Bac matematică M1 mate-info 2020, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=2+i\displaystyle z=2+i. Arătați că z2−4z+5=0\displaystyle z^2-4z+5=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=2+i\displaystyle z=2+i în expresia z2−4z+5\displaystyle z^{2}-4z+5.
    z2−4z+5=(2+i)2−4(2+i)+5\displaystyle z^{2}-4z+5=(2+i)^{2}-4(2+i)+5
  2. Dezvoltăm pătratul sumei: (2+i)2=4+4i+i2\displaystyle (2+i)^{2}=4+4i+i^{2}. Distribuim −4\displaystyle -4 în paranteză: −4(2+i)=−8−4i\displaystyle -4(2+i)=-8-4i.
    (2+i)2−4(2+i)+5=4+4i+i2−8−4i+5\displaystyle (2+i)^{2}-4(2+i)+5=4+4i+i^{2}-8-4i+5
  3. Termenii 4i\displaystyle 4i și −4i\displaystyle -4i se anulează, iar 4−8+5=1\displaystyle 4-8+5=1.
    4+4i+i2−8−4i+5=i2+1\displaystyle 4+4i+i^{2}-8-4i+5=i^{2}+1
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci i2+1=−1+1=0\displaystyle i^{2}+1=-1+1=0. Așadar z2−4z+5=0\displaystyle z^{2}-4z+5=0.
    i2+1=−1+1=0\displaystyle i^{2}+1=-1+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+a\displaystyle f(x)=x^2+x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul M(0,2)\displaystyle M(0,2) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului unei funcții dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Pentru M(0,2)\displaystyle M(0,2), abscisa este 0\displaystyle 0 și ordonata este 2\displaystyle 2, deci trebuie ca f(0)=2\displaystyle f(0)=2.
    M(0,2)∈Gf⇔f(0)=2\displaystyle M(0,2)\in G_f \Leftrightarrow f(0)=2
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: f(0)=02+0+a=a\displaystyle f(0)=0^{2}+0+a=a.
    f(0)=02+0+a=a\displaystyle f(0)=0^{2}+0+a=a
  3. Din condiția f(0)=2\displaystyle f(0)=2 și din f(0)=a\displaystyle f(0)=a rezultă a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x=x3+2x3\displaystyle x=\sqrt[3]{x^3+2x}.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm ecuația x=x3+2x3\displaystyle x=\sqrt[3]{x^3+2x} la puterea a treia; operația este echivalentă, deoarece funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x3=(x3+2x3)3\displaystyle x^3=\left(\sqrt[3]{x^3+2x}\right)^3
  2. Simplificăm radicalul cu puterea a treia și obținem o ecuație fără radical: x3=x3+2x\displaystyle x^3=x^3+2x.
    x3=x3+2x\displaystyle x^3=x^3+2x
  3. Scădem x3\displaystyle x^3 din ambii membri și rămâne o ecuație de gradul întâi.
    x3=x3+2x⇔2x=0\displaystyle x^3=x^3+2x \Leftrightarrow 2x=0
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția. Ea verifică ecuația inițială, deoarece 03+2⋅03=0\displaystyle \sqrt[3]{0^3+2\cdot 0}=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea 1,2,3,4,5\displaystyle \\{1,2,3,4,5\\}, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 2\displaystyle 2 și cifra unităților egală cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul de numere de cinci cifre distincte formate cu cifrele 1,2,3,4,5\displaystyle 1,2,3,4,5. Fiecare astfel de număr folosește toate cele cinci cifre, deci este o permutare a mulțimii, iar numărul lor este 5!\displaystyle 5!.
    5!=120\displaystyle 5!=120
  2. Pentru cazurile favorabile, cifra zecilor este 2\displaystyle 2 și cifra unităților este 3\displaystyle 3, deci aceste două poziții sunt fixate. Rămân cifrele 1,4,5\displaystyle 1,4,5, care se așază în orice ordine pe primele trei poziții, adică în 3!\displaystyle 3! moduri.
    3!=6\displaystyle 3!=6
  3. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=6120\displaystyle p=\dfrac{6}{120}. Simplificăm fracția prin 6\displaystyle 6.
    p=6120=120\displaystyle p=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(2,3)\displaystyle B(2,3) și C(4,a)\displaystyle C(4,a), unde a\displaystyle a este un număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul C\displaystyle C este situat pe mediatoarea segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului. Deci C\displaystyle C este pe mediatoarea lui AB\displaystyle AB dacă și numai dacă CA=CB\displaystyle CA=CB.
    CA=CB\displaystyle CA=CB
  2. Scriem distanțele CA\displaystyle CA și CB\displaystyle CB cu formula distanței dintre două puncte, pentru A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(2,3)\displaystyle B(2,3) și C(4,a)\displaystyle C(4,a), și egalăm expresiile.
    (4−0)2+(a−1)2=(4−2)2+(a−3)2\displaystyle \sqrt{(4-0)^2+(a-1)^2}=\sqrt{(4-2)^2+(a-3)^2}
  3. Ridicăm la pătrat ambii membri, care sunt pozitivi, și calculăm pătratele din paranteze.
    16+a2−2a+1=4+a2−6a+9\displaystyle 16+a^2-2a+1=4+a^2-6a+9
  4. Reducem termenii cu a2\displaystyle a^2, apoi grupăm termenii cu a\displaystyle a într-un membru și numerele în celălalt: 17−2a=13−6a\displaystyle 17-2a=13-6a, deci 4a=−4\displaystyle 4a=-4.
    4a=−4\displaystyle 4a=-4
  5. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Măsurile unghiurilor A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C ale triunghiului ABC\displaystyle ABC sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului B\displaystyle B este egală cu π3\displaystyle \frac{\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este π\displaystyle \pi radiani, deci pentru triunghiul ABC\displaystyle ABC avem A+B+C=π\displaystyle A+B+C=\pi.
    A+B+C=π\displaystyle A+B+C=\pi
  2. Deoarece A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi, adică 2B=A+C\displaystyle 2B=A+C.
    2B=A+C\displaystyle 2B=A+C
  3. În relația A+B+C=π\displaystyle A+B+C=\pi înlocuim A+C\displaystyle A+C cu 2B\displaystyle 2B și obținem B+2B=π\displaystyle B+2B=\pi, adică 3B=π\displaystyle 3B=\pi.
    B+2B=π⇒3B=π\displaystyle B+2B=\pi\Rightarrow 3B=\pi
  4. Împărțind la 3\displaystyle 3, obținem B=π3\displaystyle B=\dfrac{\pi}{3}, ceea ce trebuia demonstrat.
    B=π3\displaystyle B=\frac{\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(101+ln⁡x0x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0&1+\ln x\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, elementul din colțul din dreapta sus devine 1+ln⁡1=1\displaystyle 1+\ln 1=1, iar elementul x\displaystyle x devine 1\displaystyle 1.
    A(1)=(101010001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1). Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul se poate calcula direct prin regula triunghiului.
    det⁡(A(1))=∣101010001∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula triunghiului: adunăm produsele de pe diagonala principală și din triunghiurile paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și din triunghiurile paralele cu ea. Toate produsele care conțin un zero sunt nule, deci rămâne doar produsul de pe diagonala principală, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1. Deci det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
    det⁡(A(1))=1⋅1⋅1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A(1))=1\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Demonstrați că A(x)A(y)=A(y)A(x)\displaystyle A(x)A(y)=A(y)A(x), pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(x)=(101+ln⁡x0x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0&1+\ln x\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(y)=(101+ln⁡y0y0001)\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}1&0&1+\ln y\\0&y&0\\0&0&1\end{pmatrix} pentru x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty) oarecare, apoi calculăm produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y), linie pe coloană.
    A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)
  2. Prima linie a lui A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y): 1⋅1+0+0=1\displaystyle 1\cdot1+0+0=1, 0\displaystyle 0 pe poziția a doua, iar pe poziția a treia 1⋅(1+ln⁡y)+0⋅0+(1+ln⁡x)⋅1=2+ln⁡x+ln⁡y\displaystyle 1\cdot(1+\ln y)+0\cdot0+(1+\ln x)\cdot1=2+\ln x+\ln y.
    2+ln⁡x+ln⁡y=2+ln⁡(xy)\displaystyle 2+\ln x+\ln y=2+\ln(xy)
  3. Linia a doua: (0, x⋅y, 0)\displaystyle (0,\ x\cdot y,\ 0), iar linia a treia: (0, 0, 1)\displaystyle (0,\ 0,\ 1). Deci produsul este complet determinat.
    A(x)A(y)=(102+ln⁡(xy)0xy0001)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(xy)\\0&xy&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(y)A(x)\displaystyle A(y)A(x) la fel, schimbând rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y: elementul din colț este (1+ln⁡x)+(1+ln⁡y)=2+ln⁡(yx)\displaystyle (1+\ln x)+(1+\ln y)=2+\ln(yx), iar elementul din mijloc este y⋅x\displaystyle y\cdot x.
    A(y)A(x)=(102+ln⁡(yx)0yx0001)\displaystyle A(y)A(x)=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(yx)\\0&yx&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  5. Deoarece înmulțirea numerelor reale este comutativă, xy=yx\displaystyle xy=yx, deci ln⁡(xy)=ln⁡(yx)\displaystyle \ln(xy)=\ln(yx). Cele două matrice au aceleași elemente, deci A(x)A(y)=A(y)A(x)\displaystyle A(x)A(y)=A(y)A(x) pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
    A(x)A(y)=(102+ln⁡(yx)0yx0001)=A(y)A(x), pentru orice x\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(yx)\\0&yx&0\\0&0&1\end{pmatrix}=A(y)A(x)\text{, pentru orice }x,y∈(0,+∞)\displaystyle y\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(101+ln⁡x0x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0&1+\ln x\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care A(13)⋅A(12)⋅A(1)⋅A(2)⋅A(3)=(10n010001)\displaystyle A\left(\frac{1}{3}\right)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul a două matrice A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y), cu x,y>0\displaystyle x,y>0. Elementul din colțul dreapta-sus este 1⋅(1+ln⁡y)+(1+ln⁡x)⋅1=2+ln⁡x+ln⁡y=2+ln⁡(xy)\displaystyle 1\cdot(1+\ln y)+(1+\ln x)\cdot 1=2+\ln x+\ln y=2+\ln(xy), iar elementul din mijloc este x⋅y\displaystyle x\cdot y.
    A(x)A(y)=(102+ln⁡(xy)0xy0001)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(xy)\\0&xy&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Formula obținută este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci A(x)A(y)=A(y)A(x)\displaystyle A(x)A(y)=A(y)A(x): matricele A(x)\displaystyle A(x) comută între ele. Putem regrupa factorii astfel încât să apară perechile cu produsul argumentelor egal cu 1\displaystyle 1: (13,3)\displaystyle \left(\frac{1}{3},3\right) și (12,2)\displaystyle \left(\frac{1}{2},2\right).
    A(13)A(12)A(1)A(2)A(3)=A(13)A(3)⋅A(12)A(2)⋅A(1)\displaystyle A\left(\tfrac{1}{3}\right)A\left(\tfrac{1}{2}\right)A(1)A(2)A(3)=A\left(\tfrac{1}{3}\right)A(3)\cdot A\left(\tfrac{1}{2}\right)A(2)\cdot A(1)
  3. Pentru xy=1\displaystyle xy=1 avem ln⁡(xy)=ln⁡1=0\displaystyle \ln(xy)=\ln 1=0, deci produsul fiecărei perechi are în colț valoarea 2\displaystyle 2 și pe diagonală 1\displaystyle 1. Obținem aceeași matrice pentru ambele perechi.
    A(13)A(3)=(102010001)\displaystyle A\left(\tfrac{1}{3}\right)A(3)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A(12)A(2)=(102010001)\displaystyle \ A\left(\tfrac{1}{2}\right)A(2)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(1)\displaystyle A(1): pentru x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci elementul din colț este 1\displaystyle 1.
    A(1)=(101010001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  5. Înmulțim trei matrice cu 1\displaystyle 1 pe diagonală și a\displaystyle a în colțul dreapta-sus: produsul a două astfel de matrice are în colț suma a+b\displaystyle a+b. Deci în colț apare 2+2+1=5\displaystyle 2+2+1=5, iar matricea obținută este cea cerută, cu n=5\displaystyle n=5.
    A(13)A(3)A(12)A(2)A(1)=(105010001)⇒n=5\displaystyle A\left(\tfrac{1}{3}\right)A(3)A\left(\tfrac{1}{2}\right)A(2)A(1)=\begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−4(x+y)+a\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=10\displaystyle a=10, arătați că 1∗2=0\displaystyle 1*2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=10\displaystyle a=10 legea de compoziție devine x∗y=xy−4(x+y)+10\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+10.
    x∗y=xy−4(x+y)+10\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+10
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în expresia legii.
    1∗2=1⋅2−4(1+2)+10\displaystyle 1*2=1\cdot 2-4(1+2)+10
  3. Calculăm 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2 și 4(1+2)=4⋅3=12\displaystyle 4(1+2)=4\cdot 3=12.
    1∗2=2−12+10\displaystyle 1*2=2-12+10
  4. Efectuăm 2−12=−10\displaystyle 2-12=-10, apoi −10+10=0\displaystyle -10+10=0. Deci 1∗2=0\displaystyle 1*2=0.
    2−12+10=0\displaystyle 2-12+10=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−4(x+y)+a\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=20\displaystyle a=20, arătați că e=5\displaystyle e=5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=20\displaystyle a=20 legea devine x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20. Elementul e=5\displaystyle e=5 este neutru dacă x∗5=x\displaystyle x*5=x și 5∗x=x\displaystyle 5*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm mai întâi egalitatea la dreapta.
    x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu 5\displaystyle 5 în definiția legii, desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 5x−4x=x\displaystyle 5x-4x=x, iar −20+20=0\displaystyle -20+20=0.
    x∗5=x⋅5−4(x+5)+20=5x−4x−20+20=x\displaystyle x*5=x\cdot 5-4(x+5)+20=5x-4x-20+20=x
  3. Verificăm acum egalitatea la stânga: înlocuim x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii.
    5∗x=5x−4(5+x)+20\displaystyle 5*x=5x-4(5+x)+20
  4. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 5x−4x=x\displaystyle 5x-4x=x, iar −20+20=0\displaystyle -20+20=0. Cum legea este verificată și la dreapta, și la stânga pentru orice x\displaystyle x real, e=5\displaystyle e=5 este element neutru.
    5∗x=5x−20−4x+20=x, deci e=5 este element neutru\displaystyle 5*x=5x-20-4x+20=x\text{, deci }e=5\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−4(x+y)+a\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă a∈[20,+∞)\displaystyle a\in[20,+\infty), atunci mulțimea H=[4,+∞)\displaystyle H=[4,+\infty) este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că H\displaystyle H este parte stabilă, trebuie să demonstrăm că pentru orice x,y∈H\displaystyle x,y\in H rezultă x∗y∈H\displaystyle x*y\in H. Dezvoltăm produsul (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16.
    (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16
  2. Din dezvoltare, xy−4(x+y)=(x−4)(y−4)−16\displaystyle xy-4(x+y)=(x-4)(y-4)-16. Înlocuim în definiția legii x∗y=xy−4(x+y)+a\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+a.
    x∗y=(x−4)(y−4)+a−16\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+a-16
  3. Fie x,y∈H\displaystyle x,y\in H, adică x≥4\displaystyle x\ge 4 și y≥4\displaystyle y\ge 4. Atunci x−4≥0\displaystyle x-4\ge 0 și y−4≥0\displaystyle y-4\ge 0, deci produsul lor este mai mare sau egal cu zero.
    (x−4)(y−4)≥0\displaystyle (x-4)(y-4)\ge 0
  4. Din a≥20\displaystyle a\ge 20 rezultă a−16≥4\displaystyle a-16\ge 4. Adunând la inegalitatea precedentă, obținem x∗y≥4\displaystyle x*y\ge 4, deci x∗y∈H\displaystyle x*y\in H. Cum x,y∈H\displaystyle x,y\in H au fost arbitrari, mulțimea H\displaystyle H este parte stabilă în raport cu „∗\displaystyle *”.
    x∗y=(x−4)(y−4)+a−16≥0+4=4⇒x∗y∈H\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+a-16\ge 0+4=4\Rightarrow x*y\in H
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)\displaystyle f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), f(x)=6x−3x+2x\displaystyle f(x)=6^x-3^x+2^x.

Arătați că f′(0)=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 4.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula de derivare pentru o funcție exponențială: (ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a, pentru a>0\displaystyle a>0.
    (ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a
  2. Derivăm fiecare termen al lui f(x)=6x−3x+2x\displaystyle f(x)=6^x-3^x+2^x, folosind faptul că derivata unei sume sau diferențe este suma sau diferența derivatelor: (6x)′=6xln⁡6\displaystyle (6^x)'=6^x\ln 6, (3x)′=3xln⁡3\displaystyle (3^x)'=3^x\ln 3, (2x)′=2xln⁡2\displaystyle (2^x)'=2^x\ln 2.
    f′(x)=6xln⁡6−3xln⁡3+2xln⁡2\displaystyle f'(x)=6^x\ln 6-3^x\ln 3+2^x\ln 2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în derivată. Cum 60=30=20=1\displaystyle 6^0=3^0=2^0=1, obținem:
    f′(0)=1⋅ln⁡6−1⋅ln⁡3+1⋅ln⁡2=ln⁡6−ln⁡3+ln⁡2\displaystyle f'(0)=1\cdot\ln 6-1\cdot\ln 3+1\cdot\ln 2=\ln 6-\ln 3+\ln 2
  4. Folosim proprietățile logaritmilor: ln⁡6−ln⁡3=ln⁡63=ln⁡2\displaystyle \ln 6-\ln 3=\ln\dfrac{6}{3}=\ln 2, iar apoi ln⁡2+ln⁡2=ln⁡(2⋅2)=ln⁡4\displaystyle \ln 2+\ln 2=\ln(2\cdot 2)=\ln 4. Deci f′(0)=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 4, ceea ce trebuia arătat.
    f′(0)=ln⁡6−ln⁡3+ln⁡2=ln⁡2+ln⁡2=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 6-\ln 3+\ln 2=\ln 2+\ln 2=\ln 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)\displaystyle f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), f(x)=6x−3x+2x\displaystyle f(x)=6^x-3^x+2^x.

Se consideră tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(a,ln⁡(16e))\displaystyle A(a,\ln(16e)) este situat pe această tangentă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)=60−30+20=1−1+1\displaystyle f(0)=6^0-3^0+2^0=1-1+1.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  2. Folosim formula (ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^x)'=a^x\ln a și obținem f′(x)=6xln⁡6−3xln⁡3+2xln⁡2\displaystyle f'(x)=6^x\ln 6-3^x\ln 3+2^x\ln 2.
    f′(x)=6xln⁡6−3xln⁡3+2xln⁡2\displaystyle f'(x)=6^x\ln 6-3^x\ln 3+2^x\ln 2
  3. Calculăm f′(0)=ln⁡6−ln⁡3+ln⁡2\displaystyle f'(0)=\ln 6-\ln 3+\ln 2. Cum ln⁡6=ln⁡2+ln⁡3\displaystyle \ln 6=\ln 2+\ln 3, obținem f′(0)=ln⁡2+ln⁡3−ln⁡3+ln⁡2=2ln⁡2=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 2+\ln 3-\ln 3+\ln 2=2\ln 2=\ln 4.
    f′(0)=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 4
  4. Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y−1=xln⁡4\displaystyle y-1=x\ln 4, deci y=xln⁡4+1\displaystyle y=x\ln 4+1.
    y=xln⁡4+1\displaystyle y=x\ln 4+1
  5. Punctul A(a,ln⁡(16e))\displaystyle A(a,\ln(16e)) este pe tangentă dacă ln⁡(16e)=aln⁡4+1\displaystyle \ln(16e)=a\ln 4+1.
    ln⁡(16e)=aln⁡4+1\displaystyle \ln(16e)=a\ln 4+1
  6. Avem ln⁡(16e)=ln⁡16+ln⁡e=1+ln⁡16\displaystyle \ln(16e)=\ln 16+\ln e=1+\ln 16, iar aln⁡4=ln⁡(4a)\displaystyle a\ln 4=\ln(4^a). Ecuația devine 1+ln⁡16=ln⁡(4a)+1\displaystyle 1+\ln 16=\ln(4^a)+1.
    1+ln⁡16=ln⁡(4a)+1\displaystyle 1+\ln 16=\ln(4^{a})+1
  7. Reducem 1\displaystyle 1 și obținem ln⁡16=ln⁡(4a)\displaystyle \ln 16=\ln(4^a), deci 4a=16=42\displaystyle 4^a=16=4^2. Rezultă a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)\displaystyle f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), f(x)=6x−3x+2x\displaystyle f(x)=6^x-3^x+2^x. Calculați lim⁡x→0ln⁡(f(x))x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(f(x))}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)=60−30+20=1−1+1=1\displaystyle f(0)=6^{0}-3^{0}+2^{0}=1-1+1=1. Atunci ln⁡(f(0))=ln⁡1=0\displaystyle \ln(f(0))=\ln 1=0, iar la numitor x→0\displaystyle x\to 0, deci limita are nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    00\displaystyle \dfrac{0}{0}
  2. Aplicăm regula lui l'Hospital. Derivata numărătorului este (ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)\displaystyle \left(\ln f(x)\right)'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}, iar derivata numitorului este x′=1\displaystyle x'=1. Obținem lim⁡x→0ln⁡(f(x))x=lim⁡x→0f′(x)f(x)=f′(0)f(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(f(x))}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{f'(0)}{f(0)}, deoarece f\displaystyle f și f′\displaystyle f' sunt continue, iar f(0)≠0\displaystyle f(0)\neq 0.
    lim⁡x→0ln⁡(f(x))x=lim⁡x→0f′(x)f(x)=f′(0)f(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(f(x))}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{f'(0)}{f(0)}
  3. Folosim (ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a și obținem f′(x)=6xln⁡6−3xln⁡3+2xln⁡2\displaystyle f'(x)=6^{x}\ln 6-3^{x}\ln 3+2^{x}\ln 2.
    f′(x)=6xln⁡6−3xln⁡3+2xln⁡2\displaystyle f'(x)=6^{x}\ln 6-3^{x}\ln 3+2^{x}\ln 2
  4. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem f′(0)=ln⁡6−ln⁡3+ln⁡2=ln⁡6⋅23=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 6-\ln 3+\ln 2=\ln\dfrac{6\cdot 2}{3}=\ln 4.
    f′(0)=ln⁡6−ln⁡3+ln⁡2=ln⁡4\displaystyle f'(0)=\ln 6-\ln 3+\ln 2=\ln 4
  5. Înlocuim în rezultatul de la l'Hospital: f′(0)f(0)=ln⁡41=ln⁡4\displaystyle \dfrac{f'(0)}{f(0)}=\dfrac{\ln 4}{1}=\ln 4.
    lim⁡x→0ln⁡(f(x))x=ln⁡41=ln⁡4\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(f(x))}{x}=\dfrac{\ln 4}{1}=\ln 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−2xx2+3−2x2+3\displaystyle f(x)=1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}.

Arătați că ∫12(x2+3)f(x) dx=13\displaystyle \int_1^2 (x^2+3)f(x)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim f(x)\displaystyle f(x) cu x2+3\displaystyle x^2+3 și distribuim: fiecare fracție se simplifică cu factorul x2+3\displaystyle x^2+3.
    (x2+3)f(x)=(x2+3)−2x−2\displaystyle (x^2+3)f(x)=(x^2+3)-2x-2
  2. Reducem termenii asemenea: 3−2=1\displaystyle 3-2=1, deci expresia este un pătrat perfect.
    (x2+3)f(x)=x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle (x^2+3)f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2
  3. Scriem integrala cu expresia simplificată și găsim o primitivă: pentru (x−1)2\displaystyle (x-1)^2 o primitivă este (x−1)33\displaystyle \dfrac{(x-1)^3}{3}.
    ∫12(x2+3−2x−2) dx=∫12(x2−2x+1) dx=(x−1)33∣12\displaystyle \int_1^2 (x^2+3-2x-2)\,dx=\int_1^2 (x^2-2x+1)\,dx=\frac{(x-1)^3}{3}\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1 și facem diferența.
    (2−1)33−(1−1)33=13−0=13\displaystyle \frac{(2-1)^3}{3}-\frac{(1-1)^3}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−2xx2+3−2x2+3\displaystyle f(x)=1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}.

Arătați că ∫01f(x) dx=1−ln⁡43−π39\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1-\ln\frac{4}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim liniaritatea integralei: ∫01f(x) dx=∫011 dx−∫012xx2+3 dx−∫012x2+3 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx-\int_0^1\dfrac{2x}{x^{2}+3}\,dx-\int_0^1\dfrac{2}{x^{2}+3}\,dx.
    ∫01f(x) dx=∫011 dx−∫012xx2+3 dx−∫012x2+3 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx-\int_0^1\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx-\int_0^1\frac{2}{x^{2}+3}\,dx
  2. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Pentru al doilea termen avem (x2+3)′=2x\displaystyle (x^{2}+3)'=2x, deci o primitivă este ln⁡(x2+3)\displaystyle \ln(x^{2}+3), numitorul fiind pozitiv.
    ∫2xx2+3 dx=ln⁡(x2+3)\displaystyle \int\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx=\ln(x^{2}+3)
  3. Pentru al treilea termen folosim formula ∫1x2+a2 dx=1aarctg⁡xa\displaystyle \int\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a} cu a=3\displaystyle a=\sqrt{3}. Obținem ∫2x2+3 dx=23arctg⁡x3\displaystyle \int\dfrac{2}{x^{2}+3}\,dx=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{\sqrt{3}}.
    ∫2x2+3 dx=23arctg⁡x3\displaystyle \int\frac{2}{x^{2}+3}\,dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}
  4. Combinăm primitivele și aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01f(x) dx=(x−ln⁡(x2+3)−23arctg⁡x3)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\left(x-\ln(x^{2}+3)-\frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\Big|_0^1
  5. În x=1\displaystyle x=1: 1−ln⁡4−23arctg⁡13\displaystyle 1-\ln 4-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3}}, iar arctg⁡13=π6\displaystyle \operatorname{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}. În x=0\displaystyle x=0: 0−ln⁡3−23arctg⁡0=−ln⁡3\displaystyle 0-\ln 3-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}0=-\ln 3.
    (1−ln⁡4−23⋅π6)−(−ln⁡3)=1−ln⁡4−23⋅π6+ln⁡3\displaystyle \left(1-\ln 4-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6}\right)-(-\ln 3)=1-\ln 4-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6}+\ln 3
  6. Avem −ln⁡4+ln⁡3=−ln⁡43\displaystyle -\ln 4+\ln 3=-\ln\dfrac{4}{3}. Apoi 23⋅π6=π33=π39\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}, prin amplificare cu 3\displaystyle \sqrt{3}.
    1−ln⁡43−π39\displaystyle 1-\ln\frac{4}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−2xx2+3−2x2+3\displaystyle f(x)=1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră In=∫01fn(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 f^n(x)\,dx. Arătați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem funcția la același numitor. Cei doi termeni cu numitorul x2+3\displaystyle x^{2}+3 se grupează, iar numărătorul devine un pătrat perfect: f(x)=1−2x+2x2+3=x2−2x+1x2+3\displaystyle f(x)=1-\dfrac{2x+2}{x^{2}+3}=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+3}.
    f(x)=(x−1)2x2+3\displaystyle f(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}+3}
  2. Calculăm derivata lui f\displaystyle f cu formula de derivare a câtului, pornind de la f(x)=1−2x+2x2+3\displaystyle f(x)=1-\dfrac{2x+2}{x^{2}+3}: f′(x)=−2(x2+3)−(2x+2)⋅2x(x2+3)2=2x2+4x−6(x2+3)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2(x^{2}+3)-(2x+2)\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+4x-6}{(x^{2}+3)^{2}}. Descompunem numărătorul: 2x2+4x−6=2(x−1)(x+3)\displaystyle 2x^{2}+4x-6=2(x-1)(x+3).
    f′(x)=2(x−1)(x+3)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x+3)}{(x^{2}+3)^{2}}
  3. Studiem semnul derivei pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Aici x−1≤0\displaystyle x-1\le 0 și x+3>0\displaystyle x+3>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Cum f(0)=13\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{3} și f(1)=0\displaystyle f(1)=0, rezultă f(1)≤f(x)≤f(0)\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(0), adică 0≤f(x)≤13\displaystyle 0\le f(x)\le\dfrac{1}{3} pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
    f′(x)≤0⇒f(1)≤f(x)≤f(0)⇒0≤f(x)≤13\displaystyle f'(x)\le 0\Rightarrow f(1)\le f(x)\le f(0)\Rightarrow 0\le f(x)\le\dfrac{1}{3}
  4. Ridicăm inegalitatea la puterea n\displaystyle n. Toate numerele sunt nenegative, deci inegalitatea se păstrează: 0≤fn(x)≤(13)n\displaystyle 0\le f^{n}(x)\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}. Integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1]: 0≤In≤∫01(13)ndx=(13)n⋅(1−0)\displaystyle 0\le I_n\le\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}dx=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\cdot(1-0).
    0≤In≤(13)n\displaystyle 0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}
  5. Deoarece 13∈(0,1)\displaystyle \dfrac{1}{3}\in(0,1), avem lim⁡n→+∞(13)n=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}=0. Cum 0≤In≤(13)n\displaystyle 0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}, din teorema cleștelui rezultă lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
    0≤In≤(13)n și lim⁡n→+∞(13)n=0⇒lim⁡n→+∞In=0\displaystyle 0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\text{ și }\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}=0\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.