în expresie: E(π4)=1−2⋅1⋅12=1−1=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1-2\cdot 1\cdot\dfrac{1}{2}=1-1=0. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    E(π4)=1−2⋅1⋅12=1−1=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=1-2\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x11−xx1110)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=2\displaystyle \det(A(0))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Avem 1−x=1\displaystyle 1-x=1, deci matricea A(0)\displaystyle A(0) are 0\displaystyle 0 pe diagonala principală și 1\displaystyle 1 în rest.
    A(0)=(011101110)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣011101110∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}
  3. Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    0+1+1=2\displaystyle 0+1+1=2
  4. Scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1, 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0, toate egale cu 0\displaystyle 0.
    0+0+0=0\displaystyle 0+0+0=0
  5. Determinantul este diferența dintre cele două sume: 2−0=2\displaystyle 2-0=2. Așadar det⁡(A(0))=2\displaystyle \det(A(0))=2.
    det⁡(A(0))=0+1+1−0−0−0=2\displaystyle \det(A(0))=0+1+1-0-0-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x11−xx1110)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(1)⋅A(x)−A(x−1)=2I3\displaystyle A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(101011110)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(1)⋅A(x)\displaystyle A(1)\cdot A(x), înmulțind liniile lui A(1)\displaystyle A(1) cu coloanele lui A(x)\displaystyle A(x). De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1⋅x+0⋅(1−x)+1⋅1=x+1\displaystyle 1\cdot x+0\cdot(1-x)+1\cdot 1=x+1, iar cel de pe linia 3, coloana 3 este 1⋅1+1⋅1+0⋅0=2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 0=2. Analog se obțin celelalte elemente.
    A(1)⋅A(x)=(x+12−x12−xx+11112)\displaystyle A(1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x+1&2-x&1\\2-x&x+1&1\\1&1&2\end{pmatrix}
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1 în A(x)\displaystyle A(x); deoarece 1−(x−1)=2−x\displaystyle 1-(x-1)=2-x, obținem matricea A(x−1)\displaystyle A(x-1).
    A(x−1)=(x−12−x12−xx−11110)\displaystyle A(x-1)=\begin{pmatrix}x-1&2-x&1\\2-x&x-1&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  4. Scădem element cu element: x+1−(x−1)=2\displaystyle x+1-(x-1)=2, (2−x)−(2−x)=0\displaystyle (2-x)-(2-x)=0, 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar pe ultima poziție 2−0=2\displaystyle 2-0=2. Se obține 2I3\displaystyle 2I_3, pentru orice x\displaystyle x real.
    A(1)⋅A(x)−A(x−1)=(200020002)=2I3\displaystyle A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=2I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x11−xx1110)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(1)⋅A(1)⋅A(x)=3A(1)+2I3\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=3A(1)+2I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim relația de la punctul b): pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R} avem A(a)⋅A(b)=A(2ab−a−b)+2I3\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(2ab-a-b)+2I_3. Pentru a=1\displaystyle a=1 și b=x\displaystyle b=x obținem A(1)⋅A(x)=A(x−1)+2I3\displaystyle A(1)\cdot A(x)=A(x-1)+2I_3, deoarece 2x−1−x=x−1\displaystyle 2x-1-x=x-1.
    A(1)⋅A(x)=A(x−1)+2I3\displaystyle A(1)\cdot A(x)=A(x-1)+2I_3
  2. Asociem produsul din membrul stâng: A(1)⋅A(1)⋅A(x)=A(1)⋅(A(1)⋅A(x))\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=A(1)\cdot\left(A(1)\cdot A(x)\right). Înlocuim produsul dintre paranteze cu rezultatul de la pasul anterior.
