Bac matematică M1 mate-info 2015, sesiunea a II-a varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle a_1=2

și

\displaystyle a_2=5

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. Scriem rația ca $\displaystyle r=a_2-a_1$ .
$\displaystyle r=a_2-a_1$
Înlocuim $\displaystyle a_1=2$ și $\displaystyle a_2=5$ și obținem $\displaystyle r=5-2$ .
$\displaystyle r=5-2=3$
Al treilea termen este $\displaystyle a_3=a_2+r$ . Înlocuim: $\displaystyle a_3=5+3$ .
$\displaystyle a_3=5+3=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că punctul

\displaystyle A(3,5)

aparține graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=a-x

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(3,5)$ aparține graficului lui $\displaystyle f$ dacă ordonata lui este valoarea funcției în abscisă, adică $\displaystyle f(3)=5$ .
$\displaystyle f(3)=5$
Înlocuim $\displaystyle x=3$ în $\displaystyle f(x)=a-x$ și obținem $\displaystyle f(3)=a-3$ . Egalăm cu $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle a-3=5$
Adunăm $\displaystyle 3$ la ambii membri ai ecuației: $\displaystyle a=5+3$ . Deci:
$\displaystyle a=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 8^{4-x}=2^{2x+2}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle 8=2^{3}$ , deci putem aduce ambele părți ale ecuației la baza $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 8=2^{3}$
Înlocuim $\displaystyle 8$ cu $\displaystyle 2^{3}$ în membrul stâng și folosim regula $\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}$ : $\displaystyle 8^{4-x}=(2^{3})^{4-x}=2^{3(4-x)}$ .
$\displaystyle 2^{3(4-x)}=2^{2x+2}$
Funcția $\displaystyle a^{t}$ cu $\displaystyle a=2$ este injectivă, deci două puteri ale lui $\displaystyle 2$ sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Obținem ecuația de gradul întâi.
$\displaystyle 3(4-x)=2x+2\Leftrightarrow 12-3x=2x+2$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ într-o parte și numerele în cealaltă: $\displaystyle 12-2=2x+3x$ , adică $\displaystyle 10=5x$ .
$\displaystyle 10=5x$
Împărțim la $\displaystyle 5$ și obținem soluția ecuației, care este număr real, deci convine.
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu

\displaystyle 0

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt $\displaystyle 10,11,\ldots,99$ . Numărul lor este $\displaystyle 99-10+1$ .
$\displaystyle 90$
Produsul cifrelor este $\displaystyle 0$ dacă cel puțin o cifră este $\displaystyle 0$ . Cifra zecilor nu poate fi $\displaystyle 0$ , deci cifra unităților trebuie să fie $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \overline{a0}$ , $\displaystyle \ a\in\{1,2,\ldots,9\}$
Numerele favorabile sunt $\displaystyle 10,20,\ldots,90$ . Cifra zecilor se alege în $\displaystyle 9$ moduri, deci avem $\displaystyle 9$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 9$
Aplicăm formula probabilității și simplificăm prin $\displaystyle 9$ : $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}$ .
$\displaystyle p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctul

\displaystyle M(1,1)

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

\displaystyle M

și are panta egală cu

\displaystyle 2

.

Vezi rezolvarea

Folosim ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(x_M,y_M)$ și are panta $\displaystyle m$ : $\displaystyle y-y_M=m(x-x_M)$ .
$\displaystyle y-y_M=m(x-x_M)$
Înlocuim $\displaystyle m=2$ , $\displaystyle x_M=1$ și $\displaystyle y_M=1$ .
$\displaystyle y-1=2(x-1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle y-1=2x-2$ , apoi mutăm $\displaystyle -1$ în membrul drept: $\displaystyle y=2x-2+1$ .
$\displaystyle y=2x-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

cu

\displaystyle AB=5

,

\displaystyle AC=12

și

\displaystyle BC=13

. Arătați că

\displaystyle \sin C=\frac{5}{13}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratele laturilor: $\displaystyle BC^{2}=13^{2}=169$ , iar $\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144$ .
$\displaystyle BC^{2}=169$ , $\displaystyle \quad AB^{2}+AC^{2}=25+144=169$
Observăm că $\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ , adică $\displaystyle 13^{2}=5^{2}+12^{2}$ .
$\displaystyle 13^{2}=5^{2}+12^{2}$
Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle BC$ este ipotenuza, iar $\displaystyle AB$ este cateta opusă unghiului $\displaystyle C$ .
$\displaystyle \angle A=90^\circ$
Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Înlocuim valorile: $\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{13}$ .
$\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x&0&2x\\0&1&0\\-x&0&1+2x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real. Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ în fiecare element al matricei: $\displaystyle 1-x=0$ , $\displaystyle 2x=2$ , $\displaystyle -x=-1$ , $\displaystyle 1+2x=3$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&1&0\\-1&0&3\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}0&0&2\\0&1&0\\-1&0&3\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt $\displaystyle 0\cdot 1\cdot 3$ , $\displaystyle 0\cdot 0\cdot(-1)$ și $\displaystyle 2\cdot 0\cdot 0$ , toți egali cu $\displaystyle 0$ . Termenii cu minus sunt $\displaystyle 2\cdot 1\cdot(-1)=-2$ , $\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0$ și $\displaystyle 0\cdot 0\cdot 3=0$ .
$\displaystyle 0+0+0-(-2)-0-0$
Efectuăm calculul: $\displaystyle -(-2)=2$ , deci determinantul este $\displaystyle 2$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \det(A(1))=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x&0&2x\\0&1&0\\-x&0&1+2x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real. Arătați că

\displaystyle A(x)A(y)=A(xy+x+y)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim matricele $\displaystyle A(x)$ și $\displaystyle A(y)$ , linie cu coloană. Elementele din linia și coloana a doua sunt simple, pentru că a doua linie și a doua coloană au un singur element nenul, egal cu $\displaystyle 1$ . Rezultă că în produs apar $\displaystyle 0,1,0$ pe linia a doua, iar celelalte elemente nule din liniile 1 și 3 rămân $\displaystyle 0$ pe coloana a doua.
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}(1-x)(1-y)-2xy&0&(1-x)2y+2x(1+2y)\\0&1&0\\-x(1-y)-(1+2x)y&0&-2xy+(1+2x)(1+2y)\end{pmatrix}$
Simplificăm elementele din prima linie. La elementul de pe poziția $\displaystyle (1,1)$ desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. La elementul de pe poziția $\displaystyle (1,3)$ procedăm la fel.
$\displaystyle 1-(xy+x+y)\text{ și }2(xy+x+y)$
Simplificăm elementele din linia a treia, pe pozițiile $\displaystyle (3,1)$ și $\displaystyle (3,3)$ , desfăcând parantezele și reducând termenii asemenea.
$\displaystyle -(xy+x+y)\text{ și }1+2(xy+x+y)$
Înlocuim elementele simplificate în produs. Matricea obținută are exact forma lui $\displaystyle A(t)$ , unde $\displaystyle t=xy+x+y$ , deci produsul este $\displaystyle A(xy+x+y)$ , pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1-(xy+x+y)&0&2(xy+x+y)\\0&1&0\\-(xy+x+y)&0&1+2(xy+x+y)\end{pmatrix}=A(xy+x+y)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1-x&0&2x\\0&1&0\\-x&0&1+2x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle A(x)A(x)A(x)=A(7)

.

Vezi rezolvarea

Observăm că matricea se scrie $\displaystyle A(x)=I_3+xB$ , unde $\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&0&2\\0&0&0\\-1&0&2\end{pmatrix}$ . Într-adevăr, $\displaystyle I_3+xB$ are pe prima linie $\displaystyle (1-x,\ 0,\ 2x)$ , pe a doua $\displaystyle (0,\ 1,\ 0)$ , iar pe a treia $\displaystyle (-x,\ 0,\ 1+2x)$ .
$\displaystyle A(x)=I_3+xB$ , $\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}-1&0&2\\0&0&0\\-1&0&2\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle B^2$ : prima linie a produsului este $\displaystyle (-1\cdot(-1)+2\cdot(-1),\ 0,\ -1\cdot 2+2\cdot 2)=(-1,\ 0,\ 2)$ , a treia linie este identică cu prima, iar a doua linie este nulă. Deci $\displaystyle B^2=B$ .
$\displaystyle B^2=B$
Deducem relația $\displaystyle A(x)A(y)=A(xy+x+y)$ . Avem $\displaystyle (I_3+xB)(I_3+yB)=I_3+(x+y)B+xyB^2$ , iar cum $\displaystyle B^2=B$ , obținem $\displaystyle I_3+(xy+x+y)B$ .
$\displaystyle A(x)A(y)=A(xy+x+y)$
Aplicăm relația de două ori. Prima dată, cu $\displaystyle y=x$ : $\displaystyle A(x)A(x)=A(x^2+2x)$ . A doua oară, înmulțim cu $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle A(x^2+2x)A(x)=A\left((x^2+2x)x+(x^2+2x)+x\right)=A(x^3+3x^2+3x)$ . Cum $\displaystyle x^3+3x^2+3x=(x+1)^3-1$ , obținem rezultatul.
$\displaystyle A(x)A(x)A(x)=A\left((x+1)^3-1\right)$
Condiția $\displaystyle A(x)A(x)A(x)=A(7)$ devine $\displaystyle A\left((x+1)^3-1\right)=A(7)$ . Elementul din stânga sus al lui $\displaystyle A(a)$ este $\displaystyle 1-a$ , deci $\displaystyle A(a)=A(b)$ doar dacă $\displaystyle a=b$ . Rezultă $\displaystyle (x+1)^3-1=7$ , adică $\displaystyle (x+1)^3=8$ . Cum $\displaystyle x$ este real, $\displaystyle x+1=2$ , deci $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle (x+1)^3-1=7\Leftrightarrow (x+1)^3=8\Leftrightarrow x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+2X^2+X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(0)=m

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 0$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3+2X^2+X+m$ .
$\displaystyle f(0)=0^3+2\cdot 0^2+0+m$
Calculăm puterile lui $\displaystyle 0$ : $\displaystyle 0^3=0$ și $\displaystyle 0^2=0$ , deci și produsul $\displaystyle 2\cdot 0^2=0$ .
$\displaystyle 0^3=0$ , $\displaystyle \quad 2\cdot 0^2=0$
Adunăm termenii: toți termenii în afară de $\displaystyle m$ sunt egali cu $\displaystyle 0$ , deci rămâne $\displaystyle m$ . Am arătat că $\displaystyle f(0)=m$ .
$\displaystyle f(0)=0+0+0+m=m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+2X^2+X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=1

, arătați că

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=5x_1x_2x_3

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=1$ polinomul este $\displaystyle f=X^3+2X^2+X+1$ . Scriem relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul 3 cu coeficienții $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle f=X^3+2X^2+X+1$
Din relațiile lui Viète obținem suma rădăcinilor, suma produselor lor două câte două și produsul rădăcinilor: $\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{2}{1}$ , $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{1}{1}$ , $\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{1}{1}$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2$ , $\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1$ , $\displaystyle \ x_1x_2x_3=-1$
Fiecare rădăcină verifică $\displaystyle f(x)=0$ , deci $\displaystyle x^3=-2x^2-x-1$ . Aplicăm relația pentru $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ , $\displaystyle x_3$ și adunăm cele trei egalități: $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-2\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-(x_1+x_2+x_3)-3$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-2\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-(x_1+x_2+x_3)-3$
Calculăm suma pătratelor: $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=(-2)^2-2\cdot 1=2$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-2)^2-2\cdot 1=2$
Înlocuim în expresia sumei cuburilor: $\displaystyle -2\cdot 2-(-2)-3=-5$ . Cum $\displaystyle x_1x_2x_3=-1$ , avem $\displaystyle 5x_1x_2x_3=-5$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-2\left((-2)^2-2\cdot 1\right)-(-2)-3=-5=5x_1x_2x_3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+2X^2+X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul natural prim

\displaystyle m

, știind că polinomul

\displaystyle f

are o rădăcină întreagă.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle x_1\in\mathbb{Z}$ o rădăcină a lui $\displaystyle f$ . Atunci $\displaystyle f(x_1)=0$ , adică $\displaystyle x_1^3+2x_1^2+x_1+m=0$ .
$\displaystyle x_1^3+2x_1^2+x_1+m=0$
Scoatem $\displaystyle m=-x_1^3-2x_1^2-x_1=-x_1\left(x_1^2+2x_1+1\right)$ . Cum $\displaystyle x_1^2+2x_1+1=(x_1+1)^2$ , obținem relația de mai jos.
$\displaystyle m=-x_1(x_1+1)^2$
Numărul $\displaystyle m$ este prim, deci are doar divizorii pozitivi $\displaystyle 1$ și $\displaystyle m$ . Din $\displaystyle m=(-x_1)\cdot(x_1+1)^2$ rezultă că $\displaystyle (x_1+1)^2$ divide $\displaystyle m$ , deci $\displaystyle (x_1+1)^2\in\{1,m\}$ .
$\displaystyle (x_1+1)^2\in\{1,m\}$
Dacă $\displaystyle (x_1+1)^2=m$ , atunci $\displaystyle m$ ar fi pătrat perfect, imposibil pentru un număr prim. Rămâne cazul de mai jos.
$\displaystyle (x_1+1)^2=1$
Din $\displaystyle (x_1+1)^2=1$ obținem $\displaystyle x_1+1=\pm 1$ , deci $\displaystyle x_1=0$ sau $\displaystyle x_1=-2$ . Pentru $\displaystyle x_1=0$ avem $\displaystyle m=0$ , care nu este prim, deci nu convine. Pentru $\displaystyle x_1=-2$ avem $\displaystyle m=-(-2)\cdot(-1)^2=2$ , care este prim.
$\displaystyle x_1=0\text{, care nu convine, sau }x_1=-2\text{, pentru care }m=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este diferența dintre $\displaystyle x$ și $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ , deci o derivăm termen cu termen: $\displaystyle f'(x)=(x)'-\left(\sqrt{x^2+1}\right)'$ , iar $\displaystyle (x)'=1$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'$
Pentru radical folosim formula $\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'$ , cu $\displaystyle u=x^2+1$ . Cum $\displaystyle x^2+1>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , derivata există pe tot $\displaystyle \mathbb{R}$ . Obținem:
$\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\left(x^{2}+1\right)'$
Calculăm $\displaystyle \left(x^2+1\right)'=2x+0=2x$ . Înlocuim în expresia derivatei:
$\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ și obținem forma cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ :
$\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=L$ , unde $\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , dacă această limită este finită. Calculăm $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .
$\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)$
Direct, limita are forma $\displaystyle \infty-\infty$ , deci este o nedeterminare. O eliminăm amplificând cu conjugata $\displaystyle x+\sqrt{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}$
La numărător folosim formula $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ și obținem $\displaystyle x^{2}-\left(x^{2}+1\right)=-1$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-\left(x^{2}+1\right)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , numitorul $\displaystyle x+\sqrt{x^{2}+1}$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , iar numărătorul rămâne $\displaystyle -1$ , deci fracția tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=0$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , deci graficul lui $\displaystyle f$ are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ de ecuație $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}

.

Arătați că derivata funcției

\displaystyle f

este descrescătoare pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata întâi a funcției $\displaystyle f$ . Derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$
Pentru a arăta că $\displaystyle f'$ este descrescătoare, calculăm derivata ei, $\displaystyle f''$ . Derivăm câtul $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ cu formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
$\displaystyle f''(x)=-\dfrac{1\cdot\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}$
Aducem numărătorul la același numitor: $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}-\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . Împărțind la $\displaystyle x^{2}+1$ , obținem rezultatul.
$\displaystyle f''(x)=-\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)\sqrt{x^{2}+1}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0$ și $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}>0$ , deci numitorul este strict pozitiv. Atunci $\displaystyle f''(x)<0$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci $\displaystyle f'$ este descrescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f''(x)<0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ f'\text{ este descrescătoare pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}dx=1

.

Vezi rezolvarea

Observăm că funcția $\displaystyle f(x)=\ln x$ are derivata $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}$ pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci $\displaystyle \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ pe acest interval.
$\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , $\displaystyle \quad x>0$
Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [1,e]\subset(0,+\infty)$ , unde $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ este continuă, folosind primitiva $\displaystyle \ln x$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}dx=\ln x\Big|_1^e$
Calculăm diferența valorilor primitivei în capetele intervalului: $\displaystyle \ln e=1$ , iar $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln x

.

Determinați numărul natural nenul

\displaystyle n

, știind că

\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\left(f(x)\right)^n dx=\frac{1}{2015}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\ln x$ în integrală, deci integrala devine $\displaystyle \displaystyle\int_1^e\frac{1}{x}\ln^n x\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\ln^n x\,dx$
Facem substituția $\displaystyle t=\ln x$ . Atunci $\displaystyle dt=\dfrac{1}{x}\,dx$ . Limitele se schimbă: pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle t=\ln 1=0$ , iar pentru $\displaystyle x=e$ avem $\displaystyle t=\ln e=1$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\ln^n x\,dx=\int_0^1 t^n\,dt$
Calculăm integrala cu formula primitivei unei puteri: $\displaystyle \displaystyle\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}$ . Aplicăm limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ (echivalent, primitiva $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\ln^{n+1}x$ pe $\displaystyle [1,e]$ ) și obținem $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}$ .
$\displaystyle \frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\Big|_1^e=\frac{1}{n+1}$
Egalăm rezultatul cu $\displaystyle \dfrac{1}{2015}$ : $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{2015}$ . Numitorii sunt egali, deci $\displaystyle n+1=2015$ , de unde $\displaystyle n=2014$ , care este număr natural nenul.
$\displaystyle \frac{1}{n+1}=\frac{1}{2015}\Leftrightarrow n=2014$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2015, sesiunea a II-a varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani