Bac matematică M1 mate-info 2026, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul b3\displaystyle b_3 al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, în care b1=2\displaystyle b_1=2 și b2=10\displaystyle b_2=10.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu rația q\displaystyle q. Deci b2=b1⋅q\displaystyle b_2=b_1\cdot q, de unde rația este raportul dintre b2\displaystyle b_2 și b1\displaystyle b_1: q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}.
    q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}
  2. Înlocuim b1=2\displaystyle b_1=2 și b2=10\displaystyle b_2=10 și obținem q=102=5\displaystyle q=\dfrac{10}{2}=5.
    q=102=5\displaystyle q=\dfrac{10}{2}=5
  3. Termenul al treilea este b3=b2⋅q=b1q2\displaystyle b_3=b_2\cdot q=b_1q^{2}. Înlocuim b1=2\displaystyle b_1=2 și q=5\displaystyle q=5 și calculăm: b3=2⋅52=2⋅25=50\displaystyle b_3=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50.
    b3=b1q2=2⋅52=50\displaystyle b_3=b_1q^{2}=2\cdot 5^{2}=50
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=ax−1\displaystyle g(x)=ax-1, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (f∘g)(2)=2\displaystyle (f\circ g)(2)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția compunerii: (f∘g)(2)=f(g(2))\displaystyle (f\circ g)(2)=f(g(2)). Calculăm mai întâi g(2)\displaystyle g(2), înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în g(x)=ax−1\displaystyle g(x)=ax-1.
    g(2)=2a−1\displaystyle g(2)=2a-1
  2. Aplicăm f\displaystyle f pe valoarea g(2)=2a−1\displaystyle g(2)=2a-1: în f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5 înlocuim x\displaystyle x cu 2a−1\displaystyle 2a-1 și obținem 2a−1−5\displaystyle 2a-1-5.
    (f∘g)(2)=f(2a−1)=2a−1−5=2a−6\displaystyle (f\circ g)(2)=f(2a-1)=2a-1-5=2a-6
  3. Punem condiția din enunț, (f∘g)(2)=2\displaystyle (f\circ g)(2)=2, și obținem o ecuație liniară în a\displaystyle a. Adunăm 6\displaystyle 6 în ambii membri: 2a=8\displaystyle 2a=8, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2a−6=2⇒2a=8⇒a=4\displaystyle 2a-6=2\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8x+log⁡8(8−x)=log⁡8(6+x)\displaystyle \log_8 x+\log_8(8-x)=\log_8(6+x).
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x>0\displaystyle x>0, 8−x>0\displaystyle 8-x>0 și 6+x>0\displaystyle 6+x>0. Rezultă x∈(0,8)\displaystyle x\in(0,8).
    x∈(0,8)\displaystyle x\in(0,8)
  2. Folosim formula pentru suma logaritmilor cu aceeași bază: log⁡8a+log⁡8b=log⁡8(ab)\displaystyle \log_8 a+\log_8 b=\log_8(ab). Membrul stâng devine log⁡8(x(8−x))=log⁡8(8x−x2)\displaystyle \log_8\big(x(8-x)\big)=\log_8(8x-x^{2}).
    log⁡8(8x−x2)=log⁡8(6+x)\displaystyle \log_8(8x-x^{2})=\log_8(6+x)
  3. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 8x−x2=6+x\displaystyle 8x-x^{2}=6+x. Aducem toți termenii în același membru și obținem ecuația de gradul al doilea x2−7x+6=0\displaystyle x^{2}-7x+6=0.
    x2−7x+6=0\displaystyle x^{2}-7x+6=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=49−24=25\displaystyle \Delta=49-24=25, iar rădăcinile sunt x=7−52=1\displaystyle x=\dfrac{7-5}{2}=1 și x=7+52=6\displaystyle x=\dfrac{7+5}{2}=6.
    x=1 sau x=6\displaystyle x=1\text{ sau }x=6
  5. Verificăm condițiile de existență: atât 1\displaystyle 1, cât și 6\displaystyle 6 aparțin intervalului (0,8)\displaystyle (0,8), deci ambele soluții convin.
    x=1 sau x=6, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=6\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea A={1,2,4,6,8}\displaystyle A=\{1,2,4,6,8\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul trebuie să fie par, deci cifra unităților trebuie să fie pară. Din mulțimea A={1,2,4,6,8}\displaystyle A=\{1,2,4,6,8\}, cifrele pare sunt 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4, 6\displaystyle 6 și 8\displaystyle 8, deci cifra unităților se poate alege în 4\displaystyle 4 moduri.
    4 moduri\displaystyle 4\text{ moduri}
  2. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre din A\displaystyle A, deoarece nu are nicio condiție suplimentară (cifrele se pot repeta). Cifra 0\displaystyle 0 nu face parte din A\displaystyle A, deci nu apar probleme cu prima cifră. Rezultă 5\displaystyle 5 alegeri.
    5 moduri\displaystyle 5\text{ moduri}
  3. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru cifra unităților cu numărul de alegeri pentru cifra zecilor. Se pot forma 20\displaystyle 20 de numere.
    4⋅5=20 de numere\displaystyle 4\cdot 5=20\text{ de numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(2,2)\displaystyle B(2,2) și C(4,6)\displaystyle C(4,6). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d ce trece prin punctul B\displaystyle B și este paralelă cu dreapta AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC cu formula mAC=yC−yAxC−xA\displaystyle m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}, folosind A(1,3)\displaystyle A(1,3) și C(4,6)\displaystyle C(4,6).
    mAC=6−34−1=33=1\displaystyle m_{AC}=\dfrac{6-3}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci md=mAC\displaystyle m_d=m_{AC}.
    mAC=1, deci md=1\displaystyle m_{AC}=1\text{, deci }m_d=1
  3. Scriem ecuația dreptei care trece prin B(2,2)\displaystyle B(2,2) cu panta md=1\displaystyle m_d=1, folosind formula y−yB=md(x−xB)\displaystyle y-y_B=m_d(x-x_B).
    y−2=1⋅(x−2)\displaystyle y-2=1\cdot(x-2)
  4. Simplificăm ecuația: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y−2=x−2, adica˘ y=x\displaystyle y-2=x-2\text{, adică }y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=3tg⁡x3+sin⁡x−2sin⁡2x3\displaystyle E(x)=3\operatorname{tg}\frac{x}{3}+\sin x-2\sin\frac{2x}{3}, unde x∈(0,3π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{3\pi}{2}\right). Arătați că E(π2)=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} în expresia E(x)\displaystyle E(x). Valoarea π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} aparține intervalului (0,3π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{3\pi}{2}\right), deci expresia este definită.
    E(π2)=3tg⁡π6+sin⁡π2−2sin⁡π3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{2}-2\sin\frac{\pi}{3}
  2. Calculăm argumentele: π/23=π6\displaystyle \dfrac{\pi/2}{3}=\dfrac{\pi}{6}, iar 2⋅π/23=π3\displaystyle \dfrac{2\cdot\pi/2}{3}=\dfrac{\pi}{3}.
    x3=π6\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{\pi}{6},2x3=π3\displaystyle \quad \frac{2x}{3}=\frac{\pi}{3}
  3. Folosim valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}, π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} și π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}.
    tg⁡π6=13\displaystyle \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}, sin⁡π2=1\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{2}=1, sin⁡π3=32\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Înlocuim valorile în expresie.
    E(π2)=3⋅13+1−2⋅32\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. Simplificăm: 33=3\displaystyle \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, iar 2⋅32=3\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. Termenii cu radical se reduc și rămâne 1\displaystyle 1.
    E(π2)=3+1−3=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−2a2−1−a1−a0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -2a\\ 2 & -1 & -a\\ 1 & -a & 0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a\displaystyle \begin{cases}x+ay-2az=-1\\ 2x-y-az=a\\ x-ay=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=4\displaystyle \det(A(2))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine (1, 2, −4)\displaystyle (1,\ 2,\ -4), a doua (2, −1, −2)\displaystyle (2,\ -1,\ -2), a treia (1, −2, 0)\displaystyle (1,\ -2,\ 0). Apoi scriem determinantul acestei matrice.
    det⁡(A(2))=∣12−42−1−21−20∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1 & 2 & -4\\ 2 & -1 & -2\\ 1 & -2 & 0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅(−1)⋅0\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 0, 2⋅(−2)⋅1\displaystyle 2\cdot(-2)\cdot 1 și (−4)⋅2⋅(−2)\displaystyle (-4)\cdot 2\cdot(-2). Acestea se adună.
    0+(−4)+16=12\displaystyle 0+(-4)+16=12
  3. Apoi calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: (−4)⋅(−1)⋅1\displaystyle (-4)\cdot(-1)\cdot 1, 1⋅(−2)⋅(−2)\displaystyle 1\cdot(-2)\cdot(-2) și 2⋅2⋅0\displaystyle 2\cdot 2\cdot 0. Acestea se scad din suma precedentă.
    4+4+0=8\displaystyle 4+4+0=8
  4. Determinantul este diferența dintre cele două sume, adică 0+16−4−4−4−0\displaystyle 0+16-4-4-4-0, ceea ce dă 4\displaystyle 4, așa cum trebuia arătat.
    det⁡(A(2))=12−8=4\displaystyle \det(A(2))=12-8=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−2a2−1−a1−a0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -2a\\ 2 & -1 & -a\\ 1 & -a & 0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a\displaystyle \begin{cases}x+ay-2az=-1\\ 2x-y-az=a\\ x-ay=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Pentru a=1\displaystyle a=1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 sistemul devine un sistem cu trei ecuații și trei necunoscute, cu matricea A(1)\displaystyle A(1) de mai jos.
    {x+y−2z=−12x−y−z=1x−y=1\displaystyle \begin{cases}x+y-2z=-1\\ 2x-y-z=1\\ x-y=1\end{cases},A(1)=(11−22−1−11−10)\displaystyle \quad A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2\\ 2 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡A(1)\displaystyle \det A(1) dezvoltând după prima linie: det⁡A(1)=1⋅(0−1)−1⋅(0+1)+(−2)⋅(−2+1)=−1−1+2\displaystyle \det A(1)=1\cdot(0-1)-1\cdot(0+1)+(-2)\cdot(-2+1)=-1-1+2. Determinantul este zero, deci rangul lui A(1)\displaystyle A(1) este cel mult 2\displaystyle 2.
    ∣11−22−1−11−10∣=−1−1+2=0\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 & -2\\ 2 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{vmatrix}=-1-1+2=0
  3. Minorul format din primele două linii și primele două coloane este nenul: ∣112−1∣=−1−2=−3≠0\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix}=-1-2=-3\ne 0. Cum det⁡A(1)=0\displaystyle \det A(1)=0, rezultă rang⁡A(1)=2\displaystyle \operatorname{rang}A(1)=2.
    ∣112−1∣=−3≠0⇒rang⁡A(1)=2\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix}=-3\ne 0\Rightarrow \operatorname{rang}A(1)=2
  4. Bordăm minorul nenul cu a treia linie și cu coloana termenilor liberi (−1,1,1)T\displaystyle (-1,1,1)^T. Dezvoltând după prima linie: 1⋅(−1+1)−1⋅(2−1)+(−1)⋅(−2+1)=0−1+1=0\displaystyle 1\cdot(-1+1)-1\cdot(2-1)+(-1)\cdot(-2+1)=0-1+1=0. Deci acest minor de ordin 3 al matricei extinse este nul.
    ∣11−12−111−11∣=0−1+1=0\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\end{vmatrix}=0-1+1=0
  5. Celelalte două minore de ordin 3 ale matricei extinse, formate cu coloanele 1,3,4\displaystyle 1,3,4 și 2,3,4\displaystyle 2,3,4, sunt și ele nule (ambele dau 0\displaystyle 0). Deci rangul matricei extinse este tot 2\displaystyle 2, iar din teorema Kronecker-Capelli rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat.
    rang⁡A(1)=rang⁡A‾=2<3, deci sistemul are o \displaystyle \operatorname{rang}A(1)=\operatorname{rang}\overline{A}=2<3\text{, deci sistemul are o }infinitate de soluții\displaystyle \text{infinitate de soluții}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−2a2−1−a1−a0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -2a\\ 2 & -1 & -a\\ 1 & -a & 0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a\displaystyle \begin{cases}x+ay-2az=-1\\ 2x-y-az=a\\ x-ay=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că, pentru orice a∈R∖{0,1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}, sistemul de ecuații are soluție unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) și 4x0z0=1\displaystyle 4x_0z_0=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) prin dezvoltare după prima linie: det⁡(A(a))=1⋅(0−a2)−a⋅(0+a)−2a⋅(−2a+1)\displaystyle \det(A(a))=1\cdot(0-a^{2})-a\cdot(0+a)-2a\cdot(-2a+1). Obținem −a2−a2+4a2−2a\displaystyle -a^{2}-a^{2}+4a^{2}-2a.
    det⁡(A(a))=2a2−2a\displaystyle \det(A(a))=2a^{2}-2a
  2. Descompunem determinantul în factori: det⁡(A(a))=2a(a−1)\displaystyle \det(A(a))=2a(a-1). Pentru a≠0\displaystyle a\neq 0 și a≠1\displaystyle a\neq 1 el este nenul, deci sistemul (de trei ecuații cu trei necunoscute) are soluție unică.
    det⁡(A(a))=2a(a−1)≠0\displaystyle \det(A(a))=2a(a-1)\neq 0
  3. Din a treia ecuație, x−ay=a\displaystyle x-ay=a, exprimăm x\displaystyle x în funcție de y\displaystyle y.
    x=a+ay\displaystyle x=a+ay
  4. Înlocuim x\displaystyle x în prima ecuație: a+ay+ay−2az=−1\displaystyle a+ay+ay-2az=-1, deci 2a(y−z)=−1−a\displaystyle 2a(y-z)=-1-a. Cum a≠0\displaystyle a\neq 0, împărțim la 2a\displaystyle 2a.
    y=z−a+12a\displaystyle y=z-\frac{a+1}{2a}
  5. Înlocuim x=a+ay\displaystyle x=a+ay în a doua ecuație: 2a+2ay−y−az=a\displaystyle 2a+2ay-y-az=a, adică a+(2a−1)y−az=0\displaystyle a+(2a-1)y-az=0. Apoi înlocuim y\displaystyle y din pasul anterior și obținem (a−1)z=a−12a\displaystyle (a-1)z=\dfrac{a-1}{2a}. Cum a≠1\displaystyle a\neq 1, putem simplifica cu a−1\displaystyle a-1.
    z0=12a\displaystyle z_0=\frac{1}{2a}
  6. Calculăm y0=12a−a+12a=−12\displaystyle y_0=\dfrac{1}{2a}-\dfrac{a+1}{2a}=-\dfrac{1}{2}, apoi x0=a+a⋅(−12)=a2\displaystyle x_0=a+a\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{a}{2}.
    x0=a2\displaystyle x_0=\frac{a}{2}, y0=−12\displaystyle \ y_0=-\frac{1}{2}
  7. Calculăm produsul cerut: 4x0z0=4⋅a2⋅12a=1\displaystyle 4x_0z_0=4\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{1}{2a}=1.
    x0=a2\displaystyle x_0=\frac{a}{2}, z0=12a, deci 4x0z0=1\displaystyle \ z_0=\frac{1}{2a}\text{, deci }4x_0z_0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+aX+8\displaystyle f=X^3+X^2+aX+8, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(0)=8\displaystyle f(0)=8, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului f=X3+X2+aX+8\displaystyle f=X^3+X^2+aX+8, unde a\displaystyle a rămâne un număr real oarecare.
    f(0)=03+02+a⋅0+8\displaystyle f(0)=0^3+0^2+a\cdot 0+8
  2. Calculăm puterile lui 0\displaystyle 0 și produsul lui a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0. Orice număr real înmulțit cu 0\displaystyle 0 dă 0\displaystyle 0, deci termenul cu a\displaystyle a dispare.
    03=0\displaystyle 0^3=0,02=0\displaystyle \quad 0^2=0,a⋅0=0\displaystyle \quad a\cdot 0=0
  3. Adunăm termenii: rămâne doar termenul liber 8\displaystyle 8, care nu depinde de a\displaystyle a. Deci f(0)=8\displaystyle f(0)=8 pentru orice număr real a\displaystyle a.
    f(0)=0+0+0+8=8, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(0)=0+0+0+8=8\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+aX+8\displaystyle f=X^3+X^2+aX+8, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul g=X+2\displaystyle g=X+2.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+2\displaystyle X+2 dacă și numai dacă −2\displaystyle -2 este rădăcină a lui f\displaystyle f, adică f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0 (teorema lui Bézout). Calculăm mai întâi f(−2)\displaystyle f(-2).
    f(−2)\displaystyle f(-2)
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu −2\displaystyle -2 în f\displaystyle f: (−2)3=−8\displaystyle (-2)^3=-8, (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4, iar termenul aX\displaystyle aX devine −2a\displaystyle -2a. Obținem f(−2)=(−2)3+(−2)2+a⋅(−2)+8\displaystyle f(-2)=(-2)^3+(-2)^2+a\cdot(-2)+8.
    f(−2)=−8+4−2a+8\displaystyle f(-2)=-8+4-2a+8
  3. Reducem termenii asemenea: −8+4+8=4\displaystyle -8+4+8=4. Rezultă că f(−2)\displaystyle f(-2) are o expresie care depinde doar de a\displaystyle a, pentru orice a\displaystyle a real.
    f(−2)=4−2a, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(-2)=4-2a\text{, pentru orice număr real }a
  4. Punem condiția f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0, adică 4−2a=0\displaystyle 4-2a=0, deci 2a=4\displaystyle 2a=4. Rezultă a=2\displaystyle a=2.
    4−2a=0, de unde obținem a=2\displaystyle 4-2a=0\text{, de unde obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+aX+8\displaystyle f=X^3+X^2+aX+8, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului f\displaystyle f este egal cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile polinomului f\displaystyle f cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3. Numerotăm rădăcinile astfel încât x2x1=2\displaystyle \dfrac{x_2}{x_1}=2, adică x2=2x1\displaystyle x_2=2x_1.
    x2=2x1\displaystyle x_2=2x_1
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+X2+aX+8\displaystyle f=X^3+X^2+aX+8: suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, iar produsul lor este x1x2x3=−8\displaystyle x_1x_2x_3=-8.
    x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1,x1x2x3=−8\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-8
  3. Înlocuim x2=2x1\displaystyle x_2=2x_1 în suma rădăcinilor: x1+2x1+x3=−1\displaystyle x_1+2x_1+x_3=-1, deci 3x1+x3=−1\displaystyle 3x_1+x_3=-1, de unde x3=−1−3x1\displaystyle x_3=-1-3x_1.
    x3=−1−3x1\displaystyle x_3=-1-3x_1
  4. Înlocuim în produs: x1⋅2x1⋅(−1−3x1)=−8\displaystyle x_1\cdot 2x_1\cdot(-1-3x_1)=-8, adică −2x12−6x13=−8\displaystyle -2x_1^2-6x_1^3=-8. Împărțind la −2\displaystyle -2 obținem x12+3x13=4\displaystyle x_1^2+3x_1^3=4, deci 3x13+x12−4=0\displaystyle 3x_1^3+x_1^2-4=0.
    3x13+x12−4=0\displaystyle 3x_1^3+x_1^2-4=0
  5. Observăm că x1=1\displaystyle x_1=1 este rădăcină, deoarece 3+1−4=0\displaystyle 3+1-4=0. Descompunem: 3x13+x12−4=(x1−1)(3x12+4x1+4)\displaystyle 3x_1^3+x_1^2-4=(x_1-1)(3x_1^2+4x_1+4). Factorul 3x12+4x1+4\displaystyle 3x_1^2+4x_1+4 are discriminantul Δ=16−48=−32<0\displaystyle \Delta=16-48=-32<0, deci nu are rădăcini reale.
    (x1−1)(3x12+4x1+4)=0⇒x1=1\displaystyle (x_1-1)(3x_1^2+4x_1+4)=0\Rightarrow x_1=1
  6. Cu x1=1\displaystyle x_1=1 obținem x2=2\displaystyle x_2=2 și x3=−1−3⋅1=−4\displaystyle x_3=-1-3\cdot 1=-4. Verificăm produsul: 1⋅2⋅(−4)=−8\displaystyle 1\cdot 2\cdot(-4)=-8, deci relațiile lui Viète sunt respectate.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=2\displaystyle \ x_2=2, x3=−4\displaystyle \ x_3=-4
  7. Deoarece 1\displaystyle 1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, avem f(1)=0\displaystyle f(1)=0, adică 1+1+a+8=0\displaystyle 1+1+a+8=0, de unde a=−10\displaystyle a=-10. Același rezultat rezultă din Viète: a=x1x2+x1x3+x2x3=2−4−8=−10\displaystyle a=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2-4-8=-10. Valoarea convine, pentru că rădăcinile 1,2,−4\displaystyle 1, 2, -4 au raportul 21=2\displaystyle \dfrac{2}{1}=2.
    a=−10\displaystyle a=-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−4x−3−(2x−3)e2x\displaystyle f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}.

Arătați că f′(x)=4(x−1)(1−e2x)\displaystyle f'(x)=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm separat partea polinomială: (2x2−4x−3)′=4x−4\displaystyle \left(2x^2-4x-3\right)'=4x-4.
    (2x2−4x−3)′=4x−4\displaystyle \left(2x^2-4x-3\right)'=4x-4
  2. Derivăm produsul (2x−3)e2x\displaystyle (2x-3)e^{2x} cu regula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'. Avem (2x−3)′=2\displaystyle (2x-3)'=2 și (e2x)′=2e2x\displaystyle \left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}, deci ((2x−3)e2x)′=2e2x+(2x−3)⋅2e2x\displaystyle \left((2x-3)e^{2x}\right)'=2e^{2x}+(2x-3)\cdot 2e^{2x}.
    ((2x−3)e2x)′=2e2x+(2x−3)⋅2e2x\displaystyle \left((2x-3)e^{2x}\right)'=2e^{2x}+(2x-3)\cdot 2e^{2x}
  3. Scădem derivata produsului din derivata părții polinomiale: f′(x)=4x−4−2e2x−(2x−3)⋅2e2x\displaystyle f'(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot 2e^{2x}.
    f′(x)=4x−4−2e2x−(2x−3)⋅2e2x\displaystyle f'(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot 2e^{2x}
  4. Grupăm termenii cu e2x\displaystyle e^{2x} și dăm factor comun: −2e2x−(2x−3)⋅2e2x=−2e2x(1+2x−3)=−2e2x(2x−2)=−4(x−1)e2x\displaystyle -2e^{2x}-(2x-3)\cdot 2e^{2x}=-2e^{2x}\left(1+2x-3\right)=-2e^{2x}(2x-2)=-4(x-1)e^{2x}.
    −2e2x−(2x−3)⋅2e2x=−4(x−1)e2x\displaystyle -2e^{2x}-(2x-3)\cdot 2e^{2x}=-4(x-1)e^{2x}
  5. Partea fără exponențială, 4x−4\displaystyle 4x-4, este 4(x−1)\displaystyle 4(x-1). Dăm factor comun 4(x−1)\displaystyle 4(x-1) și obținem forma cerută pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=4(x−1)−4(x−1)e2x=4(x−1)(1−e2x)\displaystyle f'(x)=4(x-1)-4(x-1)e^{2x}=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−4x−3−(2x−3)e2x\displaystyle f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}.

Arătați că lim⁡x→0f(x)x2=4\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) și vedem că limita are forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}. Avem f(0)=0−0−3−(−3)⋅1=0\displaystyle f(0)=0-0-3-(-3)\cdot 1=0, iar x2→0\displaystyle x^2\to 0. Putem deci aplica regula lui L'Hospital.
    f(0)=0, deci lim⁡x→0f(x)x2 este de forma 00\displaystyle f(0)=0\text{, deci }\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}\text{ este de forma }\frac{0}{0}
  2. Derivăm f\displaystyle f folosind regula produsului pentru termenul (2x−3)e2x\displaystyle (2x-3)e^{2x}. Derivata lui e2x\displaystyle e^{2x} este 2e2x\displaystyle 2e^{2x}.
    f′(x)=4x−4−(2e2x+(2x−3)⋅2e2x)=4x−4−e2x(4x−4)\displaystyle f'(x)=4x-4-\left(2e^{2x}+(2x-3)\cdot 2e^{2x}\right)=4x-4-e^{2x}(4x-4)
  3. Dăm factor comun 4(x−1)\displaystyle 4(x-1) și obținem derivata sub forma factorizată.
    f′(x)=4(x−1)(1−e2x)\displaystyle f'(x)=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)
  4. Aplicăm regula lui L'Hospital. Derivata lui x2\displaystyle x^2 este 2x\displaystyle 2x.
    lim⁡x→0f(x)x2=lim⁡x→0f′(x)(x2)′=lim⁡x→04(x−1)(1−e2x)2x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{\left(x^2\right)'}=\lim_{x\to 0}\frac{4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)}{2x}
  5. Separăm expresia în doi factori: 4(x−1)\displaystyle 4(x-1), care are limită simplă când x→0\displaystyle x\to 0, și raportul 1−e2x2x\displaystyle \dfrac{1-e^{2x}}{2x}.
    lim⁡x→04(x−1)(1−e2x)2x=lim⁡x→04(x−1)⋅lim⁡x→01−e2x2x, cu lim⁡x→04(x−1)=−4\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)}{2x}=\lim_{x\to 0}4(x-1)\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{2x}\text{, cu }\lim_{x\to 0}4(x-1)=-4
  6. Notăm t=2x\displaystyle t=2x, care tinde la 0\displaystyle 0. Din limita remarcabilă lim⁡t→0et−1t=1\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1 obținem lim⁡x→01−e2x2x=−1\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1-e^{2x}}{2x}=-1. Înmulțim cu −4\displaystyle -4 și obținem rezultatul.
    lim⁡x→01−e2x2x=−1, de unde lim⁡x→0f(x)x2=4⋅(−1)⋅(−1)=4\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{2x}=-1\text{, de unde }\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=4\cdot(-1)\cdot(-1)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−4x−3−(2x−3)e2x\displaystyle f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}.

Demonstrați că ecuația f(x)+n=0\displaystyle f(x)+n=0 are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm: (2x−3)e2x\displaystyle (2x-3)e^{2x} are derivata 2e2x+2(2x−3)e2x=(4x−4)e2x\displaystyle 2e^{2x}+2(2x-3)e^{2x}=(4x-4)e^{2x}, deci f′(x)=4x−4−(4x−4)e2x\displaystyle f'(x)=4x-4-(4x-4)e^{2x}.
    f′(x)=4x−4−(4x−4)e2x\displaystyle f'(x)=4x-4-(4x-4)e^{2x}
  2. Factorizăm: f′(x)=4(x−1)(1−e2x)\displaystyle f'(x)=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right). Derivata se anulează când x−1=0\displaystyle x-1=0 sau e2x=1\displaystyle e^{2x}=1, adică x=1\displaystyle x=1 sau x=0\displaystyle x=0.
    f′(x)=4(x−1)(1−e2x)=0⇔x=0 sau x=1\displaystyle f'(x)=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=1
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru x<0\displaystyle x<0: x−1<0\displaystyle x-1<0 și 1−e2x>0\displaystyle 1-e^{2x}>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1): x−1<0\displaystyle x-1<0 și 1−e2x<0\displaystyle 1-e^{2x}<0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Pentru x>1\displaystyle x>1: x−1>0\displaystyle x-1>0 și 1−e2x<0\displaystyle 1-e^{2x}<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0.
    f descresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,0], cresca˘toare pe [0,1]\displaystyle \ \text{crescătoare pe }[0,1], descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ \text{descrescătoare pe }[1,+\infty)
  4. Înlocuim: f(0)=−3−(−3)⋅1=0\displaystyle f(0)=-3-(-3)\cdot 1=0 și f(1)=2−4−3+e2=e2−5\displaystyle f(1)=2-4-3+e^{2}=e^{2}-5, iar e2>5\displaystyle e^{2}>5.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0,f(1)=e2−5>0\displaystyle \quad f(1)=e^{2}-5>0
  5. Scriem f(x)=e2x(2x2−4x−3e2x−(2x−3))\displaystyle f(x)=e^{2x}\left(\dfrac{2x^2-4x-3}{e^{2x}}-(2x-3)\right). Cum 2x2−4x−3e2x→0\displaystyle \dfrac{2x^2-4x-3}{e^{2x}}\to 0 și 2x−3→+∞\displaystyle 2x-3\to+\infty, obținem limita de mai jos.
    lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty
  6. Ecuația f(x)+n=0\displaystyle f(x)+n=0 este echivalentă cu f(x)=−n<0\displaystyle f(x)=-n<0. Pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] funcția este descrescătoare, deci f(x)≥f(0)=0\displaystyle f(x)\ge f(0)=0. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] funcția este crescătoare, deci f(x)≥f(0)=0\displaystyle f(x)\ge f(0)=0. Așadar f(x)≥0>−n\displaystyle f(x)\ge 0>-n pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1], și ecuația nu are soluții acolo.
    f(x)≥0>−n pentru x≤1\displaystyle f(x)\ge 0>-n\text{ pentru }x\le 1
  7. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) funcția f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, de la f(1)>0\displaystyle f(1)>0 la −∞\displaystyle -\infty. Valoarea −n<0\displaystyle -n<0 se află în mulțimea valorilor (−∞,f(1)]\displaystyle (-\infty,f(1)], deci este luată o singură dată. Prin urmare ecuația f(x)+n=0\displaystyle f(x)+n=0 are soluție unică, pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, lim⁡x→+∞f(x)=−∞ și f continua˘, deci ecuația f(x)+n=0 are soluție unica˘\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\text{ și }f\text{ continuă, deci ecuația }f(x)+n=0\text{ are soluție unică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.

Arătați că ∫24f(x)x2−4x+5 dx=2\displaystyle \int_2^4 f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}} în integrandul din enunț. Expresia x2−4x+5=(x−2)2+1\displaystyle x^2-4x+5=(x-2)^2+1 este strict pozitivă, deci radicalul este bine definit și nenul.
    f(x)x2−4x+5=x−2x2−4x+5⋅x2−4x+5\displaystyle f(x)\sqrt{x^2-4x+5}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}\cdot\sqrt{x^2-4x+5}
  2. Simplificăm radicalul cu numitorul și obținem funcția liniară x−2\displaystyle x-2, apoi scriem integrala corespunzătoare.
    ∫24f(x)x2−4x+5 dx=∫24(x−2) dx\displaystyle \int_2^4 f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=\int_2^4 (x-2)\,dx
  3. Aflăm o primitivă a lui x−2\displaystyle x-2: primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar a constantei 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫24(x−2) dx=(x22−2x)∣24\displaystyle \int_2^4 (x-2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\Big|_2^4
  4. Calculăm primitiva în limitele de integrare: la 4\displaystyle 4 obținem 162−8=0\displaystyle \dfrac{16}{2}-8=0, iar la 2\displaystyle 2 obținem 42−4=−2\displaystyle \dfrac{4}{2}-4=-2. Scădem valorile.
    (422−2⋅4)−(222−2⋅2)=0−(−2)=2\displaystyle \left(\frac{4^2}{2}-2\cdot 4\right)-\left(\frac{2^2}{2}-2\cdot 2\right)=0-(-2)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.

Arătați că ∫13f(x) dx=0\displaystyle \int_1^3 f(x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x2−4x+5)′=2x−4=2(x−2)\displaystyle \left(x^2-4x+5\right)'=2x-4=2(x-2), deci numărătorul x−2\displaystyle x-2 este jumătate din derivata expresiei de sub radical.
    (x2−4x+5)′=2(x−2)\displaystyle \left(x^2-4x+5\right)'=2(x-2)
  2. Rescriem funcția: f(x)=(x2−4x+5)′2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\dfrac{\left(x^2-4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-4x+5}}.
    f(x)=(x2−4x+5)′2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\frac{\left(x^2-4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-4x+5}}
  3. Derivata lui x2−4x+5\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5} este exact (x2−4x+5)′2x2−4x+5\displaystyle \dfrac{\left(x^2-4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-4x+5}}, deci x2−4x+5\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5} este primitivă a lui f\displaystyle f. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫13f(x) dx=x2−4x+5∣13\displaystyle \int_1^3 f(x)\,dx=\sqrt{x^2-4x+5}\Big|_1^3
  4. Pentru x=3\displaystyle x=3: 9−12+5=2\displaystyle 9-12+5=2. Pentru x=1\displaystyle x=1: 1−4+5=2\displaystyle 1-4+5=2.
    32−4⋅3+5−12−4⋅1+5=2−2\displaystyle \sqrt{3^2-4\cdot 3+5}-\sqrt{1^2-4\cdot 1+5}=\sqrt{2}-\sqrt{2}
  5. Diferența este 0\displaystyle 0, deci integrala este egală cu 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    2−2=0\displaystyle \sqrt{2}-\sqrt{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.

Determinați numărul real nenul m\displaystyle m pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[2,3]→R\displaystyle g:[2,3]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x), în jurul axei Ox\displaystyle Ox este egal cu π(1−πm)\displaystyle \pi\left(1-\frac{\pi}{m}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g\displaystyle g în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫23g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_2^3 g^2(x)\,dx, unde g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x).
    V=π∫23f2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_2^3 f^2(x)\,dx
  2. Avem f2(x)=(x−2)2x2−4x+5\displaystyle f^2(x)=\dfrac{(x-2)^2}{x^2-4x+5}, iar (x−2)2=x2−4x+4\displaystyle (x-2)^2=x^2-4x+4.
    f2(x)=x2−4x+4x2−4x+5\displaystyle f^2(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}
  3. Scriem x2−4x+4=(x2−4x+5)−1\displaystyle x^2-4x+4=(x^2-4x+5)-1, iar x2−4x+5=(x−2)2+1\displaystyle x^2-4x+5=(x-2)^2+1. Obținem o diferență între 1 și o fracție.
    x2−4x+4x2−4x+5=1−1(x−2)2+1\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}=1-\frac{1}{(x-2)^2+1}
  4. Primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar a lui 1(x−2)2+1\displaystyle \dfrac{1}{(x-2)^2+1} este arctg⁡(x−2)\displaystyle \operatorname{arctg}(x-2). Deci V=π∫23(1−1(x−2)2+1)dx=π(x−arctg⁡(x−2))∣23\displaystyle V=\pi\int_2^3\left(1-\dfrac{1}{(x-2)^2+1}\right)dx=\pi\left(x-\operatorname{arctg}(x-2)\right)\Big|_2^3.
    V=π(x−arctg⁡(x−2))∣23\displaystyle V=\pi\left(x-\operatorname{arctg}(x-2)\right)\Big|_2^3
  5. Pentru x=3\displaystyle x=3: 3−arctg⁡1=3−π4\displaystyle 3-\operatorname{arctg}1=3-\dfrac{\pi}{4}. Pentru x=2\displaystyle x=2: 2−arctg⁡0=2\displaystyle 2-\operatorname{arctg}0=2. Scăzând, obținem V=π(3−π4−2)\displaystyle V=\pi\left(3-\dfrac{\pi}{4}-2\right).
    V=π(1−π4)\displaystyle V=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right)
  6. Din π(1−πm)=π(1−π4)\displaystyle \pi\left(1-\dfrac{\pi}{m}\right)=\pi\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right) rezultă πm=π4\displaystyle \dfrac{\pi}{m}=\dfrac{\pi}{4}, deci m=4\displaystyle m=4, valoare nenulă, care convine.
    m=4\displaystyle m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.