Bac matematică M1 mate-info 2016, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=2016\displaystyle a_1 = 2016 și rația r=2\displaystyle r = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r.
    an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r
  2. Pentru al treilea termen luăm n=3\displaystyle n=3 și înlocuim a1=2016\displaystyle a_1=2016 și r=2\displaystyle r=2.
    a3=2016+2⋅2\displaystyle a_3=2016+2\cdot 2
  3. Calculăm produsul 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, apoi adunăm la 2016 și obținem a3=2016+4=2020\displaystyle a_3=2016+4=2020.
    a3=2020\displaystyle a_3=2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului unei funcții dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 2\displaystyle 2, deci f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m și obținem f(1)=1+m\displaystyle f(1)=1+m. Din f(1)=2\displaystyle f(1)=2 rezultă ecuația 1+m=2\displaystyle 1+m=2.
    1+m=2\displaystyle 1+m=2
  3. Rezolvăm ecuația: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem m=2−1=1\displaystyle m=2-1=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 24x−6=43x−4\displaystyle 2^{4x-6}=4^{3x-4}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci putem scrie ambele părți ale ecuației cu baza 2\displaystyle 2. Ecuația devine 24x−6=(22)3x−4\displaystyle 2^{4x-6}=\left(2^{2}\right)^{3x-4}.
    24x−6=(22)3x−4\displaystyle 2^{4x-6}=\left(2^{2}\right)^{3x-4}
  2. Aplicăm regula (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}. Obținem (22)3x−4=22(3x−4)=26x−8\displaystyle \left(2^{2}\right)^{3x-4}=2^{2(3x-4)}=2^{6x-8}, deci ecuația este 24x−6=26x−8\displaystyle 2^{4x-6}=2^{6x-8}.
    24x−6=26x−8\displaystyle 2^{4x-6}=2^{6x-8}
  3. Funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, deci din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților: 4x−6=6x−8\displaystyle 4x-6=6x-8.
    4x−6=6x−8\displaystyle 4x-6=6x-8
  4. Mutăm termenii: 4x−6x=−8+6\displaystyle 4x-6x=-8+6, deci −2x=−2\displaystyle -2x=-2. Împărțind la −2\displaystyle -2 obținem x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,40}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,40\}, acesta să conțină cifra 4.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A={1,2,3,…,40}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,40\} are 40\displaystyle 40 de elemente, deci putem alege oricare dintre cele 40\displaystyle 40 de numere.
    cazuri posibile=40\displaystyle \text{cazuri posibile} = 40
  2. Căutăm numerele care conțin cifra 4\displaystyle 4. Cifra 4\displaystyle 4 poate fi cifra unităților: 4,14,24,34\displaystyle 4, 14, 24, 34. Poate fi cifra zecilor: 40,41,…,49\displaystyle 40, 41, \ldots, 49, dar în mulțimea A\displaystyle A apare doar 40\displaystyle 40.
    {4, 14, 24, 34, 40}\displaystyle \{4,\,14,\,24,\,34,\,40\}
  3. Numărăm elementele găsite: sunt 5\displaystyle 5 numere, deci avem 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    cazuri favorabile=5\displaystyle \text{cazuri favorabile} = 5
  4. Aplicăm formula probabilității, p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}, și simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5.
    p=540=18\displaystyle p=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(4,5)\displaystyle B(4,5). Determinați ecuația dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ecuația dreptei prin două puncte A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1) și B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2): y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)\displaystyle y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1).
    y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)\displaystyle y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)
  2. Înlocuim coordonatele x1=1\displaystyle x_1=1, y1=2\displaystyle y_1=2, x2=4\displaystyle x_2=4, y2=5\displaystyle y_2=5.
    y−2=5−24−1(x−1)\displaystyle y-2=\dfrac{5-2}{4-1}(x-1)
  3. Calculăm panta: 5−24−1=33=1\displaystyle \dfrac{5-2}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1.
    y−2=1⋅(x−1)\displaystyle y-2=1\cdot(x-1)
  4. Desfacem parantezele: y−2=x−1\displaystyle y-2=x-1, deci y=x−1+2\displaystyle y=x-1+2.
    y=x+1\displaystyle y=x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Dacă x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și sin⁡x=45\displaystyle \sin x=\frac{4}{5}, arătați că sin⁡2x=2425\displaystyle \sin 2x=\frac{24}{25}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim relația fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Deducem cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
    cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x
  2. Înlocuim sin⁡x=45\displaystyle \sin x=\dfrac{4}{5} și obținem cos⁡2x=1−1625\displaystyle \cos^{2}x=1-\dfrac{16}{25}.
    cos⁡2x=1−1625=925\displaystyle \cos^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}
  3. Cum x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci cos⁡x=925\displaystyle \cos x=\sqrt{\dfrac{9}{25}}.
    cos⁡x=1−sin⁡2x=35\displaystyle \cos x=\sqrt{1-\sin^{2}x}=\frac{3}{5}
  4. Aplicăm formula sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x și înlocuim valorile găsite.
    sin⁡2x=2⋅45⋅35\displaystyle \sin 2x=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}
  5. Efectuăm înmulțirea: 2⋅4⋅3=24\displaystyle 2\cdot 4\cdot 3=24 și 5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25, deci sin⁡2x=2425\displaystyle \sin 2x=\dfrac{24}{25}, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{25}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a1a1−111−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & 1\\ a & 1 & -1\\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+z=1ax+y−z=−1x+y−2z=0\displaystyle \begin{cases}x+ay+z=1\\ ax+y-z=-1\\ x+y-2z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣10101−111−2∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -2\end{vmatrix}
  2. Folosim regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele de pe cele două paralele cu ea: 1⋅1⋅(−2)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-2), 0⋅(−1)⋅1\displaystyle 0\cdot(-1)\cdot 1 și 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1.
    1⋅1⋅(−2)+0⋅(−1)⋅1+1⋅0⋅1=−2+0+0=−2\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-2)+0\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 0\cdot 1=-2+0+0=-2
  3. Termenii cu minus sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele de pe cele două paralele cu ea: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1 și 0⋅0⋅(−2)\displaystyle 0\cdot 0\cdot(-2).
    1⋅1⋅1+(−1)⋅1⋅1+0⋅0⋅(−2)=1−1+0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 1+0\cdot 0\cdot(-2)=1-1+0=0
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: −2+0+0−1−(−1)−0=−2\displaystyle -2+0+0-1-(-1)-0=-2. Deci det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
    det⁡(A(0))=−2+0+0−1−(−1)−0=−2\displaystyle \det(A(0))=-2+0+0-1-(-1)-0=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a1a1−111−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & 1\\ a & 1 & -1\\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+z=1ax+y−z=−1x+y−2z=0\displaystyle \begin{cases}x+ay+z=1\\ ax+y-z=-1\\ x+y-2z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a\displaystyle a, a≠−1\displaystyle a\neq -1 și a≠1\displaystyle a\neq 1.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Calculăm deci det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)), dezvoltându-l după prima linie.
    det⁡(A(a))=∣1a1a1−111−2∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1 & a & 1\\ a & 1 & -1\\ 1 & 1 & -2\end{vmatrix}
  2. Scriem dezvoltarea după prima linie, cu minorii de ordinul doi corespunzători elementelor 1\displaystyle 1, a\displaystyle a și 1\displaystyle 1.
    det⁡(A(a))=1⋅∣1−11−2∣−a⋅∣a−11−2∣+1⋅∣a111∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&-2\end{vmatrix}-a\cdot\begin{vmatrix}a&-1\\1&-2\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}a&1\\1&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm fiecare minor de ordinul doi.
    ∣1−11−2∣=−2+1=−1\displaystyle \begin{vmatrix}1&-1\\1&-2\end{vmatrix}=-2+1=-1,∣a−11−2∣=−2a+1\displaystyle \quad \begin{vmatrix}a&-1\\1&-2\end{vmatrix}=-2a+1,∣a111∣=a−1\displaystyle \quad \begin{vmatrix}a&1\\1&1\end{vmatrix}=a-1
  4. Înlocuim minorii în dezvoltare, desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. Apoi factorizăm cu diferența de pătrate: 2a2−2=2(a2−1)\displaystyle 2a^{2}-2=2(a^{2}-1).
    det⁡(A(a))=−1−a(1−2a)+(a−1)=2a2−2=2(a−1)(a+1)\displaystyle \det(A(a))=-1-a(1-2a)+(a-1)=2a^{2}-2=2(a-1)(a+1)
  5. Determinantul se anulează doar când a=1\displaystyle a=1 sau a=−1\displaystyle a=-1. Pentru a≠−1\displaystyle a\neq -1 și a≠1\displaystyle a\neq 1, ambii factori a−1\displaystyle a-1 și a+1\displaystyle a+1 sunt nenuli, deci determinantul este nenul și matricea este inversabilă.
    det⁡(A(a))≠0, deci matricea A(a) este inversabila˘\displaystyle \det(A(a))\neq 0\text{, deci matricea }A(a)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a1a1−111−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & 1\\ a & 1 & -1\\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+z=1ax+y−z=−1x+y−2z=0\displaystyle \begin{cases}x+ay+z=1\\ ax+y-z=-1\\ x+y-2z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele întregi a\displaystyle a, pentru care sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0), iar x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 sunt numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului: det⁡A(a)=1⋅(−2+1)−a(−2a+1)+(a−1)\displaystyle \det A(a)=1\cdot(-2+1)-a(-2a+1)+(a-1). Sistemul are soluție unică exact când acest determinant este nenul.
    det⁡A(a)=2a2−2=2(a−1)(a+1)≠0  ⟺  a≠±1\displaystyle \det A(a)=2a^{2}-2=2(a-1)(a+1)\neq 0\iff a\neq\pm1
  2. Pentru a≠±1\displaystyle a\neq\pm1, din ecuația a treia scoatem x=2z−y\displaystyle x=2z-y și îl înlocuim în primele două ecuații. Obținem 3z+(a−1)y=1\displaystyle 3z+(a-1)y=1 și (2a−1)z−(a−1)y=−1\displaystyle (2a-1)z-(a-1)y=-1.
    {3z+(a−1)y=1(2a−1)z−(a−1)y=−1\displaystyle \begin{cases}3z+(a-1)y=1\\(2a-1)z-(a-1)y=-1\end{cases}
  3. Adunând cele două ecuații obținem (2a+2)z=0\displaystyle (2a+2)z=0. Cum a≠−1\displaystyle a\neq-1, rezultă z=0\displaystyle z=0. Atunci (a−1)y=1\displaystyle (a-1)y=1, deci y=1a−1\displaystyle y=\dfrac{1}{a-1}, iar x=2z−y=−1a−1\displaystyle x=2z-y=-\dfrac{1}{a-1}.
    (x0,y0,z0)=(−1a−1,1a−1,0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(-\frac{1}{a-1},\frac{1}{a-1},0\right)
  4. Cerem ca x0\displaystyle x_0 și y0\displaystyle y_0 să fie întregi, deci a−1\displaystyle a-1 trebuie să dividă 1\displaystyle 1. Așadar a−1∈{−1,1}\displaystyle a-1\in\{-1,1\}, adică a=0\displaystyle a=0 sau a=2\displaystyle a=2. Ambele valori sunt diferite de ±1\displaystyle \pm1, deci convin.
    a=0 sau a=2\displaystyle a=0\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Arătați că x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.
    x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca 3−1\displaystyle 3-1, pentru a obține 3\displaystyle 3 care se va grupa cu ceilalți termeni.
    x∘y=3xy+3x+3y+3−1\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+3-1
  3. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun 3x\displaystyle 3x: 3xy+3x=3x(y+1)\displaystyle 3xy+3x=3x(y+1). Grupăm următorii doi termeni și dăm factor comun 3\displaystyle 3: 3y+3=3(y+1)\displaystyle 3y+3=3(y+1).
    x∘y=3x(y+1)+3(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3x(y+1)+3(y+1)-1
  4. Dăm factor comun (y+1)\displaystyle (y+1) și obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+3\displaystyle f(x)=3x+3. Demonstrați că f(x∘y)=f(x)f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)f(y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată: 3(x+1)(y+1)−1=3xy+3x+3y+3−1=3xy+3x+3y+2\displaystyle 3(x+1)(y+1)-1=3xy+3x+3y+3-1=3xy+3x+3y+2, deci x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1
  2. Din f(x)=3x+3\displaystyle f(x)=3x+3 obținem f(x∘y)=3(x∘y)+3\displaystyle f(x\circ y)=3(x\circ y)+3.
    f(x∘y)=3(x∘y)+3\displaystyle f(x\circ y)=3(x\circ y)+3
  3. Înlocuim x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1 și obținem f(x∘y)=3(3(x+1)(y+1)−1)+3=9(x+1)(y+1)−3+3\displaystyle f(x\circ y)=3\left(3(x+1)(y+1)-1\right)+3=9(x+1)(y+1)-3+3.
    f(x∘y)=9(x+1)(y+1)\displaystyle f(x\circ y)=9(x+1)(y+1)
  4. Scriem 9(x+1)(y+1)=3(x+1)⋅3(y+1)=(3x+3)(3y+3)=f(x)f(y)\displaystyle 9(x+1)(y+1)=3(x+1)\cdot 3(y+1)=(3x+3)(3y+3)=f(x)f(y). Deci f(x∘y)=f(x)f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)f(y) pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    f(x∘y)=(3x+3)(3y+3)=f(x)f(y)\displaystyle f(x\circ y)=(3x+3)(3y+3)=f(x)f(y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, pentru care a∘a∘…∘a⏟de 2016 ori a=32015−1\displaystyle \underbrace{a\circ a\circ\ldots\circ a}_{\text{de }2016\text{ ori }a}=3^{2015}-1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2 și calculăm 3(x∘y)+3=9xy+9x+9y+9=9(x+1)(y+1)\displaystyle 3(x\circ y)+3=9xy+9x+9y+9=9(x+1)(y+1). Fie f(x)=3x+3=3(x+1)\displaystyle f(x)=3x+3=3(x+1). Atunci f(x)⋅f(y)=9(x+1)(y+1)\displaystyle f(x)\cdot f(y)=9(x+1)(y+1), deci f(x∘y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y).
    f(x)=3x+3\displaystyle f(x)=3x+3,f(x∘y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle \quad f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y)
  2. Aplicăm f\displaystyle f ambilor membri ai egalității. Din relația f(x∘y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y) obținem f(a∘a∘…∘a)=(f(a))2016\displaystyle f(a\circ a\circ\ldots\circ a)=(f(a))^{2016}.
    f(a∘a∘…∘a)=(f(a))2016\displaystyle f(a\circ a\circ\ldots\circ a)=(f(a))^{2016}
  3. Calculăm membrul drept: f(32015−1)=3⋅(32015−1)+3=32016−3+3=32016\displaystyle f(3^{2015}-1)=3\cdot(3^{2015}-1)+3=3^{2016}-3+3=3^{2016}. Rămâne ecuația (f(a))2016=32016\displaystyle (f(a))^{2016}=3^{2016}.
    (f(a))2016=32016\displaystyle (f(a))^{2016}=3^{2016}
  4. Deoarece exponentul 2016\displaystyle 2016 este par, din (f(a))2016=32016\displaystyle (f(a))^{2016}=3^{2016} rezultă ∣f(a)∣=3\displaystyle |f(a)|=3, adică f(a)=−3\displaystyle f(a)=-3 sau f(a)=3\displaystyle f(a)=3.
    f(a)=−3 sau f(a)=3\displaystyle f(a)=-3\text{ sau }f(a)=3
  5. Rezolvăm cele două ecuații. Din 3a+3=3\displaystyle 3a+3=3 obținem a=0\displaystyle a=0, iar din 3a+3=−3\displaystyle 3a+3=-3 obținem 3a=−6\displaystyle 3a=-6, deci a=−2\displaystyle a=-2.
    a=−2 sau a=0\displaystyle a=-2\text{ sau }a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x−1\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}.

Arătați că f′(x)=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) avem x+1>0\displaystyle x+1>0 și x−1>0\displaystyle x-1>0, deci logaritmii sunt bine definiți. Folosim proprietatea logaritmului unui cât: ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\displaystyle \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b, pentru a,b>0\displaystyle a,b>0.
    f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)
  2. Derivăm egalitatea obținută: f′(x)=(ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1))′\displaystyle f'(x)=\left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)'.
    f′(x)=(ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1))′\displaystyle f'(x)=\left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)'
  3. Derivata unei diferențe este diferența derivatelor: f′(x)=(ln⁡(x+1))′−(ln⁡(x−1))′\displaystyle f'(x)=\left(\ln(x+1)\right)'-\left(\ln(x-1)\right)'.
    f′(x)=(ln⁡(x+1))′−(ln⁡(x−1))′\displaystyle f'(x)=\left(\ln(x+1)\right)'-\left(\ln(x-1)\right)'
  4. Folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Pentru u=x+1\displaystyle u=x+1 și pentru u=x−1\displaystyle u=x-1 avem u′=1\displaystyle u'=1, deci (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1} și (ln⁡(x−1))′=1x−1\displaystyle \left(\ln(x-1)\right)'=\dfrac{1}{x-1}. Rezultă relația cerută.
    f′(x)=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x−1\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x+1>0\displaystyle x+1>0 și x−1>0\displaystyle x-1>0, deci putem scrie f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1).
    f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)
  2. Derivăm termen cu termen: f′(x)=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}.
    f′(x)=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}
  3. Aducem la numitor comun: f′(x)=(x−1)−(x+1)(x−1)(x+1)=−2x2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{-2}{x^{2}-1}.
    f′(x)=−2x2−1\displaystyle f'(x)=\frac{-2}{x^{2}-1}
  4. Scriem f′(x)=−2(x2−1)−1\displaystyle f'(x)=-2\left(x^{2}-1\right)^{-1} și derivăm: f′′(x)=−2⋅(−1)(x2−1)−2⋅2x=4x(x2−1)2\displaystyle f''(x)=-2\cdot(-1)\left(x^{2}-1\right)^{-2}\cdot 2x=\dfrac{4x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}. Cum x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1), obținem forma din barem.
    f′′(x)=4x(x−1)2(x+1)2\displaystyle f''(x)=\frac{4x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}
  5. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem 4x>0\displaystyle 4x>0, iar (x−1)2>0\displaystyle (x-1)^{2}>0 și (x+1)2>0\displaystyle (x+1)^{2}>0. Deci f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), ceea ce înseamnă că f\displaystyle f este convexă pe acest interval.
    f′′(x)>0, deci funcția f este convexa˘ pe (1,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, deci funcția }f\text{ este convexă pe }(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x−1\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}.

Demonstrați că lim⁡n→+∞(f′(2)+f′(3)+f′(4)+…+f′(n))=−32\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(f'(2)+f'(3)+f'(4)+\ldots+f'(n)\right)=-\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1), deoarece ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\displaystyle \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b.
    f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)
  2. Derivăm: f′(x)=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}.
    f′(x)=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}
  3. Pentru x=2,3,4,…,n\displaystyle x=2,3,4,\ldots,n obținem f′(2)=13−11\displaystyle f'(2)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{1}, f′(3)=14−12\displaystyle f'(3)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}, f′(4)=15−13\displaystyle f'(4)=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}, ..., f′(n)=1n+1−1n−1\displaystyle f'(n)=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n-1}. Limita cerută este limita sumei acestor termeni.
    lim⁡n→+∞((13−11)+(14−12)+(15−13)+…+(1n+1−1n−1))\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{1}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)
  4. Suma este telescopică. Fracțiile 13,14,…,1n−1\displaystyle \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\ldots,\dfrac{1}{n-1} apar o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduc. Rămân −11\displaystyle -\dfrac{1}{1} și −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} de la început, respectiv 1n\displaystyle \dfrac{1}{n} și 1n+1\displaystyle \dfrac{1}{n+1} de la sfârșit.
    f′(2)+f′(3)+…+f′(n)=−11−12+1n+1n+1\displaystyle f'(2)+f'(3)+\ldots+f'(n)=-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}
  5. Când n→+∞\displaystyle n\to+\infty, 1n→0\displaystyle \dfrac{1}{n}\to 0 și 1n+1→0\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\to 0. Rămâne −1−12=−32\displaystyle -1-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}, ceea ce trebuia demonstrat.
    lim⁡n→+∞(−11−12+1n+1n+1)=−32\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)=-\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}.

Arătați că ∫12x f(x) dx=52\displaystyle \int_1^2\sqrt{x}\,f(x)\,dx=\frac{5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în integrand: x f(x)=x(x+1x)\displaystyle \sqrt{x}\,f(x)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right).
    x f(x)=x(x+1x)\displaystyle \sqrt{x}\,f(x)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)
  2. Distribuim înmulțirea: x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x, iar x⋅1x=1\displaystyle \sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}=1. Deci integrandul devine x+1\displaystyle x+1, pentru x>0\displaystyle x>0.
    x f(x)=x+1\displaystyle \sqrt{x}\,f(x)=x+1
  3. Scriem integrala cu integrandul simplificat și căutăm o primitivă: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12x f(x) dx=∫12(x+1) dx=(x22+x)∣12\displaystyle \int_1^2\sqrt{x}\,f(x)\,dx=\int_1^2(x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_1^2
  4. Calculăm valoarea primitivei în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1: în 2\displaystyle 2 obținem 42+2=4\displaystyle \dfrac{4}{2}+2=4; în 1\displaystyle 1 obținem 12+1=32\displaystyle \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}.
    (222+2)−(12+1)=4−32\displaystyle \left(\frac{2^2}{2}+2\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=4-\frac{3}{2}
  5. Efectuăm scăderea: 4−32=82−32=52\displaystyle 4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{8}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    4−32=52\displaystyle 4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}.

Arătați că ∫1e2(f(x)−x)ln⁡x dx=4\displaystyle \int_1^{e^2}\left(f(x)-\sqrt{x}\right)\ln x\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia din integrală: f(x)−x=x+1x−x=1x\displaystyle f(x)-\sqrt{x}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
    ∫1e2(f(x)−x)ln⁡x dx=∫1e21x⋅ln⁡x dx\displaystyle \int_1^{e^2}\left(f(x)-\sqrt{x}\right)\ln x\,dx=\int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\ln x\,dx
  2. Alegem pentru integrarea prin părți u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=1x dx\displaystyle dv=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx. Atunci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx, iar v=2x\displaystyle v=2\sqrt{x}, deoarece (2x)′=1x\displaystyle \left(2\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x,v=2x\displaystyle \quad v=2\sqrt{x},du=1x dx\displaystyle \quad du=\frac{1}{x}\,dx
  3. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du. Avem 2x⋅1x=2x\displaystyle 2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}, deci integrala devine o diferență între termenul din afara integralei și 2∫1x dx\displaystyle 2\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
    ∫1e21x⋅ln⁡x dx=2x⋅ln⁡x∣1e2−2∫1e21x dx\displaystyle \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\ln x\,dx=2\sqrt{x}\cdot\ln x\Big|_1^{e^2}-2\int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
  4. Calculăm integrala rămasă: 2∫1x dx=2⋅2x=4x\displaystyle 2\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\cdot 2\sqrt{x}=4\sqrt{x}. Obținem o singură expresie evaluată între limitele 1 și e2\displaystyle e^2.
    (2x⋅ln⁡x−4x)∣1e2\displaystyle \left(2\sqrt{x}\cdot\ln x-4\sqrt{x}\right)\Big|_1^{e^2}
  5. Înlocuim limitele. Pentru x=e2\displaystyle x=e^2: x=e\displaystyle \sqrt{x}=e și ln⁡x=2\displaystyle \ln x=2, deci valoarea este 2e⋅2−4e=4e−4e=0\displaystyle 2e\cdot 2-4e=4e-4e=0. Pentru x=1\displaystyle x=1: ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1, deci valoarea este 0−4=−4\displaystyle 0-4=-4. Diferența este 0−(−4)=4\displaystyle 0-(-4)=4, ceea ce trebuia arătat.
    (2x⋅ln⁡x−4x)∣1e2=4e−4e+4=4\displaystyle \left(2\sqrt{x}\cdot\ln x-4\sqrt{x}\right)\Big|_1^{e^2}=4e-4e+4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,a]→R\displaystyle g:[1,a]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x) este egal cu π(ln⁡a+72)\displaystyle \pi\left(\ln a+\frac{7}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g\displaystyle g pe [1,a]\displaystyle [1,a] în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫1ag2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_1^a g^2(x)\,dx.
    V=π∫1ag2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_1^a g^{2}(x)\,dx
  2. Calculăm g2(x)=(x+1x)2=x+2x⋅1x+1x\displaystyle g^2(x)=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=x+2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x}, iar produsul din mijloc este egal cu 1\displaystyle 1.
    g2(x)=x+2+1x\displaystyle g^{2}(x)=x+2+\dfrac{1}{x}
  3. Primitivele sunt x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} pentru x\displaystyle x, 2x\displaystyle 2x pentru 2\displaystyle 2 și ln⁡x\displaystyle \ln x pentru 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=π(x22+2x+ln⁡x)∣1a=π(a22+2a+ln⁡a−12−2−0)\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{x^2}{2}+2x+\ln x\right)\Big|_1^a=\pi\left(\dfrac{a^2}{2}+2a+\ln a-\dfrac{1}{2}-2-0\right).
    V=π(a22+2a+ln⁡a−52)\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{a^{2}}{2}+2a+\ln a-\dfrac{5}{2}\right)
  4. Egalăm cu valoarea din enunț: π(a22+2a+ln⁡a−52)=π(ln⁡a+72)\displaystyle \pi\left(\dfrac{a^2}{2}+2a+\ln a-\dfrac{5}{2}\right)=\pi\left(\ln a+\dfrac{7}{2}\right). Împărțim cu π\displaystyle \pi și reducem ln⁡a\displaystyle \ln a, obținem a22+2a−52=72\displaystyle \dfrac{a^2}{2}+2a-\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}.
    a22+2a−52=72\displaystyle \dfrac{a^{2}}{2}+2a-\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}
  5. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: a2+4a−5=7\displaystyle a^2+4a-5=7, deci a2+4a−12=0\displaystyle a^2+4a-12=0. Discriminantul este 16+48=64\displaystyle 16+48=64, deci a=−4±82\displaystyle a=\dfrac{-4\pm 8}{2}, adică a=2\displaystyle a=2 sau a=−6\displaystyle a=-6. Cum a>1\displaystyle a>1, rămâne a=2\displaystyle a=2.
    a2+4a−12=0, deci a=2\displaystyle a^{2}+4a-12=0\text{, deci }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.