    A(1)⋅A(1)⋅A(x)=A(1)⋅(A(x−1)+2I3)\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=A(1)\cdot\left(A(x-1)+2I_3\right)
  3. Distribuim înmulțirea cu A(1)\displaystyle A(1): A(1)⋅A(x−1)+A(1)⋅2I3\displaystyle A(1)\cdot A(x-1)+A(1)\cdot 2I_3. Aplicăm din nou relația de la b), cu a=1\displaystyle a=1 și b=x−1\displaystyle b=x-1, și obținem A(1)⋅A(x−1)=A(x−2)+2I3\displaystyle A(1)\cdot A(x-1)=A(x-2)+2I_3, deoarece 2(x−1)−1−(x−1)=x−2\displaystyle 2(x-1)-1-(x-1)=x-2. Mai departe, A(1)⋅2I3=2A(1)\displaystyle A(1)\cdot 2I_3=2A(1), deoarece I3\displaystyle I_3 este element neutru la înmulțire.
    A(1)⋅A(1)⋅A(x)=A(x−2)+2I3+2A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=A(x-2)+2I_3+2A(1)
  4. Egalăm cu membrul drept al ecuației date: A(x−2)+2I3+2A(1)=3A(1)+2I3\displaystyle A(x-2)+2I_3+2A(1)=3A(1)+2I_3. Reducem termenii 2I3\displaystyle 2I_3 și 2A(1)\displaystyle 2A(1) din ambii membri.
    A(x−2)=A(1)\displaystyle A(x-2)=A(1)
  5. Două matrice A(u)\displaystyle A(u) și A(v)\displaystyle A(v) sunt egale doar dacă elementele lor coincid. De exemplu, elementul de pe prima linie și prima coloană este u\displaystyle u, respectiv v\displaystyle v, deci u=v\displaystyle u=v. Rezultă x−2=1\displaystyle x-2=1, deci x=3\displaystyle x=3.
    x−2=1⇒x=3\displaystyle x-2=1\Rightarrow x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y)xy+1\displaystyle x*y=\frac{xy(x+y)}{xy+1}.

Arătați că 1∗3=3\displaystyle 1*3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=xy(x+y)xy+1\displaystyle x*y=\dfrac{xy(x+y)}{xy+1}. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=1⋅3 (1+3)1⋅3+1\displaystyle 1*3=\dfrac{1\cdot 3\,(1+3)}{1\cdot 3+1}
  2. Calculăm numărătorul: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3 și 1+3=4\displaystyle 1+3=4, deci numărătorul este 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12. Numitorul este 1⋅3+1=4\displaystyle 1\cdot 3+1=4.
    1∗3=3⋅44=124\displaystyle 1*3=\dfrac{3\cdot 4}{4}=\dfrac{12}{4}
  3. Simplificăm fracția cu 4\displaystyle 4 și obținem rezultatul cerut, deci egalitatea este demonstrată.
    3⋅44=3, deci 1∗3=3\displaystyle \dfrac{3\cdot 4}{4}=3\text{, deci }1*3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y)xy+1\displaystyle x*y=\frac{xy(x+y)}{xy+1}.

Arătați că e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru trebuie să verifice x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Verificăm pentru e=1\displaystyle e=1 ambele egalități. Începem cu x∗1\displaystyle x*1, înlocuind y=1\displaystyle y=1 în legea de compoziție.
    x∗1=x⋅1⋅(x+1)x⋅1+1\displaystyle x*1=\dfrac{x\cdot 1\cdot(x+1)}{x\cdot 1+1}
  2. La numărător avem x(x+1)\displaystyle x(x+1), iar la numitor x+1\displaystyle x+1, care este nenul pentru x≥0\displaystyle x\geq 0. Simplificăm fracția cu x+1\displaystyle x+1 și obținem x∗1=x\displaystyle x*1=x.
    x∗1=x(x+1)x+1=x\displaystyle x*1=\dfrac{x(x+1)}{x+1}=x
  3. Calculăm acum 1∗x\displaystyle 1*x, înlocuind în lege primul element cu 1\displaystyle 1 și al doilea cu x\displaystyle x.
    1∗x=1⋅x⋅(1+x)1⋅x+1\displaystyle 1*x=\dfrac{1\cdot x\cdot(1+x)}{1\cdot x+1}
  4. Simplificăm cu x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0 și obținem 1∗x=x\displaystyle 1*x=x. Cum x∗1=1∗x=x\displaystyle x*1=1*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, rezultă că e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru al legii.
    1∗x=x(x+1)x+1=x, deci e=1 este elementul neutru\displaystyle 1*x=\dfrac{x(x+1)}{x+1}=x\text{, deci } e=1\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y)xy+1\displaystyle x*y=\frac{xy(x+y)}{xy+1}.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale nenule, cu m≤n\displaystyle m\le n, pentru care 1m∗1n=116⋅(m∗n)\displaystyle \frac{1}{m}*\frac{1}{n}=\frac{1}{16}\cdot(m*n).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm separat produsul și suma numerelor 1m\displaystyle \dfrac{1}{m} și 1n\displaystyle \dfrac{1}{n}. Produsul este 1m⋅1n=1mn\displaystyle \dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{mn}, iar suma este 1m+1n=m+nmn\displaystyle \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn}.
    1m⋅1n=1mn\displaystyle \dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{mn},1m+1n=m+nmn\displaystyle \quad \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn}
  2. Înlocuim în definiția legii: numărătorul este 1mn⋅m+nmn=m+nm2n2\displaystyle \dfrac{1}{mn}\cdot\dfrac{m+n}{mn}=\dfrac{m+n}{m^{2}n^{2}}, iar numitorul este 1mn+1=mn+1mn\displaystyle \dfrac{1}{mn}+1=\dfrac{mn+1}{mn}. Împărțim și simplificăm cu mn\displaystyle mn. Pentru al doilea membru folosim direct definiția legii pentru m∗n\displaystyle m*n și înmulțim cu 116\displaystyle \dfrac{1}{16}.
    1m∗1n=m+nmn(mn+1)\displaystyle \dfrac{1}{m}*\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn(mn+1)},116⋅(m∗n)=116⋅mn(m+n)mn+1\displaystyle \quad \dfrac{1}{16}\cdot(m*n)=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{mn(m+n)}{mn+1}
  3. Egalăm cei doi membri: m+nmn(mn+1)=mn(m+n)16(mn+1)\displaystyle \dfrac{m+n}{mn(mn+1)}=\dfrac{mn(m+n)}{16(mn+1)}. Cum m+n≠0\displaystyle m+n\neq 0 și mn+1≠0\displaystyle mn+1\neq 0, putem simplifica cu m+n\displaystyle m+n și cu mn+1\displaystyle mn+1. Rămâne 1mn=mn16\displaystyle \dfrac{1}{mn}=\dfrac{mn}{16}, adică m2n2=16\displaystyle m^{2}n^{2}=16.
    m2n2=16\displaystyle m^{2}n^{2}=16
  4. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt naturale nenule, mn>0\displaystyle mn>0, deci mn=4\displaystyle mn=4. Descompunerile lui 4\displaystyle 4 în produs de două numere naturale nenule, cu m≤n\displaystyle m\le n, sunt 1⋅4\displaystyle 1\cdot 4 și 2⋅2\displaystyle 2\cdot 2. Obținem perechile (1,4)\displaystyle (1,4) și (2,2)\displaystyle (2,2).
    mn=4⇒(m,n)∈{(1,4),(2,2)}\displaystyle mn=4\Rightarrow (m,n)\in\{(1,4),(2,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}.

Arătați că f′(x)=(x−1)(4−x)ex\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, deci aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2−3x+1\displaystyle u=x^{2}-3x+1 și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    f′(x)=(x2−3x+1)′⋅ex−(x2−3x+1)⋅(ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-3x+1)'\cdot e^{x}-(x^{2}-3x+1)\cdot (e^{x})'}{(e^{x})^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x2−3x+1)′=2x−3\displaystyle (x^{2}-3x+1)'=2x-3 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x−3)ex−(x2−3x+1)ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-3)e^{x}-(x^{2}-3x+1)e^{x}}{(e^{x})^{2}}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și simplificăm fracția cu ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0. La numitor rămâne ex\displaystyle e^{x}.
    f′(x)=ex(2x−3−x2+3x−1)e2x=−x2+5x−4ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(2x-3-x^{2}+3x-1\right)}{e^{2x}}=\dfrac{-x^{2}+5x-4}{e^{x}}
  4. Descompunem numărătorul în factori. Ecuația x2−5x+4=0\displaystyle x^{2}-5x+4=0 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4, deci x2−5x+4=(x−1)(x−4)\displaystyle x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4). Schimbând semnul, −x2+5x−4=(x−1)(4−x)\displaystyle -x^{2}+5x-4=(x-1)(4-x).
    −x2+5x−4=(x−1)(4−x)\displaystyle -x^{2}+5x-4=(x-1)(4-x)
  5. Înlocuind numărătorul factorizat, obținem exact expresia cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−x2+5x−4ex=(x−1)(4−x)ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}+5x-4}{e^{x}}=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^{x}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}.

Arătați că axa Ox\displaystyle Ox este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Axa Ox\displaystyle Ox are ecuația y=0\displaystyle y=0. Ca să arătăm că este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, trebuie să calculăm lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) și să obținem 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2−3x+1ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x+1}{e^x}
  2. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numărătorul și numitorul tind amândoi la +∞\displaystyle +\infty, deci avem nedeterminarea ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui l'Hospital: derivata lui x2−3x+1\displaystyle x^2-3x+1 este 2x−3\displaystyle 2x-3, iar derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x.
    lim⁡x→+∞x2−3x+1ex=lim⁡x→+∞2x−3ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x+1}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-3}{e^x}
  3. Limita obținută este tot de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci aplicăm din nou regula lui l'Hospital: derivata lui 2x−3\displaystyle 2x-3 este 2\displaystyle 2, iar derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x. Cum ex→+∞\displaystyle e^x\to+\infty, iar numărătorul rămâne constant egal cu 2\displaystyle 2, limita este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞2x−3ex=lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-3}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}=0
  4. Deoarece lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0, dreapta y=0\displaystyle y=0, adică axa Ox\displaystyle Ox, este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    y=0, adica˘ axa Ox, este asimptota˘ \displaystyle y=0\text{, adică axa }Ox\text{, este asimptotă }orizontala˘ spre +∞\displaystyle \text{orizontală spre }+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}.

Demonstrați că ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca f(x)=(x2−3x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x^{2}-3x+1)e^{-x} și derivăm cu regula produsului, folosind (e−x)′=−e−x\displaystyle (e^{-x})'=-e^{-x}: f′(x)=(2x−3)e−x−(x2−3x+1)e−x\displaystyle f'(x)=(2x-3)e^{-x}-(x^{2}-3x+1)e^{-x}.
    f′(x)=(−x2+5x−4)e−x=−(x−1)(x−4)e−x\displaystyle f'(x)=(-x^{2}+5x-4)e^{-x}=-(x-1)(x-4)e^{-x}
  2. Deoarece e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui −(x−1)(x−4)\displaystyle -(x-1)(x-4). Deci f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1 sau x=4\displaystyle x=4. Derivata este negativă pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), pozitivă pe (1,4)\displaystyle (1,4) și negativă pe (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty).
    f strict descresca˘toare pe (−∞,1)\displaystyle f\text{ strict descrescătoare pe }(-\infty,1), strict cresca˘toare pe (1,4)\displaystyle \ \text{strict crescătoare pe }(1,4), strict descresca˘toare pe (4,+∞)\displaystyle \ \text{strict descrescătoare pe }(4,+\infty)
  3. Pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] funcția este continuă și strict descrescătoare, cu lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty și f(1)=1−3+1e=−1e\displaystyle f(1)=\dfrac{1-3+1}{e}=-\dfrac{1}{e}. Deci f\displaystyle f ia fiecare valoare din [−1e,+∞)\displaystyle \left[-\dfrac{1}{e},+\infty\right) exact o dată. Cum n≥1>−1e\displaystyle n\geq 1>-\dfrac{1}{e}, ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are exact o soluție în (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1).
    f((−∞,1])=[−1e,+∞)⇒∃! xn<1\displaystyle f\left((-\infty,1]\right)=\left[-\frac{1}{e},+\infty\right)\Rightarrow \exists!\ x_n<1, f(xn)=n\displaystyle \ f(x_n)=n
  4. Calculăm f(4)=16−12+1e4=5e4\displaystyle f(4)=\dfrac{16-12+1}{e^{4}}=\dfrac{5}{e^{4}}. Cum e>2\displaystyle e>2, avem e4>16>5\displaystyle e^{4}>16>5, deci f(4)<1\displaystyle f(4)<1. Pe [1,4]\displaystyle [1,4] funcția crește de la −1e\displaystyle -\dfrac{1}{e} la f(4)\displaystyle f(4), iar pe [4,+∞)\displaystyle [4,+\infty) scade, deci pentru orice x≥1\displaystyle x\geq 1 avem f(x)≤f(4)<1≤n\displaystyle f(x)\leq f(4)<1\leq n.
    f(x)≤f(4)=5e4<1≤n\displaystyle f(x)\leq f(4)=\frac{5}{e^{4}}<1\leq n, ∀x≥1\displaystyle \ \forall x\geq 1
  5. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n nu are soluții, iar pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) are exact una, deoarece lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty și f(4)<1\displaystyle f(4)<1. Deci ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are soluție unică, pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*}.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, f(4)=5e4<1, deci ecuația f(x)=n are soluție unica˘\displaystyle \ f(4)=\frac{5}{e^{4}}<1\text{, deci ecuația }f(x)=n\text{ are soluție unică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+4}.

Arătați că ∫02f(x)x2+4dx=2\displaystyle \int_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+4} în expresia de sub integrală: f(x)x2+4=xx2+4x2+4\displaystyle \dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}.
    f(x)x2+4=xx2+4x2+4\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}
  2. Radicalul x2+4\displaystyle \sqrt{x^2+4} este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci putem simplifica fracția și rămâne x\displaystyle x. Integrala devine ∫02x dx\displaystyle \int_0^2 x\,dx.
    ∫02f(x)x2+4dx=∫02x dx\displaystyle \int_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int_0^2 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫02x dx=x22∣02\displaystyle \int_0^2 x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^2.
    ∫02x dx=x22∣02\displaystyle \int_0^2 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2
  4. Calculăm primitiva la capete: în 2\displaystyle 2 obținem 222=42\displaystyle \dfrac{2^2}{2}=\dfrac{4}{2}, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Diferența este 2\displaystyle 2, deci ∫02f(x)x2+4dx=2\displaystyle \int_0^2\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx=2.
    42−0=2\displaystyle \frac{4}{2}-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+4}.

Arătați că ∫05f(x)dx=193\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}}f(x)dx=\frac{19}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x2+4)′=2x\displaystyle (x^{2}+4)'=2x, deci x=12(x2+4)′\displaystyle x=\dfrac{1}{2}(x^{2}+4)'. Integrala devine o integrală în care apare derivata expresiei de sub radical.
    ∫05xx2+4 dx=12∫05(x2+4)′x2+4 dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} x\sqrt{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{5}}(x^{2}+4)'\sqrt{x^{2}+4}\,dx
  2. Notăm u=x2+4\displaystyle u=x^{2}+4, deci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx. Atunci 12∫u du=12⋅23u32=13uu\displaystyle \dfrac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}u\sqrt{u}.
    12∫u du=13uu\displaystyle \frac{1}{2}\int\sqrt{u}\,du=\frac{1}{3}u\sqrt{u}
  3. Revenind la x\displaystyle x, obținem primitiva 13(x2+4)x2+4\displaystyle \dfrac{1}{3}(x^{2}+4)\sqrt{x^{2}+4}, pe care o evaluăm între 0\displaystyle 0 și 5\displaystyle \sqrt{5}.
    12∫05(x2+4)′x2+4 dx=13(x2+4)x2+4∣05\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{5}}(x^{2}+4)'\sqrt{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{3}(x^{2}+4)\sqrt{x^{2}+4}\Big|_0^{\sqrt{5}}
  4. Pentru x=5\displaystyle x=\sqrt{5}: x2+4=9\displaystyle x^{2}+4=9, deci (x2+4)x2+4=9⋅3=27\displaystyle (x^{2}+4)\sqrt{x^{2}+4}=9\cdot 3=27. Pentru x=0\displaystyle x=0: x2+4=4\displaystyle x^{2}+4=4, deci 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8.
    9⋅3=27\displaystyle 9\cdot 3=27,4⋅2=8\displaystyle \quad 4\cdot 2=8
  5. Scădem: 13(27−8)=193\displaystyle \dfrac{1}{3}(27-8)=\dfrac{19}{3}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    13(27−8)=193\displaystyle \frac{1}{3}(27-8)=\frac{19}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+4}.

Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2, se consideră numărul In=∫12xnf2(x)dx\displaystyle I_n=\int_1^2\frac{x^n}{f^2(x)}dx. Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2, pentru care In+2+4In=3n−1\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\frac{3}{n-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f2(x)=(xx2+4)2\displaystyle f^2(x)=\left(x\sqrt{x^2+4}\right)^2, deci f2(x)=x2(x2+4)\displaystyle f^2(x)=x^2(x^2+4).
    f2(x)=x2(x2+4)\displaystyle f^2(x)=x^2(x^2+4)
  2. Înlocuim în In\displaystyle I_n și simplificăm cu x2\displaystyle x^2, care este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2]: In=∫12xnx2(x2+4)dx\displaystyle I_n=\int_1^2\frac{x^n}{x^2(x^2+4)}dx.
    In=∫12xn−2x2+4 dx\displaystyle I_n=\int_1^2\frac{x^{n-2}}{x^2+4}\,dx
  3. Scriem același rezultat pentru n+2\displaystyle n+2: In+2=∫12xnx2+4dx\displaystyle I_{n+2}=\int_1^2\frac{x^{n}}{x^2+4}dx.
    In+2=∫12xnx2+4 dx\displaystyle I_{n+2}=\int_1^2\frac{x^{n}}{x^2+4}\,dx
  4. Adunăm: In+2+4In=∫12xn+4xn−2x2+4dx\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\int_1^2\frac{x^n+4x^{n-2}}{x^2+4}dx. Dăm factor comun xn−2\displaystyle x^{n-2} la numărător și obținem ∫12xn−2(x2+4)x2+4dx\displaystyle \int_1^2\frac{x^{n-2}(x^2+4)}{x^2+4}dx.
    In+2+4In=∫12xn−2(x2+4)x2+4 dx=∫12xn−2 dx\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\int_1^2\frac{x^{n-2}(x^2+4)}{x^2+4}\,dx=\int_1^2 x^{n-2}\,dx
  5. Calculăm integrala: ∫12xn−2dx=xn−1n−1∣12\displaystyle \int_1^2 x^{n-2}dx=\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\Big|_1^2, deci avem 2n−1−1n−1\displaystyle \dfrac{2^{n-1}-1}{n-1}.
    In+2+4In=2n−1−1n−1\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\frac{2^{n-1}-1}{n-1}
  6. Egalăm cu 3n−1\displaystyle \dfrac{3}{n-1}: 2n−1−1n−1=3n−1\displaystyle \dfrac{2^{n-1}-1}{n-1}=\dfrac{3}{n-1}. Înmulțim cu n−1\displaystyle n-1 și obținem 2n−1−1=3\displaystyle 2^{n-1}-1=3, deci 2n−1=4=22\displaystyle 2^{n-1}=4=2^2, de unde n−1=2\displaystyle n-1=2. Deci n=3\displaystyle n=3, care convine pentru că 3≥2\displaystyle 3\ge 2.
    2n−1=4, deci n=3, care convine\displaystyle 2^{n-1}=4\text{, deci }n=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.