Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=1+i\displaystyle z=1+i. Calculați z2\displaystyle z^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=1+i\displaystyle z=1+i în expresia z2\displaystyle z^{2} și obținem z2=(1+i)2\displaystyle z^{2}=(1+i)^{2}.
    z2=(1+i)2\displaystyle z^{2}=(1+i)^{2}
  2. Folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} cu a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i.
    (1+i)2=1+2i+i2\displaystyle (1+i)^{2}=1+2i+i^{2}
  3. Știm că i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci z2=1+2i−1=2i\displaystyle z^{2}=1+2i-1=2i.
    z2=1+2i−1=2i\displaystyle z^{2}=1+2i-1=2i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că parabola asociată funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+6\displaystyle f(x)=x^2-4x+6 **nu** intersectează axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Parabola intersectează axa Ox\displaystyle Ox în punctele de abscisă x\displaystyle x pentru care f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Deci studiem dacă ecuația x2−4x+6=0\displaystyle x^{2}-4x+6=0 are soluții reale.
    x2−4x+6=0\displaystyle x^{2}-4x+6=0
  2. Identificăm coeficienții ecuației ax2+bx+c=0\displaystyle ax^{2}+bx+c=0: a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=6\displaystyle c=6.
    a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle \ b=-4, c=6\displaystyle \ c=6
  3. Calculăm discriminantul după formula Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac: Δ=(−4)2−4⋅1⋅6=16−24\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=16-24.
    Δ=16−24=−8\displaystyle \Delta=16-24=-8
  4. Discriminantul este negativ, deci ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 nu are rădăcini reale. Prin urmare nu există niciun punct în care f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică parabola nu intersectează axa Ox\displaystyle Ox.
    Δ<0, deci parabola nu \displaystyle \Delta<0\text{, deci parabola nu }intersecteaza˘ axa Ox\displaystyle \text{intersectează axa }Ox
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x−3)=log⁡2(x+1)\displaystyle \log_2(2x-3)=\log_2(x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din 2x−3>0\displaystyle 2x-3>0 obținem x>32\displaystyle x>\dfrac{3}{2}, iar din x+1>0\displaystyle x+1>0 obținem x>−1\displaystyle x>-1. Împreună dau x>32\displaystyle x>\dfrac{3}{2}.
    x∈(32,+∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)
  2. Logaritmul în baza 2\displaystyle 2 este injectiv, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: 2x−3=x+1\displaystyle 2x-3=x+1.
    2x−3=x+1\displaystyle 2x-3=x+1
  3. Rezolvăm ecuația liniară: trecem termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta, adică 2x−x=1+3\displaystyle 2x-x=1+3, deci x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
  4. Verificăm condiția de existență: 4>32\displaystyle 4>\dfrac{3}{2}. Pentru x=4\displaystyle x=4 avem 2x−3=5\displaystyle 2x-3=5 și x+1=5\displaystyle x+1=5, deci ambii logaritmi sunt definiți și egali. Soluția este x=4\displaystyle x=4.
    x=4 care verifica˘ ecuația\displaystyle x=4\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie impar.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile favorabile sunt numerele impare de două cifre: 11,13,…,99\displaystyle 11, 13, \ldots, 99. Ele cresc din 2 în 2, deci numărul lor este 99−112+1=45\displaystyle \dfrac{99-11}{2}+1=45.
    99−112+1=45\displaystyle \frac{99-11}{2}+1=45
  3. Cazurile posibile sunt toate numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  4. Înlocuim în formulă: p=4590\displaystyle p=\dfrac{45}{90}. Simplificăm prin 45\displaystyle 45 și obținem p=12\displaystyle p=\dfrac{1}{2}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=4590=12\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În triunghiul ABC\displaystyle ABC punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N și P\displaystyle P sunt mijloacele laturilor AB\displaystyle AB, BC\displaystyle BC și, respectiv, AC\displaystyle AC. Arătați că AM→+BN→+CP→=0⃗\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\vec{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul M\displaystyle M este mijlocul laturii AB\displaystyle AB, deci AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}.
    AM→=12AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
  2. Punctul N\displaystyle N este mijlocul laturii BC\displaystyle BC, deci BN→\displaystyle \overrightarrow{BN} este jumătate din BC→\displaystyle \overrightarrow{BC}. Punctul P\displaystyle P este mijlocul laturii AC\displaystyle AC, deci CP→\displaystyle \overrightarrow{CP} este jumătate din CA→\displaystyle \overrightarrow{CA}, pentru că P\displaystyle P se află pe segmentul CA\displaystyle CA, la jumătatea lui, iar CP→\displaystyle \overrightarrow{CP} are același sens cu CA→\displaystyle \overrightarrow{CA}.
    BN→=12BC→\displaystyle \overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC},CP→=12CA→\displaystyle \quad \overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}
  3. Adunăm cele trei egalități și obținem suma ca jumătăți ale vectorilor laturilor.
    AM→+BN→+CP→=12AB→+12BC→+12CA→\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}
  4. Dăm factor comun 12\displaystyle \dfrac{1}{2}. Suma AB→+BC→+CA→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} este vectorul nul, deoarece drumul A→B→C→A\displaystyle A\to B\to C\to A se întoarce în punctul de plecare.
    12(AB→+BC→+CA→)=12⋅AA→=0⃗\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AA}=\vec{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Știind că tg⁡a=3\displaystyle \operatorname{tg}a=\sqrt{3} și a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}, arătați că sin⁡a−cos⁡acos⁡a+sin⁡a=2−3\displaystyle \dfrac{\sin a-\cos a}{\cos a+\sin a}=2-\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece tg⁡a=3\displaystyle \operatorname{tg}a=\sqrt{3} este definită, avem cos⁡a≠0\displaystyle \cos a\neq 0. Putem deci da factor comun cos⁡a\displaystyle \cos a la numărător și la numitor.
    sin⁡a−cos⁡acos⁡a+sin⁡a=cos⁡a(sin⁡acos⁡a−1)cos⁡a(1+sin⁡acos⁡a)\displaystyle \frac{\sin a-\cos a}{\cos a+\sin a}=\frac{\cos a\left(\frac{\sin a}{\cos a}-1\right)}{\cos a\left(1+\frac{\sin a}{\cos a}\right)}
  2. Simplificăm prin cos⁡a\displaystyle \cos a și folosim sin⁡acos⁡a=tg⁡a\displaystyle \dfrac{\sin a}{\cos a}=\operatorname{tg}a.
    sin⁡a−cos⁡acos⁡a+sin⁡a=tg⁡a−11+tg⁡a\displaystyle \frac{\sin a-\cos a}{\cos a+\sin a}=\frac{\operatorname{tg}a-1}{1+\operatorname{tg}a}
  3. Înlocuim tg⁡a=3\displaystyle \operatorname{tg}a=\sqrt{3}.
    3−11+3\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}
  4. Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, 3−1\displaystyle \sqrt{3}-1. Numitorul devine (3+1)(3−1)=3−1=2\displaystyle (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=3-1=2, iar numărătorul este (3−1)2\displaystyle (\sqrt{3}-1)^{2}.
    (3−1)2(3+1)(3−1)=3−23+12\displaystyle \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}
  5. Reducem termenii și simplificăm cu 2\displaystyle 2, obținând rezultatul cerut.
    4−232=2−3\displaystyle \frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1111a212a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&2\\1&2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−1\displaystyle \det(A(1))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣111112121∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele pe paralelele la ea: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1 și 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2.
    1⋅1⋅1+1⋅2⋅1+1⋅1⋅2=1+2+2\displaystyle 1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot1+1\cdot1\cdot2=1+2+2
  3. Termenii cu minus sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele pe paralelele la ea: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, 1⋅2⋅2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    1⋅1⋅1+1⋅2⋅2+1⋅1⋅1=1+4+1\displaystyle 1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot2+1\cdot1\cdot1=1+4+1
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: 1+2+2−1−4−1=5−6=−1\displaystyle 1+2+2-1-4-1=5-6=-1, deci det⁡(A(1))=−1\displaystyle \det(A(1))=-1.
    det⁡(A(1))=1+2+2−1−4−1=−1\displaystyle \det(A(1))=1+2+2-1-4-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1111a212a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&2\\1&2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m știind că det⁡(A(m))=0\displaystyle \det(A(m))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei pentru a=m\displaystyle a=m, adică înlocuim peste tot parametrul a\displaystyle a cu m\displaystyle m.
    det⁡(A(m))=∣1111m212m∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&2\\1&2&m\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu minorii de ordin 2\displaystyle 2 corespunzători elementelor 1,1,1\displaystyle 1,1,1 și cu semnele alternate +,−,+\displaystyle +,-,+.
    det⁡(A(m))=∣m22m∣−∣121m∣+∣1m12∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}m&2\\2&m\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&2\\1&m\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&m\\1&2\end{vmatrix}
  3. Calculăm fiecare minor de ordin 2\displaystyle 2: primul este m2−4\displaystyle m^{2}-4, al doilea este m−2\displaystyle m-2, al treilea este 2−m\displaystyle 2-m.
    det⁡(A(m))=(m2−4)−(m−2)+(2−m)\displaystyle \det(A(m))=(m^{2}-4)-(m-2)+(2-m)
  4. Reducem termenii asemenea: constantele −4\displaystyle -4, +2\displaystyle +2 și +2\displaystyle +2 se anulează, iar termenii în m\displaystyle m dau −2m\displaystyle -2m.
    det⁡(A(m))=m2−2m\displaystyle \det(A(m))=m^{2}-2m
  5. Punem condiția din enunț, det⁡(A(m))=0\displaystyle \det(A(m))=0, și dăm factor comun pe m\displaystyle m.
    m2−2m=0⇔m(m−2)=0\displaystyle m^{2}-2m=0\Leftrightarrow m(m-2)=0
  6. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci m=0\displaystyle m=0 sau m−2=0\displaystyle m-2=0. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    m1=0 și m2=2\displaystyle m_1=0\text{ și }m_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1111a212a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&2\\1&2&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a astfel încât A(a)⋅A(a)−A(a2)=(21115−51−55)\displaystyle A(a)\cdot A(a)-A(a^2)=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&5&-5\\1&-5&5\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) înmulțind liniile cu coloanele. Pe prima linie: 1⋅1+1⋅1+1⋅1=3\displaystyle 1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=3, 1+a+2=a+3\displaystyle 1+a+2=a+3, 1+2+a=a+3\displaystyle 1+2+a=a+3.
    (3a+3a+3)\displaystyle \begin{pmatrix}3&a+3&a+3\end{pmatrix}
  2. Linia a doua: 1+a+2=a+3\displaystyle 1+a+2=a+3, 1+a2+4=a2+5\displaystyle 1+a^{2}+4=a^{2}+5, 1+2a+2a=4a+1\displaystyle 1+2a+2a=4a+1. Linia a treia: 1+2+a=a+3\displaystyle 1+2+a=a+3, 1+2a+2a=4a+1\displaystyle 1+2a+2a=4a+1, 1+4+a2=a2+5\displaystyle 1+4+a^{2}=a^{2}+5. Rezultă matricea produsului.
    A(a)⋅A(a)=(3a+3a+3a+3a2+54a+1a+34a+1a2+5)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}3&a+3&a+3\\a+3&a^2+5&4a+1\\a+3&4a+1&a^2+5\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea A(a2)\displaystyle A(a^{2}), înlocuind a\displaystyle a cu a2\displaystyle a^{2} în A(a)\displaystyle A(a).
    A(a2)=(1111a2212a2)\displaystyle A(a^2)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a^2&2\\1&2&a^2\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, a+3−1=a+2\displaystyle a+3-1=a+2, a2+5−a2=5\displaystyle a^{2}+5-a^{2}=5, 4a+1−2=4a−1\displaystyle 4a+1-2=4a-1.
    A(a)⋅A(a)−A(a2)=(2a+2a+2a+254a−1a+24a−15)\displaystyle A(a)\cdot A(a)-A(a^2)=\begin{pmatrix}2&a+2&a+2\\a+2&5&4a-1\\a+2&4a-1&5\end{pmatrix}
  5. Egalăm elementele corespunzătoare cu cele ale matricei date. Din a+2=1\displaystyle a+2=1 obținem a=−1\displaystyle a=-1. Verificăm: 4a−1=−5\displaystyle 4a-1=-5 dă tot a=−1\displaystyle a=-1, iar elementele 2\displaystyle 2 și 5\displaystyle 5 coincid deja. Deci singura valoare este a=−1\displaystyle a=-1.
    (2a+2a+2a+254a−1a+24a−15)=(21115−51−55)⇔a=−1\displaystyle \begin{pmatrix}2&a+2&a+2\\a+2&5&4a-1\\a+2&4a-1&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&5&-5\\1&-5&5\end{pmatrix}\Leftrightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3x+3y−xy−6\displaystyle x*y=3x+3y-xy-6.

Calculați 1∗3\displaystyle 1*3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=3x+3y−xy−6\displaystyle x*y=3x+3y-xy-6. Pentru 1∗3\displaystyle 1*3 avem x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    x=1\displaystyle x=1, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Înlocuim în formulă: 1∗3=3⋅1+3⋅3−1⋅3−6\displaystyle 1*3=3\cdot 1+3\cdot 3-1\cdot 3-6.
    1∗3=3⋅1+3⋅3−1⋅3−6\displaystyle 1*3=3\cdot1+3\cdot3-1\cdot3-6
  3. Efectuăm înmulțirile: 1∗3=3+9−3−6\displaystyle 1*3=3+9-3-6. Apoi adunăm și scădem: 12−3−6=3\displaystyle 12-3-6=3.
    1∗3=3+9−3−6=3\displaystyle 1*3=3+9-3-6=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3x+3y−xy−6\displaystyle x*y=3x+3y-xy-6.

Arătați că x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3) pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=3x+3y−xy−6\displaystyle x*y=3x+3y-xy-6 și vrem să apară produsul (x−3)(y−3)\displaystyle (x-3)(y-3). Pentru aceasta scriem −6=3−9\displaystyle -6=3-9.
    x∗y=3x+3y−xy+3−9\displaystyle x*y=3x+3y-xy+3-9
  2. Reordonăm termenii: punem mai întâi 3\displaystyle 3, apoi −xy\displaystyle -xy, apoi 3x+3y\displaystyle 3x+3y și la final −9\displaystyle -9.
    x∗y=3−xy+3x+3y−9\displaystyle x*y=3-xy+3x+3y-9
  3. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: −xy+3x=−x(y−3)\displaystyle -xy+3x=-x(y-3). Termenii rămași, 3y−9\displaystyle 3y-9, se scriu 3(y−3)\displaystyle 3(y-3).
    x∗y=3−x(y−3)+3(y−3)\displaystyle x*y=3-x(y-3)+3(y-3)
  4. Dăm factor comun (y−3)\displaystyle (y-3) între ultimii doi termeni: −x(y−3)+3(y−3)=−(x−3)(y−3)\displaystyle -x(y-3)+3(y-3)=-(x-3)(y-3). Obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3x+3y−xy−6\displaystyle x*y=3x+3y-xy-6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗…∗x⏟x de 2014 ori=x\displaystyle \underbrace{x*x*\ldots*x}_{x\text{ de }2014\text{ ori}}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub forma x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3). Verificăm: (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9, deci 3−(x−3)(y−3)=3x+3y−xy−6\displaystyle 3-(x-3)(y-3)=3x+3y-xy-6.
    x∗y=3−(x−3)(y−3)\displaystyle x*y=3-(x-3)(y-3)
  2. Din această formă rezultă (x∗y)−3=−(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=-(x-3)(y-3). La fiecare compunere cu x\displaystyle x, diferența față de 3\displaystyle 3 se înmulțește cu −(x−3)\displaystyle -(x-3).
    (x∗y)−3=−(x−3)(y−3)\displaystyle (x*y)-3=-(x-3)(y-3)
  3. Notăm cu En\displaystyle E_n compunerea lui x\displaystyle x cu el însuși de n\displaystyle n ori. Atunci En−3=(−1)n−1(x−3)n\displaystyle E_n-3=(-1)^{n-1}(x-3)^{n}. Pentru n=1\displaystyle n=1 relația este evidentă, iar trecerea de la n\displaystyle n la n+1\displaystyle n+1 se face cu regula din pasul anterior: En+1−3=−(En−3)(x−3)\displaystyle E_{n+1}-3=-(E_n-3)(x-3).
    En=3+(−1)n−1(x−3)n\displaystyle E_n=3+(-1)^{n-1}(x-3)^{n}
  4. Pentru n=2014\displaystyle n=2014 avem (−1)2013=−1\displaystyle (-1)^{2013}=-1, deci compunerea de 2014\displaystyle 2014 ori este 3−(x−3)2014\displaystyle 3-(x-3)^{2014}. Ecuația din enunț devine 3−(x−3)2014=x\displaystyle 3-(x-3)^{2014}=x.
    3−(x−3)2014=x\displaystyle 3-(x-3)^{2014}=x
  5. Notăm t=x−3\displaystyle t=x-3, deci x=t+3\displaystyle x=t+3. Ecuația devine 3−t2014=t+3\displaystyle 3-t^{2014}=t+3, adică t2014+t=0\displaystyle t^{2014}+t=0.
    t2014+t=0\displaystyle t^{2014}+t=0
  6. Dăm factor comun pe t\displaystyle t: t(t2013+1)=0\displaystyle t\left(t^{2013}+1\right)=0. Deci t=0\displaystyle t=0 sau t2013=−1\displaystyle t^{2013}=-1.
    t=0 sau t2013=−1\displaystyle t=0\text{ sau }t^{2013}=-1
  7. Exponentul 2013\displaystyle 2013 este impar, deci ecuația t2013=−1\displaystyle t^{2013}=-1 are în mulțimea numerelor reale singura soluție t=−1\displaystyle t=-1. Revenim la x=t+3\displaystyle x=t+3: din t=0\displaystyle t=0 obținem x=3\displaystyle x=3, iar din t=−1\displaystyle t=-1 obținem x=2\displaystyle x=2.
    x1=3 și x2=2\displaystyle x_1=3\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-4x+5}.

Arătați că f′(x)=(1−x)(x−3)(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(1-x)(x-3)}{\left(x^2-4x+5\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2−4x+5\displaystyle x^2-4x+5 nu se anulează (discriminantul este negativ). Folosim formula derivatei raportului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u(x)=x−2\displaystyle u(x)=x-2 și v(x)=x2−4x+5\displaystyle v(x)=x^2-4x+5.
    f′(x)=(x−2)′(x2−4x+5)−(x−2)(x2−4x+5)′(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{(x-2)'\left(x^2-4x+5\right)-(x-2)\left(x^2-4x+5\right)'}{\left(x^2-4x+5\right)^2}
  2. Calculăm derivatele: (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1 și (x2−4x+5)′=2x−4\displaystyle \left(x^2-4x+5\right)'=2x-4.
    f′(x)=1⋅(x2−4x+5)−(x−2)(2x−4)(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot\left(x^2-4x+5\right)-(x-2)(2x-4)}{\left(x^2-4x+5\right)^2}
  3. Desfacem parantezele la numărător: (x−2)(2x−4)=2x2−4x−4x+8=2x2−8x+8\displaystyle (x-2)(2x-4)=2x^2-4x-4x+8=2x^2-8x+8.
    x2−4x+5−(2x2−8x+8)\displaystyle x^2-4x+5-\left(2x^2-8x+8\right)
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: x2−4x+5−2x2+8x−8=−x2+4x−3\displaystyle x^2-4x+5-2x^2+8x-8=-x^2+4x-3.
    f′(x)=−x2+4x−3(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+4x-3}{\left(x^2-4x+5\right)^2}
  5. Descompunem numărătorul: verificăm că (1−x)(x−3)=x−3−x2+3x=−x2+4x−3\displaystyle (1-x)(x-3)=x-3-x^2+3x=-x^2+4x-3. Deci numărătorul este (1−x)(x−3)\displaystyle (1-x)(x-3), ceea ce trebuia arătat.
    f′(x)=−x2+4x−3(x2−4x+5)2=(1−x)(x−3)(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+4x-3}{\left(x^2-4x+5\right)^2}=\frac{(1-x)(x-3)}{\left(x^2-4x+5\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-4x+5}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2−4x+5\displaystyle x^{2}-4x+5 are discriminantul Δ=16−20=−4<0\displaystyle \Delta=16-20=-4<0 și nu se anulează. Pentru asimptota spre +∞\displaystyle +\infty calculăm limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty.
    Δ=16−20=−4<0\displaystyle \Delta=16-20=-4<0
  2. Scoatem factor comun x\displaystyle x la numărător și x2\displaystyle x^{2} la numitor: f(x)=x(1−2x)x2(1−4x+5x2)=1x⋅1−2x1−4x+5x2\displaystyle f(x)=\dfrac{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}{x^{2}\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\right)}=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1-\frac{2}{x}}{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}.
    f(x)=1x⋅1−2x1−4x+5x2\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1-\frac{2}{x}}{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 2x\displaystyle \dfrac{2}{x}, 4x\displaystyle \dfrac{4}{x}, 5x2\displaystyle \dfrac{5}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0, deci raportul mare tinde la 1\displaystyle 1, iar 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0. Obținem limita 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−2x2−4x+5=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x^2-4x+5}=0
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-4x+5}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2−4x+5\displaystyle x^2-4x+5 are discriminantul negativ (16−20=−4\displaystyle 16-20=-4), deci nu se anulează. Calculăm derivata cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, unde u=x−2\displaystyle u=x-2 și v=x2−4x+5\displaystyle v=x^2-4x+5.
    f′(x)=1⋅(x2−4x+5)−(x−2)(2x−4)(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2-4x+5)-(x-2)(2x-4)}{(x^2-4x+5)^2}
  2. Simplificăm numărătorul: (x−2)(2x−4)=2(x−2)2=2x2−8x+8\displaystyle (x-2)(2x-4)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8. Apoi scădem din x2−4x+5\displaystyle x^2-4x+5 și obținem −x2+4x−3\displaystyle -x^2+4x-3.
    f′(x)=−x2+4x−3(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^2+4x-3}{(x^2-4x+5)^2}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Fracția se anulează când numărătorul este zero, adică x2−4x+3=0\displaystyle x^2-4x+3=0. Descompunem: x2−4x+3=(x−1)(x−3)\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3). Rădăcinile sunt x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
    f′(x)=0⇔x1=1 și x2=3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x_1=1\text{ și }x_2=3
  4. Numitorul (x2−4x+5)2\displaystyle (x^2-4x+5)^2 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real. Deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul numărătorului −(x−1)(x−3)\displaystyle -(x-1)(x-3), adică al unei funcții de gradul al doilea cu coeficientul dominant negativ: negativ în afara rădăcinilor și pozitiv între ele.
    f′(x)=−(x−1)(x−3)(x2−4x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x-1)(x-3)}{(x^2-4x+5)^2}
  5. Pentru x≤1\displaystyle x\le 1, de exemplu x=0\displaystyle x=0, numărătorul este −3\displaystyle -3, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Funcția este descrescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1].
    f′(x)≤0 pentru orice x∈(−∞,1]⇒f este descresca˘toare pe (−∞,1]\displaystyle f'(x)\le0\text{ pentru orice }x\in(-\infty,1]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,1]
  6. Pentru x∈[1,3]\displaystyle x\in[1,3], de exemplu x=2\displaystyle x=2, numărătorul este 1\displaystyle 1, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Funcția este crescătoare pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    f′(x)≥0 pentru orice x∈[1,3]⇒f este cresca˘toare pe [1,3]\displaystyle f'(x)\ge0\text{ pentru orice }x\in[1,3]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[1,3]
  7. Pentru x≥3\displaystyle x\ge 3, de exemplu x=4\displaystyle x=4, numărătorul este −3\displaystyle -3, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Funcția este descrescătoare pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty). Intervalele de monotonie sunt: descrescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] și pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty), crescătoare pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    f′(x)≤0 pentru orice x∈[3,+∞)⇒f este descresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle f'(x)\le0\text{ pentru orice }x\in[3,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫1exln⁡nx dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_1^e x\ln^n x\,dx.

Arătați că I1=e2+14\displaystyle I_1=\dfrac{e^2+1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem integrala I1=∫1exln⁡x dx\displaystyle I_1=\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx.
    I1=∫1exln⁡x dx\displaystyle I_1=\int_1^e x\ln x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți, derivând ln⁡x\displaystyle \ln x și integrând x\displaystyle x. Alegem f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x și g′(x)=x\displaystyle g'(x)=x, deci f′(x)=1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x} și g(x)=x22\displaystyle g(x)=\dfrac{x^{2}}{2}.
    f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x, f′(x)=1x\displaystyle \ f'(x)=\frac{1}{x}, g(x)=x22\displaystyle \ g(x)=\frac{x^{2}}{2}
  3. Folosim formula ∫1efg′ dx=fg∣1e−∫1ef′g dx\displaystyle \int_1^e f g'\,dx=fg\Big|_1^e-\int_1^e f'g\,dx. Produsul rămas sub integrală se simplifică: 1x⋅x22=x2\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{x}{2}.
    I1=x22ln⁡x∣1e−12∫1ex dx\displaystyle I_1=\frac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e-\frac{1}{2}\int_1^e x\,dx
  4. Calculăm primul termen între limitele 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e. Pentru x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    x22ln⁡x∣1e=e22⋅1−12⋅0=e22\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e=\frac{e^{2}}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{e^{2}}{2}
  5. Calculăm integrala rămasă: ∫1ex dx=x22∣1e=e2−12\displaystyle \displaystyle\int_1^e x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}-1}{2}. Înmulțită cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} dă e2−14\displaystyle \dfrac{e^{2}-1}{4}.
    12∫1ex dx=e2−14=e24−14\displaystyle \frac{1}{2}\int_1^e x\,dx=\frac{e^{2}-1}{4}=\frac{e^{2}}{4}-\frac{1}{4}
  6. Scădem cei doi termeni și aducem la același numitor: e22−e24+14=2e2−e2+14=e2+14\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2e^{2}-e^{2}+1}{4}=\dfrac{e^{2}+1}{4}, ceea ce trebuia arătat.
    I1=e22−e24+14=e2+14\displaystyle I_1=\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^{2}+1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫1exln⁡nx dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_1^e x\ln^n x\,dx.

Arătați că In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența In+1−In\displaystyle I_{n+1}-I_n ca o singură integrală, folosind liniaritatea integralei, deoarece ambele integrale au aceleași limite de integrare, 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e.
    In+1−In=∫1exln⁡n+1x dx−∫1exln⁡nx dx=∫1e(xln⁡n+1x−xln⁡nx)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_1^e x\ln^{n+1}x\,dx-\int_1^e x\ln^{n}x\,dx=\int_1^e\left(x\ln^{n+1}x-x\ln^{n}x\right)dx
  2. Dăm factor comun xln⁡nx\displaystyle x\ln^n x sub integrală. Folosim faptul că ln⁡n+1x=ln⁡nx⋅ln⁡x\displaystyle \ln^{n+1}x=\ln^{n}x\cdot\ln x.
    In+1−In=∫1ex(ln⁡x−1)ln⁡nx dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_1^e x(\ln x-1)\ln^n x\,dx
  3. Studiem semnul factorilor din integrand pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e]. Pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e], funcția ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare, deci 0=ln⁡1≤ln⁡x≤ln⁡e=1\displaystyle 0=\ln 1\le\ln x\le\ln e=1. Rezultă că ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0 și ln⁡x−1≤0\displaystyle \ln x-1\le 0. De asemenea x>0\displaystyle x>0, iar ln⁡nx≥0\displaystyle \ln^n x\ge 0.
    x>0\displaystyle x>0,ln⁡nx≥0\displaystyle \quad \ln^n x\ge 0,ln⁡x−1≤0 pentru x∈[1,e]\displaystyle \quad \ln x-1\le 0\text{ pentru }x\in[1,e]
  4. Produsul dintre factorii x≥0\displaystyle x\ge 0 și ln⁡nx≥0\displaystyle \ln^n x\ge 0 și factorul ln⁡x−1≤0\displaystyle \ln x-1\le 0 este negativ sau nul, deci x(ln⁡x−1)ln⁡nx≤0\displaystyle x(\ln x-1)\ln^n x\le 0 pe [1,e]\displaystyle [1,e]. Integrala unei funcții negative sau nule pe un interval este negativă sau nulă, deci In+1−In≤0\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0, adică In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    x(ln⁡x−1)ln⁡nx≤0 pe [1,e]⇒In+1−In≤0⇒In+1≤In\displaystyle x(\ln x-1)\ln^n x\le 0\text{ pe }[1,e]\Rightarrow I_{n+1}-I_n\le 0\Rightarrow I_{n+1}\le I_n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫1exln⁡nx dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_1^e x\ln^n x\,dx. Demonstrați că 2In+1+(n+1)In=e2\displaystyle 2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2 pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem In+1=∫1exln⁡n+1x dx\displaystyle I_{n+1}=\displaystyle\int_1^e x\ln^{n+1}x\,dx și integrăm prin părți, cu u=ln⁡n+1x\displaystyle u=\ln^{n+1}x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx.
    In+1=∫1exln⁡n+1x dx\displaystyle I_{n+1}=\int_1^e x\ln^{n+1}x\,dx
  2. Avem du=(n+1)ln⁡nx⋅1x dx\displaystyle du=(n+1)\ln^{n}x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^2}{2}.
    du=(n+1)ln⁡nx⋅1x dx\displaystyle du=(n+1)\ln^{n}x\cdot\frac{1}{x}\,dx
  3. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    In+1=x22ln⁡n+1x∣1e−∫1ex22⋅1x(n+1)ln⁡nx dx\displaystyle I_{n+1}=\frac{x^2}{2}\ln^{n+1}x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}(n+1)\ln^n x\,dx
  4. Pentru termenul integrat avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci valoarea lui este e22⋅1−12⋅0\displaystyle \dfrac{e^2}{2}\cdot 1-\dfrac{1}{2}\cdot 0.
    x22ln⁡n+1x∣1e=e22\displaystyle \frac{x^2}{2}\ln^{n+1}x\Big|_1^e=\frac{e^2}{2}
  5. În integrala rămasă, x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}, iar n+12\displaystyle \dfrac{n+1}{2} iese în fața integralei. Obținem chiar In\displaystyle I_n.
    In+1=e22−n+12∫1exln⁡nx dx=e22−n+12In\displaystyle I_{n+1}=\frac{e^2}{2}-\frac{n+1}{2}\int_1^e x\ln^n x\,dx=\frac{e^2}{2}-\frac{n+1}{2}I_n
  6. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și mutăm termenul cu In\displaystyle I_n în stânga. Obținem relația cerută, valabilă pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    2In+1+(n+1)In=e2 pentru orice numa˘r \displaystyle 2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2\text{ pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.