Bac matematică M1 mate-info 2012, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡2(7+3)+log⁡2(7−3)=2\displaystyle \log_2\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)+\log_2\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că argumentele logaritmilor sunt pozitive: 7+3>0\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{3}>0, iar 7>3\displaystyle \sqrt{7}>\sqrt{3}, deci 7−3>0\displaystyle \sqrt{7}-\sqrt{3}>0. Expresia este bine definită.
    7+3>0\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{3}>0, 7−3>0\displaystyle \ \sqrt{7}-\sqrt{3}>0
  2. Folosim formula log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy)\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a (xy) pentru a=2\displaystyle a=2, cu x=7+3\displaystyle x=\sqrt{7}+\sqrt{3} și y=7−3\displaystyle y=\sqrt{7}-\sqrt{3}.
    log⁡2(7+3)+log⁡2(7−3)=log⁡2(7+3)(7−3)\displaystyle \log_2\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)+\log_2\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)=\log_2\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)
  3. Aplicăm formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}: produsul este (7)2−(3)2=7−3=4\displaystyle \left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}=7-3=4.
    (7+3)(7−3)=7−3=4\displaystyle \left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)=7-3=4
  4. Rămâne log⁡24\displaystyle \log_2 4. Cum 4=22\displaystyle 4=2^{2}, obținem log⁡222=2\displaystyle \log_2 2^{2}=2. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    log⁡24=log⁡222=2\displaystyle \log_2 4=\log_2 2^{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+5x+4\displaystyle f(x)=x^2+5x+4 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata zero, deci rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică x2+5x+4=0\displaystyle x^{2}+5x+4=0.
    x2+5x+4=0\displaystyle x^{2}+5x+4=0
  2. Calculăm discriminantul: Δ=52−4⋅1⋅4=25−16=9\displaystyle \Delta=5^{2}-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  3. Aplicăm formula rădăcinilor: x=−5±32\displaystyle x=\dfrac{-5\pm 3}{2}, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=−4\displaystyle x=-4. Punctele de intersecție sunt A(−1,0)\displaystyle A(-1,0) și B(−4,0)\displaystyle B(-4,0).
    x=−1 sau x=−4\displaystyle x=-1\text{ sau }x=-4
  4. Punctele sunt pe axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța dintre ele este modulul diferenței absciselor: AB=∣−1−(−4)∣=∣3∣=3\displaystyle AB=|-1-(-4)|=|3|=3.
    AB=∣−1−(−4)∣=3\displaystyle AB=|-1-(-4)|=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+3x+1=4\displaystyle 3^x+3^{x+1}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 3x+1=3x⋅3\displaystyle 3^{x+1}=3^x\cdot 3. Scriem ecuația astfel: 3x+3⋅3x=4\displaystyle 3^x+3\cdot 3^x=4.
    3x+3⋅3x=4\displaystyle 3^x+3\cdot 3^x=4
  2. Facem substituția 3x=t\displaystyle 3^x=t, cu t>0\displaystyle t>0, și obținem o ecuație liniară în t\displaystyle t.
    t+3t=4\displaystyle t+3t=4
  3. Reducem termenii asemenea: 4t=4\displaystyle 4t=4, deci t=1\displaystyle t=1. Valoarea convine, fiind pozitivă.
    t=1\displaystyle t=1
  4. Revenim la necunoscuta x\displaystyle x: 3x=1=30\displaystyle 3^x=1=3^0, iar funcția exponențială este injectivă, deci x=0\displaystyle x=0. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    t=1⇔x=0\displaystyle t=1\Leftrightarrow x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați rangul termenului care conține x14\displaystyle x^{14} în dezvoltarea binomului (x+1x)20\displaystyle \left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{20}, x>0\displaystyle x>0.
Vezi rezolvarea
  1. Termenul general din dezvoltarea lui (x+1x)20\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{20} este Tk+1=C20k⋅x20−k⋅(1x)k\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^{k}\cdot x^{20-k}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}, unde k∈{0,1,…,20}\displaystyle k\in\{0,1,\dots,20\}.
    Tk+1=C20k⋅x20−k⋅(1x)k\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^{k}\cdot x^{20-k}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}
  2. Deoarece 1x=x−12\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}, avem (1x)k=x−k2\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}=x^{-\frac{k}{2}}. Înmulțind puterile lui x\displaystyle x, exponenții se adună.
    Tk+1=C20k⋅x20−k−k2\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^{k}\cdot x^{20-k-\frac{k}{2}}
  3. Termenul conține x14\displaystyle x^{14} dacă exponentul este 14, deci punem condiția 20−k−k2=14\displaystyle 20-k-\dfrac{k}{2}=14.
    20−k−k2=14\displaystyle 20-k-\dfrac{k}{2}=14
  4. Avem 20−14=k+k2\displaystyle 20-14=k+\dfrac{k}{2}, adică 6=3k2\displaystyle 6=\dfrac{3k}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 12=3k\displaystyle 12=3k, deci k=4\displaystyle k=4, valoare convenabilă fiindcă 0≤4≤20\displaystyle 0\le 4\le 20.
    k=4\displaystyle k=4
  5. Termenul căutat este Tk+1=T5\displaystyle T_{k+1}=T_5, deci rangul lui este k+1=4+1=5\displaystyle k+1=4+1=5.
    5\displaystyle 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(3,3)\displaystyle A(3,3) și este paralelă cu dreapta d\displaystyle d de ecuație 3x+2y−1=0\displaystyle 3x+2y-1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem dreapta d\displaystyle d sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, ca să citim panta. Din 3x+2y−1=0\displaystyle 3x+2y-1=0 rezultă 2y=−3x+1\displaystyle 2y=-3x+1, deci y=−32x+12\displaystyle y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}.
    y=−32x+12\displaystyle y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}
  2. Panta dreptei d\displaystyle d este coeficientul lui x\displaystyle x, adică md=−32\displaystyle m_d=-\dfrac{3}{2}.
    md=−32\displaystyle m_d=-\dfrac{3}{2}
  3. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are panta m=−32\displaystyle m=-\dfrac{3}{2}.
    m=−32\displaystyle m=-\dfrac{3}{2}
  4. Scriem ecuația dreptei care trece prin A(3,3)\displaystyle A(3,3) și are panta −32\displaystyle -\dfrac{3}{2}, folosind formula y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A).
    y−3=−32(x−3)\displaystyle y-3=-\dfrac{3}{2}(x-3)
  5. Desfacem parantezele: y−3=−32x+92\displaystyle y-3=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{2}. Adunăm 3=62\displaystyle 3=\dfrac{6}{2} în ambii membri și obținem y=−32x+152\displaystyle y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{15}{2}. Echivalent, 3x+2y−15=0\displaystyle 3x+2y-15=0.
    y=−32x+152\displaystyle y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{15}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați măsura unghiului C\displaystyle C al triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că BC=2\displaystyle BC=2, AB=2\displaystyle AB=\sqrt{2} și măsura unghiului BAC\displaystyle BAC este egală cu 45∘\displaystyle 45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura BC\displaystyle BC și sinusul unghiului opus A\displaystyle A este egal cu raportul dintre latura AB\displaystyle AB și sinusul unghiului opus C\displaystyle C.
    BCsin⁡A=ABsin⁡C\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}
  2. Înlocuim datele: BC=2\displaystyle BC=2, AB=2\displaystyle AB=\sqrt{2}, iar sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    222=2sin⁡C\displaystyle \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin C}
  3. Calculăm membrul stâng: 222=42=22\displaystyle \dfrac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
    22=2sin⁡C\displaystyle 2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sin C}
  4. Exprimăm sin⁡C\displaystyle \sin C din egalitate și simplificăm cu 2\displaystyle \sqrt{2}:\ sin⁡C=222=12\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡C=12\displaystyle \sin C=\frac{1}{2}
  5. Din sin⁡C=12\displaystyle \sin C=\dfrac{1}{2} rezultă C=30∘\displaystyle C=30^\circ sau C=150∘\displaystyle C=150^\circ. Dar BC>AB\displaystyle BC>AB, deoarece 2>2\displaystyle 2>\sqrt{2}, deci unghiul opus lui BC\displaystyle BC este mai mare decât unghiul opus lui AB\displaystyle AB, adică m(∠A)>m(∠C)\displaystyle m(\angle A)>m(\angle C). Cum m(∠A)=45∘\displaystyle m(\angle A)=45^\circ, soluția 150∘\displaystyle 150^\circ nu convine.
    m(∠C)=30∘, deoarece m(∠A)>m(∠C)\displaystyle m(\angle C)=30^\circ\text{, deoarece }m(\angle A)>m(\angle C)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {−x+ay+(2a+4)z=1(a+2)x+ay+(a+1)z=1(a+1)x+(2a−1)y+3z=2\begin{cases}-x+ay+(2a+4)z=1\\(a+2)x+ay+(a+1)z=1\\(a+1)x+(2a-1)y+3z=2\end{cases} unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Arătați că determinantul matricei sistemului este egal cu 3a3+9a2−3a−9\displaystyle 3a^3+9a^2-3a-9.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea sistemului are pe linii coeficienții lui x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din cele trei ecuații, deci determinantul ei este det⁡A\displaystyle \det A de mai jos.
    det⁡A=∣−1a2a+4a+2aa+1a+12a−13∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-1&a&2a+4\\a+2&a&a+1\\a+1&2a-1&3\end{vmatrix}
  2. Suma elementelor de pe fiecare linie este 3a+3\displaystyle 3a+3: −1+a+2a+4=3a+3\displaystyle -1+a+2a+4=3a+3, a+2+a+a+1=3a+3\displaystyle a+2+a+a+1=3a+3, a+1+2a−1+3=3a+3\displaystyle a+1+2a-1+3=3a+3. Facem operația C1→C1+C2+C3\displaystyle C_1\to C_1+C_2+C_3, care nu modifică determinantul.
    det⁡A=∣3a+3a2a+43a+3aa+13a+32a−13∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3a+3&a&2a+4\\3a+3&a&a+1\\3a+3&2a-1&3\end{vmatrix}
  3. Dăm factor comun 3a+3\displaystyle 3a+3 din prima coloană.
    det⁡A=(3a+3)∣1a2a+41aa+112a−13∣\displaystyle \det A=(3a+3)\begin{vmatrix}1&a&2a+4\\1&a&a+1\\1&2a-1&3\end{vmatrix}
  4. Facem operațiile L2→L2−L1\displaystyle L_2\to L_2-L_1 și L3→L3−L1\displaystyle L_3\to L_3-L_1. Pe linia a doua: 1−1=0\displaystyle 1-1=0, a−a=0\displaystyle a-a=0, a+1−(2a+4)=−a−3\displaystyle a+1-(2a+4)=-a-3. Pe linia a treia: 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 2a−1−a=a−1\displaystyle 2a-1-a=a-1, 3−(2a+4)=−2a−1\displaystyle 3-(2a+4)=-2a-1.
    det⁡A=(3a+3)∣1a2a+400−a−30a−1−2a−1∣\displaystyle \det A=(3a+3)\begin{vmatrix}1&a&2a+4\\0&0&-a-3\\0&a-1&-2a-1\end{vmatrix}
  5. Dezvoltăm determinantul după prima coloană: 1⋅∣0−a−3a−1−2a−1∣=0⋅(−2a−1)−(−a−3)(a−1)\displaystyle 1\cdot\begin{vmatrix}0&-a-3\\a-1&-2a-1\end{vmatrix}=0\cdot(-2a-1)-(-a-3)(a-1).
    ∣1a2a+400−a−30a−1−2a−1∣=(a+3)(a−1)\displaystyle \begin{vmatrix}1&a&2a+4\\0&0&-a-3\\0&a-1&-2a-1\end{vmatrix}=(a+3)(a-1)
  6. Obținem det⁡A=3(a+1)(a+3)(a−1)\displaystyle \det A=3(a+1)(a+3)(a-1). Cum (a+3)(a−1)=a2+2a−3\displaystyle (a+3)(a-1)=a^2+2a-3, avem (a+1)(a2+2a−3)=a3+2a2−3a+a2+2a−3=a3+3a2−a−3\displaystyle (a+1)(a^2+2a-3)=a^3+2a^2-3a+a^2+2a-3=a^3+3a^2-a-3. Înmulțind cu 3\displaystyle 3 obținem expresia din enunț.
    det⁡A=3(a+1)(a+3)(a−1)=3a3+9a2−3a−9\displaystyle \det A=3(a+1)(a+3)(a-1)=3a^3+9a^2-3a-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {−x+ay+(2a+4)z=1(a+2)x+ay+(a+1)z=1(a+1)x+(2a−1)y+3z=2\begin{cases}-x+ay+(2a+4)z=1\\(a+2)x+ay+(a+1)z=1\\(a+1)x+(2a-1)y+3z=2\end{cases} unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care sistemul este compatibil determinat.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci este compatibil determinat exact când determinantul matricei sistemului este nenul: det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0. Matricea sistemului este A=(−1a2a+4a+2aa+1a+12a−13)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&a&2a+4\\a+2&a&a+1\\a+1&2a-1&3\end{pmatrix}.
    det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0,A=(−1a2a+4a+2aa+1a+12a−13)\displaystyle \quad A=\begin{pmatrix}-1&a&2a+4\\a+2&a&a+1\\a+1&2a-1&3\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡A=−1⋅∣aa+12a−13∣−a∣a+2a+1a+13∣+(2a+4)∣a+2aa+12a−1∣\displaystyle \det A=-1\cdot\begin{vmatrix}a&a+1\\2a-1&3\end{vmatrix}-a\begin{vmatrix}a+2&a+1\\a+1&3\end{vmatrix}+(2a+4)\begin{vmatrix}a+2&a\\a+1&2a-1\end{vmatrix}. Minorii sunt 3a−(a+1)(2a−1)=−2a2+2a+1\displaystyle 3a-(a+1)(2a-1)=-2a^2+2a+1, apoi 3(a+2)−(a+1)2=−a2+a+5\displaystyle 3(a+2)-(a+1)^2=-a^2+a+5 și (a+2)(2a−1)−a(a+1)=a2+2a−2\displaystyle (a+2)(2a-1)-a(a+1)=a^2+2a-2.
    det⁡A=−(−2a2+2a+1)−a(−a2+a+5)+(2a+4)(a2+2a−2)\displaystyle \det A=-(-2a^2+2a+1)-a(-a^2+a+5)+(2a+4)(a^2+2a-2)
  3. Efectuăm calculele: 2a2−2a−1\displaystyle 2a^2-2a-1, apoi a3−a2−5a\displaystyle a^3-a^2-5a, apoi 2a3+8a2+4a−8\displaystyle 2a^3+8a^2+4a-8. Adunând, obținem determinantul sub formă de polinom.
    det⁡A=3a3+9a2−3a−9\displaystyle \det A=3a^3+9a^2-3a-9
  4. Dăm factor comun 3 și grupăm termenii: 3(a3+3a2−a−3)=3(a2(a+3)−(a+3))=3(a+3)(a2−1)\displaystyle 3(a^3+3a^2-a-3)=3\left(a^2(a+3)-(a+3)\right)=3(a+3)(a^2-1).
    det⁡A=3(a−1)(a+1)(a+3)\displaystyle \det A=3(a-1)(a+1)(a+3)
  5. Ecuația det⁡A=0\displaystyle \det A=0 revine la 3(a−1)(a+1)(a+3)=0\displaystyle 3(a-1)(a+1)(a+3)=0, deci un factor este nul: a−1=0\displaystyle a-1=0, a+1=0\displaystyle a+1=0 sau a+3=0\displaystyle a+3=0.
    det⁡A=0⇔a∈{−1,1,−3}\displaystyle \det A=0\Leftrightarrow a\in\{-1,1,-3\}
  6. Sistemul este compatibil determinat când det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0, deci pentru toate valorile reale ale lui a\displaystyle a în afară de −1\displaystyle -1, 1\displaystyle 1 și −3\displaystyle -3.
    a∈R∖{−1,1,−3}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1,-3\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {−x+ay+(2a+4)z=1(a+2)x+ay+(a+1)z=1(a+1)x+(2a−1)y+3z=2\begin{cases}-x+ay+(2a+4)z=1\\(a+2)x+ay+(a+1)z=1\\(a+1)x+(2a-1)y+3z=2\end{cases} unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Pentru a=−2\displaystyle a=-2, rezolvați sistemul.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−2\displaystyle a=-2 în fiecare ecuație. Avem 2a+4=0\displaystyle 2a+4=0, a+2=0\displaystyle a+2=0, a+1=−1\displaystyle a+1=-1, 2a−1=−5\displaystyle 2a-1=-5. Obținem sistemul cu trei ecuații și trei necunoscute.
    {−x−2y=1−2y−z=1−x−5y+3z=2\displaystyle \begin{cases}-x-2y=1\\-2y-z=1\\-x-5y+3z=2\end{cases}
  2. Din prima ecuație, −x−2y=1\displaystyle -x-2y=1, exprimăm x\displaystyle x în funcție de y\displaystyle y.
    x=−1−2y\displaystyle x=-1-2y
  3. Din a doua ecuație, −2y−z=1\displaystyle -2y-z=1, exprimăm z\displaystyle z în funcție de y\displaystyle y.
    z=−1−2y\displaystyle z=-1-2y
  4. Înlocuim x\displaystyle x și z\displaystyle z în a treia ecuație: −(−1−2y)−5y+3(−1−2y)=2\displaystyle -(-1-2y)-5y+3(-1-2y)=2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea.
    1+2y−5y−3−6y=2⇒−9y−2=2\displaystyle 1+2y-5y-3-6y=2\Rightarrow -9y-2=2
  5. Din −9y=4\displaystyle -9y=4 obținem y\displaystyle y. Apoi x=−1−2y\displaystyle x=-1-2y și z=−1−2y\displaystyle z=-1-2y dau aceeași valoare pentru x\displaystyle x și z\displaystyle z. Verificare în a doua ecuație: −2y−z=89+19=1\displaystyle -2y-z=\dfrac{8}{9}+\dfrac{1}{9}=1.
    y=−49\displaystyle y=-\frac{4}{9}, x=−1+89=−19\displaystyle \ x=-1+\frac{8}{9}=-\frac{1}{9}, z=−19\displaystyle \ z=-\frac{1}{9}
  6. Soluția sistemului pentru a=−2\displaystyle a=-2 este tripletul obținut.
    x=−19\displaystyle x=-\frac{1}{9}, y=−49\displaystyle \ y=-\frac{4}{9}, z=−19\displaystyle \ z=-\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X8+4^X4+3^\displaystyle f=X^8+\hat{4}X^4+\hat{3}, f∈Z5[X]\displaystyle f\in\mathbb{Z}_5[X].

Arătați că a5=a\displaystyle a^5=a, pentru orice a∈Z5\displaystyle a\in\mathbb{Z}_5.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 are exact cinci elemente: 0^,1^,2^,3^,4^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4} (clase de resturi modulo 5). Este suficient să verificăm egalitatea a5=a\displaystyle a^5=a pentru fiecare dintre ele.
    Z5={0^,1^,2^,3^,4^}\displaystyle \mathbb{Z}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}
  2. Pentru 0^\displaystyle \hat{0} și 1^\displaystyle \hat{1} calculul este imediat: orice putere cu exponent pozitiv a lui 0^\displaystyle \hat{0} este 0^\displaystyle \hat{0}, iar orice putere a lui 1^\displaystyle \hat{1} este 1^\displaystyle \hat{1}.
    0^5=0^\displaystyle \hat{0}^5=\hat{0},1^5=1^\displaystyle \quad \hat{1}^5=\hat{1}
  3. Pentru 2^\displaystyle \hat{2}: calculăm 25=32\displaystyle 2^5=32, iar 32=6⋅5+2\displaystyle 32=6\cdot 5+2, deci restul la împărțirea cu 5 este 2.
    2^5=32^=2^\displaystyle \hat{2}^5=\widehat{32}=\hat{2}
  4. Pentru 3^\displaystyle \hat{3}: 35=243\displaystyle 3^5=243, iar 243=48⋅5+3\displaystyle 243=48\cdot 5+3, deci restul la împărțirea cu 5 este 3.
    3^5=243^=3^\displaystyle \hat{3}^5=\widehat{243}=\hat{3}
  5. Pentru 4^\displaystyle \hat{4}: avem 4^=−1^\displaystyle \hat{4}=-\hat{1} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5, deci 4^5=(−1^)5=−1^=4^\displaystyle \hat{4}^5=(-\hat{1})^5=-\hat{1}=\hat{4}. Verificare: 45=1024=204⋅5+4\displaystyle 4^5=1024=204\cdot 5+4.
    4^5=1024^=4^\displaystyle \hat{4}^5=\widehat{1024}=\hat{4}
  6. Am verificat toate cele cinci elemente ale lui Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5, deci a5=a\displaystyle a^5=a pentru orice a∈Z5\displaystyle a\in\mathbb{Z}_5.
    0^5=0^\displaystyle \hat{0}^5=\hat{0}, 1^5=1^\displaystyle \ \hat{1}^5=\hat{1}, 2^5=2^\displaystyle \ \hat{2}^5=\hat{2}, 3^5=3^\displaystyle \ \hat{3}^5=\hat{3}, 4^5=4^\displaystyle \ \hat{4}^5=\hat{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X8+4^X4+3^\displaystyle f=X^8+\hat{4}X^4+\hat{3}, f∈Z5[X]\displaystyle f\in\mathbb{Z}_5[X].

Arătați că polinomul f\displaystyle f este reductibil peste Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
Vezi rezolvarea
  1. În Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 avem 4^=1^+3^\displaystyle \hat{4}=\hat{1}+\hat{3}, deci putem scrie termenul 4^X4\displaystyle \hat{4}X^4 ca suma dintre X4\displaystyle X^4 și 3^X4\displaystyle \hat{3}X^4.
    f=X8+X4+3^X4+3^\displaystyle f=X^8+X^4+\hat{3}X^4+\hat{3}
  2. Grupăm primii doi termeni și ultimii doi termeni, apoi dăm factor comun X4\displaystyle X^4 în primul grup și 3^\displaystyle \hat{3} în al doilea grup.
    f=X4(X4+1^)+3^(X4+1^)\displaystyle f=X^4\left(X^4+\hat{1}\right)+\hat{3}\left(X^4+\hat{1}\right)
  3. Dăm factor comun paranteza X4+1^\displaystyle X^4+\hat{1} și obținem o descompunere a lui f\displaystyle f în produs de două polinoame de grad 4\displaystyle 4. Cum ambii factori au grad mai mare decât 0\displaystyle 0, polinomul f\displaystyle f este reductibil peste Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
    f=(X4+1^)(X4+3^)\displaystyle f=\left(X^4+\hat{1}\right)\left(X^4+\hat{3}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X8+4^X4+3^\displaystyle f=X^8+\hat{4}X^4+\hat{3}, f∈Z5[X]\displaystyle f\in\mathbb{Z}_5[X].

Arătați că polinomul f\displaystyle f nu are rădăcini în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
Vezi rezolvarea
  1. Elementele lui Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 sunt 0^,1^,2^,3^,4^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}. Verificăm mai întâi 0^\displaystyle \hat{0}: înlocuim X\displaystyle X cu 0^\displaystyle \hat{0} în f\displaystyle f, iar f(0^)=0^8+4^⋅0^4+3^\displaystyle f\left(\hat{0}\right)=\hat{0}^8+\hat{4}\cdot\hat{0}^4+\hat{3}.
    f(0^)=3^\displaystyle f\left(\hat{0}\right)=\hat{3}
  2. Pentru a≠0^\displaystyle a\neq\hat{0} calculăm puterile a patra în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5: 1^4=1^\displaystyle \hat{1}^4=\hat{1}, 2^4=16^=1^\displaystyle \hat{2}^4=\widehat{16}=\hat{1}, 3^4=81^=1^\displaystyle \hat{3}^4=\widehat{81}=\hat{1}, 4^4=256^=1^\displaystyle \hat{4}^4=\widehat{256}=\hat{1}. Aceasta este mica teoremă a lui Fermat: a4=1^\displaystyle a^4=\hat{1} pentru orice a≠0^\displaystyle a\neq\hat{0}.
    a≠0^⇒a4=1^\displaystyle a\neq\hat{0}\Rightarrow a^4=\hat{1}
  3. Scriem a8=(a4)2=1^2=1^\displaystyle a^8=\left(a^4\right)^2=\hat{1}^2=\hat{1}. Atunci pentru a≠0^\displaystyle a\neq\hat{0} avem f(a)=1^+4^⋅1^+3^=8^=3^\displaystyle f(a)=\hat{1}+\hat{4}\cdot\hat{1}+\hat{3}=\hat{8}=\hat{3}, deoarece 8=5+3\displaystyle 8=5+3.
    f(a)=1^+4^+3^=3^ pentru orice a≠0^\displaystyle f(a)=\hat{1}+\hat{4}+\hat{3}=\hat{3}\text{ pentru orice }a\neq\hat{0}
  4. Pentru a=0^\displaystyle a=\hat{0} am obținut f(0^)=3^\displaystyle f\left(\hat{0}\right)=\hat{3}, iar pentru a≠0^\displaystyle a\neq\hat{0} am obținut f(a)=3^\displaystyle f(a)=\hat{3}. În ambele cazuri f(a)≠0^\displaystyle f(a)\neq\hat{0}, deci f\displaystyle f nu are rădăcini în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
    f(a)≠0^ pentru orice a∈Z5\displaystyle f(a)\neq\hat{0}\text{ pentru orice }a\in\mathbb{Z}_5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)\displaystyle f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), f(x)=x+x2+1\displaystyle f(x)=x+\sqrt{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→0f(x)−1x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0: f(0)=0+02+1=1\displaystyle f(0)=0+\sqrt{0^{2}+1}=1. Deci numărătorul f(x)−1\displaystyle f(x)-1 este de fapt f(x)−f(0)\displaystyle f(x)-f(0).
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  2. Scriem limita sub forma definiției derivatei în punctul 0\displaystyle 0: lim⁡x→0f(x)−1x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0), dacă f\displaystyle f este derivabilă în 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)−1x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)
  3. Derivăm funcția. Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar pentru x2+1\displaystyle \sqrt{x^{2}+1} folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1 și u′=2x\displaystyle u'=2x. Obținem 2x2x2+1=xx2+1\displaystyle \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
    f′(x)=1+xx2+1\displaystyle f'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}
  4. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=1+002+1=1+0=1\displaystyle f'(0)=1+\dfrac{0}{\sqrt{0^{2}+1}}=1+0=1. Deci limita cerută este 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→0f(x)−1x=f′(0)=1\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}=f'(0)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)\displaystyle f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), f(x)=x+x2+1\displaystyle f(x)=x+\sqrt{x^2+1}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}, n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \ n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem raportul ca f(x)x=x+x2+1x=1+x2+1x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x}=1+\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}.
    f(x)x=1+x2+1x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=1+\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}
  3. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x=x2\displaystyle x=\sqrt{x^{2}}, deci x2+1x=1+1x2→1\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to 1. Rezultă m=1+1=2\displaystyle m=1+1=2.
    m=lim⁡x→+∞x+x2+1x=2\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x}=2
  4. Calculăm f(x)−2x=x+x2+1−2x=x2+1−x\displaystyle f(x)-2x=x+\sqrt{x^{2}+1}-2x=\sqrt{x^{2}+1}-x.
    f(x)−2x=x2+1−x\displaystyle f(x)-2x=\sqrt{x^{2}+1}-x
  5. Avem nedeterminarea ∞−∞\displaystyle \infty-\infty. Amplificăm cu conjugata x2+1+x\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}+x: x2+1−x=x2+1−x2x2+1+x=1x2+1+x\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}-x=\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}. Numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci limita este 0\displaystyle 0 și n=0\displaystyle n=0.
    n=lim⁡x→+∞(x2+1−x)=lim⁡x→+∞1x2+1+x=0\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=0
  6. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 și n=0\displaystyle n=0 în y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta de ecuație y=2x\displaystyle y=2x.
    y=2x\displaystyle y=2x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)\displaystyle f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), f(x)=x+x2+1\displaystyle f(x)=x+\sqrt{x^2+1}.

Demonstrați că, pentru orice număr real m>0\displaystyle m>0, ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are o soluție unică în R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind suma dintre x\displaystyle x și radicalul unui polinom pozitiv. Pentru a vedea ce valori ia, calculăm limitele la capetele domeniului. La +∞\displaystyle +\infty, ambii termeni tind la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  2. La −∞\displaystyle -\infty avem nedeterminarea −∞+∞\displaystyle -\infty+\infty. Amplificăm cu conjugata x2+1−x\displaystyle \sqrt{x^2+1}-x și folosim că produsul conjugatelor este x2+1−x2=1\displaystyle x^2+1-x^2=1.
    f(x)=(x2+1+x)(x2+1−x)x2+1−x=1x2+1−x\displaystyle f(x)=\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}
  3. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty, numitorul x2+1−x\displaystyle \sqrt{x^2+1}-x tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0. Împreună cu limita de la +∞\displaystyle +\infty, obținem limitele funcției la capetele domeniului.
    lim⁡x→−∞f(x)=0 și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  4. Din continuitate și din limitele de mai sus rezultă că f\displaystyle f ia toate valorile din (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Deci pentru orice m>0\displaystyle m>0 ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are cel puțin o soluție. Mai rămâne de arătat unicitatea, prin monotonie. Calculăm derivata, folosind că (x2+1)′=xx2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
    f′(x)=1+xx2+1=x2+1+xx2+1=f(x)x2+1\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}
  5. Deoarece f\displaystyle f ia valori în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), avem f(x)>0\displaystyle f(x)>0, iar numitorul x2+1\displaystyle \sqrt{x^2+1} este pozitiv. Deci derivata este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar f\displaystyle f este strict crescătoare, deci injectivă. Prin urmare ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are o soluție unică pentru orice m>0\displaystyle m>0.
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul p\displaystyle p, se consideră numărul Ip=∫01xpex2 dx\displaystyle I_p=\int_0^1 x^p e^{x^2}\,dx.

Calculați I1\displaystyle I_1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru p=1\displaystyle p=1 avem integrala de calculat:
    I1=∫01x⋅ex2 dx\displaystyle I_1=\int_0^1 x\cdot e^{x^2}\,dx
  2. Observăm că (ex2)′=2x⋅ex2\displaystyle \left(e^{x^2}\right)'=2x\cdot e^{x^2}. Rezultă că o primitivă a funcției x⋅ex2\displaystyle x\cdot e^{x^2} este 12ex2\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{x^2}.
    (12ex2)′=x⋅ex2\displaystyle \left(\frac{1}{2}e^{x^2}\right)'=x\cdot e^{x^2}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva găsită, între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    I1=∫01x⋅ex2 dx=12ex2∣01=12e12−12e02\displaystyle I_1=\int_0^1 x\cdot e^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}e^{1^2}-\frac{1}{2}e^{0^2}
  4. Calculăm: e1=e\displaystyle e^{1}=e și e0=1\displaystyle e^{0}=1. Apoi dăm factor comun pe 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    I1=e2−12=e−12\displaystyle I_1=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e-1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul p\displaystyle p, se consideră numărul Ip=∫01xpex2 dx\displaystyle I_p=\int_0^1 x^p e^{x^2}\,dx.

Arătați că 2Ip+(p−1)Ip−2=e\displaystyle 2I_p+(p-1)I_{p-2}=e, pentru orice p≥3\displaystyle p\ge 3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem xp=xp−1⋅x\displaystyle x^{p}=x^{p-1}\cdot x, ca să apară derivata (ex2)′=2xex2\displaystyle \left(e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}. Astfel 2Ip\displaystyle 2I_p devine o integrală cu xp−1\displaystyle x^{p-1} și 2xex2\displaystyle 2xe^{x^2}.
    2Ip=∫01xp−1(2xex2)dx\displaystyle 2I_p=\int_0^1 x^{p-1}\left(2xe^{x^2}\right)dx
  2. Înlocuim 2xex2\displaystyle 2xe^{x^2} cu (ex2)′\displaystyle \left(e^{x^2}\right)'.
    2Ip=∫01(ex2)′xp−1dx\displaystyle 2I_p=\int_0^1 \left(e^{x^2}\right)'x^{p-1}dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți cu f(x)=xp−1\displaystyle f(x)=x^{p-1} și g(x)=ex2\displaystyle g(x)=e^{x^2}, deci f′(x)=(p−1)xp−2\displaystyle f'(x)=(p-1)x^{p-2}. Formula este ∫01g′f dx=gf∣01−∫01gf′ dx\displaystyle \int_0^1 g'f\,dx=gf\Big|_0^1-\int_0^1 gf'\,dx.
    2Ip=ex2xp−1∣01−(p−1)∫01ex2xp−2dx\displaystyle 2I_p=e^{x^2}x^{p-1}\Big|_0^1-(p-1)\int_0^1 e^{x^2}x^{p-2}dx
  4. Calculăm termenul tabelat: la x=1\displaystyle x=1 obținem e1⋅1p−1=e\displaystyle e^{1}\cdot 1^{p-1}=e, iar la x=0\displaystyle x=0 obținem e0⋅0p−1=0\displaystyle e^{0}\cdot 0^{p-1}=0, deoarece p−1≥2>0\displaystyle p-1\ge 2>0.
    ex2xp−1∣01=e−0=e\displaystyle e^{x^2}x^{p-1}\Big|_0^1=e-0=e
  5. Integrala rămasă, ∫01xp−2ex2dx\displaystyle \int_0^1 x^{p-2}e^{x^2}dx, este exact Ip−2\displaystyle I_{p-2}. Rezultă 2Ip=e−(p−1)Ip−2\displaystyle 2I_p=e-(p-1)I_{p-2}.
    2Ip=e−(p−1)Ip−2\displaystyle 2I_p=e-(p-1)I_{p-2}
  6. Mutăm (p−1)Ip−2\displaystyle (p-1)I_{p-2} în membrul stâng și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice p≥3\displaystyle p\ge 3.
    2Ip+(p−1)Ip−2=e\displaystyle 2I_p+(p-1)I_{p-2}=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul p\displaystyle p, se consideră numărul Ip=∫01xpex2 dx\displaystyle I_p=\int_0^1 x^p e^{x^2}\,dx.

Calculați lim⁡n→+∞1n2(e12n2+2e22n2+…+nen2n2)\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\left(e^{\frac{1^2}{n^2}}+2e^{\frac{2^2}{n^2}}+\ldots+ne^{\frac{n^2}{n^2}}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Termenul general al sumei din paranteză este k ek2n2\displaystyle k\,e^{\frac{k^2}{n^2}}, cu k=1,n‾\displaystyle k=\overline{1,n}, deci expresia este 1n2∑k=1nk ek2n2\displaystyle \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\,e^{\frac{k^2}{n^2}}.
    1n2∑k=1nk ek2n2\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\,e^{\frac{k^2}{n^2}}
  2. Scriem 1n2=1n⋅1n\displaystyle \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{n} și introducem al doilea factor 1n\displaystyle \dfrac{1}{n} sub sumă: 1n⋅k=kn\displaystyle \dfrac{1}{n}\cdot k=\dfrac{k}{n}. Apoi k2n2=(kn)2\displaystyle \dfrac{k^2}{n^2}=\left(\dfrac{k}{n}\right)^2.
    1n∑k=1nkn e(kn)2\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\,e^{\left(\frac{k}{n}\right)^2}
  3. Alegem f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=xex2\displaystyle f(x)=xe^{x^2}, și diviziunea Δn=(kn)k=0,n‾\displaystyle \Delta_n=\left(\dfrac{k}{n}\right)_{k=\overline{0,n}}, cu norma 1n→0\displaystyle \dfrac{1}{n}\to 0. Atunci f(kn)=kne(kn)2\displaystyle f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{k}{n}e^{\left(\frac{k}{n}\right)^2}, deci suma este o sumă Riemann.
    f(x)=xex2\displaystyle f(x)=xe^{x^2},Δn=(kn)k=0,n‾\displaystyle \quad \Delta_n=\left(\frac{k}{n}\right)_{k=\overline{0,n}},1n∑k=1nf(kn)\displaystyle \quad \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)
  4. Funcția f\displaystyle f este continuă pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci integrabilă, iar când n→+∞\displaystyle n\to+\infty suma Riemann converge la integrală.
    lim⁡n→+∞1n∑k=1nf(kn)=∫01xex2 dx\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 xe^{x^2}\,dx
  5. Deoarece (ex22)′=12ex2⋅2x=xex2\displaystyle \left(\dfrac{e^{x^2}}{2}\right)'=\dfrac{1}{2}e^{x^2}\cdot 2x=xe^{x^2}, o primitivă a lui f\displaystyle f este ex22\displaystyle \dfrac{e^{x^2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01xex2 dx=ex22∣01=e2−12\displaystyle \int_0^1 xe^{x^2}\,dx=\frac{e^{x^2}}{2}\Big|_0^1=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}
  6. Limita cerută este e−12\displaystyle \dfrac{e-1}{2}.
    lim⁡n→+∞1n2(e12n2+2e22n2+…+nen2n2)=e−12\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\left(e^{\frac{1^2}{n^2}}+2e^{\frac{2^2}{n^2}}+\ldots+ne^{\frac{n^2}{n^2}}\right)=\frac{e-1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.