Bac matematică M1 mate-info 2024, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle a_1

al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, cu

\displaystyle a_2=14

și

\displaystyle a_3=18

.

Vezi rezolvarea

Se scrie condiția ca $\displaystyle (a_n)$ să fie progresie aritmetică: fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi, deci pentru termenul $\displaystyle a_2$ avem relația cu $\displaystyle a_1$ și $\displaystyle a_3$ .
$\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$
Se înlocuiesc valorile cunoscute $\displaystyle a_2=14$ și $\displaystyle a_3=18$ în relație, obținându-se ecuația cu necunoscuta $\displaystyle a_1$ .
$\displaystyle 14=\frac{a_1+18}{2}$
Se elimină numitorul, înmulțind ambii membri ai ecuației cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 28=a_1+18$
Se izolează $\displaystyle a_1$ , scăzând 18 din ambii membri ai ecuației.
$\displaystyle a_1=28-18$
Se efectuează scăderea și se obține valoarea finală a lui $\displaystyle a_1$ .
$\displaystyle a_1=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+2

. Arătați că

\displaystyle (f\circ f)(5)=9

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția funcției compuse $\displaystyle (f\circ f)(x) = f(f(x))$ , aplicabilă pentru $\displaystyle x=5$ .
$\displaystyle (f\circ f)(5)=f(f(5))$
Calculăm întâi valoarea funcției f în punctul 5, folosind formula $\displaystyle f(x)=x+2$ .
$\displaystyle f(5)=5+2=7$
Aplicăm din nou funcția f asupra rezultatului obținut, adică asupra lui 7.
$\displaystyle f(7)=7+2=9$
Combinăm rezultatele pentru a obține valoarea funcției compuse $\displaystyle (f\circ f)(5)$ .
$\displaystyle (f\circ f)(5)=f(f(5))=f(7)=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt[3]{x^2+2x+1}=\sqrt[3]{1-x}

.

Vezi rezolvarea

Radicalul de ordin 3 este definit pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci ecuația nu are condiții de existență. Funcția $\displaystyle t\mapsto\sqrt[3]{t}$ este injectivă, așa că ridicăm ambii membri la puterea a treia, fără să apară soluții străine.
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{x^2+2x+1}\right)^3=\left(\sqrt[3]{1-x}\right)^3$
Radicalii dispar și obținem o ecuație algebrică: $\displaystyle x^2+2x+1=1-x$ .
$\displaystyle x^2+2x+1=1-x$
Mutăm toți termenii în membrul stâng: $\displaystyle x^2+2x+1-1+x=0$ . Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2x+x=3x$ , iar $\displaystyle 1-1=0$ .
$\displaystyle x^2+3x=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ și obținem un produs egal cu zero.
$\displaystyle x(x+3)=0$
Un produs este nul când cel puțin un factor este nul: $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x+3=0$ . Cele două valori sunt soluții ale ecuației inițiale, deoarece ridicarea la puterea a treia este o echivalență. Verificare: pentru $\displaystyle x=0$ ambii membri sunt $\displaystyle 1$ , iar pentru $\displaystyle x=-3$ ambii membri sunt $\displaystyle \sqrt[3]{4}$ .
$\displaystyle x=-3\text{ sau }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii

\displaystyle A=\{1,2,3,7,9\}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică cerințele problemei: trebuie formate numere naturale de două cifre, cu cifre distincte, alese din mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,7,9\}$ , iar numărul rezultat trebuie să fie impar.
$\displaystyle \overline{xy}$ , $\displaystyle \ x$ , $\displaystyle y\in A$ , $\displaystyle \ x\neq y$ , $\displaystyle \ \overline{xy}\text{ impar}$
Un număr este impar dacă și numai dacă cifra unităților ( $\displaystyle y$ ) este impară. Se identifică elementele impare din $\displaystyle A$ .
$\displaystyle y\in\{1,3,7,9\}$
Se numără câte valori poate lua cifra unităților, conform mulțimii găsite mai sus.
$\displaystyle \text{Cifra unităților se poate }$ $\displaystyle \text{alege în }4\text{ moduri}$
Pentru cifra zecilor ( $\displaystyle x$ ), se pot folosi oricare dintre elementele rămase din $\displaystyle A$ (inclusiv 2), atâta timp cât diferă de cifra unităților deja aleasă. Din cele 5 elemente ale lui $\displaystyle A$ , unul a fost deja folosit pentru unități, deci rămân 4 posibilități pentru zeci.
$\displaystyle x\in A\setminus\{y\}\Rightarrow 5-1=4\text{ moduri}$
Se aplică regula produsului: numărul total de numere impare cu cifre distincte este egal cu produsul dintre numărul de alegeri pentru cifra unităților și numărul de alegeri pentru cifra zecilor.
$\displaystyle 4\cdot 4=16$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctul

\displaystyle A(2,1)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle B

pentru care

\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OA}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică coordonatele punctelor cunoscute: originea $\displaystyle O(0,0)$ și punctul $\displaystyle A(2,1)$ , iar punctul căutat $\displaystyle B$ are coordonate necunoscute $\displaystyle (x_{B}, y_{B})$ .
$\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle \ A(2,1)$ , $\displaystyle \ B(x_B,y_B)$
Se scrie vectorul de poziție al lui $\displaystyle A$ , adică $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ , în funcție de versorii $\displaystyle \vec{i}$ și $\displaystyle \vec{j}$ , precum și vectorul $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ în funcție de coordonatele necunoscute ale lui $\displaystyle B$ .
$\displaystyle \overrightarrow{OA}=2\vec{i}+\vec{j}$ , $\displaystyle \ \overrightarrow{AB}=(x_B-2)\vec{i}+(y_B-1)\vec{j}\text{, unde }B(x_B,y_B)$
Se calculează vectorul $\displaystyle 2\overrightarrow{OA}$ înmulțind fiecare componentă a lui $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ cu 2.
$\displaystyle 2\overrightarrow{OA}=2(2\vec{i}+\vec{j})=4\vec{i}+2\vec{j}$
Se aplică condiția dată în enunț, $\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OA}$ , egalând expresiile obținute pentru cei doi vectori.
$\displaystyle (x_B-2)\vec{i}+(y_B-1)\vec{j}=4\vec{i}+2\vec{j}$
Se identifică coeficienții lui $\displaystyle \vec{i}$ și $\displaystyle \vec{j}$ din cei doi membri ai egalității, obținând un sistem de ecuații pentru $\displaystyle x_{B}$ și $\displaystyle y_{B}$ , care se rezolvă imediat.
$\displaystyle (x_B-2)\vec{i}+(y_B-1)\vec{j}=4\vec{i}+2\vec{j}\text{, de unde obținem }x_B=6\text{ și }y_B=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle BC=12

și

\displaystyle AB=\dfrac{BC}{2}

. Arătați că aria triunghiului

\displaystyle ABC

este egală cu

\displaystyle 18\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Se calculează lungimea catetei $\displaystyle AB$ folosind relația dată, $\displaystyle AB=\dfrac{BC}{2}$ .
$\displaystyle AB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6$
Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ pentru a determina cealaltă catetă, $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=12^2-6^2=144-36=108$
Se extrage radical pentru a obține valoarea catetei $\displaystyle AC$ , simplificând radicalul.
$\displaystyle AC=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3}$
Se consemnează valorile obținute pentru cele două catete ale triunghiului dreptunghic.
$\displaystyle AB=6$ , $\displaystyle \ AC=6\sqrt{3}$
Se calculează aria triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$ ca semiprodusul celor două catete, obținând rezultatul cerut.
$\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2^{x} & 0 & 0\\ 0 & 1 & x\\ 0 & x & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(B(1))=0

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle x=1$ în matricea $\displaystyle B(x)$ . Se calculează mai întâi elementul de pe poziția $\displaystyle (1,1)$ : $\displaystyle 2^{1}=2$ , iar celelalte elemente rămân neschimbate.
$\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle B(1)$ , pregătit pentru aplicarea regulii lui Sarrus.
$\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\Rightarrow \det(B(1))=\begin{vmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}=$
Se aplică regula lui Sarrus: se rescriu primele două coloane după determinant și se calculează cele șase produse (trei de pe diagonalele principale și trei de pe diagonalele secundare).
$\displaystyle \det(B(1))=2\cdot1\cdot1+0\cdot1\cdot0+0\cdot0\cdot1-0\cdot1\cdot0-1\cdot1\cdot2-1\cdot0\cdot0$
Se efectuează calculele produselor obținute la pasul anterior și se face suma algebrică, obținând valoarea determinantului.
$\displaystyle =2+0+0-0-2-0=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2^{x} & 0 & 0\\ 0 & 1 & x\\ 0 & x & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle B(x)\cdot B(y)-B(x+y)=xyA

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Se scrie explicit produsul matricelor $\displaystyle B(x)$ și $\displaystyle B(y)$ , aplicând regula de înmulțire a matricelor (produs scalar al liniilor lui $\displaystyle B(x)$ cu coloanele lui $\displaystyle B(y)$ ).
$\displaystyle B(x)\cdot B(y)=\begin{pmatrix}2^{x} & 0 & 0\\ 0 & 1 & x\\ 0 & x & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2^{y} & 0 & 0\\ 0 & 1 & y\\ 0 & y & 1\end{pmatrix}$
Se calculează fiecare element al produsului: elementul $\displaystyle (1,1)$ este $\displaystyle 2^{x}\cdot 2^{y}=2^{x+y}$ , iar celelalte elemente de pe prima linie și prima coloană sunt $\displaystyle 0$ , deoarece se înmulțesc cu $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle (B(x)\cdot B(y))_{11}=2^{x}\cdot 2^{y}=2^{x+y}\text{, iar }(B(x)\cdot B(y))_{12}=(B(x)\cdot B(y))_{13}=(B(x)\cdot B(y))_{21}=(B(x)\cdot B(y))_{31}=0$
Se calculează elementele blocului $\displaystyle 2\times 2$ rămas: $\displaystyle (2,2)=1\cdot1+x\cdot y=1+xy$ ; $\displaystyle (2,3)=1\cdot y+x\cdot 1=x+y$ ; $\displaystyle (3,2)=x\cdot1+1\cdot y=x+y$ ; $\displaystyle (3,3)=x\cdot y+1\cdot1=xy+1$ .
$\displaystyle (B(x)\cdot B(y))_{22}=1+xy$ , $\displaystyle \ (B(x)\cdot B(y))_{23}=x+y$ , $\displaystyle \ (B(x)\cdot B(y))_{32}=x+y$ , $\displaystyle \ (B(x)\cdot B(y))_{33}=xy+1$
Se scrie matricea produs $\displaystyle B(x)\cdot B(y)$ obținută, precum și matricea $\displaystyle B(x+y)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x+y$ în definiția matricei $\displaystyle B$ , apoi se efectuează diferența $\displaystyle B(x)\cdot B(y)-B(x+y)$ .
$\displaystyle B(x)\cdot B(y)-B(x+y)=\begin{pmatrix}2^{x+y} & 0 & 0\\ 0 & 1+xy & y+x\\ 0 & x+y & xy+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2^{x+y} & 0 & 0\\ 0 & 1 & x+y\\ 0 & x+y & 1\end{pmatrix}=$
Se efectuează scăderea element cu element: elementul $\displaystyle (1,1)$ este $\displaystyle 2^{x+y}-2^{x+y}=0$ , elementele $\displaystyle (2,3)$ și $\displaystyle (3,2)$ sunt $\displaystyle (x+y)-(x+y)=0$ , elementul $\displaystyle (2,2)$ este $\displaystyle 1+xy-1=xy$ , iar elementul $\displaystyle (3,3)$ este $\displaystyle xy+1-1=xy$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}2^{x+y}-2^{x+y} & 0 & 0\\ 0 & 1+xy-1 & (x+y)-(x+y)\\ 0 & (x+y)-(x+y) & xy+1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & xy & 0\\ 0 & 0 & xy\end{pmatrix}$
Se observă că matricea obținută este exact $\displaystyle xy$ înmulțit cu matricea $\displaystyle A$ , deoarece $\displaystyle A$ are $\displaystyle 0$ pe prima poziție a diagonalei și $\displaystyle 1$ pe celelalte două poziții, iar toate elementele din afara diagonalei sunt $\displaystyle 0$ . Astfel se demonstrează egalitatea cerută pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & xy & 0\\ 0 & 0 & xy\end{pmatrix}=xyA\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2^{x} & 0 & 0\\ 0 & 1 & x\\ 0 & x & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)=xA

.

Vezi rezolvarea

Se reamintește relația demonstrată la punctul b): pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , produsul matricelor $\displaystyle B(x)$ și $\displaystyle B(y)$ se scrie $\displaystyle B(x)\cdot B(y)=B(x+y)+xy\cdot A$ . Aceasta rezultă din calculul direct al produsului celor două matrice și compararea cu $\displaystyle B(x+y)$ .
$\displaystyle B(x)\cdot B(y)=B(x+y)+xy\cdot A$
Se aplică relația de mai sus pentru perechea $\displaystyle (x, x+1)$ : produsul dintre $\displaystyle x$ și $\displaystyle (x+1)$ este $\displaystyle x^{2}+x$ , iar suma lor este $\displaystyle 2x+1$ , deci se obține expresia lui $\displaystyle B(x)\cdot B(x+1)$ .
$\displaystyle B(x)\cdot B(x+1)=B(2x+1)+(x^2+x)A$
Se aplică aceeași relație pentru perechea $\displaystyle (2x, 1)$ : produsul este $\displaystyle 2x\cdot 1=2x$ , iar suma este $\displaystyle 2x+1$ , deci se obține expresia lui $\displaystyle B(2x)\cdot B(1)$ .
$\displaystyle B(2x)\cdot B(1)=B(2x+1)+2xA$
Se scad cele două relații obținute mai sus. Termenul $\displaystyle B(2x+1)$ se reduce, rămânând diferența dintre coeficienții lui $\displaystyle A$ , valabilă pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)=(x^2+x)A-2xA=(x^2-x)A\text{, pentru orice număr real }x$
Se impune condiția din enunț ca această diferență să fie egală cu $\displaystyle xA$ , obținându-se ecuația $\displaystyle (x^{2}-x)A=xA$ . Deoarece $\displaystyle A$ este o matrice nenulă, coeficienții trebuie să fie egali, deci $\displaystyle x^{2}-x=x$ , adică $\displaystyle x^{2}-2x=0$ , cu soluțiile $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle (x^2-x)A=xA\text{, de unde obținem }x=0\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+aX^2+X+2-a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(1)=4

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la polinomul dat și se calculează valoarea acestuia pentru $\displaystyle X=1$ , înlocuind direct în expresie.
$\displaystyle f(1)=1^3+a\cdot 1^2+1+2-a=$
Se calculează puterile lui $\displaystyle 1$ , obținând $\displaystyle 1^{3}=1$ și $\displaystyle 1^{2}=1$ , apoi se rescrie expresia cu aceste valori.
$\displaystyle f(1)=1+a\cdot 1+1+2-a=1+a+1+2-a$
Se grupează termenii care conțin $\displaystyle a$ , observând că $\displaystyle a$ și $\displaystyle -a$ se anulează reciproc.
$\displaystyle f(1)=(a-a)+(1+1+2)=0+4$
Se adună termenii numerici rămași, obținând valoarea finală, care nu depinde de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle =1+a+1+2-a=4\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+aX^2+X+2-a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=2

, determinați rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește valoarea dată a lui $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a=2$ ) în expresia polinomului $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f=X^3+2X^2+X+2-2$
Se reduc termenii asemenea ( $\displaystyle 2-2=0$ ) pentru a obține forma simplificată a polinomului.
$\displaystyle f=X^3+2X^2+X$
Se dă factor comun $\displaystyle X$ celor trei termeni ai polinomului.
$\displaystyle f=X(X^2+2X+1)$
Se recunoaște în paranteză un pătrat perfect, folosind formula $\displaystyle X^{2}+2X+1=(X+1)^{2}$ .
$\displaystyle f=X(X+1)^2$
Se determină rădăcinile polinomului rezolvând ecuațiile $\displaystyle X=0$ și $\displaystyle (X+1)^{2}=0$ , aceasta din urmă având soluție dublă.
$\displaystyle x_1=x_2=-1\text{ și }x_3=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+aX^2+X+2-a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle (x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)(x_3-x_3^2)=4

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se scriu relațiile lui Viète pentru polinomul monic $\displaystyle f=X^{3}+aX^{2}+X+2-a$ , cu rădăcinile $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=-a$ , $\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1$ , $\displaystyle \ x_1x_2x_3=-(2-a)$
Se simplifică expresia produsului rădăcinilor obținută din relația lui Viète pentru termenul liber.
$\displaystyle x_1x_2x_3=-(2-a)=a-2=-2+a$
Deoarece $\displaystyle f$ este monic, el se poate scrie ca produs al factorilor liniari corespunzători rădăcinilor, deci valoarea lui $\displaystyle f$ în $\displaystyle 1$ este chiar produsul $\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)$ .
$\displaystyle f(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\Rightarrow f(1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)$
Se factorizează fiecare paranteză a expresiei date, scoțând $\displaystyle x_1, x_2$ , respectiv $\displaystyle x_3$ factor comun, apoi se folosesc rezultatele anterioare (produsul rădăcinilor și legătura cu $\displaystyle f(1)$ ) pentru a rescrie expresia.
$\displaystyle x_1x_2x_3=-2+a$ , $\displaystyle \ (x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)(x_3-x_3^2)=x_1x_2x_3(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=(-2+a)f(1)$
Se calculează valoarea lui $\displaystyle f$ în $\displaystyle 1$ , înlocuind $\displaystyle X=1$ în expresia polinomului.
$\displaystyle f(1)=1^3+a\cdot1^2+1+2-a=1+a+1+2-a=4$
Se înlocuiește $\displaystyle f(1)=4$ în expresia obținută anterior și se pune condiția ca aceasta să fie egală cu $\displaystyle 4$ (conform cerinței problemei), obținându-se ecuația în $\displaystyle a$ , care se rezolvă.
$\displaystyle 4(-2+a)=4\text{, de unde obținem }a=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2-2)e^{2x}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică cele două funcții care se înmulțesc: $\displaystyle u(x)=x^{2}-2$ și $\displaystyle v(x)=e^{2x}$ , și se reamintește formula de derivare a produsului: $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ .
$\displaystyle f(x)=u(x)\cdot v(x)$ , $\displaystyle \ u(x)=x^2-2$ , $\displaystyle \ v(x)=e^{2x}$
Se aplică formula de derivare a produsului funcției $\displaystyle f$ , scriind derivata ca sumă dintre derivata primului factor înmulțit cu al doilea și primul factor înmulțit cu derivata celui de-al doilea.
$\displaystyle f'(x)=(x^2-2)'e^{2x}+(x^2-2)(e^{2x})'=$
Se calculează derivatele celor două funcții: derivata lui $\displaystyle x^{2}-2$ este $\displaystyle 2x$ , iar derivata lui $\displaystyle e^{2x}$ (funcție compusă) este $\displaystyle 2e^{2x}$ .
$\displaystyle (x^2-2)'=2x$ , $\displaystyle \ (e^{2x})'=2e^{2x}$
Se înlocuiesc derivatele calculate în expresia lui $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f'(x)=2xe^{2x}+(x^2-2)\cdot 2e^{2x}$
Se dă factor comun $\displaystyle 2e^{2x}$ și se aduce paranteza la o formă simplificată, obținând forma finală a derivatei, valabilă pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle =2xe^{2x}+(x^2-2)\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}(x^2+x-2)$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2-2)e^{2x}

.

Calculați

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ folosind regula de derivare a produsului: $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ , unde $\displaystyle u=x^2-2$ și $\displaystyle v=e^{2x}$ .
$\displaystyle f'(x)=2x\cdot e^{2x}+(x^2-2)\cdot 2e^{2x}$
Se dă factor comun $\displaystyle 2e^{2x}$ și se aduce paranteza la forma finală a derivatei.
$\displaystyle f'(x)=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)$
Se scrie raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{f'(x)}$ folosind expresiile lui $\displaystyle f$ și $\displaystyle f'$ , se simplifică factorul exponențial $\displaystyle e^{2x}$ comun de la numărător și numitor, iar apoi se scoate factor forțat $\displaystyle x^2$ atât la numărător cât și la numitor pentru a pregăti calculul limitei la infinit.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-2}{2(x^2+x-2)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{2x^2\left(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}=$
Se simplifică factorul comun $\displaystyle x^2$ de la numărător și numitor, iar apoi se trece la limită observând că termenii $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle \dfrac{2}{x^2}$ tind la $\displaystyle 0$ atunci când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , obținându-se astfel valoarea finală a limitei.
$\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{2}{x^2}}{2\left(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x^2-2)e^{2x}

.

Determinați imaginea funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ folosind regula de derivare a produsului: $\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'$ , unde $\displaystyle u(x)=x^2-2$ și $\displaystyle v(x)=e^{2x}$ .
$\displaystyle f'(x)=2x\cdot e^{2x}+(x^2-2)\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}(x^2+x-2)$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ , ținând cont că $\displaystyle e^{2x}>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , deci semnul lui $\displaystyle f'$ este dat de semnul trinomului $\displaystyle x^2+x-2$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=-2\text{ sau }x=1$
Se studiază semnul trinomului $\displaystyle x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ pe intervalele determinate de rădăcini și se stabilesc intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2\text{ sau }x=1\text{; pentru orice }x\in(-\infty,-2]$ , $\displaystyle \ f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,-2]\text{; pentru orice }x\in[-2,1]$ , $\displaystyle \ f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-2,1]\text{ și pentru orice }x\in[1,+\infty)$ , $\displaystyle \ f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)$
Se calculează limita funcției la $\displaystyle -\infty$ , folosind faptul că exponențiala $\displaystyle e^{2x}$ tinde la $\displaystyle 0$ mai repede decât tinde la infinit polinomul $\displaystyle x^2-2$ , deci produsul tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^2-2)e^{2x}=0$
Se calculează limita funcției la $\displaystyle +\infty$ , unde ambii factori $\displaystyle (x^2-2)$ și $\displaystyle e^{2x}$ tind la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2-2)e^{2x}=+\infty$
Se calculează valoarea funcției în punctul de minim $\displaystyle x=1$ , obținut din studiul monotoniei.
$\displaystyle f(1)=(1^2-2)e^{2\cdot1}=-e^2$
Folosind limitele la infinit, valoarea minimă $\displaystyle f(1)=-e^2$ și continuitatea funcției $\displaystyle f$ (deci proprietatea lui Darboux), se determină imaginea funcției.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , $\displaystyle \ f(1)=-e^2\text{ și }f\text{ este continuă, imaginea }$ $\displaystyle \text{funcției }f\text{ este }\left[-e^2,+\infty\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^4+6x^2+1

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(f(x)-6x^2\right)dx=\frac{12}{5}

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia de integrat, pornind de la funcția dată, și se simplifică prin eliminarea termenului comun.
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-6x^2\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(x^4+6x^2+1-6x^2\right)dx$
Se simplifică integrandul, obținându-se o funcție mai simplă de integrat.
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^4+1\right)dx$
Se determină o primitivă a funcției $\displaystyle x^4+1$ , folosind formula de integrare a puterilor.
$\displaystyle \frac{x^5}{5}+x$
Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind primitiva evaluată între limitele de integrare.
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-6x^2\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(x^4+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^5}{5}+x\right)\right|_{-1}^{1}=$
Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului: pentru $\displaystyle x=1$ se obține $\displaystyle \dfrac{1}{5}+1$ , iar pentru $\displaystyle x=-1$ se obține $\displaystyle -\dfrac{1}{5}-1$ , care se scade conform formulei Leibniz-Newton.
$\displaystyle \left(\frac{1}{5}+1\right)-\left(\frac{(-1)^5}{5}+(-1)\right)=\frac{1}{5}+1+\frac{1}{5}+1$
Se adună fracțiile și se obține rezultatul final al integralei.
$\displaystyle =\frac{1}{5}+1+\frac{1}{5}+1=\frac{12}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^4+6x^2+1

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{6}\frac{x^3}{f(x)-1}dx=\frac{\ln 6}{2}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(x)-1$ , adică numitorul fracției de integrat.
$\displaystyle f(x)-1=x^4+6x^2+1-1=x^4+6x^2=x^2(x^2+6)$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle x^{2}$ , pentru a obține o formă mai simplă a integrandului.
$\displaystyle \frac{x^3}{f(x)-1}=\frac{x^3}{x^2(x^2+6)}=\frac{x}{x^2+6}$
Observăm că derivata numitorului $\displaystyle (x^{2}+6)' = 2x$ , deci putem scrie fracția ca jumătate din derivata logaritmului numitorului.
$\displaystyle \frac{x}{x^2+6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(x^2+6)'}{x^2+6}$
Rescriem integrala inițială folosind simplificarea și forma derivatei logaritmului, apoi calculăm primitiva.
$\displaystyle \int_{1}^{6}\frac{x^3}{f(x)-1}dx=\int_{1}^{6}\frac{x}{x^2+6}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{6}\frac{(x^2+6)'}{x^2+6}dx=\left.\frac{1}{2}\ln(x^2+6)\right|_{1}^{6}=$
Evaluăm expresia obținută la capetele intervalului, calculând valorile funcției $\displaystyle x^{2}+6$ pentru $\displaystyle x=6$ și $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln(6^2+6)-\frac{1}{2}\ln(1^2+6)=\frac{1}{2}\ln 42-\frac{1}{2}\ln 7$
Folosim proprietățile logaritmilor pentru a simplifica diferența de logaritmi la un singur logaritm.
$\displaystyle =\frac{\ln 42}{2}-\frac{\ln 7}{2}=\frac{\ln 6}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^4+6x^2+1

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^3}\int_{0}^{x}\left(f(2t)-f(t)\right)dt\right)=6

.

Vezi rezolvarea

Se observă că, atunci când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle 0$ , atât integrala de la numărător cât și $\displaystyle x^3$ de la numitor tind la $\displaystyle 0$ , deci limita are forma nedeterminată $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ , ceea ce permite aplicarea regulii lui l'Hospital.
$\displaystyle \lim_{x\to0}\int_{0}^{x}(f(2t)-f(t))dt=0\text{ și }\lim_{x\to0}x^3=0\Rightarrow\frac{0}{0}$
Se calculează expresia $\displaystyle f(2t)-f(t)$ , necesară pentru derivarea numărătorului conform teoremei de derivare a integralei cu limită variabilă (teorema Leibniz-Newton).
$\displaystyle f(2t)-f(t)=(16t^4+24t^2+1)-(t^4+6t^2+1)=15t^4+18t^2$
Se aplică regula lui l'Hospital: se derivează numărătorul (folosind teorema de derivare a integralei cu limită variabilă, adică derivata funcției $\displaystyle F(x)=\int_0^x (f(2t)-f(t))dt$ este $\displaystyle f(2x)-f(x)$ ) și se derivează numitorul $\displaystyle x^3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^3}\int_{0}^{x}(f(2t)-f(t))dt\right)=\lim_{x\to0}\frac{\left(\int_{0}^{x}(f(2t)-f(t))dt\right)'}{(x^3)'}=\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(x)}{3x^2}$
Se calculează explicit $\displaystyle f(2x)-f(x)$ , înlocuind $\displaystyle t$ cu $\displaystyle x$ în expresia obținută anterior, pentru a scrie numărătorul sub formă de polinom.
$\displaystyle f(2x)-f(x)=15x^4+18x^2$
Se înlocuiește numărătorul obținut, se simplifică fracția cu $\displaystyle x^2$ (posibil deoarece $\displaystyle x\to 0, x\neq 0$ ) și se calculează limita rezultată.
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{15x^4+18x^2}{3x^2}=\lim_{x\to0}(5x^2+6)=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2024, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani