Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea a II-a rezervă varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (5-4i)^2+(5+4i)^2=18

, unde

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm primul pătrat cu formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , unde $\displaystyle a=5$ și $\displaystyle b=4i$ .
$\displaystyle (5-4i)^2=25-40i+16i^2$
Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu aceleași valori pentru $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle (5+4i)^2=25+40i+16i^2$
Adunăm cele două dezvoltări, așa cum cere expresia din enunț.
$\displaystyle 25-40i+16i^2+25+40i+16i^2$
Reducem termenii cu $\displaystyle i$ : $\displaystyle -40i$ și $\displaystyle +40i$ se anulează. Rămân $\displaystyle 25+25=50$ și $\displaystyle 16i^2+16i^2=32i^2$ .
$\displaystyle 50+32i^2$
Înlocuim $\displaystyle i^2=-1$ și calculăm: $\displaystyle 50-32=18$ , deci egalitatea din enunț este adevărată.
$\displaystyle 50+32i^2=50-32=18$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-6x+8

. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ au ordonata $\displaystyle 0$ , deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-6x+8=0$ .
$\displaystyle x^{2}-6x+8=0$
Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea, cu $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-6$ , $\displaystyle c=8$ : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 8$ .
$\displaystyle \Delta=36-32=4$
Aplicăm formula soluțiilor: $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{6\pm 2}{2}$ . Obținem $\displaystyle x_1=\dfrac{6-2}{2}=2$ și $\displaystyle x_2=\dfrac{6+2}{2}=4$ .
$\displaystyle x_1=2\text{ și }x_2=4$
Verificare: $\displaystyle 2^{2}-6\cdot 2+8=0$ și $\displaystyle 4^{2}-6\cdot 4+8=0$ . Deci abscisele punctelor de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ sunt $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle x=2\text{ și }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2-x-2}=x-2

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle \sqrt{x^2-x-2}\ge 0$ , deci trebuie ca $\displaystyle x-2\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge 2$ . Reținem această condiție pentru verificarea finală.
$\displaystyle x\ge 2$
Ridicăm ecuația la pătrat. Radicalul la pătrat dă expresia de sub radical, iar în dreapta apare $\displaystyle (x-2)^2$ .
$\displaystyle x^2-x-2=(x-2)^2$
Dezvoltăm pătratul diferenței: $\displaystyle (x-2)^2=x^2-4x+4$ . Apoi reducem $\displaystyle x^2$ din ambele părți, mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și numerele în dreapta, și obținem $\displaystyle 3x=6$ .
$\displaystyle x^2-x-2=x^2-4x+4\Rightarrow 3x=6$
Împărțim la $\displaystyle 3$ și obținem $\displaystyle x=2$ . Verificăm: $\displaystyle x=2$ îndeplinește condiția $\displaystyle x\ge 2$ . Înlocuind în ecuația inițială, sub radical avem $\displaystyle 4-2-2=0$ , deci $\displaystyle \sqrt{0}=0$ , iar în dreapta $\displaystyle 2-2=0$ . Egalitatea $\displaystyle 0=0$ este adevărată, deci $\displaystyle x=2$ convine.
$\displaystyle x=2\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu

\displaystyle 9

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt cele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ . Numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 99-10+1$ .
$\displaystyle 99-10+1=90$
Căutăm numerele $\displaystyle \overline{ab}$ cu $\displaystyle a\cdot b=9$ . Cifrele sunt divizori ai lui $\displaystyle 9$ , adică $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 3$ sau $\displaystyle 9$ . Perechile $\displaystyle (a,b)$ cu produsul $\displaystyle 9$ sunt $\displaystyle (1,9)$ , $\displaystyle (3,3)$ și $\displaystyle (9,1)$ .
$\displaystyle (a,b)\in\{(1,9),(3,3),(9,1)\}$
Numerele corespunzătoare sunt $\displaystyle 19$ , $\displaystyle 33$ și $\displaystyle 91$ , deci există $\displaystyle 3$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 19$ , $\displaystyle \ 33$ , $\displaystyle \ 91\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,1)

și

\displaystyle B(2,3)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle M

, știind că punctul

\displaystyle B

este mijlocul segmentului

\displaystyle AM

.

Vezi rezolvarea

Notăm coordonatele punctului $\displaystyle M$ cu $\displaystyle (x_M, y_M)$ . Deoarece $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AM$ , coordonatele lui $\displaystyle B$ sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor $\displaystyle A$ și $\displaystyle M$ : $\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_M}{2}$ și $\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_M}{2}$ .
$\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_M}{2}$ , $\displaystyle \quad y_B=\dfrac{y_A+y_M}{2}$
Înlocuim $\displaystyle x_B=2$ și $\displaystyle x_A=2$ în prima formulă: $\displaystyle 2=\dfrac{2+x_M}{2}$ . Înmulțim cu 2 și obținem $\displaystyle 4=2+x_M$ .
$\displaystyle 2=\dfrac{2+x_M}{2}\Rightarrow 4=2+x_M$
Din $\displaystyle 4=2+x_M$ rezultă abscisa punctului $\displaystyle M$ .
$\displaystyle x_M=2$
Înlocuim $\displaystyle y_B=3$ și $\displaystyle y_A=1$ în a doua formulă: $\displaystyle 3=\dfrac{1+y_M}{2}$ . Înmulțim cu 2 și obținem $\displaystyle 6=1+y_M$ .
$\displaystyle 3=\dfrac{1+y_M}{2}\Rightarrow 6=1+y_M$
Din $\displaystyle 6=1+y_M$ rezultă $\displaystyle y_M=5$ . Deci punctul $\displaystyle M$ are coordonatele $\displaystyle (2,5)$ .
$\displaystyle y_M=5$ , $\displaystyle \quad M(2,5)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria paralelogramului

\displaystyle ABCD

, știind că

\displaystyle AB=6

,

\displaystyle BC=3

și

\displaystyle m(\measuredangle ABC)=30^\circ

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula ariei unui paralelogram: produsul a două laturi alăturate înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Aici laturile alăturate sunt $\displaystyle AB$ și $\displaystyle BC$ , iar unghiul dintre ele este $\displaystyle \measuredangle ABC$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=AB\cdot BC\cdot\sin(\measuredangle ABC)$
Înlocuim datele din enunț: $\displaystyle AB=6$ , $\displaystyle BC=3$ și $\displaystyle m(\measuredangle ABC)=30^\circ$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=6\cdot 3\cdot\sin 30^\circ$
Calculăm produsul $\displaystyle 6\cdot 3=18$ și folosim valoarea cunoscută $\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=18\cdot\frac{1}{2}$
Efectuăm înmulțirea $\displaystyle 18\cdot\dfrac{1}{2}$ și obținem aria paralelogramului.
$\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\x&0&0\\0&x&0\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ în matricea $\displaystyle A(x)$ și obținem matricea $\displaystyle A(1)$ , apoi scriem determinantul ei.
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle \det(A(1))=0\cdot0\cdot0+0\cdot0\cdot0+1\cdot1\cdot1-1\cdot0\cdot0-0\cdot0\cdot1-0\cdot1\cdot0$
Calculăm produsele: singurul produs nenul este cel format din elementele egale cu $\displaystyle 1$ , adică $\displaystyle 1\cdot1\cdot1=1$ , iar toate celelalte sunt $\displaystyle 0$ . Deci determinantul este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \det(A(1))=0+0+1-0-0-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\x&0&0\\0&x&0\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle A(x)A(y)A(z)=xyz\,I_3

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

,

\displaystyle y

și

\displaystyle z

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul cerut cu matricele date și îl calculăm în două etape: întâi $\displaystyle A(x)A(y)$ , apoi înmulțim rezultatul cu $\displaystyle A(z)$ .
$\displaystyle A(x)A(y)A(z)=\begin{pmatrix}0&0&x\\x&0&0\\0&x&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&y\\y&0&0\\0&y&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&z\\z&0&0\\0&z&0\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A(x)A(y)$ linie cu linie. Linia 1 din $\displaystyle A(x)$ are doar elementul $\displaystyle x$ pe poziția 3, deci rezultatul este $\displaystyle x$ ori linia 3 din $\displaystyle A(y)$ , adică $\displaystyle (0,\ xy,\ 0)$ . Linia 2 are doar $\displaystyle x$ pe poziția 1, deci rezultatul este $\displaystyle x$ ori linia 1 din $\displaystyle A(y)$ , adică $\displaystyle (0,\ 0,\ xy)$ . Linia 3 are doar $\displaystyle x$ pe poziția 2, deci rezultatul este $\displaystyle x$ ori linia 2 din $\displaystyle A(y)$ , adică $\displaystyle (xy,\ 0,\ 0)$ .
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}0&xy&0\\0&0&xy\\xy&0&0\end{pmatrix}$
Înmulțim rezultatul cu $\displaystyle A(z)$ , tot linie cu linie. Linia 1 $\displaystyle (0,\ xy,\ 0)$ dă $\displaystyle xy$ ori linia 2 din $\displaystyle A(z)$ , adică $\displaystyle (xyz,\ 0,\ 0)$ . Linia 2 $\displaystyle (0,\ 0,\ xy)$ dă $\displaystyle xy$ ori linia 3 din $\displaystyle A(z)$ , adică $\displaystyle (0,\ xyz,\ 0)$ . Linia 3 $\displaystyle (xy,\ 0,\ 0)$ dă $\displaystyle xy$ ori linia 1 din $\displaystyle A(z)$ , adică $\displaystyle (0,\ 0,\ xyz)$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}0&xy&0\\0&0&xy\\xy&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&z\\z&0&0\\0&z&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xyz&0&0\\0&xyz&0\\0&0&xyz\end{pmatrix}$
Matricea obținută are $\displaystyle xyz$ pe diagonala principală și $\displaystyle 0$ în rest, deci este $\displaystyle xyz$ înmulțit cu matricea unitate $\displaystyle I_3$ . Egalitatea este valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ și $\displaystyle z$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}xyz&0&0\\0&xyz&0\\0&0&xyz\end{pmatrix}=xyz\,I_3\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x$ , $\displaystyle \ y\text{ și }z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\x&0&0\\0&x&0\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

, numărul

\displaystyle \det(A(n)A(n)+A(n)+I_3)

este pătratul unui număr natural.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratul matricei $\displaystyle A(n)$ , înmulțind $\displaystyle A(n)$ cu ea însăși. Fiecare linie a produsului se obține înmulțind linia corespunzătoare din prima matrice cu a doua matrice: $\displaystyle A(n)A(n)=\begin{pmatrix}0&0&n\\n&0&0\\0&n&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&n\\n&0&0\\0&n&0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(n)A(n)=\begin{pmatrix}0&n^2&0\\0&0&n^2\\n^2&0&0\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle A(n)A(n)$ , $\displaystyle A(n)$ și $\displaystyle I_3$ , element cu element. Pe diagonală apar unitățile din $\displaystyle I_3$ , deasupra diagonalei apar $\displaystyle n^2$ și $\displaystyle n$ , iar dedesubt apar $\displaystyle n$ și $\displaystyle n^2$ , în pozițiile date de cele trei matrice.
$\displaystyle A(n)A(n)+A(n)+I_3=\begin{pmatrix}1&n^2&n\\n&1&n^2\\n^2&n&1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus. Mai întâi termenii cu plus: produsul diagonalei principale și produsele pe paralelele ei, adică $\displaystyle 1\cdot1\cdot1+n^2\cdot n^2\cdot n^2+n\cdot n\cdot n$ .
$\displaystyle 1+n^6+n^3$
Termenii cu minus: produsul diagonalei secundare și produsele pe paralelele ei, adică $\displaystyle n\cdot1\cdot n^2+1\cdot n^2\cdot n+n^2\cdot n\cdot1$ . Fiecare dintre cei trei produse este egal cu $\displaystyle n^3$ .
$\displaystyle n^3+n^3+n^3=3n^3$
Scădem termenii cu minus din cei cu plus: $\displaystyle 1+n^6+n^3-3n^3=n^6-2n^3+1$ . Recunoaștem pătratul unei diferențe: $\displaystyle n^6-2n^3+1=(n^3-1)^2$ . Cum $\displaystyle n\in\mathbb{N}^*$ , numărul $\displaystyle n^3-1$ este natural, deci determinantul este pătratul unui număr natural.
$\displaystyle \det(A(n)A(n)+A(n)+I_3)=n^6-2n^3+1=(n^3-1)^2\text{, care este pătratul unui }$ $\displaystyle \text{număr natural}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^4+aX^2+4

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle f(2)=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 2$ în expresia polinomului: $\displaystyle f(2)=2^{4}+a\cdot 2^{2}+4$ .
$\displaystyle f(2)=2^{4}+a\cdot 2^{2}+4$
Din condiția $\displaystyle f(2)=0$ obținem ecuația $\displaystyle 2^{4}+a\cdot 2^{2}+4=0$ .
$\displaystyle 2^{4}+a\cdot 2^{2}+4=0$
Calculăm puterile: $\displaystyle 2^{4}=16$ și $\displaystyle 2^{2}=4$ , deci ecuația devine $\displaystyle 16+4a+4=0$ .
$\displaystyle 16+4a+4=0$
Adunăm termenii constanți: $\displaystyle 16+4=20$ , deci $\displaystyle 4a+20=0$ .
$\displaystyle 4a+20=0$
Din $\displaystyle 4a=-20$ rezultă $\displaystyle a=\dfrac{-20}{4}$ , adică $\displaystyle a=-5$ .
$\displaystyle a=-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^4+aX^2+4

, unde

\displaystyle a

este număr real. Pentru

\displaystyle a=-5

, determinați restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la polinomul

\displaystyle X^2+X-2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=-5$ în polinom și obținem $\displaystyle f=X^4-5X^2+4$ . Vom împărți $\displaystyle f$ la $\displaystyle X^2+X-2$ .
$\displaystyle f=X^{4}-5X^{2}+4$
Primul termen al câtului: împărțim $\displaystyle X^4$ la $\displaystyle X^2$ și obținem $\displaystyle X^2$ . Scădem $\displaystyle X^2\cdot(X^2+X-2)=X^4+X^3-2X^2$ din $\displaystyle f$ . Rămâne $\displaystyle -X^3-3X^2+4$ .
$\displaystyle X^{4}-5X^{2}+4-(X^{4}+X^{3}-2X^{2})=-X^{3}-3X^{2}+4$
Al doilea termen al câtului: împărțim $\displaystyle -X^3$ la $\displaystyle X^2$ și obținem $\displaystyle -X$ . Scădem $\displaystyle -X\cdot(X^2+X-2)=-X^3-X^2+2X$ . Rămâne $\displaystyle -2X^2-2X+4$ .
$\displaystyle -X^{3}-3X^{2}+4-(-X^{3}-X^{2}+2X)=-2X^{2}-2X+4$
Al treilea termen al câtului: împărțim $\displaystyle -2X^2$ la $\displaystyle X^2$ și obținem $\displaystyle -2$ . Scădem $\displaystyle -2\cdot(X^2+X-2)=-2X^2-2X+4$ . Diferența este $\displaystyle 0$ , deci câtul este $\displaystyle X^2-X-2$ .
$\displaystyle C=X^{2}-X-2$
Verificare: $\displaystyle (X^2+X-2)(X^2-X-2)=X^4-5X^2+4=f$ . Ultima diferență a fost $\displaystyle 0$ , deci restul este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \text{Câtul este }X^{2}-X-2\text{, restul este }0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^4+aX^2+4

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați rădăcinile polinomului

\displaystyle f

, știind că

\displaystyle f(i)=0

, unde

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle i$ în $\displaystyle f$ . Avem $\displaystyle i^{2}=-1$ și $\displaystyle i^{4}=1$ , deci $\displaystyle f(i)=i^{4}+a\cdot i^{2}+4=1-a+4$ .
$\displaystyle f(i)=1-a+4$
Din condiția $\displaystyle f(i)=0$ obținem $\displaystyle 1-a+4=0$ , deci $\displaystyle a=5$ .
$\displaystyle 1-a+4=0\Rightarrow a=5$
Cu $\displaystyle a=5$ , polinomul este $\displaystyle f=X^{4}+5X^{2}+4$ . Îl privim ca pe un trinom de gradul al doilea în $\displaystyle X^{2}$ : numerele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 4$ au suma $\displaystyle 5$ și produsul $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle f=X^{4}+5X^{2}+4=(X^{2}+1)(X^{2}+4)$
Rădăcinile se obțin din $\displaystyle X^{2}+1=0$ , adică $\displaystyle X^{2}=-1$ , deci $\displaystyle X=\pm i$ , și din $\displaystyle X^{2}+4=0$ , adică $\displaystyle X^{2}=-4$ , deci $\displaystyle X=\pm 2i$ .
$\displaystyle x_1=i$ , $\displaystyle \ x_2=-i$ , $\displaystyle \ x_3=2i\text{ și }x_4=-2i$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este compusă: $\displaystyle f(x)=\ln u(x)$ , unde $\displaystyle u(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ . Folosim formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)'}{\sqrt{x^{2}+1}+x}$
Derivăm radicalul: $\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{\left(x^2+1\right)'}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . Derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+1$
Înlocuim în formula de la primul pas.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\cdot\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+1\right)$
Aducem la același numitor termenii din paranteză: $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}$
Numărătorul $\displaystyle x+\sqrt{x^2+1}$ este egal cu $\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x$ , care este nenul, deci se simplifică. Rămâne $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

, în punctul de abscisă

\displaystyle x=0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$ : $\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$
Calculăm $\displaystyle f(0)$ : $\displaystyle f(0)=\ln\left(\sqrt{0^2+1}+0\right)=\ln 1=0$ .
$\displaystyle f(0)=\ln 1=0$
Derivăm funcția $\displaystyle f$ folosind formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ , unde $\displaystyle u=\sqrt{x^2+1}+x$ . Avem $\displaystyle u'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}+1=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1$ .
$\displaystyle u'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$
Obținem $\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ , deoarece numărătorul $\displaystyle x+\sqrt{x^2+1}$ se simplifică cu $\displaystyle u$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
Calculăm $\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{\sqrt{0^2+1}}=1$ . Deci $\displaystyle f(0)=0$ și $\displaystyle f'(0)=1$ .
$\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle \ f'(0)=1$
Înlocuim în formula tangentei: $\displaystyle y-0=1\cdot(x-0)$ , deci tangenta are ecuația $\displaystyle y=x$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este logaritm al expresiei $\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x$ , deci calculăm mai întâi limita argumentului când $\displaystyle x\to-\infty$ . Prin înlocuire directă obținem $\displaystyle +\infty-\infty$ , adică o nedeterminare.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\text{ are forma }\infty-\infty$
Eliminăm nedeterminarea amplificând cu conjugata $\displaystyle \sqrt{x^2+1}-x$ . La numărător folosim formula $\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .
$\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x=\frac{\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{\sqrt{x^2+1}-x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}$
Simplificăm numărătorul, care devine $\displaystyle 1$ . La numitor, pentru $\displaystyle x\to-\infty$ , $\displaystyle \sqrt{x^2+1}\to+\infty$ și $\displaystyle -x\to+\infty$ , deci numitorul tinde la $\displaystyle +\infty$ . Fracția cu numărător $\displaystyle 1$ tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0$
Argumentul logaritmului tinde la $\displaystyle 0$ cu valori pozitive, căci $\displaystyle \sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}>0$ . Limita lui $\displaystyle \ln t$ când $\displaystyle t\to0^{+}$ este $\displaystyle -\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=-\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1(e^x+1)f(x)\,dx=e-1

.

Vezi rezolvarea

Aducem la același numitor expresia lui $\displaystyle f(x)$ : $\displaystyle f(x)=1-\dfrac{1}{e^{x}+1}=\dfrac{e^{x}+1-1}{e^{x}+1}$ .
$\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$
Înmulțim cu $\displaystyle e^{x}+1$ : $\displaystyle (e^{x}+1)f(x)=(e^{x}+1)\cdot\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$ . Factorul $\displaystyle e^{x}+1$ este nenul, deci se simplifică și rămâne $\displaystyle e^{x}$ .
$\displaystyle (e^{x}+1)f(x)=e^{x}$
Integrala devine $\displaystyle \int_0^1(e^{x}+1)f(x)\,dx=\int_0^1 e^{x}\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle e^{x}$ este $\displaystyle e^{x}$ , deci integrala este $\displaystyle e^{x}\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \int_0^1(e^x+1)f(x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle e^{x}\Big|_0^1=e^{1}-e^{0}=e-1$ , deoarece $\displaystyle e^{0}=1$ . Am obținut exact valoarea cerută.
$\displaystyle e^1-e^0=e-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_{-1}^{1}x\left(f(x)+f(-x)\right)dx=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în formula funcției: $\displaystyle f(-x)=1-\dfrac{1}{e^{-x}+1}$ . Integrala devine o integrală cu ambele expresii scrise explicit.
$\displaystyle \int_{-1}^{1}x\left(1-\frac{1}{e^x+1}+1-\frac{1}{e^{-x}+1}\right)dx$
Amplificăm fracția cu $\displaystyle e^x$ : $\displaystyle \dfrac{1}{e^{-x}+1}=\dfrac{e^x}{1+e^x}$ , deci are același numitor $\displaystyle e^x+1$ ca prima fracție.
$\displaystyle \frac{1}{e^{-x}+1}=\frac{e^x}{e^x+1}$
Suma fracțiilor este $\displaystyle \dfrac{1}{e^x+1}+\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{e^x+1}{e^x+1}=1$ . Deci $\displaystyle f(x)+f(-x)=2-1=1$ .
$\displaystyle f(x)+f(-x)=2-\frac{e^x+1}{e^x+1}=1$
Integrala devine $\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ , iar calculul pe limitele $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ dă $\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}x\left(2-\frac{e^x+1}{e^x+1}\right)dx=\int_{-1}^{1}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}

.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției

\displaystyle f

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=0

și

\displaystyle x=1

are aria mai mică decât

\displaystyle \ln 2

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este pozitivă pe $\displaystyle [0,1]$ : din $\displaystyle e^x+1>1$ rezultă $\displaystyle \dfrac{1}{e^x+1}<1$ , deci $\displaystyle f(x)>0$ . Atunci $\displaystyle |f(x)|=f(x)$ , iar aria este $\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 f(x)\,dx$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|\,dx=\int_0^1\left(1-\frac{1}{e^x+1}\right)dx$
Aducem la același numitor: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{e^x+1}=\dfrac{e^x+1-1}{e^x+1}=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(1-\frac{1}{e^x+1}\right)dx=\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx$
Numărătorul $\displaystyle e^x$ este derivata numitorului $\displaystyle e^x+1$ , deci o primitivă este $\displaystyle \ln(e^x+1)$ . Cu formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \mathcal{A}=\ln(e+1)-\ln 2=\ln\dfrac{e+1}{2}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\ln(e^x+1)\Big|_0^1=\ln(e+1)-\ln 2=\ln\frac{e+1}{2}$
Din $\displaystyle e<3$ obținem $\displaystyle e+1<4$ , deci $\displaystyle \dfrac{e+1}{2}<2$ .
$\displaystyle e<3\Rightarrow \frac{e+1}{2}<2$
Funcția $\displaystyle \ln$ este strict crescătoare, deci din $\displaystyle \dfrac{e+1}{2}<2$ rezultă $\displaystyle \ln\dfrac{e+1}{2}<\ln 2$ . Așadar aria este mai mică decât $\displaystyle \ln 2$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\ln\frac{e+1}{2}<\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea a II-a rezervă varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani