Bac matematică M1 mate-info 2015, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați rația progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle a_1=1

și

\displaystyle a_2=2015

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie aritmetică, rația este diferența dintre oricare doi termeni consecutivi. Aici folosim primii doi termeni: $\displaystyle r=a_2-a_1$ .
$\displaystyle r=a_2-a_1$
Înlocuim valorile date, $\displaystyle a_2=2015$ și $\displaystyle a_1=1$ , în formula rației: $\displaystyle r=2015-1$ .
$\displaystyle r=2015-1$
Efectuăm scăderea și obținem rația progresiei aritmetice: $\displaystyle r=2014$ .
$\displaystyle r=2014$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați valoarea maximă a funcției

\displaystyle f:[1,4]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1

.

Vezi rezolvarea

Observăm că funcția $\displaystyle f(x)=x+1$ este o funcție de gradul întâi cu panta $\displaystyle 1>0$ , deci este strict crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Prin urmare, pe intervalul $\displaystyle [1,4]$ valoarea maximă se atinge în capătul din dreapta, adică în $\displaystyle x=4$ .
$\displaystyle f_{\max}=f(4)$
Calculăm valoarea funcției în $\displaystyle 4$ : înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 4$ în $\displaystyle f(x)=x+1$ și obținem $\displaystyle f(4)=4+1=5$ . Deci valoarea maximă a funcției este $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle f(4)=4+1=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_3\left(x^2-8x\right)=\log_3 9

.

Vezi rezolvarea

Condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci $\displaystyle x^{2}-8x>0$ . Cum $\displaystyle 9>0$ , logaritmul din dreapta există. Vom verifica la final soluțiile.
$\displaystyle x^{2}-8x>0$
Logaritmul în baza $\displaystyle 3$ este injectiv, deci egalăm argumentele celor doi logaritmi: $\displaystyle x^{2}-8x=9$ .
$\displaystyle x^{2}-8x=9$
Mutăm $\displaystyle 9$ în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-8x-9=0$ .
$\displaystyle x^{2}-8x-9=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=10$ .
$\displaystyle \Delta=100$
Aplicăm formula rădăcinilor: $\displaystyle x=\dfrac{8\pm 10}{2}$ , deci $\displaystyle x_1=-1$ și $\displaystyle x_2=9$ .
$\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=9$
Verificăm condiția de existență. Pentru $\displaystyle x=-1$ : $\displaystyle (-1)^{2}-8\cdot(-1)=1+8=9>0$ . Pentru $\displaystyle x=9$ : $\displaystyle 81-72=9>0$ . Ambele soluții convin, iar ecuația are soluțiile $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=9\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii

\displaystyle A=\{1,2,3,4\}

.

Vezi rezolvarea

Un număr de trei cifre distincte are cifra sutelor, cifra zecilor și cifra unităților, toate alese din mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,4\}$ și diferite între ele. Folosim regula produsului: alegem cifrele pe rând și înmulțim numărul de posibilități de la fiecare alegere.
$\displaystyle \text{cifre: }a$ , $\displaystyle \ b$ , $\displaystyle \ c\in\{1,2,3,4\}$ , $\displaystyle \ a\neq b\neq c\neq a$
Pentru prima cifră putem alege oricare dintre cele $\displaystyle 4$ elemente ale mulțimii $\displaystyle A$ . După ce am ales-o, rămân $\displaystyle 3$ elemente, deci a doua cifră se poate alege în $\displaystyle 3$ moduri.
$\displaystyle 4\text{ moduri pentru prima }$ $\displaystyle \text{cifră, }3\text{ moduri pentru a doua }$ $\displaystyle \text{cifră}$
După alegerea primelor două cifre rămân $\displaystyle 2$ elemente, deci a treia cifră se poate alege în $\displaystyle 2$ moduri.
$\displaystyle 2\text{ moduri pentru a treia }$ $\displaystyle \text{cifră}$
Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de posibilități de la cele trei alegeri. Se pot forma $\displaystyle 24$ de numere.
$\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(3,3)

,

\displaystyle B(6,3)

și

\displaystyle C(4,0)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle D

, știind că

\displaystyle ABCD

este paralelogram.

Vezi rezolvarea

Într-un paralelogram $\displaystyle ABCD$ diagonalele $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$ au același mijloc. Notăm $\displaystyle D(x_D,y_D)$ și scriem egalitatea mijloacelor: $\displaystyle \dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ și $\displaystyle \dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{y_B+y_D}{2}$ .
$\displaystyle x_A+x_C=x_B+x_D\text{ și }y_A+y_C=y_B+y_D$
Înlocuim $\displaystyle x_A=3$ , $\displaystyle x_B=6$ , $\displaystyle x_C=4$ în $\displaystyle x_A+x_C=x_B+x_D$ : $\displaystyle 3+4=6+x_D$ , deci $\displaystyle x_D=7-6$ .
$\displaystyle x_D=1$
Înlocuim $\displaystyle y_A=3$ , $\displaystyle y_B=3$ , $\displaystyle y_C=0$ în $\displaystyle y_A+y_C=y_B+y_D$ : $\displaystyle 3+0=3+y_D$ , deci $\displaystyle y_D=0$ . Așadar punctul căutat este $\displaystyle D(1,0)$ .
$\displaystyle y_D=0\text{, deci }D(1,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați lungimea laturii

\displaystyle BC

a triunghiului

\displaystyle ABC

în care

\displaystyle AB=1

,

\displaystyle B=\frac{\pi}{3}

și

\displaystyle C=\frac{\pi}{6}

.

Vezi rezolvarea

Suma unghiurilor unui triunghi este $\displaystyle \pi$ , deci $\displaystyle A=\pi-B-C=\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}$ .
$\displaystyle A=\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$
Cum $\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}$ , triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle BC$ este ipotenuza, iar $\displaystyle AB$ este cateta opusă unghiului $\displaystyle C$ .
$\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}$
Înlocuim $\displaystyle AB=1$ și $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{BC}$ , de unde $\displaystyle BC=\dfrac{AB}{\sin C}$ .
$\displaystyle BC=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a+1\\0&1&a+2\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle A(a)$ : elementele $\displaystyle a$ , $\displaystyle a+1$ și $\displaystyle a+2$ devin $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$
Scriem $\displaystyle \det(A(1))$ . Matricea este superior triunghiulară, deci în regula lui Sarrus toți termenii care conțin un element de sub diagonala principală sunt nuli.
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&0&1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: produsul elementelor de pe diagonala principală este $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1$ , iar ceilalți cinci termeni conțin câte un element nul. Rezultă că determinantul este $\displaystyle 1$ , adică egal cu produsul elementelor de pe diagonală.
$\displaystyle \det(A(1))=1+0+0-0-0-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a+1\\0&1&a+2\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle A^2(a)-2A(a)+I_3=O_3

, unde

\displaystyle A^2(a)=A(a)A(a)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A^2(a)=A(a)A(a)$ , înmulțind linie cu coloană. Elementul din poziția (1,2) este $\displaystyle 1\cdot a+a\cdot 1=2a$ . Elementul din poziția (1,3) este $\displaystyle 1\cdot(a+1)+a\cdot(a+2)+(a+1)\cdot 1=a^2+4a+2$ . Elementul din poziția (2,3) este $\displaystyle 1\cdot(a+2)+(a+2)\cdot 1=2a+4$ . Diagonala are elemente $\displaystyle 1$ , iar sub diagonală avem zerouri.
$\displaystyle A^2(a)=\begin{pmatrix}1&2a&a^2+4a+2\\0&1&2a+4\\0&0&1\end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al lui $\displaystyle A(a)$ cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle 2A(a)$ .
$\displaystyle A^2(a)=\begin{pmatrix}1&2a&a^2+4a+2\\0&1&2a+4\\0&0&1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ 2A(a)=\begin{pmatrix}2&2a&2a+2\\0&2&2a+4\\0&0&2\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A^2(a)-2A(a)+I_3$ element cu element. Pe diagonală: $\displaystyle 1-2+1=0$ . În poziția (1,2): $\displaystyle 2a-2a=0$ . În poziția (1,3): $\displaystyle a^2+4a+2-(2a+2)+0=a^2+2a$ . În poziția (2,3): $\displaystyle (2a+4)-(2a+4)=0$ . Restul elementelor sunt zero.
$\displaystyle A^2(a)-2A(a)+I_3=\begin{pmatrix}0&0&a^2+2a\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
Matricea obținută trebuie să fie egală cu matricea nulă $\displaystyle O_3$ , deci singurul element posibil nenul, $\displaystyle a^2+2a$ , trebuie să fie zero. Dăm factor comun pe $\displaystyle a$ : $\displaystyle a(a+2)=0$ , deci $\displaystyle a=0$ sau $\displaystyle a=-2$ .
$\displaystyle a^2+2a=0\Leftrightarrow a(a+2)=0\Leftrightarrow a_1=-2\text{ și }a_2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a+1\\0&1&a+2\\0&0&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(2)+A(4)+A(6)+\ldots+A(100)=50A(51)

.

Vezi rezolvarea

Observăm că în $\displaystyle A(a)$ elementele $\displaystyle a$ , $\displaystyle a+1$ , $\displaystyle a+2$ sunt de gradul întâi în $\displaystyle a$ , iar celelalte elemente nu depind de $\displaystyle a$ . Deci $\displaystyle A(a)$ depinde liniar de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a+1\\0&1&a+2\\0&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm suma $\displaystyle A(a)+A(b)$ pentru două numere reale oarecare $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ , adunând element cu element.
$\displaystyle A(a)+A(b)=\begin{pmatrix}2&a+b&a+b+2\\0&2&a+b+4\\0&0&2\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 2A(51)$ și observăm că suma $\displaystyle A(a)+A(b)$ depinde doar de $\displaystyle a+b$ . Pentru $\displaystyle a+b=102$ obținem același rezultat.
$\displaystyle 2A(51)=\begin{pmatrix}2&102&104\\0&2&106\\0&0&2\end{pmatrix}=A(a)+A(b)\text{ pentru }a+b=102$
Grupăm termenii sumei: primul cu ultimul, al doilea cu penultimul etc. În fiecare pereche suma indicilor este $\displaystyle 102$ , deci fiecare pereche are suma $\displaystyle 2A(51)$ .
$\displaystyle A(2)+A(100)=2A(51)$ , $\displaystyle \ A(4)+A(98)=2A(51)$ , $\displaystyle \ \ldots$ , $\displaystyle \ A(50)+A(52)=2A(51)$
Numărăm perechile: indicii $\displaystyle 2,4,\ldots,100$ sunt $\displaystyle 50$ de termeni, deci avem $\displaystyle 25$ de perechi. Adunând cele $\displaystyle 25$ de perechi obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle A(2)+A(4)+A(6)+\ldots+A(100)=25\cdot 2A(51)=50A(51)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(0)=2

.

Vezi rezolvarea

Pentru a calcula $\displaystyle f(0)$ , înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 0$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2$ . Obținem $\displaystyle f(0)=0^3-4\cdot 0^2+m\cdot 0+2$ .
$\displaystyle f(0)=0^3-4\cdot 0^2+m\cdot 0+2$
Calculăm fiecare termen: $\displaystyle 0^3=0$ , $\displaystyle 4\cdot 0^2=0$ , iar $\displaystyle m\cdot 0=0$ , oricare ar fi numărul real $\displaystyle m$ . Rămâne doar termenul liber: $\displaystyle f(0)=0-0+0+2$ .
$\displaystyle f(0)=0-0+0+2$
Adunând, obținem $\displaystyle f(0)=2$ , deci egalitatea cerută este demonstrată, pentru orice $\displaystyle m$ real.
$\displaystyle f(0)=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle x_1=x_2+x_3

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem prima relație a lui Viète pentru $\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2$ : suma rădăcinilor este $\displaystyle -\dfrac{-4}{1}$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=4$
Din condiția $\displaystyle x_2+x_3=x_1$ înlocuim în relația de mai sus: $\displaystyle x_1+x_1=4$ , deci $\displaystyle 2x_1=4$ .
$\displaystyle x_1=2$
Deoarece $\displaystyle x_1=2$ este rădăcină a lui $\displaystyle f$ , avem $\displaystyle f(2)=0$ . Calculăm $\displaystyle f(2)=2^3-4\cdot 2^2+2m+2=8-16+2m+2$ .
$\displaystyle f(2)=2m-6$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle 2m-6=0$ , deci $\displaystyle 2m=6$ .
$\displaystyle m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-4X^2+mX+2

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=8

, arătați că polinomul

\displaystyle f

nu are toate rădăcinile reale.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=8$ polinomul este $\displaystyle f=X^3-4X^2+8X+2$ . Notăm cu $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ rădăcinile lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f=X^{3}-4X^{2}+8X+2$
Din relațiile lui Viète, pentru $\displaystyle X^3-4X^2+8X+2$ avem $\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1}=4$ și $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{8}{1}=8$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=4\text{ și }x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=8$
Din $\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ obținem $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
Înlocuim: $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=4^2-2\cdot 8=16-16=0$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=16-16=0$
Dacă $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ ar fi toate reale, suma pătratelor lor ar fi 0 doar dacă $\displaystyle x_1=x_2=x_3=0$ . Dar $\displaystyle f(0)=2\neq 0$ , deci 0 nu este rădăcină. Contradicție, deci polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\text{ și }f(0)=2\neq 0\Rightarrow f\text{ nu are toate rădăcinile }$ $\displaystyle \text{reale}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un produs: $\displaystyle u(x)=e^x$ și $\displaystyle v(x)=x^2-6x+9$ . Aplicăm formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .
$\displaystyle f'(x)=\left(e^x\right)'\left(x^2-6x+9\right)+e^x\left(x^2-6x+9\right)'$
Avem $\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x$ și $\displaystyle \left(x^2-6x+9\right)'=2x-6$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)+e^x(2x-6)$
Dăm factor comun $\displaystyle e^x$ în cei doi termeni.
$\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-6x+9+2x-6\right)$
Reducem termenii asemenea din paranteză: $\displaystyle -6x+2x=-4x$ și $\displaystyle 9-6=3$ . Obținem forma cerută.
$\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)

.

Determinați intervalele de monotonie a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției folosind regula de derivare a produsului: $\displaystyle (e^{x})'=e^{x}$ , iar $\displaystyle \left(x^{2}-6x+9\right)'=2x-6$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}\left(x^{2}-6x+9\right)+e^{x}(2x-6)$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}-6x+9+2x-6=x^{2}-4x+3$ . Apoi descompunem trinomul în factori, cu rădăcinile $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}\left(x^{2}-4x+3\right)=e^{x}(x-1)(x-3)$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ . Deoarece $\displaystyle e^{x}>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , derivata se anulează doar când $\displaystyle (x-1)(x-3)=0$ , adică pentru $\displaystyle x=1$ sau $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x_1=1\text{ și }x_2=3$
Studiem semnul derivatei. Cum $\displaystyle e^{x}>0$ , semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este dat de produsul $\displaystyle (x-1)(x-3)$ : este pozitiv în afara rădăcinilor $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ și negativ între ele.
$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}$
Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,1]$ derivata este pozitivă sau nulă, deci funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe acest interval.
$\displaystyle f'(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,1]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(-\infty,1]$
Pe intervalul $\displaystyle [1,3]$ derivata este negativă sau nulă, deci funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe acest interval.
$\displaystyle f'(x)\leq 0\text{, pentru orice }x\in[1,3]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[1,3]$
Pe intervalul $\displaystyle [3,+\infty)$ derivata este pozitivă sau nulă, deci funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe acest interval. Acesta este răspunsul final: $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1]$ și pe $\displaystyle [3,+\infty)$ și descrescătoare pe $\displaystyle [1,3]$ .
$\displaystyle f'(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in[3,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[3,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)

.

Demonstrați că

\displaystyle e^x(x-3)^2\leq 4e

, pentru orice

\displaystyle x\in(-\infty,3]

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)^2$ , deci $\displaystyle e^x(x-3)^2=f(x)$ . Inegalitatea de demonstrat este $\displaystyle f(x)\leq 4e$ pentru $\displaystyle x\in(-\infty,3]$ .
$\displaystyle f(x)=e^x(x-3)^2$
Derivăm funcția folosind regula produsului: $\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)^2+e^x\cdot 2(x-3)$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)^2+2e^x(x-3)$
Dăm factor comun $\displaystyle e^x(x-3)$ : $\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)\left((x-3)+2\right)$ , adică:
$\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)(x-1)$
Cum $\displaystyle e^x>0$ , semnul lui $\displaystyle f'$ este semnul produsului $\displaystyle (x-3)(x-1)$ . Pentru $\displaystyle x<1$ ambii factori sunt negativi, deci $\displaystyle f'(x)>0$ . Pentru $\displaystyle x\in(1,3)$ avem $\displaystyle x-3<0$ și $\displaystyle x-1>0$ , deci $\displaystyle f'(x)<0$ . Derivata se anulează în $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,1)$ , $\displaystyle \quad f'(x)<0\text{ pe }(1,3)$
Rezultă că $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1]$ și descrescătoare pe $\displaystyle [1,3]$ . Deci $\displaystyle f$ atinge maximul pe $\displaystyle (-\infty,3]$ în $\displaystyle x=1$ , adică $\displaystyle f(x)\leq f(1)$ pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,3]$ .
$\displaystyle f(x)\leq f(1)\text{, pentru orice }x\in(-\infty,3]$
Calculăm $\displaystyle f(1)=e^1\cdot(1-3)^2=e\cdot 4=4e$ . Deci $\displaystyle e^x(x-3)^2=f(x)\leq f(1)=4e$ pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,3]$ .
$\displaystyle f(1)=4e\text{, deci }e^x(x-3)^2\leq 4e\text{, pentru orice }x\in(-\infty,3]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\left(1-x^3\right)^n dx

.

Arătați că

\displaystyle I_1=\frac{3}{4}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle n=1$ avem $\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-x^3\right)dx$ .
$\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-x^{3}\right)dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle 1-x^3$ este $\displaystyle F(x)=x-\dfrac{x^{4}}{4}$ , deoarece $\displaystyle \int 1\,dx=x$ și $\displaystyle \int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}$ .
$\displaystyle F(x)=x-\frac{x^{4}}{4}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle I_1=F(1)-F(0)$ .
$\displaystyle I_1=\left(x-\frac{x^{4}}{4}\right)\Big|_0^1$
Avem $\displaystyle F(1)=1-\dfrac{1}{4}$ și $\displaystyle F(0)=0$ , deci $\displaystyle I_1=1-\dfrac{1}{4}-0$ .
$\displaystyle I_1=1-\frac{1}{4}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ , deci $\displaystyle I_1=\dfrac{3}{4}$ .
$\displaystyle I_1=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\left(1-x^3\right)^n dx

.

Arătați că

\displaystyle I_{n+1}\leq I_n

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem diferența $\displaystyle I_{n+1}-I_n$ folosind definiția: $\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(1-x^3\right)^{n+1}dx-\int_0^1\left(1-x^3\right)^{n}dx$ . Limitele sunt aceleași, deci putem scrie o singură integrală.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left[\left(1-x^3\right)^{n+1}-\left(1-x^3\right)^{n}\right]dx$
Dăm factor comun $\displaystyle \left(1-x^3\right)^n$ . Paranteza rămasă este $\displaystyle \left(1-x^3\right)-1=-x^3$ .
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(-x^3\right)\left(1-x^3\right)^n dx$
Studiem semnul funcției de sub integrală pe $\displaystyle [0,1]$ . Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x^3\geq 0$ , deci $\displaystyle -x^3\leq 0$ . De asemenea $\displaystyle x^3\leq 1$ , deci $\displaystyle 1-x^3\geq 0$ , iar atunci $\displaystyle \left(1-x^3\right)^n\geq 0$ .
$\displaystyle -x^3\leq 0\text{ și }\left(1-x^3\right)^n\geq 0\text{, pentru }x\in[0,1]$
Produsul $\displaystyle \left(-x^3\right)\left(1-x^3\right)^n$ este $\displaystyle \leq 0$ pe $\displaystyle [0,1]$ . Integrala unei funcții negative sau nule pe $\displaystyle [0,1]$ este $\displaystyle \leq 0$ , deci $\displaystyle I_{n+1}-I_n\leq 0$ . Rezultă inegalitatea cerută.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n\leq 0\Rightarrow I_{n+1}\leq I_n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\left(1-x^3\right)^n dx

.

Demonstrați că

\displaystyle I_{n+1}=\frac{3(n+1)}{3n+4}I_n

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\left(1-x^3\right)^{n+1}dx$ și folosim faptul că $\displaystyle x'=1$ , deci integrala se scrie $\displaystyle \int_0^1 x'\left(1-x^3\right)^{n+1}dx$ . Integrăm prin părți.
$\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x'\left(1-x^3\right)^{n+1}dx$
Aplicăm formula $\displaystyle \int_0^1 f'g=fg\Big|_0^1-\int_0^1 fg'$ cu $\displaystyle f=x$ și $\displaystyle g=\left(1-x^3\right)^{n+1}$ . Avem $\displaystyle g'=(n+1)\left(1-x^3\right)^n\cdot\left(-3x^2\right)$ .
$\displaystyle I_{n+1}=x\left(1-x^3\right)^{n+1}\Big|_0^1-\int_0^1 x(n+1)\left(1-x^3\right)^n\left(-3x^2\right)dx$
Termenul integrat este $\displaystyle 1\cdot 0^{n+1}-0\cdot 1=0$ . În integrală, scoatem constanta $\displaystyle 3(n+1)$ și $\displaystyle x\cdot x^2=x^3$ , iar semnele minus se reduc.
$\displaystyle I_{n+1}=3(n+1)\int_0^1 x^3\left(1-x^3\right)^n dx$
Scriem $\displaystyle x^3=-\left(1-x^3-1\right)$ , deci $\displaystyle x^3\left(1-x^3\right)^n=-\left(1-x^3\right)^{n+1}+\left(1-x^3\right)^n$ . Integrând, obținem $\displaystyle -I_{n+1}+I_n$ .
$\displaystyle I_{n+1}=-3(n+1)\int_0^1\left(1-x^3-1\right)\left(1-x^3\right)^n dx=-3(n+1)\left(I_{n+1}-I_n\right)$
Din $\displaystyle I_{n+1}=-3(n+1)I_{n+1}+3(n+1)I_n$ obținem $\displaystyle I_{n+1}\left(1+3(n+1)\right)=3(n+1)I_n$ , adică $\displaystyle (3n+4)I_{n+1}=3(n+1)I_n$ .
$\displaystyle (3n+4)I_{n+1}=3(n+1)I_n$
Cum $\displaystyle 3n+4\neq 0$ , împărțim și obținem relația cerută, adică $\displaystyle I_{n+1}=\dfrac{3(n+1)}{3n+4}I_n$ , pentru orice $\displaystyle n\in\mathbb{N}^*$ .
$\displaystyle I_{n+1}=\frac{3(n+1)}{3n+4}I_n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2015, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani