Bac matematică M1 mate-info 2011, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați rația progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, cu termeni pozitivi, dacă b1+b2=6\displaystyle b_1+b_2=6 și b3+b4=24\displaystyle b_3+b_4=24.
Vezi rezolvarea
  1. Exprimăm termenii b3\displaystyle b_3 și b4\displaystyle b_4 cu ajutorul primului termen b1\displaystyle b_1 și al rației q\displaystyle q, folosind formula bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}.
    b3=b1q2\displaystyle b_3=b_1q^{2}, b4=b1q3\displaystyle \ b_4=b_1q^{3}
  2. Scriem suma b3+b4=b1q2+b1q3\displaystyle b_3+b_4=b_1q^{2}+b_1q^{3} și dăm factor comun q2\displaystyle q^{2}. Rămâne suma b1+b1q=b1+b2\displaystyle b_1+b_1q=b_1+b_2.
    b3+b4=q2(b1+b1q)=q2(b1+b2)\displaystyle b_3+b_4=q^{2}(b_1+b_1q)=q^{2}(b_1+b_2)
  3. Înlocuim valorile date: b3+b4=24\displaystyle b_3+b_4=24 și b1+b2=6\displaystyle b_1+b_2=6.
    24=6q2\displaystyle 24=6q^{2}
  4. Împărțim la 6\displaystyle 6 și obținem q2=4\displaystyle q^{2}=4, deci q=2\displaystyle q=2 sau q=−2\displaystyle q=-2.
    q2=4⇒q=2 sau q=−2\displaystyle q^{2}=4\Rightarrow q=2\text{ sau }q=-2
  5. Termenii sunt pozitivi, deci rația este pozitivă, iar valoarea q=−2\displaystyle q=-2 nu convine. Rația este q=2\displaystyle q=2.
    q=2\displaystyle q=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(1−a2)x+4\displaystyle f(x)=(1-a^2)x+4 este constantă.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=(1−a2)x+4\displaystyle f(x)=(1-a^{2})x+4 este afină. Ea este constantă exact când coeficientul lui x\displaystyle x este nul, adică 1−a2\displaystyle 1-a^{2} trebuie să fie 0\displaystyle 0.
    1−a2=0\displaystyle 1-a^{2}=0
  2. Din ecuația 1−a2=0\displaystyle 1-a^{2}=0 obținem a2=1\displaystyle a^{2}=1.
    a2=1\displaystyle a^{2}=1
  3. Ecuația a2=1\displaystyle a^{2}=1 are soluțiile a=1\displaystyle a=1 și a=−1\displaystyle a=-1. Pentru ambele, f(x)=4\displaystyle f(x)=4 pentru orice x\displaystyle x, deci funcția este constantă.
    a=1 sau a=−1\displaystyle a=1\text{ sau }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (32)x<(23)x\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^x<\left(\frac{2}{3}\right)^x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 23=(32)−1\displaystyle \dfrac{2}{3}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}. Atunci (23)x=((32)−1)x\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}\right)^x, deci ambele puteri au baza 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    (23)x=(32)−x\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^x=\left(\frac{3}{2}\right)^{-x}
  2. Inecuația devine (32)x<(32)−x\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)^x<\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-x}.
    (32)x<(32)−x\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^x<\left(\frac{3}{2}\right)^{-x}
  3. Deoarece 32>1\displaystyle \dfrac{3}{2}>1, funcția t↦(32)t\displaystyle t\mapsto\left(\dfrac{3}{2}\right)^t este strict crescătoare, deci inegalitatea dintre puteri este echivalentă cu aceeași inegalitate între exponenți.
    x<−x\displaystyle x<-x
  4. Adunăm x\displaystyle x în ambii membri: 2x<0\displaystyle 2x<0, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: x<0\displaystyle x<0.
    x<0\displaystyle x<0
  5. Mulțimea soluțiilor este S=(−∞,0)\displaystyle S=(-\infty,0).
    S=(−∞,0)\displaystyle S=(-\infty,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării (1+2)10\displaystyle \left(1+\sqrt{2}\right)^{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Termenul general al dezvoltării (1+2)10\displaystyle (1+\sqrt{2})^{10} este Tk+1=C10k⋅110−k⋅(2)k\displaystyle T_{k+1}=C_{10}^{k}\cdot 1^{10-k}\cdot(\sqrt{2})^{k}. Cum 110−k=1\displaystyle 1^{10-k}=1, obținem formula de mai jos, cu k\displaystyle k număr natural între 0\displaystyle 0 și 10\displaystyle 10.
    Tk+1=C10k(2)k\displaystyle T_{k+1}=C_{10}^{k}\left(\sqrt{2}\right)^{k}, k∈{0,1,…,10}\displaystyle \ k\in\{0,1,\ldots,10\}
  2. Coeficientul C10k\displaystyle C_{10}^{k} este număr natural, deci rațional, iar raționalitatea lui Tk+1\displaystyle T_{k+1} depinde de (2)k\displaystyle (\sqrt{2})^{k}. Pentru k=2m\displaystyle k=2m avem (2)2m=2m∈Q\displaystyle (\sqrt{2})^{2m}=2^{m}\in\mathbb{Q}. Pentru k=2m+1\displaystyle k=2m+1 avem (2)2m+1=2m2∉Q\displaystyle (\sqrt{2})^{2m+1}=2^{m}\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, iar produsul cu C10k≠0\displaystyle C_{10}^{k}\neq 0 rămâne irațional.
    (2)k∈Q⇔k par\displaystyle (\sqrt{2})^{k}\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow k\text{ par}
  3. Rezultă că termenul Tk+1\displaystyle T_{k+1} este rațional dacă și numai dacă k\displaystyle k este par.
    Tk+1∈Q⇔k par\displaystyle T_{k+1}\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow k\text{ par}
  4. Valorile pare ale lui k\displaystyle k din mulțimea {0,1,…,10}\displaystyle \{0,1,\ldots,10\} sunt 0,2,4,6,8,10\displaystyle 0,2,4,6,8,10. Sunt în total 6\displaystyle 6 valori, deci dezvoltarea are 6\displaystyle 6 termeni raționali.
    k∈{0,2,4,6,8,10}⇒6 termeni raționali\displaystyle k\in\{0,2,4,6,8,10\}\Rightarrow 6\text{ termeni raționali}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Calculați distanța de la punctul A(2,2)\displaystyle A(2,2) la dreapta determinată de punctele B(1,0)\displaystyle B(1,0) și C(0,1)\displaystyle C(0,1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei BC\displaystyle BC cu formula dreptei determinate de două puncte: x−10−1=y−01−0\displaystyle \dfrac{x-1}{0-1}=\dfrac{y-0}{1-0}.
    x−1−1=y1\displaystyle \dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y}{1}
  2. Eliminăm numitorii: −y=x−1\displaystyle -y=x-1. Aducem la forma generală a ecuației dreptei.
    BC: x+y−1=0\displaystyle BC:\ x+y-1=0
  3. Aplicăm formula distanței de la punctul A(2,2)\displaystyle A(2,2) la dreapta x+y−1=0\displaystyle x+y-1=0, cu a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−1\displaystyle c=-1: d=∣axA+byA+c∣a2+b2\displaystyle d=\dfrac{|a x_A+b y_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
    d=∣1⋅2+1⋅2−1∣12+12\displaystyle d=\dfrac{|1\cdot 2+1\cdot 2-1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}
  4. Calculăm: la numărător 2+2−1=3\displaystyle 2+2-1=3, iar la numitor 1+1=2\displaystyle \sqrt{1+1}=\sqrt{2}. Distanța căutată este:
    d=∣2+2−1∣2=32\displaystyle d=\dfrac{|2+2-1|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC are măsura unghiului A\displaystyle A de 60∘\displaystyle 60^\circ, AB=4\displaystyle AB=4 și AC=5\displaystyle AC=5. Calculați AB→⋅AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul dintre vectorii AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} și AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} este chiar unghiul A\displaystyle A al triunghiului, adică 60∘\displaystyle 60^\circ. Produsul scalar se calculează cu definiția: AB→⋅AC→=AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos A.
    AB→⋅AC→=AB⋅AC⋅cos⁡60∘\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos 60^\circ
  2. Cunoaștem valoarea cosinusului pentru 60∘\displaystyle 60^\circ: cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  3. Înlocuim în formulă AB=4\displaystyle AB=4, AC=5\displaystyle AC=5 și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    AB→⋅AC→=4⋅5⋅12\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot 5\cdot\frac{1}{2}
  4. Calculăm: 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20, iar 20⋅12=10\displaystyle 20\cdot\dfrac{1}{2}=10. Deci produsul scalar este 10\displaystyle 10.
    AB→⋅AC→=10\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră mulțimea H={A∈M2(R)∣A2=A}\displaystyle H=\{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\mid A^2=A\}.

Arătați că (1200)∈H\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\in H.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm matricea cu A=(1200)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}. Pentru a arăta că A∈H\displaystyle A\in H, trebuie verificat că A2=A\displaystyle A^{2}=A.
    A2=A⋅A=(1200)(1200)\displaystyle A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului, linie cu coloană. Prima linie: 1⋅1+2⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 0=1 și 1⋅2+2⋅0=2\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 0=2. A doua linie: 0⋅1+0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+0\cdot 0=0 și 0⋅2+0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 2+0\cdot 0=0.
    A2=(1⋅1+2⋅01⋅2+2⋅00⋅1+0⋅00⋅2+0⋅0)=(1200)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}1\cdot 1+2\cdot 0&1\cdot 2+2\cdot 0\\0\cdot 1+0\cdot 0&0\cdot 2+0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}
  3. Am obținut A2=A\displaystyle A^{2}=A, deci matricea aparține mulțimii H\displaystyle H.
    (1200)∈H\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\in H
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră mulțimea H={A∈M2(R)∣A2=A}\displaystyle H=\{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\mid A^2=A\}.

Demonstrați că, dacă A∈H\displaystyle A\in H, atunci An∈H\displaystyle A^n\in H, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem ipoteza: A∈H\displaystyle A\in H, deci A2=A\displaystyle A^2=A. Trebuie să arătăm că (An)2=An\displaystyle (A^n)^2=A^n pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, adică An∈H\displaystyle A^n\in H.
    A2=A\displaystyle A^2=A,de demonstrat: (An)2=An\displaystyle \quad \text{de demonstrat: }(A^n)^2=A^n
  2. Folosim regula (Ap)q=Apq\displaystyle (A^p)^q=A^{pq}. Deoarece 2n=n⋅2\displaystyle 2n=n\cdot 2, obținem (An)2=A2n=(A2)n\displaystyle (A^n)^2=A^{2n}=(A^2)^n.
    (An)2=A2n=(A2)n\displaystyle (A^n)^2=A^{2n}=(A^2)^n
  3. Înlocuim A2=A\displaystyle A^2=A în (A2)n\displaystyle (A^2)^n și obținem (A2)n=An\displaystyle (A^2)^n=A^n.
    (A2)n=An\displaystyle (A^2)^n=A^n
  4. Am obținut (An)2=An\displaystyle (A^n)^2=A^n, adică exact condiția de apartenență la H\displaystyle H. Deci An∈H\displaystyle A^n\in H pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    (An)2=An, deci An∈H\displaystyle (A^n)^2=A^n\text{, deci }A^n\in H
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră mulțimea H={A∈M2(R)∣A2=A}\displaystyle H=\{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\mid A^2=A\}.

Arătați că mulțimea H\displaystyle H este infinită.
Vezi rezolvarea
  1. Ideea este să căutăm o familie de matrici care depinde de un parametru real x\displaystyle x și care verifică condiția A2=A\displaystyle A^2=A. Alegem matricea Ax=(1x00)\displaystyle A_x=\begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}, cu x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    Ax=(1x00)\displaystyle A_x=\begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm pătratul matricei: Ax2=(1x00)⋅(1x00)\displaystyle A_x^2=\begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}. Elementele sunt 1⋅1+x⋅0=1\displaystyle 1\cdot1+x\cdot0=1, 1⋅x+x⋅0=x\displaystyle 1\cdot x+x\cdot0=x, iar a doua linie este formată din zerouri.
    Ax2=(1x00)\displaystyle A_x^2=\begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}
  3. Rezultatul coincide cu matricea inițială, deci Ax2=Ax\displaystyle A_x^2=A_x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Prin urmare Ax∈H\displaystyle A_x\in H pentru orice x\displaystyle x real.
    (1x00)∈H\displaystyle \begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}\in H, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Matricele sunt distincte pentru valori diferite ale lui x\displaystyle x, deoarece elementul de pe prima linie și a doua coloană este chiar x\displaystyle x: dacă x≠y\displaystyle x\neq y, atunci Ax≠Ay\displaystyle A_x\neq A_y. Deci obținem câte un element distinct al lui H\displaystyle H pentru fiecare număr real x\displaystyle x, iar mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} este infinită. Prin urmare H\displaystyle H este infinită.
    H este infinita˘\displaystyle H\text{ este infinită}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=(X+i)10+(X−i)10\displaystyle f=(X+i)^{10}+(X-i)^{10}, având forma algebrică f=a10X10+a9X9+…+a1X+a0\displaystyle f=a_{10}X^{10}+a_9X^9+\ldots+a_1X+a_0, unde a0,a1,…,a10∈C\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_{10}\in\mathbb{C}.

Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X−i\displaystyle X-i.
Vezi rezolvarea
  1. Conform teoremei restului, restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−i\displaystyle X-i este f(i)\displaystyle f(i).
    r=f(i)\displaystyle r=f(i)
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu i\displaystyle i în f=(X+i)10+(X−i)10\displaystyle f=(X+i)^{10}+(X-i)^{10}.
    f(i)=(i+i)10+(i−i)10=(2i)10+010\displaystyle f(i)=(i+i)^{10}+(i-i)^{10}=(2i)^{10}+0^{10}
  3. Al doilea termen este 0\displaystyle 0, iar (2i)10=210⋅i10\displaystyle (2i)^{10}=2^{10}\cdot i^{10}. Cum i10=(i2)5=(−1)5=−1\displaystyle i^{10}=(i^2)^5=(-1)^5=-1, obținem restul.
    f(i)=(2i)10=210⋅i10=−210=−1024\displaystyle f(i)=(2i)^{10}=2^{10}\cdot i^{10}=-2^{10}=-1024
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=(X+i)10+(X−i)10\displaystyle f=(X+i)^{10}+(X-i)^{10}, având forma algebrică f=a10X10+a9X9+…+a1X+a0\displaystyle f=a_{10}X^{10}+a_9X^9+\ldots+a_1X+a_0, unde a0,a1,…,a10∈C\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_{10}\in\mathbb{C}.

Arătați că toți coeficienții polinomului f\displaystyle f sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm fiecare putere cu binomul lui Newton: (X+i)10=∑k=010C10kX10−kik\displaystyle (X+i)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k}X^{10-k}i^{k} și (X−i)10=∑k=010C10kX10−k(−i)k\displaystyle (X-i)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k}X^{10-k}(-i)^{k}.
    (X+i)10=∑k=010C10kX10−kik\displaystyle (X+i)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k}X^{10-k}i^{k},(X−i)10=∑k=010C10kX10−k(−i)k\displaystyle \quad (X-i)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k}X^{10-k}(-i)^{k}
  2. Adunăm cele două dezvoltări și folosim (−i)k=(−1)kik\displaystyle (-i)^k=(-1)^k i^k, apoi dăm factor comun C10kX10−kik\displaystyle C_{10}^{k}X^{10-k}i^k.
    f=∑k=010(C10kX10−kik+C10kX10−k(−i)k)=∑k=010C10kX10−kik(1+(−1)k)\displaystyle f=\sum_{k=0}^{10}\left(C_{10}^kX^{10-k}i^k+C_{10}^kX^{10-k}(-i)^k\right)=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^kX^{10-k}i^k\left(1+(-1)^k\right)
  3. Coeficientul lui X10−k\displaystyle X^{10-k} este C10kik(1+(−1)k)\displaystyle C_{10}^{k}i^{k}\left(1+(-1)^{k}\right). Dacă k\displaystyle k este impar, atunci (−1)k=−1\displaystyle (-1)^k=-1, deci paranteza este 0\displaystyle 0 și coeficientul este 0\displaystyle 0. Aceștia sunt coeficienții de grad impar a2p+1\displaystyle a_{2p+1}.
    a2p+1=0∈R\displaystyle a_{2p+1}=0\in\mathbb{R}, ∀p∈{0,1,2,3,4}\displaystyle \ \forall p\in\{0,1,2,3,4\}
  4. Dacă k=2p\displaystyle k=2p este par, atunci 1+(−1)2p=2\displaystyle 1+(-1)^{2p}=2, iar i2p=(i2)p=(−1)p\displaystyle i^{2p}=(i^2)^p=(-1)^p. Coeficientul lui X10−2p\displaystyle X^{10-2p} este 2C102p⋅(−1)p\displaystyle 2C_{10}^{2p}\cdot(-1)^p, un număr întreg, deci real. Împreună cu coeficienții impari, nuli, rezultă că toți coeficienții lui f\displaystyle f sunt reali.
    a10−2p=C102pi2p(1+(−1)2p)=2C102p⋅(−1)p∈R\displaystyle a_{10-2p}=C_{10}^{2p}i^{2p}\left(1+(-1)^{2p}\right)=2C_{10}^{2p}\cdot(-1)^p\in\mathbb{R}, ∀p∈{0,1,2,3,4,5}\displaystyle \ \forall p\in\{0,1,2,3,4,5\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=(X+i)10+(X−i)10\displaystyle f=(X+i)^{10}+(X-i)^{10}, având forma algebrică f=a10X10+a9X9+…+a1X+a0\displaystyle f=a_{10}X^{10}+a_9X^9+\ldots+a_1X+a_0, unde a0,a1,…,a10∈C\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_{10}\in\mathbb{C}.

Demonstrați că toate rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Fie z∈C\displaystyle z\in\mathbb{C} o rădăcină a lui f\displaystyle f. Atunci f(z)=0\displaystyle f(z)=0, adică (z+i)10+(z−i)10=0\displaystyle (z+i)^{10}+(z-i)^{10}=0.
    (z+i)10+(z−i)10=0\displaystyle (z+i)^{10}+(z-i)^{10}=0
  2. Mutăm al doilea termen în membrul drept: (z+i)10=−(z−i)10\displaystyle (z+i)^{10}=-(z-i)^{10}.
    (z+i)10=−(z−i)10\displaystyle (z+i)^{10}=-(z-i)^{10}
  3. Trecem la module în ambii membri. Cum ∣−w∣=∣w∣\displaystyle |-w|=|w| și ∣w10∣=∣w∣10\displaystyle |w^{10}|=|w|^{10}, obținem ∣z+i∣10=∣z−i∣10\displaystyle |z+i|^{10}=|z-i|^{10}.
    ∣z+i∣10=∣z−i∣10\displaystyle |z+i|^{10}=|z-i|^{10}
  4. Modulele sunt numere reale nenegative, iar funcția t↦t10\displaystyle t\mapsto t^{10} este injectivă pe [0,∞)\displaystyle [0,\infty). Deci ∣z+i∣=∣z−i∣\displaystyle |z+i|=|z-i|.
    ∣z+i∣=∣z−i∣\displaystyle |z+i|=|z-i|
  5. Interpretare geometrică: ∣z−i∣\displaystyle |z-i| este distanța de la punctul z\displaystyle z la punctul de afix i\displaystyle i, iar ∣z+i∣=∣z−(−i)∣\displaystyle |z+i|=|z-(-i)| este distanța de la z\displaystyle z la punctul de afix −i\displaystyle -i. Deci z\displaystyle z se află pe mediatoarea segmentului cu extremitățile în i\displaystyle i și −i\displaystyle -i.
    d(z,−i)=d(z,i)\displaystyle d(z,-i)=d(z,i)
  6. Punctele de afixe i\displaystyle i și −i\displaystyle -i sunt simetrice față de axa reală, deci mediatoarea segmentului este axa reală. Prin urmare z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}. Cum z\displaystyle z a fost o rădăcină oarecare, toate rădăcinile lui f\displaystyle f sunt reale.
    z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x+4\displaystyle f(x)=x^5-5x+4.

Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 2\displaystyle 2, deci limita este egală cu f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (x5)′=5x4\displaystyle (x^5)'=5x^4, (−5x)′=−5\displaystyle (-5x)'=-5, iar (4)′=0\displaystyle (4)'=0.
    f′(x)=5x4−5\displaystyle f'(x)=5x^{4}-5
  3. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în expresia derivatei: f′(2)=5⋅24−5=5⋅16−5=80−5\displaystyle f'(2)=5\cdot 2^{4}-5=5\cdot 16-5=80-5.
    f′(2)=5⋅24−5=80−5\displaystyle f'(2)=5\cdot 2^{4}-5=80-5
  4. Rezultă că limita cerută este f′(2)=75\displaystyle f'(2)=75.
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)=75\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)=75
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x+4\displaystyle f(x)=x^5-5x+4.

Arătați că graficul funcției f\displaystyle f are un punct de inflexiune.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (x5)′=5x4\displaystyle (x^{5})'=5x^{4}, (−5x)′=−5\displaystyle (-5x)'=-5, iar (4)′=0\displaystyle (4)'=0.
    f′(x)=5x4−5\displaystyle f'(x)=5x^{4}-5
  2. Derivăm încă o dată: (5x4)′=20x3\displaystyle (5x^{4})'=20x^{3}, iar (−5)′=0\displaystyle (-5)'=0.
    f′′(x)=20x3\displaystyle f''(x)=20x^{3}
  3. Rezolvăm ecuația f′′(x)=0\displaystyle f''(x)=0, adică 20x3=0\displaystyle 20x^{3}=0. Singura soluție reală este x=0\displaystyle x=0, deci derivata a doua se anulează în 0\displaystyle 0.
    f′′(x)=20x3=0⇔x=0\displaystyle f''(x)=20x^{3}=0\Leftrightarrow x=0
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' de o parte și de alta a lui 0\displaystyle 0. Pentru x<0\displaystyle x<0 avem x3<0\displaystyle x^{3}<0, deci f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 și f\displaystyle f este concavă pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0, deci f\displaystyle f este convexă pe [0,∞)\displaystyle [0,\infty).
    f′′(x)<0 pe (−∞,0)\displaystyle f''(x)<0\text{ pe }(-\infty,0),f′′(x)>0 pe (0,∞)\displaystyle \quad f''(x)>0\text{ pe }(0,\infty)
  5. Funcția f\displaystyle f este continuă în 0\displaystyle 0 (este polinomială), are tangentă în 0\displaystyle 0, iar f′′\displaystyle f'' își schimbă semnul în 0\displaystyle 0, deci funcția trece de la concavă la convexă. Prin urmare, 0\displaystyle 0 este punct de inflexiune al graficului, adică punctul (0,4)\displaystyle (0,4), deoarece f(0)=4\displaystyle f(0)=4.
    x=0 este punct de inflexiune, \displaystyle x=0\text{ este punct de inflexiune, }adica˘ punctul (0,4)\displaystyle \text{adică punctul }(0,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x+4\displaystyle f(x)=x^5-5x+4.

Arătați că, pentru orice m∈(0,8)\displaystyle m\in(0,8), ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact trei soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției: f′(x)=5x4−5=5(x4−1)\displaystyle f'(x)=5x^{4}-5=5\left(x^{4}-1\right).
    f′(x)=5(x4−1)\displaystyle f'(x)=5\left(x^{4}-1\right)
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Din x4=1\displaystyle x^{4}=1 obținem punctele critice x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1.
    x4−1=0⇒x=±1\displaystyle x^{4}-1=0\Rightarrow x=\pm 1
  3. Stabilim semnul derivatei: f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x<−1\displaystyle x<-1 și pentru x>1\displaystyle x>1, iar f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1). Deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1], strict descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] și strict crescătoare pe [1,∞)\displaystyle [1,\infty).
    f↗ pe (−∞,−1]\displaystyle f\nearrow\text{ pe }(-\infty,-1], f↘ pe [−1,1]\displaystyle \ f\searrow\text{ pe }[-1,1], f↗ pe [1,∞)\displaystyle \ f\nearrow\text{ pe }[1,\infty)
  4. Calculăm valorile în punctele critice: f(−1)=−1+5+4=8\displaystyle f(-1)=-1+5+4=8 și f(1)=1−5+4=0\displaystyle f(1)=1-5+4=0. Deci −1\displaystyle -1 este punct de maxim local, cu valoarea 8\displaystyle 8, iar 1\displaystyle 1 este punct de minim local, cu valoarea 0\displaystyle 0.
    f(−1)=8\displaystyle f(-1)=8, f(1)=0\displaystyle \ f(1)=0
  5. Calculăm limitele la capete: lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, deoarece f\displaystyle f este polinom de grad 5\displaystyle 5 cu coeficient dominant pozitiv.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  6. Fie m∈(0,8)\displaystyle m\in(0,8). Pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1], f\displaystyle f este strict crescătoare și continuă, cu valori de la −∞\displaystyle -\infty până la 8\displaystyle 8, deci ia o singură dată valoarea m∈(−∞,8)\displaystyle m\in(-\infty,8). Pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], f\displaystyle f este strict descrescătoare și continuă, de la 8\displaystyle 8 la 0\displaystyle 0, deci ia o singură dată valoarea m∈(0,8)\displaystyle m\in(0,8). Pe [1,∞)\displaystyle [1,\infty), f\displaystyle f este strict crescătoare și continuă, de la 0\displaystyle 0 la +∞\displaystyle +\infty, deci ia o singură dată valoarea m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty).
    f(x)=m are caˆte o soluție ıˆn \displaystyle f(x)=m\text{ are câte o soluție în }fiecare din intervalele (−∞,−1)\displaystyle \text{fiecare din intervalele }(-\infty,-1), (−1,1)\displaystyle \ (-1,1), (1,∞)\displaystyle \ (1,\infty)
  7. Soluțiile nu pot fi la capetele intervalelor, pentru că f(−1)=8\displaystyle f(-1)=8 și f(1)=0\displaystyle f(1)=0 sunt diferite de m\displaystyle m. Deci cele trei soluții sunt în intervale disjuncte, adică sunt distincte. Ecuația are exact trei soluții reale distincte.
    exact trei soluții reale \displaystyle \text{exact trei soluții reale }distincte\displaystyle \text{distincte}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=e−x\displaystyle g(x)=e^{-x}.

Calculați ∫01g(x) dx\displaystyle \int_0^1 g(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim g(x)=e−x\displaystyle g(x)=e^{-x} în integrala cerută.
    ∫01g(x) dx=∫01e−x dx\displaystyle \int_0^1 g(x)\,dx=\int_0^1 e^{-x}\,dx
  2. Aflăm o primitivă. Cum (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}, o primitivă a lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}.
    ∫e−x dx=−e−x+C\displaystyle \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu primitiva evaluată între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01e−x dx=−e−x∣01=−e−1−(−e0)\displaystyle \int_0^1 e^{-x}\,dx=-e^{-x}\Big|_0^1=-e^{-1}-\left(-e^{0}\right)
  4. Calculăm: e0=1\displaystyle e^{0}=1 și e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\dfrac{1}{e}. Rezultatul este 1−1e\displaystyle 1-\dfrac{1}{e}, adică fracția cu numitorul comun e\displaystyle e.
    −1e+1=1−1e=e−1e\displaystyle -\frac{1}{e}+1=1-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=e−x\displaystyle g(x)=e^{-x}.

Calculați ∫01x5g(x3) dx\displaystyle \int_0^1 x^5 g(x^3)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece g(x)=e−x\displaystyle g(x)=e^{-x}, avem g(x3)=e−x3\displaystyle g(x^3)=e^{-x^3}, deci integrala este ∫01x5e−x3 dx\displaystyle \int_0^1 x^5 e^{-x^3}\,dx.
    ∫01x5e−x3 dx\displaystyle \int_0^1 x^5 e^{-x^3}\,dx
  2. Facem substituția t=x3\displaystyle t=x^3. Atunci dt=3x2 dx\displaystyle dt=3x^2\,dx, deci x2 dx=dt3\displaystyle x^2\,dx=\dfrac{dt}{3}. Limitele rămân 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, pentru că 03=0\displaystyle 0^3=0 și 13=1\displaystyle 1^3=1.
    x2 dx=dt3\displaystyle x^2\,dx=\frac{dt}{3},t∈[0,1]\displaystyle \quad t\in[0,1]
  3. Scriem x5=x3⋅x2=t⋅x2\displaystyle x^5=x^3\cdot x^2=t\cdot x^2 și înlocuim în integrală: x5e−x3 dx=t e−t⋅dt3\displaystyle x^5 e^{-x^3}\,dx=t\,e^{-t}\cdot\dfrac{dt}{3}.
    13∫01t⋅e−t dt\displaystyle \frac{1}{3}\int_0^1 t\cdot e^{-t}\,dt
  4. Integrăm prin părți: alegem u=t\displaystyle u=t și dv=e−t dt\displaystyle dv=e^{-t}\,dt, deci du=dt\displaystyle du=dt și v=−e−t\displaystyle v=-e^{-t}.
    u=t\displaystyle u=t, v=−e−t\displaystyle \ v=-e^{-t}
  5. Aplicăm formula integrării prin părți: 13∫01te−t dt=−13te−t∣01+13∫01e−t dt\displaystyle \dfrac{1}{3}\int_0^1 t e^{-t}\,dt=-\dfrac{1}{3}te^{-t}\Big|_0^1+\dfrac{1}{3}\int_0^1 e^{-t}\,dt.
    −13te−t∣01+13∫01e−t dt\displaystyle -\frac{1}{3}te^{-t}\Big|_0^1+\frac{1}{3}\int_0^1 e^{-t}\,dt
  6. Calculăm primul termen: −13(e−1−0)=−13e\displaystyle -\dfrac{1}{3}\left(e^{-1}-0\right)=-\dfrac{1}{3e}. Apoi ∫01e−t dt=−e−t∣01=1−1e\displaystyle \int_0^1 e^{-t}\,dt=-e^{-t}\Big|_0^1=1-\dfrac{1}{e}, deci al doilea termen este 13(1−1e)\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{e}\right).
    −13e+13(1−1e)\displaystyle -\frac{1}{3e}+\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{e}\right)
  7. Adunăm termenii: −13e+13−13e=e−23e\displaystyle -\dfrac{1}{3e}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3e}=\dfrac{e-2}{3e}.
    e−23e\displaystyle \frac{e-2}{3e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=e−x\displaystyle g(x)=e^{-x}.

Demonstrați că șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} definit prin In=∫1ng(x3) dx\displaystyle I_n=\int_1^n g(x^3)\,dx este convergent.
Vezi rezolvarea
  1. Avem g(x3)=e−x3\displaystyle g(x^3)=e^{-x^3}, deci In=∫1ne−x3 dx\displaystyle I_n=\int_1^n e^{-x^3}\,dx.
    In=∫1ne−x3 dx\displaystyle I_n=\int_1^n e^{-x^{3}}\,dx
  2. Calculăm In+1−In=∫1n+1e−x3 dx−∫1ne−x3 dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_1^{n+1} e^{-x^3}\,dx-\int_1^n e^{-x^3}\,dx. Din aditivitatea integralei față de interval rămâne integrala pe [n,n+1]\displaystyle [n,n+1].
    In+1−In=∫nn+1e−x3 dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_n^{n+1}e^{-x^{3}}\,dx
  3. Deoarece e−x3>0\displaystyle e^{-x^3}>0 pentru orice x\displaystyle x, iar n<n+1\displaystyle n<n+1, integrala este pozitivă. Deci In+1−In≥0\displaystyle I_{n+1}-I_n\ge 0 pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*, adică șirul este crescător.
    In+1−In=∫nn+1e−x3 dx≥0\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_n^{n+1}e^{-x^{3}}\,dx\ge 0, ∀n∈N∗\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}^*
  4. Funcția e−x3\displaystyle e^{-x^3} este pozitivă, deci In≥0\displaystyle I_n\ge 0. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem x3≥x\displaystyle x^3\ge x, deci −x3≤−x\displaystyle -x^3\le -x, iar cum exponențiala este crescătoare, e−x3≤e−x\displaystyle e^{-x^3}\le e^{-x}.
    0≤e−x3≤e−x\displaystyle 0\le e^{-x^{3}}\le e^{-x}, ∀x≥1\displaystyle \ \forall x\ge 1
  5. Integrând pe [1,n]\displaystyle [1,n] obținem 0≤In≤∫1ne−x dx=(−e−x)∣1n=e−1−e−n\displaystyle 0\le I_n\le\int_1^n e^{-x}\,dx=\left(-e^{-x}\right)\Big|_1^n=e^{-1}-e^{-n}.
    0≤In≤1e−1en\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{e}-\frac{1}{e^{n}}
  6. Cum 1en>0\displaystyle \dfrac{1}{e^n}>0, avem 1e−1en<1e\displaystyle \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}<\dfrac{1}{e}. Deci șirul este mărginit.
    0≤In≤1e−1en<1e\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{e}-\frac{1}{e^{n}}<\frac{1}{e}, ∀n∈N∗\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}^*
  7. Șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este crescător și mărginit, deci, conform teoremei lui Weierstrass, este convergent.
    șirul este convergent\displaystyle \text{șirul este convergent}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.