Bac matematică M1 mate-info 2025, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(4−5i)+5i(3+2i)=2\displaystyle 3(4-5i)+5i(3+2i)=2, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se desface prima paranteză, înmulțind 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din (4−5i)\displaystyle (4-5i).
    3(4−5i)=12−15i\displaystyle 3(4-5i)=12-15i
  2. Se desface a doua paranteză, înmulțind 5i\displaystyle 5i cu fiecare termen din (3+2i)\displaystyle (3+2i).
    5i(3+2i)=15i+10i2\displaystyle 5i(3+2i)=15i+10i^2
  3. Se adună cele două rezultate obținute, scriind expresia completă înainte de reducere.
    3(4−5i)+5i(3+2i)=12−15i+15i+10i2\displaystyle 3(4-5i)+5i(3+2i)=12-15i+15i+10i^2
  4. Se înlocuiește i2\displaystyle i^{2} cu −1\displaystyle -1, conform enunțului.
    12−15i+15i+10⋅(−1)=12−15i+15i−10\displaystyle 12-15i+15i+10\cdot(-1)=12-15i+15i-10
  5. Se reduc termenii asemenea: termenii cu i se anulează (−15i+15i=0\displaystyle -15i+15i=0), iar termenii reali se combină (12−10\displaystyle 12-10).
    =12−10=2\displaystyle =12-10=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+4\displaystyle f(x)=x+4 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+a\displaystyle g(x)=2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (g∘f)(1)=1\displaystyle (g\circ f)(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul x=1\displaystyle x=1, folosind f(x)=x+4\displaystyle f(x)=x+4.
    f(1)=1+4=5\displaystyle f(1)=1+4=5
  2. Se calculează compunerea (g∘f)(1)\displaystyle (g\circ f)(1) ca g(f(1))\displaystyle g(f(1)), folosind valoarea obținută pentru f(1)\displaystyle f(1) și expresia lui g(x)=2x+a\displaystyle g(x)=2x+a.
    f(1)=5\displaystyle f(1)=5, (g∘f)(1)=g(5)=10+a, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \ (g\circ f)(1)=g(5)=10+a\text{, pentru orice număr real }a
  3. Se scrie ecuația obținută din condiția (g∘f)(1)=1\displaystyle (g\circ f)(1)=1, înlocuind rezultatul anterior.
    10+a=1\displaystyle 10+a=1
  4. Se rezolvă ecuația în raport cu a\displaystyle a, izolând necunoscuta.
    10+a=1, de unde obținem a=−9\displaystyle 10+a=1\text{, de unde obținem }a=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(6x−x2)=log⁡2(4+x)\displaystyle \log_2(6x-x^2)=\log_2(4+x).
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    6x−x2>0 și 4+x>0\displaystyle 6x-x^2>0\text{ și }4+x>0
  2. Se rezolvă prima inecuație: 6x−x2>0\displaystyle 6x-x^{2}>0 se scrie ca x(6−x)>0\displaystyle x(6-x)>0, deci soluția este intervalul (0,6)\displaystyle (0,6).
    x(6−x)>0⇒x∈(0,6)\displaystyle x(6-x)>0\Rightarrow x\in(0,6)
  3. Se rezolvă a doua inecuație: 4+x>0\displaystyle 4+x>0, adică x>−4\displaystyle x>-4.
    4+x>0⇒x>−4\displaystyle 4+x>0\Rightarrow x>-4
  4. Se intersectează cele două condiții pentru a obține domeniul de existență al ecuației.
    x∈(0,6)\displaystyle x\in(0,6)
  5. Deoarece logaritmul în bază 2\displaystyle 2 este o funcție injectivă, egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor. Se egalează argumentele și se aduce ecuația la forma generală de gradul al doilea.
    6x−x2=4+x, de unde obținem x2−5x+4=0\displaystyle 6x-x^2=4+x\text{, de unde obținem }x^2-5x+4=0
  6. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
    Δ=(−5)2−4⋅1⋅4=25−16=9\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9
  7. Se determină rădăcinile ecuației folosind formula generală.
    x1,2=5±32⇒x1=1\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{5\pm3}{2}\Rightarrow x_1=1, x2=4\displaystyle \ x_2=4
  8. Se verifică dacă rădăcinile obținute aparțin domeniului de existență (0,6)\displaystyle (0,6). Ambele valori, 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4, se află în acest interval, deci sunt soluții valide ale ecuației.
    x=1 sau x=4, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={3,4,5,7,9}\displaystyle A=\{3,4,5,7,9\}. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică cifrele impare din mulțimea A\displaystyle A, deoarece pentru ca numărul format din două cifre să fie impar, cifra unităților trebuie să fie impară.
    {3,5,7,9} sunt cifrele impare din A\displaystyle \{3,5,7,9\}\text{ sunt cifrele impare din }A
  2. Se numără câte cifre impare există în A\displaystyle A, acestea fiind posibilele valori pentru cifra unităților.
    Cifra unita˘ților se poate \displaystyle \text{Cifra unităților se poate }alege ıˆn 4 moduri\displaystyle \text{alege în }4\text{ moduri}
  3. Se observă că, după alegerea cifrei unităților, rămân 4\displaystyle 4 cifre din A\displaystyle A (inclusiv cifra pară 4\displaystyle 4), care pot fi folosite pentru cifra zecilor, cu condiția ca cele două cifre să fie distincte.
    Cifra zecilor se alege \displaystyle \text{Cifra zecilor se alege }dintre cele 5−1=4 cifre ra˘mase\displaystyle \text{dintre cele }5-1=4\text{ cifre rămase}
  4. Se aplică principiul multiplicării: numărul total de numere impare de două cifre distincte este produsul dintre numărul de alegeri pentru cifra unităților și numărul de alegeri pentru cifra zecilor.
    4⋅4=16 numere\displaystyle 4\cdot 4=16\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,2)\displaystyle A(0,2) și B(6,4)\displaystyle B(6,4). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care 2AC→=OB→\displaystyle 2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină coordonatele vectorului OB→\displaystyle \overrightarrow{OB}, calculând diferența dintre coordonatele lui B\displaystyle B și cele ale originii O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    OB→=(6−0)i⃗+(4−0)j⃗=6i⃗+4j⃗\displaystyle \overrightarrow{OB}=(6-0)\vec{i}+(4-0)\vec{j}=6\vec{i}+4\vec{j}
  2. Se notează coordonatele necunoscute ale punctului C\displaystyle C și se scrie vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} ca diferență între coordonatele lui C\displaystyle C și cele ale lui A\displaystyle A.
    C(xC,yC)⇒AC→=(xC−0)i⃗+(yC−2)j⃗=xCi⃗+(yC−2)j⃗\displaystyle C(x_C,y_C)\Rightarrow\overrightarrow{AC}=(x_C-0)\vec{i}+(y_C-2)\vec{j}=x_C\vec{i}+(y_C-2)\vec{j}
  3. Se înmulțește vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} cu 2\displaystyle 2, pentru a scrie membrul stâng al relației date.
    2AC→=2xCi⃗+2(yC−2)j⃗\displaystyle 2\overrightarrow{AC}=2x_C\vec{i}+2(y_C-2)\vec{j}
  4. Se aplică relația din enunț, egalând cei doi vectori componentă cu componentă, și se rezolvă sistemul obținut pentru a afla coordonatele lui C\displaystyle C.
    2xCi⃗+2(yC−2)j⃗=6i⃗+4j⃗⇒{2xC=62(yC−2)=4⇒xC=3 și yC=4\displaystyle 2x_C\vec{i}+2(y_C-2)\vec{j}=6\vec{i}+4\vec{j}\Rightarrow\begin{cases}2x_C=6\\2(y_C-2)=4\end{cases}\Rightarrow x_C=3\text{ și }y_C=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=4\displaystyle AB=4 și raza cercului circumscris egală cu 4\displaystyle 4. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 83\displaystyle 8\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza BC\displaystyle BC este diametrul cercului circumscris, adică BC=2R\displaystyle BC = 2R.
    BC=2R=2⋅4=8\displaystyle BC=2R=2\cdot 4=8
  2. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC pentru a afla cateta AC\displaystyle AC, cunoscând AB=4\displaystyle AB=4 și BC=8\displaystyle BC=8.
    AC=BC2−AB2=82−42=64−16=48=43\displaystyle AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}
  3. Se centralizează rezultatele obținute pentru ipotenuză și catetă, conform pasului de control din barem.
    BC=8, de unde obținem AC=43\displaystyle BC=8\text{, de unde obținem }AC=4\sqrt{3}
  4. Se calculează aria triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC folosind cele două catete AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    A△ABC=AB⋅AC2=4⋅432=83\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a12aa1011−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1 & 2a\\ a & 1 & 0\\ 1 & 1 & -a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1\displaystyle \begin{cases}ax+y+2az=a+1\\ ax+y=0\\ x+y-az=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=4\displaystyle \det(A(2))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și se scrie determinantul de ordinul trei care trebuie calculat.
    A(2)=(21421011−2)⇒det⁡(A(2))=∣21421011−2∣=\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(2))=\begin{vmatrix}2 & 1 & 4\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -2\end{vmatrix}=
  2. Se aplică regula lui Sarrus (sau dezvoltarea după prima linie) pentru a calcula determinantul: se identifică cele trei produse de pe diagonalele principale (cu semnul +\displaystyle +) și cele trei produse de pe diagonalele secundare (cu semnul −\displaystyle -).
    det⁡(A(2))=(2⋅1⋅(−2))+(1⋅0⋅1)+(4⋅2⋅1)−(4⋅1⋅1)−(2⋅0⋅1)−(1⋅2⋅(−2))\displaystyle \det(A(2))=(2\cdot1\cdot(-2))+(1\cdot0\cdot1)+(4\cdot2\cdot1)-(4\cdot1\cdot1)-(2\cdot0\cdot1)-(1\cdot2\cdot(-2))
  3. Se efectuează calculele fiecărui produs în parte, obținând valorile numerice ale celor șase termeni.
    det⁡(A(2))=(−4)+0+8−4−0−(−4)\displaystyle \det(A(2))=(-4)+0+8-4-0-(-4)
  4. Se însumează termenii obținuți pentru a determina valoarea finală a determinantului.
    =−4+8+0−4−0+4=4\displaystyle =-4+8+0-4-0+4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a12aa1011−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1 & 2a\\ a & 1 & 0\\ 1 & 1 & -a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1\displaystyle \begin{cases}ax+y+2az=a+1\\ ax+y=0\\ x+y-az=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Pentru a=1\displaystyle a=1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în sistem și obținem sistemul cu coeficienți numerici.
    {x+y+2z=2x+y=0x+y−z=−1 și ∣11211011−1∣=0\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=2\\ x+y=0\\ x+y-z=-1\end{cases}\text{ și }\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1\end{vmatrix}=0
  2. Scriem matricea sistemului pentru a=1\displaystyle a=1. Primele două coloane sunt egale, deci determinantul este nul. Verificăm și prin calcul, dezvoltând după a doua linie.
    ∣11211011−1∣=0\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1\end{vmatrix}=0
  3. Determinantul sistemului fiind nul, sistemul nu este de tip Cramer. Căutăm un minor de ordin 2 nenul: alegem minorul format din liniile 2 și 3 și coloanele 1 și 3.
    ∣101−1∣=1⋅(−1)−0⋅1=−1≠0\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 0\\ 1 & -1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot 1=-1\neq 0
  4. Deoarece determinantul de ordin 3 este nul și există un minor de ordin 2 nenul, rangul matricei sistemului este 2\displaystyle 2. Necunoscutele principale sunt x\displaystyle x și z\displaystyle z, iar y\displaystyle y este necunoscută secundară. Determinantul caracteristic se obține bordând minorul cu coloana termenilor liberi 2,0,−1\displaystyle 2, 0, -1 și cu linia ecuației rămase, prima.
    rang⁡A(1)=2\displaystyle \operatorname{rang}A(1)=2
  5. Calculăm determinantul caracteristic, cu coloanele coeficienților lui x\displaystyle x și z\displaystyle z și coloana termenilor liberi, dezvoltând după a doua linie. Determinantul este nul, deci rangul matricei extinse este tot 2\displaystyle 2, egal cu rangul matricei sistemului și mai mic decât numărul necunoscutelor, 3\displaystyle 3. Sistemul este compatibil nedeterminat, deci are o infinitate de soluții.
    ∣1221001−1−1∣=0, deci sistemul de \displaystyle \begin{vmatrix}1 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & -1\end{vmatrix}=0\text{, deci sistemul de }ecuații are o infinitate \displaystyle \text{ecuații are o infinitate }de soluții\displaystyle \text{de soluții}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a12aa1011−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1 & 2a\\ a & 1 & 0\\ 1 & 1 & -a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1\displaystyle \begin{cases}ax+y+2az=a+1\\ ax+y=0\\ x+y-az=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații are soluția unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) și x0=a\displaystyle x_0=a.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) dezvoltând după prima linie, pentru a determina pentru ce valori ale lui a\displaystyle a sistemul (care are aceeași matrice a coeficienților) este de tip Cramer (determinant nenul).
    det⁡(A(a))=a⋅∣101−a∣−1⋅∣a01−a∣+2a⋅∣a111∣\displaystyle \det(A(a))=a\cdot\begin{vmatrix}1 & 0\\ 1 & -a\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}a & 0\\ 1 & -a\end{vmatrix}+2a\cdot\begin{vmatrix}a & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}
  2. Se calculează cei trei determinanți de ordin 2 și se înlocuiesc în expresia determinantului.
    det⁡(A(a))=a⋅(−a)−1⋅(−a2)+2a⋅(a−1)=−a2+a2+2a2−2a\displaystyle \det(A(a))=a\cdot(-a)-1\cdot(-a^2)+2a\cdot(a-1)=-a^2+a^2+2a^2-2a
  3. Se reduc termenii asemenea și se obține forma finală a determinantului, apoi se pune condiția ca acesta să fie nenul, pentru ca sistemul să fie compatibil determinat (de tip Cramer).
    det⁡(A(a))=2a2−2a=2a(a−1)\displaystyle \det(A(a))=2a^2-2a=2a(a-1), a∈R∖{0,1}\displaystyle \ a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}
  4. Pentru a∈R∖{0,1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}, sistemul este de tip Cramer, deci are soluție unică. Se calculează necunoscuta x0\displaystyle x_0 cu formula lui Cramer, x0=DxD\displaystyle x_0=\dfrac{D_x}{D}, unde Dx\displaystyle D_x se obține înlocuind coloana coeficienților lui x\displaystyle x cu coloana termenilor liberi.
    Dx=∣a+112a010−11−a∣\displaystyle D_x=\begin{vmatrix}a+1 & 1 & 2a\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & -a\end{vmatrix}
  5. Se dezvoltă determinantul Dx\displaystyle D_x după linia a doua, care conține doi de zero, ceea ce simplifică mult calculul (rămâne un singur termen nenul).
    Dx=1⋅∣a+12a−1−a∣=(a+1)(−a)−2a(−1)=−a2−a+2a\displaystyle D_x=1\cdot\begin{vmatrix}a+1 & 2a\\ -1 & -a\end{vmatrix}=(a+1)(-a)-2a(-1)=-a^2-a+2a
  6. Se reduc termenii și se obține valoarea lui Dx\displaystyle D_x, apoi se calculează x0\displaystyle x_0 ca raport DxD\displaystyle \dfrac{D_x}{D}, simplificând cu factorul comun a(a−1)\displaystyle a(a-1) (posibil deoarece a≠0\displaystyle a\neq0 și a≠1\displaystyle a\neq1).
    Dx=a−a2=−a(a−1) ⇒ x0=DxD=−a(a−1)2a(a−1)=−12\displaystyle D_x=a-a^2=-a(a-1)\ \Rightarrow\ x_0=\frac{D_x}{D}=\frac{-a(a-1)}{2a(a-1)}=-\frac{1}{2}
  7. Se pune condiția din enunț ca x0\displaystyle x_0 să fie egal cu a\displaystyle a și se rezolvă ecuația obținută, verificându-se apoi că soluția respectă condiția a≠0\displaystyle a\neq0, a≠1\displaystyle a\neq1 stabilită anterior.
    x0=−12, deci a=−12, care convine\displaystyle x_0=-\frac{1}{2}\text{, deci }a=-\frac{1}{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4−3X3+X2−2X+m\displaystyle f=X^4-3X^3+X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=3\displaystyle m=3, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la polinomul dat și se înlocuiește valoarea particulară m=3\displaystyle m=3, obținându-se forma concretă a polinomului f\displaystyle f.
    f=X4−3X3+X2−2X+3\displaystyle f=X^4-3X^3+X^2-2X+3
  2. Se evaluează polinomul obținut în punctul x=1\displaystyle x=1, scriind explicit fiecare termen înainte de calcul.
    f(1)=14−3⋅13+12−2⋅1+3\displaystyle f(1)=1^4-3\cdot 1^3+1^2-2\cdot 1+3
  3. Se calculează puterile lui 1 și produsele numerice din fiecare termen.
    f(1)=1−3+1−2+3\displaystyle f(1)=1-3+1-2+3
  4. Se adună și se scad termenii obținuți, în ordine, pentru a obține rezultatul final al evaluării.
    f(1)=1−3+1−2+3=0\displaystyle f(1)=1-3+1-2+3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4−3X3+X2−2X+m\displaystyle f=X^4-3X^3+X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care (x1x2x3x4)2−x1−x2−x3−x4=1\displaystyle (x_1x_2x_3x_4)^2-x_1-x_2-x_3-x_4=1, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 și x4\displaystyle x_4 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică gradul polinomului și coeficienții săi: f=X4−3X3+X2−2X+m\displaystyle f=X^4-3X^3+X^2-2X+m, cu a4=1, a3=−3, a2=1, a1=−2, a0=m\displaystyle a_4=1, \ a_3=-3, \ a_2=1, \ a_1=-2, \ a_0=m. Fie x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4 rădăcinile lui f\displaystyle f. Se scriu relațiile lui Viète pentru suma și produsul rădăcinilor.
    x1+x2+x3+x4=−a3a4=3\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-\dfrac{a_3}{a_4}=3,x1x2x3x4=a0a4=m\displaystyle \quad x_1x_2x_3x_4=\dfrac{a_0}{a_4}=m
  2. Se ridică la pătrat produsul rădăcinilor și se scade suma rădăcinilor, obținându-se expresia cerută de problemă în funcție de m\displaystyle m.
    (x1x2x3x4)2−(x1+x2+x3+x4)=m2−3\displaystyle (x_1x_2x_3x_4)^2-(x_1+x_2+x_3+x_4)=m^2-3
  3. Se rescrie relația obținută pentru rădăcini folosind notațiile din barem: suma și produsul rădăcinilor, precum și expresia finală în funcție de m\displaystyle m.
    x1x2x3x4=m\displaystyle x_1x_2x_3x_4=m, x1+x2+x3+x4=3⇒(x1x2x3x4)2−x1−x2−x3−x4=m2−3\displaystyle \ x_1+x_2+x_3+x_4=3\Rightarrow (x_1x_2x_3x_4)^2-x_1-x_2-x_3-x_4=m^2-3
  4. Conform cerinței problemei, expresia (x1x2x3x4)2−(x1+x2+x3+x4)\displaystyle (x_1x_2x_3x_4)^2-(x_1+x_2+x_3+x_4) trebuie să fie egală cu 1\displaystyle 1. Se obține astfel o ecuație în m\displaystyle m.
    m2−3=1\displaystyle m^2-3=1
  5. Se rezolvă ecuația obținută: se aduce totul de o parte, se factorizează diferența de pătrate și se determină valorile lui m\displaystyle m.
    m2−3=1, deci m2−4=0, de unde obținem m=−2 sau m=2\displaystyle m^2-3=1\text{, deci }m^2-4=0\text{, de unde obținem }m=-2\text{ sau }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4−3X3+X2−2X+m\displaystyle f=X^4-3X^3+X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=0\displaystyle m=0, determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X−a\displaystyle X-a este egal cu a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția din enunț: restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−a\displaystyle X-a este f(a)\displaystyle f(a), iar acest rest trebuie să fie egal cu a\displaystyle a (se consideră cazul particular m=0\displaystyle m=0, conform cerinței acestui subpunct).
    f(a)=a⇒a4−3a3+a2−2a+m=a\displaystyle f(a)=a\Rightarrow a^4-3a^3+a^2-2a+m=a
  2. Se înlocuiește m=0\displaystyle m=0 (valoarea determinată pentru acest subpunct) și se trec toți termenii într-o singură parte a ecuației.
    f=X4−3X3+X2−2X și f(a)=a, de unde obținem a4−3a3+a2−3a=0\displaystyle f=X^4-3X^3+X^2-2X\text{ și }f(a)=a\text{, de unde obținem }a^4-3a^3+a^2-3a=0
  3. Se dă factor comun a\displaystyle a din toți termenii ecuației obținute.
    a(a3−3a2+a−3)=0\displaystyle a\left(a^3-3a^2+a-3\right)=0
  4. Se grupează termenii din paranteză pentru a factoriza mai departe: se scoate factor comun a2\displaystyle a^{2} din primii doi termeni și 1\displaystyle 1 din ultimii doi.
    a3−3a2+a−3=a2(a−3)+1⋅(a−3)=(a−3)(a2+1)\displaystyle a^3-3a^2+a-3=a^2(a-3)+1\cdot(a-3)=(a-3)(a^2+1)
  5. Se scrie ecuația complet factorizată; cum a\displaystyle a este număr real, a2+1>0\displaystyle a^{2}+1>0 pentru orice a\displaystyle a, deci acest factor nu poate fi zero, rămânând doar soluțiile din ceilalți doi factori.
    a(a−3)(a2+1)=0, cum a este numa˘r real, obținem a=0 sau a=3\displaystyle a(a-3)(a^2+1)=0\text{, cum }a\text{ este număr real, obținem }a=0\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}}.

Arătați că f′(x)=x(x2−4)(x2+1)x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția ca un cât de două funcții derivabile: u(x)=x2+6\displaystyle u(x)=x^2+6 și v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=\sqrt{x^2+1}, cu v(x)≠0\displaystyle v(x)\neq 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} (domeniul de definiție rămâne R\displaystyle \mathbb{R}).
    f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, u(x)=x2+6\displaystyle \ u(x)=x^2+6, v(x)=x2+1\displaystyle \ v(x)=\sqrt{x^2+1}
  2. Se calculează derivatele funcțiilor u\displaystyle u și v\displaystyle v: u′(x)=2x\displaystyle u'(x)=2x, iar pentru v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=\sqrt{x^2+1} se aplică formula de derivare a radicalului, (g(x))′=g′(x)2g(x)\displaystyle \left(\sqrt{g(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}, cu g(x)=x2+1\displaystyle g(x)=x^2+1, deci g′(x)=2x\displaystyle g'(x)=2x.
    u′(x)=2x\displaystyle u'(x)=2x,v′(x)=2x2x2+1\displaystyle \quad v'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}
  3. Se aplică formula de derivare a câtului, (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, unde v2=x2+1\displaystyle v^2=x^2+1, obținându-se expresia derivatei.
    f′(x)=2xx2+1−(x2+6)⋅2x2x2+1x2+1=\displaystyle f'(x)=\frac{2x\sqrt{x^2+1}-(x^2+6)\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=
  4. Se aduce numărătorul la același numitor x2+1\displaystyle \sqrt{x^2+1}, scriind 2xx2+1=2x(x2+1)x2+1\displaystyle 2x\sqrt{x^2+1}=\dfrac{2x(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}, astfel încât toată expresia să aibă un singur numitor comun (x2+1)x2+1\displaystyle (x^2+1)\sqrt{x^2+1}.
    f′(x)=2x(x2+1)−x(x2+6)(x2+1)x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-x(x^2+6)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
  5. Se desfac parantezele din numărător: 2x(x2+1)=2x3+2x\displaystyle 2x(x^2+1)=2x^3+2x și x(x2+6)=x3+6x\displaystyle x(x^2+6)=x^3+6x, obținându-se forma intermediară a numărătorului.
    =2x3+2x−x3−6x(x2+1)x2+1\displaystyle =\frac{2x^3+2x-x^3-6x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
  6. Se reduc termenii asemenea în numărător (2x3−x3=x3\displaystyle 2x^3-x^3=x^3 și 2x−6x=−4x\displaystyle 2x-6x=-4x) și se dă factor comun x\displaystyle x, obținând forma finală simplificată a derivatei, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    =2x3+2x−x3−6x(x2+1)x2+1=x(x2−4)(x2+1)x2+1\displaystyle =\frac{2x^3+2x-x^3-6x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind direct în expresia lui f\displaystyle f.
    f(0)=02+602+1=61=6\displaystyle f(0)=\dfrac{0^2+6}{\sqrt{0^2+1}}=\dfrac{6}{1}=6
  2. Se derivează funcția f\displaystyle f folosind regula de derivare a câtului, unde u=x2+6\displaystyle u=x^2+6 și v=x2+1\displaystyle v=\sqrt{x^2+1}.
    f′(x)=(x2+6)′⋅x2+1−(x2+6)⋅(x2+1)′x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^2+6)'\cdot\sqrt{x^2+1}-(x^2+6)\cdot(\sqrt{x^2+1})'}{x^2+1}
  3. Se calculează derivatele componentelor: (x2+6)′=2x\displaystyle (x^{2}+6)'=2x și (x2+1)′=xx2+1\displaystyle (\sqrt{x^{2}+1})'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
    (x2+6)′=2x\displaystyle (x^2+6)'=2x, (x2+1)′=xx2+1\displaystyle \ (\sqrt{x^2+1})'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
  4. Se înlocuiește în formula derivatei și se aduce totul la același numitor, amplificând cu x2+1\displaystyle \sqrt{x^2+1}.
    f′(x)=2xx2+1−x(x2+6)x2+1x2+1=2x(x2+1)−x(x2+6)(x2+1)x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\sqrt{x^2+1}-\dfrac{x(x^2+6)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{2x(x^2+1)-x(x^2+6)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
  5. Se simplifică numărătorul, obținând forma finală a derivatei funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=x3−4x(x2+1)x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^3-4x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}
  6. Se calculează valoarea derivatei în punctul x=0\displaystyle x=0, înlocuind direct în expresia obținută.
    f′(0)=03−4⋅0(02+1)02+1=0\displaystyle f'(0)=\dfrac{0^3-4\cdot 0}{(0^2+1)\sqrt{0^2+1}}=0
  7. Se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, folosind formula y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0), și se înlocuiesc valorile calculate anterior.
    y−6=0⋅(x−0), adica˘ y=6\displaystyle y-6=0\cdot(x-0)\text{, adică }y=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}}.

Arătați că f(7x)−f(x)≤22\displaystyle f(7x)-f(x)\le 2\sqrt{2}, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a câtului, pentru a studia monotonia.
    f′(x)=2xx2+1−(x2+6)⋅xx2+1x2+1=x[2(x2+1)−(x2+6)](x2+1)3/2\displaystyle f'(x)=\frac{2x\sqrt{x^2+1}-(x^2+6)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{x\left[2(x^2+1)-(x^2+6)\right]}{(x^2+1)^{3/2}}
  2. Simplificăm expresia derivatei, obținând o formă utilă pentru determinarea semnului.
    f′(x)=x(x2−4)(x2+1)3/2\displaystyle f'(x)=\frac{x(x^2-4)}{(x^2+1)^{3/2}}
  3. Studiem semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) pentru x≥0\displaystyle x\geq 0: pentru x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2] avem x≥0\displaystyle x\geq 0 și x2−4≤0\displaystyle x^{2}-4\leq 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, iar pentru x≥2\displaystyle x\geq 2 avem x2−4≥0\displaystyle x^{2}-4\geq 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0. Rezultă intervalele de monotonie.
    x∈[0,2]: f′(x)≤0 (descresca˘toare); x∈[2,+∞): f′(x)≥0 (cresca˘toare)\displaystyle x\in[0,2]:\ f'(x)\le 0\text{ (descrescătoare)};\ x\in[2,+\infty):\ f'(x)\ge 0\text{ (crescătoare)}
  4. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 7x∈[0,7]\displaystyle 7x\in[0,7]. Calculăm valorile lui f\displaystyle f în punctele relevante: 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 7\displaystyle 7.
    f(0)=61=6\displaystyle f(0)=\frac{6}{\sqrt{1}}=6, f(1)=72\displaystyle \ f(1)=\frac{7}{\sqrt{2}}, f(2)=105=25\displaystyle \ f(2)=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}, f(7)=5550=112\displaystyle \ f(7)=\frac{55}{\sqrt{50}}=\frac{11}{\sqrt{2}}
  5. Pe [0,1]⊂[0,2]\displaystyle [0,1]\subset[0,2], f\displaystyle f este descrescătoare, deci valoarea minimă a lui f(x)\displaystyle f(x) se atinge în x=1\displaystyle x=1, iar maximul în x=0\displaystyle x=0.
    f(1)≤f(x)≤f(0) ⇒ 72≤f(x)≤6\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(0)\ \Rightarrow\ \frac{7}{\sqrt{2}}\le f(x)\le 6, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  6. Pe [0,7]\displaystyle [0,7], f\displaystyle f este descrescătoare pe [0,2]\displaystyle [0,2] și crescătoare pe [2,7]\displaystyle [2,7], deci maximul se atinge la unul dintre capete. Comparăm f(0)=6\displaystyle f(0)=6 cu f(7)=112≈7,78\displaystyle f(7)=\dfrac{11}{\sqrt{2}}\approx 7{,}78 și obținem maximul global pe [0,7]\displaystyle [0,7].
    max⁡[0,7]f=max⁡{f(0),f(7)}=f(7)=112 ⇒ f(7x)≤112\displaystyle \max_{[0,7]}f=\max\{f(0),f(7)\}=f(7)=\frac{11}{\sqrt{2}}\ \Rightarrow\ f(7x)\le\frac{11}{\sqrt{2}}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  7. Combinăm cele două majorări (pentru f(7x)\displaystyle f(7x) și pentru f(x)\displaystyle f(x)) pentru a obține majorarea diferenței f(7x)−f(x)\displaystyle f(7x)-f(x), încheind astfel demonstrația.
    x∈[0,1]⇒7x∈[0,7]\displaystyle x\in[0,1]\Rightarrow 7x\in[0,7], f(0)=6\displaystyle \ f(0)=6, f(1)=72\displaystyle \ f(1)=\frac{7}{\sqrt{2}}, f(7)=112⇒72≤f(x) și f(7x)≤112, deci f(7x)−f(x)≤22\displaystyle \ f(7)=\frac{11}{\sqrt{2}}\Rightarrow \frac{7}{\sqrt{2}}\le f(x)\text{ și }f(7x)\le\frac{11}{\sqrt{2}}\text{, deci }f(7x)-f(x)\le 2\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−1+e2x\displaystyle f(x)=3x^2-1+e^{2x}.

Arătați că ∫03(f(x)−e2x)dx=24\displaystyle \displaystyle\int_0^3\left(f(x)-e^{2x}\right)dx=24.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția funcției f\displaystyle f și scriem expresia care trebuie integrată, observând că termenul exponențial se reduce.
    f(x)−e2x=(3x2−1+e2x)−e2x=3x2−1\displaystyle f(x)-e^{2x}=\left(3x^2-1+e^{2x}\right)-e^{2x}=3x^2-1
  2. Determinăm o primitivă a funcției reduse 3x2−1\displaystyle 3x^{2}-1, folosind regulile de derivare inversă (primitiva lui xn\displaystyle x^{n} este xn+1n+1\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}).
    ∫(3x2−1) dx=x3−x+C\displaystyle \int (3x^2-1)\,dx = x^3-x+C
  3. Scriem integrala definită cerută, înlocuim f(x)−e2x\displaystyle f(x)-e^{2x} cu forma redusă și aplicăm primitiva găsită, pregătind aplicarea formulei Leibniz-Newton.
    ∫03(f(x)−e2x)dx=∫03(3x2−1)dx=(x3−x)∣03=\displaystyle \int_0^3\left(f(x)-e^{2x}\right)dx=\int_0^3(3x^2-1)dx=\left(x^3-x\right)\Big|_0^3=
  4. Evaluăm primitiva la capetele intervalului [0,3]\displaystyle [0,3], calculând valorile pentru x=3\displaystyle x=3 și x=0\displaystyle x=0.
    (33−3)−(03−0)=27−3−0=24−0\displaystyle \left(3^3-3\right)-\left(0^3-0\right)=27-3-0=24-0
  5. Finalizăm calculul aplicând formula Leibniz-Newton și obținem valoarea integralei.
    =24−0=24\displaystyle =24-0=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−1+e2x\displaystyle f(x)=3x^2-1+e^{2x}.

Arătați că ∫014x(f(x)−3x2+1)dx=e2+1\displaystyle \displaystyle\int_0^1 4x\left(f(x)-3x^2+1\right)dx=e^2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește expresia lui f(x)\displaystyle f(x) în integrand și se identifică termenul e2x\displaystyle e^{2x}.
    f(x)−3x2+1=3x2−1+e2x−3x2+1=e2x\displaystyle f(x)-3x^2+1=3x^2-1+e^{2x}-3x^2+1=e^{2x}
  2. Se scrie integrala cerută folosind simplificarea de mai sus, obținând integrandul 4xe2x\displaystyle 4x e^{2x}.
    ∫014x(f(x)−3x2+1)dx=∫014x e2xdx\displaystyle \int_0^1 4x\left(f(x)-3x^2+1\right)dx=\int_0^1 4x\,e^{2x}dx
  3. Se observă că derivata funcției e2x\displaystyle e^{2x} este 2e2x\displaystyle 2e^{2x}, deci 4xe2x=2x⋅(e2x)′\displaystyle 4x e^{2x}=2x\cdot(e^{2x})'. Se rescrie integrala în această formă pentru a aplica integrarea prin părți.
    ∫014x e2xdx=∫012x(e2x)′dx\displaystyle \int_0^1 4x\,e^{2x}dx=\int_0^1 2x\left(e^{2x}\right)'dx
  4. Se aplică formula de integrare prin părți: ∫u v′=uv−∫u′v\displaystyle \int u\,v' = u v - \int u' v, cu u=2x\displaystyle u=2x și v′=(e2x)′\displaystyle v'=(e^{2x})', deci v=e2x\displaystyle v=e^{2x} și u′=2\displaystyle u'=2.
    ∫012x(e2x)′dx=2xe2x∣01−∫012e2xdx=2xe2x∣01−e2x∣01=\displaystyle \int_0^1 2x\left(e^{2x}\right)'dx=2xe^{2x}\Big|_0^1-\int_0^1 2e^{2x}dx=2xe^{2x}\Big|_0^1-e^{2x}\Big|_0^1=
  5. Se calculează valorile la capete: pentru x=1\displaystyle x=1 se obține 2e2−e2\displaystyle 2e^2 - e^2, iar pentru x=0\displaystyle x=0 se obține 0−1\displaystyle 0 - 1. Se face diferența și se obține rezultatul final.
    =2e2−e2+1=e2+1\displaystyle =2e^2-e^2+1=e^2+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−1+e2x\displaystyle f(x)=3x^2-1+e^{2x}.

Demonstrați că lim⁡x→01x2∫0xf(t)t+1 dt=1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}\,dt=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se verifică natura nedeterminării: notăm F(x)=∫0xf(t)t+1dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{f(t)}{t+1}dt. Cum F(0)=0\displaystyle F(0)=0 (integrală cu limite egale) și x2→0\displaystyle x^{2}\to 0 când x→0\displaystyle x\to 0, limita are forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deci se poate aplica regula lui l'Hôpital.
    lim⁡x→01x2∫0xf(t)t+1dt=00\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt=\frac{0}{0}
  2. Se derivează numărătorul folosind teorema fundamentală de calcul integral (derivata integralei cu limită superioară variabilă): F′(x)=f(x)x+1\displaystyle F'(x)=\dfrac{f(x)}{x+1}. Se derivează și numitorul: (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x. Se aplică regula lui l'Hôpital.
    (∫0xf(t)t+1dt)′=f(x)x+1, (x2)′=2x\displaystyle \left(\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt\right)'=\frac{f(x)}{x+1}\text{, }(x^2)'=2x
  3. Se scrie limita rezultată după aplicarea primei reguli a lui l'Hôpital, simplificând expresia obținută.
    lim⁡x→01x2∫0xf(t)t+1dt=lim⁡x→0(∫0xf(t)t+1dt)′(x2)′=lim⁡x→0f(x)2x(x+1)=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt\right)'}{(x^2)'}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x(x+1)}=
  4. Se verifică din nou forma nedeterminării: f(0)=3⋅02−1+e0=−1+1=0\displaystyle f(0)=3\cdot 0^{2}-1+e^{0}=-1+1=0, iar 2x(x+1)→0\displaystyle 2x(x+1)\to 0 când x→0\displaystyle x\to 0, deci limita este tot de forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}. Se aplică din nou regula lui l'Hôpital, derivând numărătorul și numitorul.
    f(0)=0, 2⋅0⋅(0+1)=0⇒00\displaystyle f(0)=0\text{, }2\cdot 0\cdot(0+1)=0\Rightarrow\frac{0}{0}
  5. Se calculează derivatele: f′(x)=6x+2e2x\displaystyle f'(x)=6x+2e^{2x} și (2x(x+1))′=(2x2+2x)′=4x+2\displaystyle (2x(x+1))'=(2x^{2}+2x)'=4x+2.
    f′(x)=6x+2e2x, (2x(x+1))′=4x+2\displaystyle f'(x)=6x+2e^{2x}\text{, }(2x(x+1))'=4x+2
  6. Se aplică a doua oară regula lui l'Hôpital și se calculează limita rezultată prin înlocuirea directă x=0\displaystyle x=0, întrucât expresia nu mai este nedeterminată.
    =lim⁡x→0f′(x)4x+2=lim⁡x→06x+2e2x4x+2=1\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{4x+2}=\lim_{x\to 0}\frac{6x+2e^{2x}}{4x+2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.