Bac matematică M1 mate-info 2019, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că suma elementelor mulțimii

\displaystyle A=\{n\in\mathbb{N}\mid n-1\le 4\}

este egală cu 15.

Vezi rezolvarea

Rezolvăm inegalitatea din definiția mulțimii: adunăm $\displaystyle 1$ la ambii membri ai inegalității $\displaystyle n-1\le 4$ .
$\displaystyle n\le 5$
Cum $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n$ poate fi $\displaystyle 0, 1, 2, 3, 4$ sau $\displaystyle 5$ . Deci mulțimea $\displaystyle A$ are aceste elemente.
$\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5\}$
Adunăm elementele mulțimii $\displaystyle A$ și obținem $\displaystyle 15$ , deci suma cerută este egală cu $\displaystyle 15$ .
$\displaystyle 0+1+2+3+4+5=15$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x+m

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că vârful parabolei asociate funcției

\displaystyle f

are ordonata egală cu 2.

Vezi rezolvarea

Identificăm coeficienții funcției $\displaystyle f(x)=x^2-2x+m$ : $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-2$ , $\displaystyle c=m$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-2$ , $\displaystyle \ c=m$
Calculăm discriminantul $\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot m$ .
$\displaystyle \Delta=4-4m$
Ordonata vârfului parabolei este $\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}$ . Înlocuind, obținem $\displaystyle -\dfrac{4-4m}{4\cdot 1}=\dfrac{4m-4}{4}$ .
$\displaystyle y_V=-\dfrac{4-4m}{4}=\dfrac{4m-4}{4}$
Punem condiția $\displaystyle y_V=2$ , adică $\displaystyle \dfrac{4m-4}{4}=2$ . Simplificăm: $\displaystyle m-1=2$ , deci $\displaystyle m=3$ .
$\displaystyle \dfrac{4m-4}{4}=2\Rightarrow m-1=2\Rightarrow m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x+3}=\sqrt{9-x}

.

Vezi rezolvarea

Aflăm condițiile de existență a radicalilor: expresiile de sub radical trebuie să fie pozitive sau nule. Obținem $\displaystyle x+3\ge 0$ și $\displaystyle 9-x\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge -3$ și $\displaystyle x\le 9$ .
$\displaystyle x\in[-3,9]$
Ridicăm ecuația la pătrat. Cei doi membri sunt nenegativi, deci radicalii dispar: $\displaystyle \left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{9-x}\right)^{2}$ , de unde $\displaystyle x+3=9-x$ .
$\displaystyle x+3=9-x$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în membrul stâng și numerele în membrul drept: $\displaystyle x+x=9-3$ , deci $\displaystyle 2x=6$ .
$\displaystyle 2x=6$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x=\dfrac{6}{2}=3$ .
$\displaystyle x=3$
Verificăm soluția. Pentru $\displaystyle x=3$ avem $\displaystyle \sqrt{3+3}=\sqrt{6}$ și $\displaystyle \sqrt{9-3}=\sqrt{6}$ , deci egalitatea este adevărată. De asemenea, $\displaystyle 3\in[-3,9]$ , deci soluția convine.
$\displaystyle x=3\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin 8 elemente ale unei mulțimi cu exact 10 elemente.

Vezi rezolvarea

Submulțimile cu cel puțin 8 elemente ale unei mulțimi cu 10 elemente au exact 8, 9 sau 10 elemente. Numărul submulțimilor cu $\displaystyle k$ elemente este $\displaystyle C_{10}^{k}$ .
$\displaystyle C_{10}^{8}$ , $\displaystyle \ C_{10}^{9}$ , $\displaystyle \ C_{10}^{10}$
Adunăm numerele de submulțimi cu 8, cu 9 și cu 10 elemente, deoarece aceste cazuri se exclud reciproc: $\displaystyle N=C_{10}^{8}+C_{10}^{9}+C_{10}^{10}$ .
$\displaystyle N=C_{10}^{8}+C_{10}^{9}+C_{10}^{10}$
Calculăm fiecare combinare: $\displaystyle C_{10}^{8}=C_{10}^{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45$ , $\displaystyle C_{10}^{9}=C_{10}^{1}=10$ , iar $\displaystyle C_{10}^{10}=1$ .
$\displaystyle C_{10}^{8}=45$ , $\displaystyle \ C_{10}^{9}=10$ , $\displaystyle \ C_{10}^{10}=1$
Însumăm valorile obținute: $\displaystyle 45+10+1=56$ . Așadar, există 56 de submulțimi cu cel puțin 8 elemente.
$\displaystyle C_{10}^{8}+C_{10}^{9}+C_{10}^{10}=45+10+1=56$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(5,1)

,

\displaystyle B(-1,3)

și

\displaystyle C(8,10)

. Determinați lungimea segmentului

\displaystyle CD

, unde punctul

\displaystyle D

este mijlocul segmentului

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula mijlocului unui segment: $\displaystyle x_D=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ și $\displaystyle y_D=\dfrac{y_A+y_B}{2}$ .
$\displaystyle x_D=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ , $\displaystyle \quad y_D=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
Înlocuim coordonatele lui $\displaystyle A(5,1)$ și $\displaystyle B(-1,3)$ : $\displaystyle x_D=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$ și $\displaystyle y_D=\dfrac{1+3}{2}=2$ .
$\displaystyle D(2,2)$
Distanța dintre $\displaystyle C(8,10)$ și $\displaystyle D(2,2)$ este $\displaystyle CD=\sqrt{(x_C-x_D)^{2}+(y_C-y_D)^{2}}$ .
$\displaystyle CD=\sqrt{(8-2)^{2}+(10-2)^{2}}$
Calculăm: $\displaystyle 8-2=6$ și $\displaystyle 10-2=8$ , deci $\displaystyle CD=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .
$\displaystyle CD=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 1+\cos\pi+\cos 2\pi+\cos 3\pi+\ldots+\cos 2019\pi=0

.

Vezi rezolvarea

Observăm că primul termen este $\displaystyle 1=\cos 0$ , deci suma este $\displaystyle \cos 0+\cos\pi+\cos 2\pi+\ldots+\cos 2019\pi$ , adică are termeni de forma $\displaystyle \cos n\pi$ cu $\displaystyle n$ de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 2019$ .
$\displaystyle S=\sum_{n=0}^{2019}\cos n\pi$
Cosinusul are perioada $\displaystyle 2\pi$ , deci pentru $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$ avem $\displaystyle \cos 2k\pi=\cos 0=1$ și $\displaystyle \cos(2k+1)\pi=\cos\pi=-1$ .
$\displaystyle \cos 2k\pi=1\text{ și }\cos(2k+1)\pi=-1\text{, unde }k\in\mathbb{Z}$
Pentru $\displaystyle n$ par termenul este $\displaystyle 1$ , iar pentru $\displaystyle n$ impar termenul este $\displaystyle -1$ , deci suma devine o alternanță de $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -1$ , începând cu $\displaystyle 1$ și terminând cu $\displaystyle -1$ (pentru că $\displaystyle 2019$ este impar).
$\displaystyle S=1+(-1)+1+(-1)+1+\ldots+1+(-1)$
De la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 2019$ sunt $\displaystyle 2020$ de termeni, adică $\displaystyle 1010$ perechi de forma $\displaystyle 1+(-1)$ , iar fiecare pereche are suma $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle S=1010\cdot\left(1+(-1)\right)=1010\cdot 0=0$
Prin urmare, $\displaystyle 1+\cos\pi+\cos 2\pi+\cos 3\pi+\ldots+\cos 2019\pi=1+(-1)+1+(-1)+\ldots+1+(-1)=0$ .
$\displaystyle 1+\cos\pi+\cos 2\pi+\cos 3\pi+\ldots+\cos 2019\pi=1+(-1)+1+(-1)+1+\ldots+(-1)+1+(-1)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&0&0\\1&a&1\\0&0&a+1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle A(a)$ : elementele $\displaystyle a+1$ devin $\displaystyle 2$ , iar elementul $\displaystyle a$ devine $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&0&2\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei, minus suma produselor pe diagonala secundară și pe paralelele ei. Singurul produs nenul este $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2$ , iar celelalte conțin cel puțin un element egal cu $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle 2\cdot1\cdot2+0\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot0-0\cdot1\cdot0-0\cdot1\cdot2-2\cdot1\cdot0=4+0+0-0-0-0$
Efectuăm calculele și obținem valoarea determinantului, deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 4+0+0-0-0-0=4\Rightarrow\det(A(1))=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&0&0\\1&a&1\\0&0&a+1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle A(a)A(b)=abI_3+(a+b+1)A(0)

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(a)$ și $\displaystyle A(b)$ , apoi calculăm produsul $\displaystyle A(a)A(b)$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}a+1&0&0\\1&a&1\\0&0&a+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b+1&0&0\\1&b&1\\0&0&b+1\end{pmatrix}$
Prima linie a produsului: $\displaystyle (a+1)(b+1)=ab+a+b+1$ , apoi $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 0$ , deoarece prima linie a lui $\displaystyle A(a)$ are zerouri în afara primei poziții.
$\displaystyle \begin{pmatrix}ab+a+b+1&0&0\end{pmatrix}$
Linia a doua: pe prima coloană $\displaystyle 1\cdot(b+1)+a\cdot 1+1\cdot 0=a+b+1$ ; pe a doua coloană $\displaystyle a\cdot b=ab$ ; pe a treia coloană $\displaystyle a\cdot 1+1\cdot(b+1)=a+b+1$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}a+b+1&ab&a+b+1\end{pmatrix}$
Linia a treia: singurul element nenul este $\displaystyle (a+1)(b+1)=ab+a+b+1$ , pe poziția a treia. Adunăm rezultatele și obținem produsul complet.
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}ab+a+b+1&0&0\\a+b+1&ab&a+b+1\\0&0&ab+a+b+1\end{pmatrix}$
Descompunem matricea ca sumă: pe diagonală $\displaystyle ab+a+b+1=ab+(a+b+1)$ , iar în mijloc $\displaystyle ab=ab+0$ . Astfel produsul devine suma a două matrice.
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}ab&0&0\\0&ab&0\\0&0&ab\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a+b+1&0&0\\a+b+1&0&a+b+1\\0&0&a+b+1\end{pmatrix}$
Scoatem factorul $\displaystyle ab$ din prima matrice și factorul $\displaystyle a+b+1$ din a doua. Prima matrice devine $\displaystyle abI_3$ . În a doua rămâne matricea cu liniile $\displaystyle (1,0,0)$ , $\displaystyle (1,0,1)$ , $\displaystyle (0,0,1)$ , care este chiar $\displaystyle A(0)$ , obținută pentru $\displaystyle a=0$ în definiția lui $\displaystyle A(a)$ .
$\displaystyle ab\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}+(a+b+1)\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
Concluzie: egalitatea cerută este demonstrată pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle A(a)A(b)=abI_3+(a+b+1)A(0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&0&0\\1&a&1\\0&0&a+1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle A(0)A(1)A(2)\ldots A(2019)=n!A(0)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(0)$ , înlocuind $\displaystyle a=0$ în $\displaystyle A(a)$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(0)A(a)$ linie cu linie. Prima linie $\displaystyle (1,0,0)$ a lui $\displaystyle A(0)$ dă prima linie a lui $\displaystyle A(a)$ , adică $\displaystyle (a+1,0,0)$ . A doua linie $\displaystyle (1,0,1)$ dă suma dintre prima și a treia linie a lui $\displaystyle A(a)$ , adică $\displaystyle (a+1,0,a+1)$ . A treia linie $\displaystyle (0,0,1)$ dă a treia linie a lui $\displaystyle A(a)$ , adică $\displaystyle (0,0,a+1)$ .
$\displaystyle A(0)A(a)=\begin{pmatrix}a+1&0&0\\a+1&0&a+1\\0&0&a+1\end{pmatrix}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle a+1$ și recunoaștem matricea $\displaystyle A(0)$ . Relația este valabilă pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle A(0)A(a)=(a+1)A(0)\text{, pentru orice număr real }a$
Grupăm produsul de la stânga la dreapta și aplicăm relația pe rând. Mai întâi $\displaystyle A(0)A(1)=2A(0)$ . Apoi $\displaystyle 2A(0)A(2)=2\cdot 3\cdot A(0)$ , apoi $\displaystyle 2\cdot 3\cdot A(0)A(3)=2\cdot 3\cdot 4\cdot A(0)$ , și tot așa, până la $\displaystyle A(2019)$ , unde factorul este $\displaystyle 2019+1=2020$ .
$\displaystyle A(0)A(1)A(2)\ldots A(2019)=2\cdot 3\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2020\,A(0)$
Produsul $\displaystyle 2\cdot 3\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2020$ este chiar $\displaystyle 2020!$ , deoarece factorul $\displaystyle 1$ nu schimbă produsul. Egalăm cu $\displaystyle n!A(0)$ . Matricea $\displaystyle A(0)$ este nenulă, deci $\displaystyle n!=2020!$ , iar de aici $\displaystyle n=2020$ .
$\displaystyle A(0)A(1)A(2)\ldots A(2019)=2\cdot 3\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2020\,A(0)=2020!\,A(0)\text{, de unde }n=2020$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-mX^2+2X+3-m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că

\displaystyle f(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X=1$ în $\displaystyle f=X^3-mX^2+2X+3-m$ și obținem $\displaystyle f(1)=1^3-m\cdot 1^2+2\cdot 1+3-m$ .
$\displaystyle f(1)=1-m+2+3-m$
Adunăm numerele: $\displaystyle 1+2+3=6$ , iar termenii în $\displaystyle m$ dau $\displaystyle -m-m=-2m$ .
$\displaystyle f(1)=6-2m$
Din condiția $\displaystyle f(1)=0$ rezultă ecuația $\displaystyle 6-2m=0$ , deci $\displaystyle 2m=6$ .
$\displaystyle 6-2m=0\Rightarrow m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-mX^2+2X+3-m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=3

, determinați rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=3$ în $\displaystyle f=X^3-mX^2+2X+3-m$ . Termenul liber $\displaystyle 3-m$ devine $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f=X^3-3X^2+2X$
Fiecare termen conține pe $\displaystyle X$ , deci dăm factor comun pe $\displaystyle X$ .
$\displaystyle f=X\left(X^2-3X+2\right)$
Produsul este zero dacă un factor este zero: $\displaystyle X=0$ sau $\displaystyle X^2-3X+2=0$ .
$\displaystyle X=0\text{ sau }X^2-3X+2=0$
Pentru $\displaystyle X^2-3X+2=0$ avem $\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=1$ , deci $\displaystyle X=\dfrac{3\pm 1}{2}$ .
$\displaystyle X=\dfrac{3-1}{2}=1\text{ și }X=\dfrac{3+1}{2}=2$
Rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle x_1=0$ , $\displaystyle \ x_2=1$ , $\displaystyle \ x_3=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-mX^2+2X+3-m

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-12

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem relațiile lui Viète pentru $\displaystyle f=X^3-mX^2+2X+3-m$ . Suma rădăcinilor este $\displaystyle x_1+x_2+x_3=m$ , suma produselor luate câte două este $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2$ , iar produsul rădăcinilor este $\displaystyle x_1x_2x_3=-(3-m)=m-3$ .
$\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2+x_3=m \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2 \\ x_1x_2x_3=m-3 \end{cases}$
Folosim identitatea $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3$
Înlocuim valorile din Viète: $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m^3-3\cdot m\cdot 2+3(m-3)=m^3-6m+3m-9$ . Reducem termenii asemenea.
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m^3-3m-9$
Înlocuim în egalitatea din enunț. Cum $\displaystyle x_1+x_2+x_3=m$ , membrul drept este $\displaystyle m^3-12$ , deci obținem ecuația de mai jos.
$\displaystyle m^3-3m-9=m^3-12$
Reducem $\displaystyle m^3$ din ambii membri și obținem $\displaystyle -3m-9=-12$ , deci $\displaystyle -3m=-3$ , de unde $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{2}{x+1}-\ln\frac{x}{x+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^2}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm termen cu termen funcția $\displaystyle f(x)=1-2\cdot\dfrac{1}{x+1}-\ln\dfrac{x}{x+1}$ . Derivata constantei $\displaystyle 1$ este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f'(x)=0-2\left(\dfrac{1}{x+1}\right)'-\left(\ln\dfrac{x}{x+1}\right)'$
Folosim $\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+1}\right)'=-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ pentru al doilea termen.
$\displaystyle -2\left(\dfrac{1}{x+1}\right)'=-2\left(-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\right)$
Pentru logaritm folosim $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ cu $\displaystyle u=\dfrac{x}{x+1}$ . Avem $\displaystyle u'=\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{u}=\dfrac{x+1}{x}$ . Atunci derivata primită cu semnul minus este:
$\displaystyle -\dfrac{x+1}{x}\cdot\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}$
Adunăm rezultatele obținute la pașii anteriori și obținem $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f'(x)=-2\left(-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\right)-\dfrac{x+1}{x}\cdot\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}$
Simplificăm: primul termen devine $\displaystyle \dfrac{2}{(x+1)^{2}}$ . În al doilea, $\displaystyle x+1-x=1$ , iar $\displaystyle x+1$ se simplifică cu un factor din $\displaystyle (x+1)^{2}$ , deci obținem $\displaystyle \dfrac{1}{x(x+1)}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}-\dfrac{1}{x(x+1)}$
Aducem la numitorul comun $\displaystyle x(x+1)^{2}$ : prima fracție se amplifică cu $\displaystyle x$ , a doua cu $\displaystyle x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x-(x+1)}{x(x+1)^{2}}$
Reducem termenii de la numărător: $\displaystyle 2x-x-1=x-1$ . Astfel am arătat egalitatea cerută pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-1}{x(x+1)^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{2}{x+1}-\ln\frac{x}{x+1}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=L$ , unde $\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , dacă limita există și este finită. Calculăm această limită.
$\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{2}{x+1}-\ln\dfrac{x}{x+1}\right)$
Pentru al doilea termen, numitorul $\displaystyle x+1$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , iar numărătorul rămâne $\displaystyle 2$ , deci fracția tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x+1}=0$
Pentru logaritm, $\displaystyle \dfrac{x}{x+1}\to 1$ când $\displaystyle x\to+\infty$ . Cum $\displaystyle \ln$ este continuă în $\displaystyle 1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ , obținem limita $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x}{x+1}=\ln 1=0$
Înlocuim limitele găsite în expresia lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1-0-0=1$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 1$ , deci graficul lui $\displaystyle f$ admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ de ecuație $\displaystyle y=1$ .
$\displaystyle y=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{2}{x+1}-\ln\frac{x}{x+1}

.

Se consideră funcțiile

\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\frac{x-1}{x+1}

și

\displaystyle h:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle h(x)=\ln\frac{x}{x+1}

. Demonstrați că graficele funcțiilor

\displaystyle g

și

\displaystyle h

nu au niciun punct comun.

Vezi rezolvarea

Punctele comune ale graficelor sunt soluțiile ecuației $\displaystyle g(x)=h(x)$ . Observăm că $\displaystyle 1-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}$ , deci $\displaystyle f(x)=g(x)-h(x)$ . Ecuația $\displaystyle g(x)=h(x)$ este echivalentă cu $\displaystyle f(x)=0$ , iar noi vom arăta că $\displaystyle f(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}-\ln\dfrac{x}{x+1}=g(x)-h(x)$
Calculăm derivata lui $\displaystyle f$ . Scriem $\displaystyle \ln\dfrac{x}{x+1}=\ln x-\ln(x+1)$ , deci derivata ei este $\displaystyle \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x(x+1)}$ . Derivata lui $\displaystyle 1-\dfrac{2}{x+1}$ este $\displaystyle \dfrac{2}{(x+1)^{2}}$ . Aducem la același numitor: $\displaystyle 2x-(x+1)=x-1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}-\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{x-1}{x(x+1)^{2}}$
Studiem semnul derivatei. Pentru $\displaystyle x>0$ numitorul $\displaystyle x(x+1)^{2}$ este pozitiv, deci semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este semnul lui $\displaystyle x-1$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (0,1]$ și crescătoare pe $\displaystyle [1,+\infty)$ , deci $\displaystyle f$ are minim în $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pe }(0,1]$ , $\displaystyle \quad f'(x)\ge 0\text{ pe }[1,+\infty)\Rightarrow f(x)\ge f(1)\text{, pentru orice }x>0$
Calculăm valoarea minimă: $\displaystyle f(1)=1-\dfrac{2}{2}-\ln\dfrac{1}{2}=\ln 2$ . Cum $\displaystyle \ln 2>0$ , avem $\displaystyle f(x)\ge \ln 2>0$ pentru orice $\displaystyle x>0$ . Deci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ , echivalentă cu $\displaystyle g(x)=h(x)$ , nu are soluții în $\displaystyle (0,+\infty)$ , iar graficele funcțiilor $\displaystyle g$ și $\displaystyle h$ nu au niciun punct comun.
$\displaystyle f(1)=\ln 2>0\text{, deci }f(x)>0\text{ și }g(x)=h(x)\Leftrightarrow f(x)=0\text{ nu are soluție în }(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\frac{13}{3}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f^2(x)$ . Cum $\displaystyle x^2+4>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , avem $\displaystyle f^2(x)=\left(\sqrt{x^2+4}\right)^2=x^2+4$ .
$\displaystyle f^2(x)=x^2+4$
Înlocuim în integrală: $\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1 (x^2+4)\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle 4$ este $\displaystyle 4x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1(x^2+4)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+4x\right)\Big|_0^1$
Evaluăm primitiva în limite: în $\displaystyle 1$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{3}+4$ , iar în $\displaystyle 0$ obținem $\displaystyle 0$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{1}{3}+4=\dfrac{1+12}{3}$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}+4-0=\frac{13}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4}

.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=xf(x)

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=-1

și

\displaystyle x=1

, are aria egală cu

\displaystyle \frac{10\sqrt{5}-16}{3}

.

Vezi rezolvarea

Din $\displaystyle g(x)=xf(x)$ și $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4}$ obținem expresia lui $\displaystyle g$ .
$\displaystyle g(x)=x\sqrt{x^2+4}$
Radicalul $\displaystyle \sqrt{x^2+4}$ este strict pozitiv, deci $\displaystyle g$ are semnul lui $\displaystyle x$ : $\displaystyle g(x)\le 0$ pentru $\displaystyle x\in[-1,0]$ și $\displaystyle g(x)\ge 0$ pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ .
$\displaystyle |g(x)|=\begin{cases}-x\sqrt{x^2+4}, & x\in[-1,0]\\ x\sqrt{x^2+4}, & x\in[0,1]\end{cases}$
Aria este $\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{1}|g(x)|\,dx$ , pe care o împărțim în două integrale după semnul lui $\displaystyle g$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=-\int_{-1}^{0}x\sqrt{x^2+4}\,dx+\int_{0}^{1}x\sqrt{x^2+4}\,dx$
Avem $\displaystyle \left((x^2+4)^{\frac{3}{2}}\right)'=\dfrac{3}{2}(x^2+4)^{\frac{1}{2}}\cdot 2x=3x\sqrt{x^2+4}$ . Deci o primitivă a lui $\displaystyle x\sqrt{x^2+4}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{3}(x^2+4)^{\frac{3}{2}}$ .
$\displaystyle \int x\sqrt{x^2+4}\,dx=\frac{1}{3}(x^2+4)^{\frac{3}{2}}+C$
Calculăm: $\displaystyle (0^2+4)^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=8$ și $\displaystyle (1+4)^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}$ , la fel pentru $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle (x^2+4)^{\frac{3}{2}}\Big|_{x=0}=8$ , $\displaystyle \quad (x^2+4)^{\frac{3}{2}}\Big|_{x=\pm1}=5\sqrt{5}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton pe fiecare interval: prima integrală este $\displaystyle -\dfrac{1}{3}(8-5\sqrt{5})$ , iar a doua este $\displaystyle \dfrac{1}{3}(5\sqrt{5}-8)$ . Le adunăm și obținem aria.
$\displaystyle \mathcal{A}=-\frac{1}{3}(8-5\sqrt{5})+\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-8)=\frac{10\sqrt{5}-16}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x^4}\int_0^x t^3f(t)\,dt

.

Vezi rezolvarea

Scriem limita ca $\displaystyle \dfrac{\int_0^x t^3f(t)\,dt}{x^4}$ . Pentru $\displaystyle x\to0$ , numărătorul tinde la $\displaystyle 0$ (integrala pe un interval care se strânge), iar numitorul tinde la $\displaystyle 0$ . Avem deci o nedeterminare de forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x t^3f(t)\,dt}{x^4}\ \text{ este de forma }\ \frac{0}{0}$
Funcția $\displaystyle t^3f(t)$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci derivata integralei $\displaystyle \int_0^x t^3f(t)\,dt$ este $\displaystyle x^3f(x)$ . Derivata numitorului $\displaystyle x^4$ este $\displaystyle 4x^3$ . Aplicăm regula lui l'Hospital.
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x^4}\int_0^x t^3f(t)\,dt=\lim_{x\to0}\frac{x^3f(x)}{4x^3}$
Simplificăm prin $\displaystyle x^3$ (pentru $\displaystyle x\neq0$ ) și înlocuim $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^3f(x)}{4x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{4}$
Funcția este continuă în $\displaystyle 0$ , deci înlocuim $\displaystyle x=0$ : $\displaystyle \sqrt{4}=2$ , iar $\displaystyle \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+4}}{4}=\frac{\sqrt{4}}{4}=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2019, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani