Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea a II-a varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=2+3i\displaystyle z_1 = 2+3i și z2=1+2i\displaystyle z_2 = 1+2i. Arătați că 2z1−3z2=1\displaystyle 2z_1 - 3z_2 = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în expresie numerele complexe date, z1=2+3i\displaystyle z_1=2+3i și z2=1+2i\displaystyle z_2=1+2i.
    2z1−3z2=2(2+3i)−3(1+2i)\displaystyle 2z_1-3z_2=2(2+3i)-3(1+2i)
  2. Distribuim factorii 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 în fiecare paranteză: 2(2+3i)=4+6i\displaystyle 2(2+3i)=4+6i, iar 3(1+2i)=3+6i\displaystyle 3(1+2i)=3+6i. Atenție la semnul minus din fața celei de-a doua paranteze, care schimbă semnul ambilor termeni.
    4+6i−3−6i\displaystyle 4+6i-3-6i
  3. Grupăm părțile reale (4−3=1\displaystyle 4-3=1) și părțile imaginare (6i−6i=0\displaystyle 6i-6i=0). Rezultă că 2z1−3z2=1\displaystyle 2z_1-3z_2=1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    4+6i−3−6i=(4−3)+(6−6)i=1\displaystyle 4+6i-3-6i=(4-3)+(6-6)i=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−3mx+2=0\displaystyle x^2-3mx+2=0, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că x1+x2+x1x2+1=0\displaystyle x_1+x_2+x_1x_2+1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−3mx+2=0\displaystyle x^2-3mx+2=0 are forma ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3m\displaystyle b=-3m, c=2\displaystyle c=2.
    a=1\displaystyle a=1, b=−3m\displaystyle \ b=-3m, c=2\displaystyle \ c=2
  2. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, iar produsul este x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}. Obținem x1+x2=3m\displaystyle x_1+x_2=3m și x1x2=2\displaystyle x_1x_2=2.
    x1+x2=3m\displaystyle x_1+x_2=3m, x1x2=2\displaystyle \ x_1x_2=2
  3. Înlocuim în expresia dată: x1+x2+x1x2+1=3m+2+1\displaystyle x_1+x_2+x_1x_2+1=3m+2+1, deci expresia devine 3m+3\displaystyle 3m+3.
    x1+x2+x1x2+1=3m+3\displaystyle x_1+x_2+x_1x_2+1=3m+3
  4. Condiția din enunț este x1+x2+x1x2+1=0\displaystyle x_1+x_2+x_1x_2+1=0, deci 3m+3=0\displaystyle 3m+3=0. Atunci 3m=−3\displaystyle 3m=-3, de unde m=−1\displaystyle m=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x+3)+log⁡4(x−3)=2\displaystyle \log_4(x+3)+\log_4(x-3)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: x+3>0\displaystyle x+3>0 și x−3>0\displaystyle x-3>0, deci x>3\displaystyle x>3.
    x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty)
  2. Folosim formula log⁡4a+log⁡4b=log⁡4(a⋅b)\displaystyle \log_4 a+\log_4 b=\log_4(a\cdot b) și obținem log⁡4((x+3)(x−3))=2\displaystyle \log_4((x+3)(x-3))=2.
    log⁡4((x+3)(x−3))=2\displaystyle \log_4((x+3)(x-3))=2
  3. Din definiția logaritmului, (x+3)(x−3)=42\displaystyle (x+3)(x-3)=4^2. Cum (x+3)(x−3)=x2−9\displaystyle (x+3)(x-3)=x^2-9, obținem x2−9=16\displaystyle x^2-9=16, adică x2−25=0\displaystyle x^2-25=0.
    x2−9=42⇒x2−25=0\displaystyle x^2-9=4^2\Rightarrow x^2-25=0
  4. Rezolvăm ecuația x2=25\displaystyle x^2=25, deci x=−5\displaystyle x=-5 sau x=5\displaystyle x=5.
    x=−5 sau x=5\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5
  5. Verificăm condiția x>3\displaystyle x>3: x=−5\displaystyle x=-5 nu convine, iar x=5\displaystyle x=5 convine. Soluția ecuației este x=5\displaystyle x=5.
    x=−5, care nu convine, x=5, care convine\displaystyle x=-5\text{, care nu convine, }x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 6\displaystyle 6.
Vezi rezolvarea
  1. Cazurile posibile sunt toate numerele naturale de două cifre, adică numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Căutăm numerele ab‾\displaystyle \overline{ab} cu a⋅b=6\displaystyle a\cdot b=6. Perechile de cifre cu produsul 6\displaystyle 6 sunt {1,6}\displaystyle \{1,6\} și {2,3}\displaystyle \{2,3\}, fiecare putând fi luată în ambele ordini.
    {1,6}\displaystyle \{1,6\}, {2,3}\displaystyle \ \{2,3\}
  3. Din aceste perechi obținem numerele 16\displaystyle 16, 61\displaystyle 61, 23\displaystyle 23, 32\displaystyle 32. Deci sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    16\displaystyle 16, 23\displaystyle \ 23, 32\displaystyle \ 32, 61, deci sunt 4 cazuri \displaystyle \ 61\text{, deci sunt 4 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=490\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{4}{90}. Simplificăm prin 2\displaystyle 2 și obținem 245\displaystyle \dfrac{2}{45}.
    p=490=245\displaystyle p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care vectorii u⃗=ai⃗+2j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+2\vec{j} și v⃗=3i⃗−3j⃗\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}-3\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Citim coordonatele vectorilor în baza {i⃗,j⃗}\displaystyle \{\vec{i},\vec{j}\}: pentru u⃗\displaystyle \vec{u} avem coordonatele a\displaystyle a și 2\displaystyle 2, iar pentru v⃗\displaystyle \vec{v} avem coordonatele 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3.
    u⃗(a, 2)\displaystyle \vec{u}(a,\,2),v⃗(3, −3)\displaystyle \quad \vec{v}(3,\,-3)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Scriem raportul coordonatelor corespunzătoare: a3=2−3\displaystyle \dfrac{a}{3}=\dfrac{2}{-3}.
    a3=2−3\displaystyle \frac{a}{3}=\frac{2}{-3}
  3. Înmulțim egalitatea cu 3\displaystyle 3: a=3⋅2−3=−2\displaystyle a=3\cdot\dfrac{2}{-3}=-2. Pentru a=−2\displaystyle a=-2 avem u⃗=−2i⃗+2j⃗=−23v⃗\displaystyle \vec{u}=-2\vec{i}+2\vec{j}=-\dfrac{2}{3}\vec{v}, deci vectorii sunt coliniari.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡x−cos⁡x)2+sin⁡2x=1\displaystyle (\sin x-\cos x)^2+\sin 2x=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul diferenței folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    (sin⁡x−cos⁡x)2=sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x
  2. Folosim formula unghiului dublu sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x. Înlocuim în expresia din enunț.
    (sin⁡x−cos⁡x)2+sin⁡2x=sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x\displaystyle (\sin x-\cos x)^2+\sin 2x=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x+2\sin x\cos x
  3. Termenii −2sin⁡xcos⁡x\displaystyle -2\sin x\cos x și +2sin⁡xcos⁡x\displaystyle +2\sin x\cos x se reduc, deoarece sunt opuși.
    sin⁡2x+cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x
  4. Aplicăm identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, pentru orice număr real x\displaystyle x. Deci egalitatea este adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    sin⁡2x+cos⁡2x=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x11x+1111x1)A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \end{pmatrix} unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−1\displaystyle \det(A(0))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Linia a doua devine (0+1, 1, 1)=(1, 1, 1)\displaystyle (0+1,\ 1,\ 1)=(1,\ 1,\ 1), iar linia a treia devine (1, 0, 1)\displaystyle (1,\ 0,\ 1).
    A(0)=(011111101)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣011111101∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
  3. Termenii cu semnul plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1. Ei dau 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0.
    0⋅1⋅1+1⋅1⋅1+1⋅0⋅1=0+1+0=1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot 1=0+1+0=1
  4. Termenii cu semnul minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, 0⋅1⋅0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1. Ei dau 1\displaystyle 1, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    1⋅1⋅1+0⋅1⋅0+1⋅1⋅1=1+0+1=2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1=1+0+1=2
  5. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: 0+0+1−1−0−1=1−2=−1\displaystyle 0+0+1-1-0-1=1-2=-1. Deci det⁡(A(0))=−1\displaystyle \det(A(0))=-1.
    det⁡(A(0))=0+0+1−1−0−1=−1\displaystyle \det(A(0))=0+0+1-1-0-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x11x+1111x1)A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \end{pmatrix} unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))⋅det⁡(A(x+1))=12\displaystyle \det(A(x))\cdot\det(A(x+1))=12.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem linia 1 din linia 2 (operație care nu schimbă determinantul). Linia a doua devine (1, 0, 0)\displaystyle (1,\ 0,\ 0).
    det⁡(A(x))=∣x111001x1∣\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 \end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după linia a doua. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1), cu semnul minus. Minorul se obține din liniile 1 și 3, coloanele 2 și 3.
    det⁡(A(x))=−∣11x1∣=−(1−x)=x−1\displaystyle \det(A(x))=-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 \end{vmatrix}=-(1-x)=x-1
  3. Matricea A(x+1)\displaystyle A(x+1) se obține înlocuind x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în formula determinantului. Din det⁡(A(x))=x−1\displaystyle \det(A(x))=x-1 rezultă det⁡(A(x+1))=(x+1)−1\displaystyle \det(A(x+1))=(x+1)-1.
    det⁡(A(x+1))=x\displaystyle \det(A(x+1))=x
  4. Înlocuim cei doi determinanți în ecuația det⁡(A(x))⋅det⁡(A(x+1))=12\displaystyle \det(A(x))\cdot\det(A(x+1))=12.
    (x−1)⋅x=12\displaystyle (x-1)\cdot x=12
  5. Desfacem parantezele și aducem ecuația la forma generală, de gradul al doilea.
    x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0
  6. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49, deci rădăcinile sunt x=1±72\displaystyle x=\dfrac{1\pm 7}{2}. Factorizat, (x−4)(x+3)=0\displaystyle (x-4)(x+3)=0.
    x=−3 sau x=4\displaystyle x=-3\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x11x+1111x1)A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \end{pmatrix} unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X=A(0)\displaystyle A(2)\cdot X=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(211311121)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui A(2)\displaystyle A(2) prin dezvoltare după prima linie. Fiind nenul, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(2))=2⋅(1−2)−1⋅(3−1)+1⋅(6−1)=−2−2+5=1≠0\displaystyle \det(A(2))=2\cdot(1-2)-1\cdot(3-1)+1\cdot(6-1)=-2-2+5=1\neq 0
  3. Determinăm inversa lui A(2)\displaystyle A(2) cu formula cu matricea adjunctă. Cum determinantul este 1\displaystyle 1, inversa este chiar matricea adjunctă. Verificăm că produsul lui A(2)\displaystyle A(2) cu această matrice dă matricea unitate I3\displaystyle I_3.
    (A(2))−1=(−110−2115−3−1)\displaystyle (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 5 & -3 & -1 \end{pmatrix}
  4. Înmulțim egalitatea A(2)⋅X=A(0)\displaystyle A(2)\cdot X=A(0) la stânga cu (A(2))−1\displaystyle (A(2))^{-1}. Deoarece (A(2))−1⋅A(2)=I3\displaystyle (A(2))^{-1}\cdot A(2)=I_3, obținem formula pentru X\displaystyle X.
    X=(A(2))−1⋅A(0)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(0)
  5. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0), obținută pentru x=0\displaystyle x=0.
    A(0)=(011111101)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  6. Efectuăm înmulțirea, linie cu coloană. Prima linie: −1⋅0+1⋅1=1\displaystyle -1\cdot 0+1\cdot 1=1, −1+1=0\displaystyle -1+1=0, −1+1=0\displaystyle -1+1=0. A doua linie: 2\displaystyle 2, −1\displaystyle -1, 0\displaystyle 0. A treia linie: −4\displaystyle -4, 2\displaystyle 2, 1\displaystyle 1. Aceasta este matricea X\displaystyle X căutată.
    X=(−110−2115−3−1)(011111101)=(1002−10−421)\displaystyle X=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 5 & -3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−(m+2)X2+(m2+2)X−1\displaystyle f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0), înlocuim X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului f=X3−(m+2)X2+(m2+2)X−1\displaystyle f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1, oricare ar fi numărul real m\displaystyle m.
    f(0)=03−(m+2)⋅02+(m2+2)⋅0−1\displaystyle f(0)=0^3-(m+2)\cdot 0^2+(m^2+2)\cdot 0-1
  2. Orice produs care conține factorul 0\displaystyle 0 este egal cu 0\displaystyle 0, deci 03=0\displaystyle 0^3=0, (m+2)⋅02=0\displaystyle (m+2)\cdot 0^2=0 și (m2+2)⋅0=0\displaystyle (m^2+2)\cdot 0=0, indiferent de valoarea lui m\displaystyle m. Rămâne doar termenul liber −1\displaystyle -1.
    f(0)=0−0+0−1=−1\displaystyle f(0)=0-0+0-1=-1
  3. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m, deci egalitatea are loc pentru orice număr real m\displaystyle m.
    f(0)=−1, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(0)=-1\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−(m+2)X2+(m2+2)X−1\displaystyle f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=−4(m−1)2\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=-4(m-1)^2, pentru orice număr real m\displaystyle m, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3−(m+2)X2+(m2+2)X−1\displaystyle f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1: x1+x2+x3=m+2\displaystyle x_1+x_2+x_3=m+2 și x1x2+x1x3+x2x3=m2+2\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m^2+2.
    x1+x2+x3=m+2\displaystyle x_1+x_2+x_3=m+2, x1x2+x1x3+x2x3=m2+2\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m^2+2
  2. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  3. Înlocuim valorile din Viète: x12+x22+x32=(m+2)2−2(m2+2)=m2+4m+4−2m2−4=−m2+4m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(m+2)^2-2(m^2+2)=m^2+4m+4-2m^2-4=-m^2+4m.
    x12+x22+x32=(m+2)2−2(m2+2)=−m2+4m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(m+2)^2-2(m^2+2)=-m^2+4m
  4. Dezvoltăm: (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(x12+x22+x32)−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
    (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(x12+x22+x32)−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  5. Înlocuim suma pătratelor și suma produselor: 2(−m2+4m−m2−2)=2(−2m2+4m−2)=−4(m2−2m+1)=−4(m−1)2\displaystyle 2(-m^2+4m-m^2-2)=2(-2m^2+4m-2)=-4(m^2-2m+1)=-4(m-1)^2, pentru orice număr real m\displaystyle m.
    2(−m2+4m−m2−2)=−4(m−1)2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle 2(-m^2+4m-m^2-2)=-4(m-1)^2\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−(m+2)X2+(m2+2)X−1\displaystyle f=X^3-(m+2)X^2+(m^2+2)X-1, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care toate rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile lui f\displaystyle f și scriem relațiile lui Viète: x1+x2+x3=m+2\displaystyle x_1+x_2+x_3=m+2, x1x2+x2x3+x3x1=m2+2\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m^2+2, x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2x_3=1.
    x1+x2+x3=m+2\displaystyle x_1+x_2+x_3=m+2
  2. Exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin relațiile lui Viète: x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1).
    x12+x22+x32=(m+2)2−2(m2+2)=−m2+4m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(m+2)^2-2(m^2+2)=-m^2+4m
  3. Desfacem pătratele diferențelor: (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(x12+x22+x32)−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1). Înlocuim valorile și obținem o expresie în m\displaystyle m.
    (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(−m2+4m)−2(m2+2)=−4(m−1)2\displaystyle (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2(-m^2+4m)-2(m^2+2)=-4(m-1)^2
  4. Dacă x1,x2,x3∈R\displaystyle x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}, atunci și diferențele x1−x2\displaystyle x_1-x_2, x2−x3\displaystyle x_2-x_3, x3−x1\displaystyle x_3-x_1 sunt reale, deci suma pătratelor lor este nenegativă. Obținem −4(m−1)2≥0\displaystyle -4(m-1)^2\geq 0, adică (m−1)2≤0\displaystyle (m-1)^2\leq 0.
    −4(m−1)2≥0⇒(m−1)2≤0\displaystyle -4(m-1)^2\geq 0\Rightarrow (m-1)^2\leq 0
  5. Un pătrat de număr real este nenegativ, deci (m−1)2≤0\displaystyle (m-1)^2\leq 0 se poate întâmpla doar dacă (m−1)2=0\displaystyle (m-1)^2=0. Rezultă m=1\displaystyle m=1.
    (m−1)2=0⇒m=1\displaystyle (m-1)^2=0\Rightarrow m=1
  6. Verificăm că m=1\displaystyle m=1 convine: polinomul devine f=X3−3X2+3X−1=(X−1)3\displaystyle f=X^3-3X^2+3X-1=(X-1)^3, cu rădăcina triplă 1\displaystyle 1, deci toate rădăcinile sunt reale. Răspuns final: m=1\displaystyle m=1.
    m=1, caz ıˆn care f=(X−1)3 are toate ra˘da˘cinile \displaystyle m=1\text{, caz în care } f=(X-1)^3\text{ are toate rădăcinile }reale\displaystyle \text{reale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2ex−x2−2x−2\displaystyle f(x)=2e^x-x^2-2x-2.

Arătați că f′(x)=2(ex−x−1)\displaystyle f'(x)=2(e^x-x-1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=2ex−x2−2x−2\displaystyle f(x)=2e^x-x^2-2x-2 este o sumă de termeni derivabili pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci derivăm termen cu termen.
    f′(x)=(2ex)′−(x2)′−(2x)′−(2)′\displaystyle f'(x)=(2e^x)'-(x^2)'-(2x)'-(2)'
  2. Calculăm fiecare derivată: (2ex)′=2ex\displaystyle (2e^x)'=2e^x, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2 și (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    (2ex)′=2ex\displaystyle (2e^x)'=2e^x, (x2)′=2x\displaystyle \ (x^2)'=2x, (2x)′=2\displaystyle \ (2x)'=2, (2)′=0\displaystyle \ (2)'=0
  3. Înlocuim derivatele în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=2ex−2x−2−0=2ex−2x−2\displaystyle f'(x)=2e^x-2x-2-0=2e^x-2x-2
  4. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2(ex−x−1)\displaystyle f'(x)=2(e^x-x-1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2ex−x2−2x−2\displaystyle f(x)=2e^x-x^2-2x-2.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f, în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=2ex−x2−2x−2\displaystyle f(x)=2e^x-x^2-2x-2, iar e0=1\displaystyle e^0=1, deci f(0)=2⋅1−0−0−2\displaystyle f(0)=2\cdot 1-0-0-2.
    f(0)=2⋅1−0−0−2=0\displaystyle f(0)=2\cdot 1-0-0-2=0
  3. Derivăm funcția: (2ex)′=2ex\displaystyle (2e^x)'=2e^x, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2 și (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    f′(x)=2ex−2x−2\displaystyle f'(x)=2e^x-2x-2
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=2e0−2⋅0−2=2−0−2\displaystyle f'(0)=2e^0-2\cdot 0-2=2-0-2.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Înlocuim f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în formula tangentei: y−0=0⋅(x−0)\displaystyle y-0=0\cdot(x-0).
    y−0=0⋅(x−0)\displaystyle y-0=0\cdot(x-0)
  6. Simplificăm și obținem ecuația tangentei, o dreaptă orizontală, care coincide cu axa Ox\displaystyle Ox.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=0\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2ex−x2−2x−2\displaystyle f(x)=2e^x-x^2-2x-2.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi a funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (2ex)′=2ex\displaystyle (2e^x)'=2e^x, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, iar constanta dispare.
    f′(x)=2ex−2x−2\displaystyle f'(x)=2e^x-2x-2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată pentru a obține derivata a doua, care ne arată cum se comportă f′\displaystyle f'.
    f′′(x)=2ex−2=2(ex−1)\displaystyle f''(x)=2e^x-2=2(e^x-1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Pentru x≤0\displaystyle x\leq 0 avem ex≤1\displaystyle e^x\leq 1, deci ex−1≤0\displaystyle e^x-1\leq 0. Rezultă că f′′(x)≤0\displaystyle f''(x)\leq 0, deci f′\displaystyle f' este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
    x∈(−∞,0]⇒f′′(x)≤0, deci f′ este descresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0]\Rightarrow f''(x)\leq 0\text{, deci }f'\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,0]
  4. Pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 avem ex≥1\displaystyle e^x\geq 1, deci ex−1≥0\displaystyle e^x-1\geq 0. Rezultă că f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\geq 0, deci f′\displaystyle f' este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    x∈[0,+∞)⇒f′′(x)≥0, deci f′ este cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty)\Rightarrow f''(x)\geq 0\text{, deci }f'\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)
  5. Calculăm valoarea derivatei întâi în 0\displaystyle 0: f′(0)=2e0−0−2=0\displaystyle f'(0)=2e^0-0-2=0. Pe de altă parte f′\displaystyle f' scade până în 0\displaystyle 0 și crește după 0\displaystyle 0, deci 0\displaystyle 0 este punct de minim pentru f′\displaystyle f'.
    f′(0)=2⋅1−0−2=0\displaystyle f'(0)=2\cdot 1-0-2=0
  6. Deoarece 0\displaystyle 0 este punct de minim pentru f′\displaystyle f', pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem f′(x)≥f′(0)=0\displaystyle f'(x)\geq f'(0)=0. Derivata este pozitivă sau nulă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)≥f′(0) și f′(0)=0 implica˘ f′(x)≥0 pentru orice numa˘r real x, deci funcția f este cresca˘toare pe R\displaystyle f'(x)\geq f'(0)\text{ și }f'(0)=0\text{ implică }f'(x)\geq 0\text{ pentru orice număr real }x\text{, deci funcția }f\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)n\displaystyle f(x)=(x+2)^n, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Arătați că ∫−21(x+2)2 dx=9\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)^2\,dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat ∫−21(x+2)2 dx\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)^2\,dx și trebuie să obținem 9\displaystyle 9. Căutăm o primitivă a funcției g(x)=(x+2)2\displaystyle g(x)=(x+2)^2.
    ∫−21(x+2)2 dx\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)^2\,dx
  2. Cum ((x+2)33)′=3(x+2)2⋅13=(x+2)2\displaystyle \left(\dfrac{(x+2)^3}{3}\right)'=\dfrac{3(x+2)^2\cdot 1}{3}=(x+2)^2, o primitivă este G(x)=(x+2)33\displaystyle G(x)=\dfrac{(x+2)^3}{3}.
    G(x)=(x+2)33\displaystyle G(x)=\frac{(x+2)^3}{3}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫−21(x+2)2 dx=G(1)−G(−2)\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)^2\,dx=G(1)-G(-2).
    ∫−21(x+2)2 dx=(x+2)33∣−21\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)^2\,dx=\frac{(x+2)^3}{3}\Big|_{-2}^{1}
  4. Calculăm G(1)=333=9\displaystyle G(1)=\dfrac{3^3}{3}=9 și G(−2)=033=0\displaystyle G(-2)=\dfrac{0^3}{3}=0.
    G(1)=333=9\displaystyle G(1)=\frac{3^3}{3}=9,G(−2)=0\displaystyle \quad G(-2)=0
  5. Scădem: G(1)−G(−2)=9−0=9\displaystyle G(1)-G(-2)=9-0=9, deci egalitatea este demonstrată.
    333−0=9\displaystyle \frac{3^3}{3}-0=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)n\displaystyle f(x)=(x+2)^n, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Pentru n=1\displaystyle n=1, arătați că ∫01f(x)ex dx=2e−1\displaystyle \int_0^1 f(x)e^x\,dx=2e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2, deci integrala devine ∫01(x+2)ex dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)e^x\,dx.
    ∫01(x+2)ex dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)e^x\,dx
  2. Alegem u=x+2\displaystyle u=x+2 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Aplicăm formula de integrare prin părți: ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du.
    ∫01(x+2)ex dx=(x+2)ex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)e^x\,dx=(x+2)e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  3. Calculăm termenul integrat: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 3e\displaystyle 3e, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 2⋅e0=2\displaystyle 2\cdot e^0=2, deci (x+2)ex∣01=3e−2\displaystyle (x+2)e^x\Big|_0^1=3e-2.
    (x+2)ex∣01=3e−2\displaystyle (x+2)e^x\Big|_0^1=3e-2
  4. Calculăm integrala rămasă: ∫01ex dx=ex∣01=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e-1, deci expresia devine 3e−2−ex∣01\displaystyle 3e-2-e^x\Big|_0^1.
    3e−2−ex∣01=3e−2−(e−1)\displaystyle 3e-2-e^x\Big|_0^1=3e-2-(e-1)
  5. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 3e−2−e+1=2e−1\displaystyle 3e-2-e+1=2e-1, ceea ce trebuia arătat.
    3e−2−e+1=2e−1\displaystyle 3e-2-e+1=2e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)n\displaystyle f(x)=(x+2)^n, unde n\displaystyle n este număr natural nenul.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1 are aria egală cu 242n+1\displaystyle \frac{242}{n+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x+2∈[1,3]\displaystyle x+2\in[1,3], deci x+2>0\displaystyle x+2>0 și f(x)>0\displaystyle f(x)>0. Atunci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x), iar aria este dată de integrala funcției f\displaystyle f pe acest interval.
    A=∫−11∣f(x)∣ dx=∫−11(x+2)n dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{1}|f(x)|\,dx=\int_{-1}^{1}(x+2)^n\,dx
  2. O primitivă a funcției (x+2)n\displaystyle (x+2)^n este (x+2)n+1n+1\displaystyle \dfrac{(x+2)^{n+1}}{n+1}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−11(x+2)n dx=(x+2)n+1n+1∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}(x+2)^n\,dx=\frac{(x+2)^{n+1}}{n+1}\Big|_{-1}^{1}
  3. Înlocuim limitele: pentru x=1\displaystyle x=1 avem (1+2)n+1=3n+1\displaystyle (1+2)^{n+1}=3^{n+1}, iar pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem (−1+2)n+1=1\displaystyle (-1+2)^{n+1}=1. Obținem aria.
    A=3n+1−1n+1\displaystyle \mathcal{A}=\frac{3^{n+1}-1}{n+1}
  4. Din condiția din enunț, aria trebuie să fie egală cu 242n+1\displaystyle \dfrac{242}{n+1}.
    3n+1−1n+1=242n+1\displaystyle \frac{3^{n+1}-1}{n+1}=\frac{242}{n+1}
  5. Cum n+1≠0\displaystyle n+1\neq 0, egalăm numărătorii: 3n+1−1=242\displaystyle 3^{n+1}-1=242, deci 3n+1=243\displaystyle 3^{n+1}=243.
    3n+1=243\displaystyle 3^{n+1}=243
  6. Cum 243=35\displaystyle 243=3^5, ecuația devine 3n+1=35\displaystyle 3^{n+1}=3^5. Bazele sunt egale, deci n+1=5\displaystyle n+1=5, de unde n=4\displaystyle n=4, număr natural nenul.
    3n+1=35⇔n+1=5⇔n=4\displaystyle 3^{n+1}=3^5\Leftrightarrow n+1=5\Leftrightarrow n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.